Revista sigma 22

EDITORIAL
En esta nueva edición de la revista continuamos la línea iniciada en el anterior número con las
secciones fijas. Primeramente queremos señalar las dificultades que encontramos para que, el
profesorado de Infantil o Primaria, dé el paso de mostrar en unos folios lo que son capaces de
hacer de forma novedosa en la clase. Invitamos, de nuevo, a que os animéis a colaborar
enviando trabajos que puedan servir de guía al resto del profesorado de esas etapas.
En segundo lugar queremos señalar que esta revista en su integridad la seguimos incorporando
a la página web “berrikuntza.net”, desde donde se pueden bajar los archivos que se deseen.
Si alguien quiere dirigirse a nosotros para preguntar o proponer algo, dar opiniones o lo que
crea conveniente lo puede hacer utilizando esa página web.
Queremos señalar también que, cuando salga este número, estaremos celebrando la 1ª
Olimpiada Matemática de Euskadi poniendo toda la información sobre este tema en la página
web antes citada. En el siguiente número de la revista, allá por el mes de octubre, incorpora-
remos la información sobre sus contenidos, ganadores, información para la siguiente olim-
piada, etc.
De nuevo queremos agradecer la colaboración desinteresada de todos los colaboradores y
colaboradoras que nos han enviado sus artículos para su publicación, pues su trabajo es el ver-
dadero valor de la revista.
EDITORIALA
Aldizkariaren argitalpen berri honetan aurreko zenbakian hasitako egiturari jarraitzen diogu,
atal tinkoei eutsiz. Ezer baino lehen azpimarratu nahi ditugu aurkitzen ditugun eragozpenak,
Lehen Hezkuntzako irakasleek folio batzuetan gelan era berritzailean egiteko gauza direna era-
kuts dezaten. Berriro gonbidatzen zaituztegu arlo horretako irakasleei lagungarri izan dakiz-
kien lanak bidal ditzazuen.
Bigarrenez, adierazi nahi dugu aldizkari osoa “berrikuntza.net” web orrian aurki daitekeela,
eta hortik jaitsi daitezke nahi diren artxiboak. Norbaitek guregana jo nahiko balu, zerbait gal-
detzeko edo proposatzeko, iritziak edo egokien deritzona emateko, delako web orria erabil
dezake.
Era berean azaldu nahi dugu, zenbakia kalean dagoenean, Euskadiko I Matematika-Olinpiada
jokatzen arituko garela; lehen aipatutako web orrian izango duzue horri buruzko informazioa.
Aldizkariaren hurrengo zenbakian, urria aldera hain zuzen, edukiei, irabazleei buruzko infor-
mazioa sartuko dugu, baita hurrengo Olinpiadari buruzko datu-pila ere.
Berriro eskertu nahi dugu artikuluak bidali dizkigun kolaboratzaile guztien eskuzabaltasuna,
haien lana baita aldizkariaren balorerik behinena.

INDICE
INFANTIL-PRIMARIA / HAUR ETA LEHEN HEZKUNTZA 5
CONFIGURACIONES NUMÉRICAS EN PRIMARIA ¡A golpe de vista!
Santiago Fernández . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
SECUNDARIA / BIGARREN HEZKUNTZA 23
CREATIVIDAD MATEMÁTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
María Luz Callejo de la Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
LOS PENTOMINOS Y LA SUPERFICIE. Un modelo de actividad basado
en Dienes para el 1ER
ciclo de Secundaria
Modesto Arrieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
OINARRIZKO ERAGIKETA MATEMATIKOEN HITZEZKO ADIERAZPIDEA
Martxel Ensunza, Jose Ramon Etxebarria, Jazinto Iturbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
LA PIZARRA ELECTRÓNICA / ARBELA ELEKTRONIKOA 53
VISUALIZACIÓN CON MATHEMATICA
Fernando Castañeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
GEOMETRÍA CON CABRI
Alberto Bagazgoitia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ENSEÑAR ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL EN ESO Y BACHILLERATO
Abel Martín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ARTÍCULOS / ARTIKULOAK 113
MATEMÁTICA NUMÉRICA
Fernando Vadillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ALGUNOS EJEMPLOS DE PARADOJAS
Marta Macho Stadler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
TEST EN MATEMÁTICAS QUE SE CELEBRAN EN RUSIA PARA LOS ALUMNOS
DE 15 y 17 AÑOS
Yu. A. Glazkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
DEL PROBLEMA DE LA LÍNEA DE COSTA AL TEOREMA DEL PUNTO FIJO
DE BROUWER
Miguel de Guzmán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
Juan Carlos Peral Alonso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
SANGAKU: GEOMETRÍA EN LOS TEMPLOS JAPONESES
Fernando Fouz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
LIBROS / LIBURUAK 191
ZIENTZIA ETA TEKNIKARAKO EUSKARA (ZENBAIT HIZKUNTZA-BALIABIDE)
Martxel Ensunza, Jose Ramon Etxebarria, Jazinto Iturbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Kevin Devlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
VARIOS / BATZUK 195
LA GACETA DE LA REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA . . . . . . . . . . . . . . . 196
XI JAEM. JORNADAS SOBRE APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 197

Infantil–Primaria/Hauretalehenhezkuntza

Abril 2003 • 2003ko Apirila 7
Configuraciones Numéricas en Primaria
CONFIGURACIONES NUMÉRICAS EN PRIMARIA
¡ A golpe de vista !
Santiago Fernández (*)
1. UN POCO DE HISTORIA
Los antiguos griegos hacían una distinción entre las relaciones existentes entre los distintos
números y el cálculo práctico de dichos números. Las primeras relaciones fueron estudiadas
en un campo que lo denominaban Aritmética, mientras que el cálculo práctico fue estudiado
por la Logística.
En los siglos V y VI a. C., los Pitagóricos se preocuparon especialmente por el estudio de la
Aritmética, estudiaron los números, clasificándolos según propiedades bien definidas.
Descubrieron muchos tipos números: amistosos, perfectos, abundantes, deficientes,detenién-
dose especialmente en el estudio de los llamados números figurados.
• Dos números son amigos si cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Por
ejemplo: 284 y 220 son números amigos ya que la suma de los divisores propios de
284 (1,2,4,71,142) es igual a 220, y la de los divisores propios de 220, que son
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110, es igual a 284.
• Un número es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al número. Por
ejemplo, los números 6, 28 y496 son perfectos. El número 6 es igual a 1+2+3. El
número 28 es igual a 1+2+4+7+14.
• Un número es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el
número.Por ejemplo el número 12 es abundante ,ya que la suma de 1, 2, 3, 4 y 6 es
mayor que el 12.
• Un número es deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que el número.
Por ejemplo el Número 8 es deficiente ya que la suma de 1, 2 y 4 es menor que el 8.
• Los números figurados, eran concebidos como los números de puntos en ciertas con-
figuraciones geométricas, estas representaciones constituyen un nexo de unión entre la
geometría y la aritmética.
2. NÚMEROS POLIGONALES Y POLIÉDRICOS
Para los pitagóricos, el estudio de los números fue una de sus grandes pasiones. De acuerdo a
la posibilidad de representar los números en el plano o en el espacio, dividían los números
figurados en poligonales o poliédricos.
2.1.) Números poligonales
Corresponden a configuraciones numéricas que se pueden representar sobre el plano, a modo
de ejemplo:
(*) Asesor de matemáticas del Berritzegune de Abando (Bilbao).

TIPO ORDEN
1 2 3 4
Triangulares
1 3 6 10
Cuadrados
1 4 9 16
Pentagonales
1 5 12 22
Hexagonales
1 6 15 28
Heptagonales 1 7 18 34
SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.8
Santiago Fernández
NÚMEROS POLIGONALES

2.2.) Números poliédricos
Los Pitagóricos estudiaron no sólo configuraciones planas, sino otras que al representarse
espacialmente generaron sucesiones de números aún más complicadas, por ejemplo con base
en configuraciones triangulares generaban figuras piramidales como las pilas de naranjas que
a veces uno se encuentra en las fruterías.
Como resumen, podemos decir que los números figurados durante siglos cautivaron la aten-
ción de muchos matemáticos, en el siglo XVII el gran matemático francés P.Fermat dedujo
algunas propiedades curiosas de dichos números. La demostración de otras propiedades for-
mulados por B.Pascal fueron realizadas por Euler y Lagrange. Un estudio más general lo pode-
mos encontrar en las obras del matemático francés A. Cauchy (s. XIX).
Esta manera de jugar con los números, a través de sus representaciones, y tratar de encontrar
relaciones entre ellos cayó con el tiempo en el olvido, en algunas ocasiones su estudio fue una
mera curiosidad sin importancia, en otras ha sido aprovechada por Pseudociencias como: La
numerología,astrología etc.
Estas configuraciones las podemos encontrar en multitud de situaciones:
Números triangulares
Números cuadrados Números piramidales

3. PROPUESTA DIDÁCTICA
El trabajar con este tipo de disposiciones geométricas puede ser muy interesante desde un
punto de vista didáctico. De hecho, es muy recomendable de cara a reforzar el llamado
sentido numérico. Veamos dos ejemplos:
¿Cuántas bolas hay en esta disposición?
a) Una manera de afrontar la cuestión es
contar las bolas una a una, así obtene-
mos: 14 bolas.
b) Otra manera es ver que hay cuatro
filas de tres bolas cada una, lo que
hacen 12 bolas, y dos bolas más;
suman nuevamente 14 bolas.
c) Otra manera es observar que de un
cuadro de 20 bolas ( 4x5) se han qui-
tado 6 bolas ( 2x3) , lo que nueva-
mente suman 14.
¿Cuántas bolas negras hay en esta dispo-
sición?
a) Una manera de afrontar la cuestión es
contar las bolas negras, una a una, así
obtenemos: 18 bolas.
b) Otra, es observar que en cada fila hay
tres bolas negras , como hay 6 filas,
tenemos 18 bolas negras.
c) Podemos también contar todas las
bolas, son 30, y restar las blancas....
Es evidente que la respuesta está condicionada por la edad del alumnado, el tipo de tareas que
realizan en el aula, etc.
A continuación se proponen una serie de situaciones. Se deja en manos del docente el obte-
ner el mayor beneficio ...
Santiago Fernández
Ejemplo 1
Ejemplo 2

¿Cuántas bolitas hay?
¿Cuántas bolas negras hay?
¿Cuántas bolas blancas?
¿Cuántas bolas blancas hay?
¿Cuántas bolas negras?
1)
2)
3)

Santiago Fernández
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas bolas hay?
4)
5)
6)

7)
8)
9)

Santiago Fernández
c)b)a)
A) 8 B) 12 D) 11
Relaciona figura y número
¿Cuántas bolas blancas hay?
b)
a)
Si hablamos de 39 bolas. ¿De qué configuración estamos hablando?
10)
11)
12)

¿Cuántas son blancas?
¿Cuántas son negras?
13)
14)
15)

Santiago Fernández
16)
17)
18)

¿Cuántas bolas hay en la siguiente
configuración?
19)
20)
21)

Santiago Fernández
¿Cuántas cuadrados hay en total?
22)
23)
24)

¿Cuántas cuadrados hay en total?
¿Cuántas rectángulos hay en total?
Nota. los cuadrados son también
rectángulos
¿Cuántas triángulos hay en total?
25)
26)
27)

Santiago Fernández
¿Cuántas rectángulos hay en total?
27123
¿Cuál es la siguiente configuración?
1063
¿Cuál es la siguiente configuración?
28)
29)
30)

¿Cuál es la
siguiente
configuración?
Nota: Observa
que la base son
números
triangulares
¿Y el número 18?
¿Y el número 19?
¿Cuántas bolas hay
en total?
El número 12 se puede
poner en una disposición
rectangular
31)
32)
33)

GLORIA FUERTES JUEGA CON SEIS NIÑOS AL SEIS-SIETE
Volando con seis nubes por seis cielos,
desliza Gloria Fuertes seis cometas;
y el cándido mirar de seis veletas,
señalan siete Glorias en seis vuelos.
Seis ángeles se asoman con seis velos,
diciéndole a Gloria “no te metas";
y Gloria les responde "piruletas",
vosotros sois cohetes caramelos.
Seis sueños a seis Glorias, verifican;
y acuerdan con seis blancas pajaritas,
volar en seis azules tiovivos.
Seis niños a un camello, glorifican;
y acuerdan con seis Glorias siete citas;
se inventan un zodiako con seis chivos.
Fede Bilbao (Algorta. Bizkaia)

Creatividad matemática y resolución de problemas
CREATIVIDAD MATEMÁTICA Y
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
María Luz Callejo de la Vega (*)
Las relaciones entre creatividad y resolución de problemas son evidentes: a menudo hay que
poner en juego la creatividad para resolver problemas y el enfrentamiento con verdaderos pro-
blemas estimula esta capacidad. En este artículo exploramos algunas posibilidades que brin-
dan los problemas para desarrollar la creatividad matemática de los alumnos. Comenzamos
haciendo algunas consideraciones sobre cómo surgen las ideas en matemáticas y cuáles son
las fases de un proceso creativo, de la mano de grandes matemáticos como Leibniz, Polya o
Poincaré. Luego exponemos un ejemplo de un ambiente para estimular la creatividad de los
estudiantes y otro del tratamiento de un problema como entorno de aprendizaje para desarro-
llar la fluidez de ideas, la flexibilidad de pensamiento y la originalidad a través de su resolu-
ción y reformulación.
¿CÓMO SURGEN LAS IDEAS EN MATEMÁTICAS?
A veces encontramos soluciones de problemas matemáticos que nos producen admiración.
Una que me gusta por su sencillez e ingenio es la que dio Leibniz a la suma de la serie que le
propuso el matemático holandés Christian Huygens (1629-1695) para apreciar su perspica-
cia.(1)
:
Con la poca experiencia matemática que tenía entonces, Leibniz reescribió la serie multipli-
cando por dos los denominadores. Luego expresó cada fracción como una diferencia entre
otras dos y transformó la serie en una suma de diferencias de fracciones con numeradores la
unidad y denominadores números consecutivos. Como todos los términos después del 1 ini-
cial se anulan, se obtiene 2 como resultado.
Nos preguntamos, ¿cómo se le ocurrió? Me aventuro a ofrecer algunas pistas para dar una posi-
ble explicación: los denominadores de las fracciones de la serie son números triangulares y el
doble de un número triangular es el producto de dos números consecutivos (figura 1).
Figura 1
(*) Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Instituto de Estudios Pedagógicos Somosaguas, Madrid.

Pero una fracción con numerador la unidad y con denominador un producto de dos números
consecutivos se puede escribir como una diferencia de fracciones de la siguiente forma:
Y descomponiendo cada fracción se tienen términos que se anulan y se obtiene como resultado 2.
Este procedimiento ha supuesto identificar o reconocer los números de los denominadores
como números triangulares, relacionar números y configuraciones geométricas y transformar
una fracción en una diferencia de fracciones.
Pero mientras esta solución se puede contemplar, comprender y explicar en pocos minutos,
su proceso de elaboración puede llevar muchas horas de trabajo invertidas en experimentar,
analizar la situación, explorar otros problemas semejantes, diseñar una o más estrategias de
resolución, desarrollarlas y verificarlas. La creación matemática requiere utilizar a la vez el
pensamiento lógico y la intuición, la deducción y la inducción, el razonamiento demostrativo
y el plausible Sin embargo normalmente se pone más de relieve la justificación de la solución
que la génesis o elaboración de la misma, aunque ambos aspectos son dos caras indisociables
de la actividad matemática, como indica George Polya (1958:X) que advierte de este peligro:
“Se considera las matemáticas como una ciencia demostrativa. Pero eso no es más que
un aspecto de la cuestión. Las matemáticas acabadas, presentadas bajo una forma defi-
nitiva, parecen puramente demostrativas y no encierran más que pruebas. Pero las mate-
máticas en gestación se parecen a cualquier otro conocimiento humano en el mismo
estadio de desarrollo. Hay que adivinar un teorema matemático antes de demostrarlo;
hay que adivinar el principio general de la demostración antes de entrar en detalles. Hay
que confiar en las observaciones y fiarse de las analogías; hay que ensayar una y otra
vez. El resultado del trabajo creador del matemático es un razonamiento demostrativo,
una prueba; pero la prueba se descubre con un razonamiento plausible, primero se adi-
vina. Si el estudio de las matemáticas refleja hasta cierto punto los caminos del descu-
brimiento, es necesario otorgar un lugar al arte de adivinar, a la inferencia plausible.”
Imre Lakatos (1978) presenta la actividad matemática como una dialéctica de ejemplos y con-
traejemplos, conjeturas y refutaciones y también constata que habitualmente “se esconde la
lucha y se oculta la aventura”, se ignoran las situaciones problemáticas o las preguntas que
dieron origen y desencadenaron los procesos de investigación y de creación de nuevos con-
ceptos.
Afortunadamente conocemos la historia de algunos problemas que ilustran las dificultades y
bloqueos que han tenido los matemáticos para elaborar una nueva teoría y las ideas e intui-
ciones que les han servido para alumbrarla. Es el caso del problema conocido como “del
reparto de la apuesta”, “la partida interrumpida” o “el Caballero de Meré” (cf. García Cruz,
2000), quizá por la abundante correspondencia que circuló entre los matemáticos alrededor
de este problema, al que tardaron más de 150 años en darle una solución convincente y acep-
tada por la comunidad matemática de la época.
FASES DE UN PROCESO CREATIVO
Además de conocer la historia de éste u otros problemas, sabemos de los procesos de crea-
ción por el testimonio de algunos matemáticos célebres que han contado cómo han tenido
lugar sus descubrimientos.
María Luz Callejo de la Vega

Uno de ellos es Henri Poincaré (1974:15), que en una conferencia pronunciada al comienzo
del siglo pasado en la Sociedad Psicológica de París se preguntaba: ¿qué es la creación mate-
mática? Respondió a esta cuestión a partir de su propia experiencia como matemático, expo-
niendo algunos hechos como el siguiente:
“Desde hacía 15 días me esforzaba en demostrar que no podía existir ninguna función
análoga a la que después he llamado funciones fuchsianas; estaba entonces en completa
ignorancia, todos los días me sentaba en mi mesa de trabajo, permanecía allí una o dos
horas, ensayaba un gran número de combinaciones y no llegaba a ningún resultado. Una
tarde, contra mi costumbre, tomé café negro, no me pude dormir, las ideas surgían en
tropel, sentía como se escapaban hasta que dos de ellas se engancharon, por así decir,
para formar una combinación estable. Por la mañana había establecido la existencia de
una clase de funciones, las que derivan de la serie hipergeométrica. No tuve más que
redactar los resultados, lo que sólo me llevó algunas horas.”
Como podemos ver Poincaré pasó por varias fases: una de preparación, larga, habla de 15
días, en la que se esforzaba en demostrar una conjetura sentándose una o dos horas diarias en
su mesa de trabajo y no llegaba a ningún resultado. Pero ese trabajo no fue inútil porque la
inspiración se produjo a partir de las ideas que activó en esas horas en que se enfrentaba al
problema. Entre los períodos de trabajo consciente, su mente siguió trabajando en el problema
aunque la atención se centrase en otra cosa, es la fase de incubación. A la inspiración siguió
la verificación y la redacción de los resultados. La transición de la incubación a la inspiración
aparece a menudo como una nueva e inesperada forma de ver las cosas, de relacionar, de per-
cibir el problema.
En la fase de preparación es conveniente activar muchas ideas antes de seleccionar aquellas
que nos parece que nos van a conducir a la solución, porque de la cantidad puede surgir la
calidad y porque la primera idea que nos viene a la cabeza no es necesariamente la mejor; a
esto le llamamos fluidez. Es mejor que estas ideas sean de distinto tipo porque así contem-
plamos el problema desde varias perspectivas, con flexibilidad. Durante el proceso de reso-
lución de un problema conviene no aferrarse a un camino, a una estrategia de resolución, a
una única manera de ver las cosas; la rigidez es un bloqueo a la creatividad. Cuando las solu-
ciones son poco corrientes decimos que son originales. Fluidez, flexibilidad y originalidad son
tres indicadores de la creatividad.
Hasta ahora nos hemos referido a los procesos de creación de los matemáticos. Pero estos pro-
cesos también son accesibles a los alumnos y se pueden potenciar, como veremos en los apar-
tados que siguen.
DESARROLLO DE LA CREATIVIDAD DE LOS ALUMNOS
Una de las razones que se esgrime para justificar que la resolución de problemas sea un obje-
tivo indeclinable de la enseñanza de las matemáticas es que fomenta la creatividad. Pero el
hecho de que la resolución de un verdadero problema sea un acto creativo tiene importantes
consecuencias de tipo didáctico relativas a los siguientes aspectos: el tipo de problemas que se
propone a los alumnos (“verdaderos problemas”); el pensamiento que se potencia (el plausible
y el demostrativo); el uso y gestión del tiempo (porque el tiempo invertido en la resolución de
un verdadero problema no puede preverse de antemano) y la evaluación de los alumnos (los
procesos y progresos, no sólo los resultados; Callejo, 1996), entre otros. Todo esto requiere
introducir modificaciones importantes en el desarrollo habitual de las clases de matemáticas
que inciden en la programación, en la organización, en la selección de actividades, en el modo
de agrupamiento de los estudiantes, en la intervención del profesorado o el clima de la clase.

Cuando la resolución de problemas se plantea ejemplificando a los alumnos métodos o pro-
cedimientos que luego se les pide que apliquen a otros problemas semejantes propuestos por
el profesor, no se favorece que desarrollen la creatividad, pues de alguna forma se les está
indicando el camino a seguir según “la” respuesta esperada por el profesor, aunque ese
camino necesite algunas adaptaciones, y no se les pide explorar otros caminos seleccionando
aquellas estrategias que les parezcan más adecuadas.
Plantearse como objetivo el desarrollo de la creatividad supone seleccionar problemas ade-
cuados a tal fin, trabajar con una metodología que ayude a identificar bloqueos, al tiempo que
fomente la fluidez de ideas y la flexibilidad de pensamiento, y crear un ambiente de aprendi-
zaje que lo haga posible, donde prime la libertad, se potencia la confianza en las propias
capacidades, se busquen distintas aproximaciones a los problemas y se favorezca el inter-
cambio, la comunicación y el contraste de ideas.
Los problemas abiertos que exigen seleccionar datos o determinar condiciones para poder lle-
gar a una solución, como las investigaciones o los proyectos de trabajo alrededor de una situa-
ción de unas cuestiones, favorecen el pensamiento creativo. También los problemas cerrados
si con ellos se trata de ver varias vías de resolución o si sirven de punto de partida para la
reformulación de nuevos problemas cambiando los datos, la condición o la pregunta. Se trata
en definitiva de considerar los problemas como entornos de aprendizaje que dan pie a desa-
rrollar la flexibilidad o cambio de punto de vista, la fluidez de ideas y la originalidad.
A continuación voy a exponer una actividad trabajada en el Club matemático (Callejo, 1994)
en vista a estimular la creatividad a través de la resolución de problemas y el tratamiento de
una actividad de emparejamiento para desarrollar la fluidez, la flexibilidad y la originalidad.
UN AMBIENTE PARA ESTIMULAR LA CREATIVIDAD
Un calendario matemático ofrece actividades o informaciones para cada día del mes. Elaboré
uno para el club matemático centrado en la geometría, una de las partes más formativas de la
matemática, que contemplaba diferentes aspectos:
• estéticos como la belleza de la forma: proporción áurea, mosaicos;
• culturales a través de geómetras famosos: Descartes, Pitágoras, Moëbius, Hypatía,..
• experimentales: dibujo, construcción, descomposición y manipulación física de objetos
geométricos;
• científicos: demostraciones, paradojas geométricas;
así como problemas relacionados entre sí.
Normalmente un calendario se trabajaba individualmente durante el mes en curso y se hacía
una puesta en común al final del mismo, en la que se seleccionaban unos cuantos problemas
que a juicio de los participantes merecían especial atención. Tal es el caso de los de los días
8 y 28 del calendario al que nos referimos.
El problema del día 8 decía así:
Calcula el número de caminos que hay para ir desde el cruce inferior izquierdo (A) al
cruce superior derecho (B) del plano del barrio de la figura.
Se entiende que se trata de avanzar siempre, es decir, de seguir las direcciones de las flechas
de la figura de abajo:

Figura 2
El problema del miércoles día 28 decía así:
Esta torre está hecha con 35 cubos dispuestos en 5 capas. ¿Cuántos cubos harán falta
para construir una torre de 10 capas?
Figura 3
Estos problemas se pueden abordar:
• haciendo recuentos de forma sistemática;
• identificando un patrón en los números que aparecen;
• generalizando los resultados a partir de los casos concretos planteados por estos problemas.
El primer problema no suele presentar dificultad a los estudiantes. Cuando lo propuse en el
club, un participante, Antón, hizo notar que el total del número de caminos que llegaban a
cada vértice seguía una regla general: era la suma del número de caminos que llegaban desde
los vértices más próximos situados directamente a la izquierda y directamente abajo, como
muestra la figura siguiente:
Figura 4
A
B
1 1 1 1
5 15 35 70
1
1
1
1
A
70
35
15
5
4 10 20
3 6 10
2 3 4

Sin embargo, no se percató de que los números que había sobre las diagonales eran filas del
triángulo de Pascal, quizá porque aparecían aquí en una posición no habitual. Pero lo hizo
notar otro estudiante, Fermín. Hecha esta observación invité a los miembros del club a que
expresasen de forma general el número de caminos que llegaban a un vértice cualquiera.
Introdujeron los ejes de abscisa y de ordenada y gracias a sus conocimientos del triángulo de
Pascal, expresaron de forma general el número de caminos que llegaban al vértice de coor-
denadas (m,n) como (m+n).
n
A continuación pusimos en común el trabajo sobre el problema de los cubos. Un estudiante,
Ignacio hizo en el encerado la siguiente tabla:
Capas: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de cubos en la capa n 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
Total de cubos en n capas 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220
"Este modelo se parece algo al anterior porque los números de la tabla se han obtenido
sumando resultados anteriores", hizo notar Ana, que escribió:
Capa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cubos/capa 1 1+2 3+3 6+4 10+5 15+6 21+7 28+8 36+9 45+10
Total 1 1+3 4+6 10+10 20+15 35+21 56+28 84+36 120+45 165+56
Fermín, influenciado quizá por el problema anterior dijo: "los números de la suma total están
también en el triángulo de Pascal (2)
":
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
"Efectivamente, pero no sólo la suma total está en el triángulo de Pascal, sino también el
número de cubos que hay en cada capa y el número de capas, notó Antón. Nuestra tabla, dis-
puesta de otra manera está también en el triángulo de Pascal":
1
1
1 1
1 3 1
1 4 6 1
1 5 10 10 1
1 6 15 20 15 1
La generalización surgió de inmediato: el número de cubos en una torre con n capas es:
(n+2)
3

Episodios como éste se daban de vez en cuando. Los participantes en el club fueron los pri-
meros sorprendidos por el encadenamiento de sus observaciones que condujeron a una gene-
ralización que no estaba prevista, por la elegancia del proceso y por las relaciones insospe-
chadas que se pusieron de relieve. Estoy convencida de que el formato de los problemas en
el calendario, la espontaneidad de los intercambios en el grupo y un clima expansivo, donde
cada cuál se exprese con libertad y dé de sí lo mejor que pueda dar, hacen posible este pro-
ceso de creación que ha llevado a escribir de forma elegante el término general de una suce-
sión numérica que es la de los números piramidales de base triangular.
A partir de esta experiencia he tratado de propiciar otras parecidas proponiendo a alumnos de
primer ciclo de la ESO que siguen un programa de Estímulo del Talento Matemático (Guzmán,
2002) problemas sobre números piramidales, creando un entorno que ayudaba a establecer
relaciones numéricas.
REFORMULAR PROBLEMAS
Evidentemente las circunstancias aludidas anteriormente facilitan el clima necesario para que
se dé la creatividad. Pero cuando se trata de clases de matemáticas obligatorias y sujetas a un
programa, desarrollar la creatividad se convierte en un objetivo más difícil de alcanzar, pero
creemos que no imposible. A continuación presentaré una propuesta para clases de ESO que
pretende desarrollar las distintas componentes de la creatividad –fluidez, flexibilidad y origi-
nalidad– a través de la resolución y la formulación de problemas (Vila y Callejo, 2003). Lo
haré a partir de un sencillo ejercicio inicial de emparejamiento.
TORNEO DE TENIS
En un torneo de tenis participan 32 jugadores y se juega a eliminatorias. En la primera
ronda se forman 16 parejas con los 32 jugadores y los 16 ganadores pasan a la siguiente
ronda mientras que los perdedores quedan eliminados y así sucesivamente hastaque
quede un ganador. ¿Cuántos partidos se jugarán en total hasta la final?
Éste es un ejercicio fácil, de contar, que se puede resolver con un simple cálculo. Si sólo lo
miramos así tendría poco interés para el propósito que buscamos. Por eso lo consideramos
como un punto de partida para pensar más allá de lo que aquí se pregunta, para crear un
entorno de aprendizaje que ofrezca a los alumnos distintas posibilidades de aproximación y
de profundización.
Planteamos en primer lugar: ¿De cuántas formas se puede resolver?
La forma más evidente y que siguen la mayoría de los alumnos consiste en sumar el número
de partidos de cada ronda:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
Es frecuente encontrar una representación gráfica de la suma anterior, con un diagrama en
árbol, que se encuentra habitualmente en la prensa deportiva para esquematizar los torneos
de este tipo:
Figura 5

En raras ocasiones algún alumno intuitivo y quizá perezoso para el cálculo, se ha ahorrado la
suma razonando de la siguiente manera: cada vez que se juega un partido se elimina a un
jugador. En total hay que eliminar a todos menos al ganador, por tanto se juegan 31 partidos.
Alguna vez algún alumno ha hecho una representación gráfica más sofisticada, representando
cada partido por un cuadradito. Los partidos de cada ronda se representan por un cuadrado o
un rectángulo formado por dos cuadrados:
Figura 6
El total de partidos es:
8 x 4 – 1 = 31
Aunque todos los procedimientos anteriores son correctos, no todos tienen la misma poten-
cialidad para ser generalizados. Sin lugar a dudas el más elegante por su sencillez y el más
potente es el razonamiento basado en el número de jugadores eliminados. Pero hemos de
advertir que el mismo problema de emparejamiento, formulado en otras situaciones como las
que exponemos a continuación, quizá no hubiera dado lugar a este tipo de razonamiento.
Otra forma de buscar pautas y regularidades para la generalización es empezar con casos sen-
cillos, observar lo que sucede, hacer una conjetura, comprobar si la conjetura se cumple con
nuevos ejemplos y demostrarla.
Se podría hacer la siguiente tabla:
Jugadores 2 4 8 16 32 64 128 256 512
Partidos 1 3 7 15 31 63 127 255 511
En ella se puede observar que efectivamente el número de partidos es uno menos que el
número de jugadores, lo que se puede demostrar de diversas formas.
Hasta aquí hemos ejemplificado distintas y diversos tipos de estrategias de resolución, es decir
la fluidez y la flexibilidad.
Para favorecer aún más la flexibilidad, el cambio de punto de vista, nos planteamos: ¿Qué pro-
blemas se pueden formular a partir de este ejercicio? Esta reformulación pone a prueba la
capacidad de abstracción de los alumnos, de identificar y distinguir los aspectos superficiales
y los estructurales de la situación en cuestión. Podemos enunciar nuevos problemas cam-
biando el contexto, la condición o la pregunta. Si cambiamos el contexto tenemos otros pro-
blemas como:
¿Cuál es la suma de las 5 primeras potencias de 2?
Beni quiere hacer un club de videojuegos. Por ahora él es el único socio, pero sus pla-
nes son que cada socio encuentre dos nuevos socios cada mes. Si su plan funciona,
¿cuántos socios tendrá el Club al cabo de 4 meses?
Toma una tira de papel larga y estrecha. Dóblala por la mitad; dobla de nuevo por la
mitad: si la desdoblas tienes 3 pliegues. Si la doblas 5 veces, ¿cuántos dobleces tendrás
al desdoblarla?

El trabajo con este problema lo podemos esquematizar como sigue:
Problema inicial Varias resoluciones Nuevos problemas
Cálculo Potencias de 2
Torneo de tenis Razonamiento Beni
Representaciones geométricas Tira de papel
Fluidez y flexibilidad Cambio de contexto
Cuadro 1: Fluidez, flexibilidad y cambio de contexto
La originalidad suele referirse a las soluciones menos frecuentes. Éstas no suelen ser las pri-
meras que nos vienen a la mente. Por eso es aconsejable estimular la creatividad con técni-
cas como la lluvia de ideas, de manera que antes de la selección se piense en todas aquellas
ideas, por peregrinas que en principio nos puedan parecer, que podrían servir para la resolu-
ción de un problema.
A modo de resumen de esta última parte, presentamos el cuadro siguiente, adaptado de Silver
(1997), que expone distintos tipos de tareas relacionadas con la resolución y formulación de
problemas, que se pueden proponer a los alumnos para desarrollar la creatividad. Algunas de
ellas las hemos ilustrado en los ejemplos anteriores.
CREATIVIDAD
Resolución de Formulación de
Problemas Problemas
• Abordar problemas con varias: FLUIDEZ • Formular varios problemas a
partir de una situación
- interpretaciones
- estrategias de resolución
- soluciones
• Resolver (o expresar o FLEXIBILIDAD • Formular problemas que se
justificar) un problema de una pueden resolver de
forma y luego hacerlo de otras diferentes formas
formas
• Formular nuevos problemas
a partir de la cuestión:
"¿Qué pasaría si ...?"
• Examinar muchos métodos ORIGINALIDAD • Examinar algunos problemas
de resolución o respuestas ya formulados y luego
(expresiones o justificaciones) proponer otros diferentes
y generar luego otros diferente
Cuadro 2: Desarrollo de la creatividad a través de la resolución de problemas

CONCLUSIÓN
Hace falta dar pequeños pasos en la dirección de aplicar métodos más activos que inviten a
los alumnos y alumnas a trabajar los problemas como entornos de aprendizaje, a plantearse
sus propias preguntas, sus propios problemas, a comunicar sus ideas, a discutirlas y trabajar-
las con otros.
Esto se puede hacer revisando las colecciones de problemas, seleccionando aquellos que más
se presten a enfocarlos de distintas formas, motivando a los alumnos a implicarse en su reso-
lución utilizando sus propias ideas. Así descubrirán un rostro más humano y amable de la
matemática y no identificarán esta ciencia sólo con la lógica, la deducción y la demostración
sino también con la intución, la inducción y “el arte de adivinar”, el pensamiento plausible.
Tendrán la grata y provechosa experiencia de lo que significa la creación matemática.
BIBLIOGRAFÍA
Callejo, M. L. (1994). “Un club matemático para la diversidad”. Narcea. Madrid.
Callejo, M. L. (1996). “Evaluación de procesos y progresos del alumnado en resolución
de problemas”. UNO: Revista de Didáctica de las Matemáticas 8, 53-63.
García Cruz, J. A. (2000). “Historia de un problema: El reparto de la apuesta”. Suma nº
33. Febrero 2000, pp. 25-36.
Guzmán, M. De (2002). “Un programa para detectar y estimular el talento matemático
precoz en la Comunidad de Madrid”. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática
Española 5(1), 131-144.
Dunham, W. (1995). “El Universo de las Matemáticas”. Pirámide, Madrid.
Poincaré, H. (1974). “La creación matemática”. En: Matemáticas en el mundo moderno.
M. Kline (Ed.), Blume, Madrid,14-17.
Polya, G. (1959). “Les mathématiques et le raisonnement «plausible»”. Gauthier-Villar.
Paris (Or. Inglés 1954; edición española 1969).
Lakatos, I. (1978). “Pruebas y refutaciones”. Alianza, Madrid.
Silver, E. A. (1997). “Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical
Problem Solving and Problem Posing”. ZDM 97/3, 75-80.
Vila, A. y Callejo, M. L. (2003). “Aprender a pensar en clase de matemáticas. El papel de
las creencias en la resolución de problemas”. Narcea, Madrid (en preparación).
NOTAS
(1) Huygens fue una especie de mentor de Leibniz durante su estancia en París en misión diplomática, cuando su conocimiento y
cultivo de la matemática era escaso según su propio testimonio.
El historiador Joseph Hoffman, comentando el papel crítico jugado por este problema en la carrera de Leibniz, observaba que
“otro ejemplo solamente algo más difícil (y, por tanto, insoluble para Leibniz) sin duda hubiera apagado su entusiasmo por (...)
las matemáticas”. En vez de esto el éxito lo enardeció. Cf. Dunham (1995:208-209).
(2) Son los señalados en negro en el triángulo siguiente

Los Pentominos y la Superficie.
Un modelo de actividad basado en Dienes para el 1º Ciclo de Secundaria
LOS PENTOMINOS Y LA SUPERFICIE
Modesto Arrieta (*)
INTRODUCCIÓN
Uno de los temas estrella de la Matemática en la enseñanza obligatoria es el tema de la
medida. Su estudio nunca ha sido puesto en entredicho por la importancia que se otorga al
mismo desde edades tempranas y básicamente por su relación con infinidad de situaciones
problemáticas de nuestro entorno que favorecen su inclusión en el curriculum.
De todas formas su inclusión indiscutible en el currículum tanto de Primaria como de
Secundaria Obligatoria, ha generado dos problemas que los profesores, en nuestro afán de
priorizar todos los aspectos relacionados con la medida, hemos puesto de manifiesto y son, en
primer lugar, haber dado a la geometría un papel secundario que no se merece, olvidándonos
de aspectos geométricos como capacidad espacial, visualización, representaciones planas y en
definitiva de ese paso continuo de situaciones 2D a 3D y viceversa que debería conferir a la
Geometría un papel preponderante en el quehacer matemático de la enseñanza elemental. En
segundo lugar, el tratamiento metodológico dado a la medida olvidándonos de la magnitud,
creando las situaciones apropiadas que permitan por simple necesidad pasar de situaciones de
magnitud a situaciones de medida o incluso dejando de lado unidades de medida no conven-
cionales tan naturales como el folio o las baldosas para medir superficies.
Estos problemas, que hemos padecido e incluso hemos colaborado en crear, me han impul-
sado a hacer esta propuesta con los pentominós basada en otra propuesta más general (Arrieta,
López y Pardo, 1992). Análogamente se podría proponer otra análoga con el Tangram pero al
ser más conocido y tratado en muchos libros de texto, me he decantado por los pentominós
por ser un material menos tratado. De todas formas sería un ejercicio muy interesante trasla-
dar esta propuesta al Tangram u otro material análogo que nos permita trabajar la magnitud
superficie.
Estas reflexiones no deben impedir resaltar la importancia doble de la medida. Por un lado, la
necesidad de medir que hay en la vida real y por otro, por la confluencia de aspectos aritmé-
ticos, geométricos y de estrategias que hacen del tema de la medida nexo de unión entre los
distintos Bloques de contenido de Matemáticas. Pero muchos alumnos no distinguen clara-
mente expresiones tales como magnitud, cantidad de magnitud, unidad de medida, medida de
una magnitud,.... debido seguramente a que el tratamiento habitual ha partido de una exposi-
ción del Sistema Métrico Decimal y de la resolución de ejercicios mecánicos de aplicación.
Esto muchas veces ha llevado emparejado errores tales como el uso de unidades inadecuadas
y la obtención de resultados inverosímiles debido a la falta de hábitos de estimación.
(*) Profesor de Didáctica de la Matemática.U.P.V. Euskal Herriko Unibertsitatea.

De ahí que nuestro objetivo, con esta propuesta, es, trabajando la magnitud y haciendo prác-
ticas de estimación y medida, relacionar al alumno con el mundo físico para que pueda
enfrentarse a las situaciones problemáticas de medida de forma natural, espontánea y eficaz.
Para ello la propuesta que presentamos aborda el problema de la magnitud superficie desde
el enfoque dado por Dienes, es decir, abarcando todas las fases del proceso que propuso él.
LA PROPUESTA DE DIENES
Dienes (1977) presenta un esquema de trabajo para tratar cualquier magnitud en la escuela:
Seguiremos el proceso paso a paso, incidiendo en los siguientes aspectos:
• Trabajar la magnitud.
• Provocar la necesidad de medida, la necesidad de unidades convencionales y la nece-
sidad de mecanización (equivalencias).
• Crear hábitos de estimación.
Modesto Arrieta
Trabajar la Magnitud (1º estimar, 2º comprobar)
Ello permite: comparar, clasificar, componer y ordenar cantidades
de la magnitud tratada.
Prácticas de medida con unidades no convencionales.
(1º estimar, 2º medir)
Prácticas de medida con unidades convencionales.
(1º estimar, 2º medir)
Trabajar las unidades adecuadas.
Trabajar las equivalencias.
Aritmetización
crear la necesidad de medir
por imposibilidad de comparar
magnitudes en ciertos casos.
crear la necesidad de utilizar
unidades convencionales para
poder comparar.

CONSTRUCCION DE LOS PENTOMINÓS
Los pentominós son figuras cerradas formadas por cinco cuadrados.
Su forma se asemeja a las letras del alfabeto. Por eso los nombramos con una letra mayúscula.
Dibuja en la tabla adjunta los pentominós que faltan. ¿Cuántos hay en total?. Nómbralos.
Una vez que tengas todas las variantes posibles cálcalos sobre una cartulina rígida y recórta-
los. Obtendrás las piezas de un puzle que nos permitirá resolver las actividades propuestas a
continuación.
I U J Y

TRABAJANDO EL CONCEPTO DE MAGNITUD SUPERFICIE
1.- Completa los rectángulos adjuntos utilizando pentominós. (puedes repetir las figuras)
2.- ¿Se podría completar este rectángulo?
3.- Construye, con piezas del pentominó, una U cuatro veces mayor. Llámale C. Primero
dibuja la U cuatro veces mayor y después inténtalo encajar con las piezas del pento-
minó.
4.- A continuación se presenta un patrón con la J. Construye una cantidad de superficie
doble siguiendo el patrón.
5.- Clasifica los doce pentominós y las figuras A, B, C y D obtenidas antes por igualdad de
superficies. ¿Cuántas clases se obtienen?. Nómbralas.
6.- Ordena de menor a mayor cantidad de superficie las clases obtenidas anteriormente.
7.- Dibuja una cantidad de superficie formada por pentominós para colocarla entre los
puestos 1º y 2º.
8.- Si tomamos como unidad la clase de menor superficie, ¿cuánto mide cada una de las
figuras dibujadas hasta ahora? (los doce pentominós y las cuatro figuras derivadas A-B-
C-D de esta misma página).
9.- ¿Cómo se transformarán las medidas anteriores si elegimos una unidad tres veces más
pequeña?
10.- Estima la superficie de un folio utilizando ambas unidades.
11.- ¿Cuál es la unidad convencional más apropiada para medir las superficies de los pen-
tominós?
12.- Estima la medida de los pentominós y las figuras obtenidas en los ejercicios anteriores
con la unidad de medida propuesta en el ejercicio nº 11. A continuación, mídelos y
compara los resultados obtenidos.
A B
P
D
J
T
X
Modesto Arrieta

PRACTICAS DE ESTIMACIÓN Y MEDIDA
1.- En la figura adjunta (la W de los pentominós) elige una unidad no convencional que per-
mita una medida entera de las 4 regiones en que está dividida. ¿Cuánto mide cada uno de
los pentominós? ¿Existe más de una posibilidad?. Justifícalo.
2.- A continuación estima en cm2
la medida de las cuatro superficies. Comprueba y en su caso
rectifica.
3.- Estima la medida de las siguientes superficies. Si no es una medida entera limitar inferior
y superiormente.
Unidades arbitrarias (no convencionales) Unidades
convencionales
carta de la baraja DIN A4 dm2
Mesa de clase
Cinta de casete
DIN A4
Puerta del aula
Carta de la baraja
Cinta de video
Teclado de ordenador
DIN A3
Sobre de correos
4.- Compruébalo y haz otro cuadro análogo, corrigiendo en su caso los errores cometidos.
5.- Estima, utilizando en cada caso la unidad convencional más apropiada, las siguientes
superficies:
• Palma de la mano
• Esfera del reloj de pulsera
• Cancha de baloncesto.
• Diskete 3 1/2
• Un CD
• El balón de balonmano.
• Tu cama.
• La red de una pista de tenis.
• Una piscina olímpica.
6.- Cita tres ejemplos de actividades de la vida real en los que sea importante estimar medi-
das de superficie.
1
2
3 4

7.- Estima las superficies reales del aula: E: 1/60
JUSTIFICACION DEL AREA DE FIGURAS PLANAS
1.- Dibuja un rectángulo de lados 7 y 9 cm y cuadricúlalo en centímetros. Cuenta el número
de unidades de área (cm2
). Expresa su área en función de los lados. Generaliza para el caso
de lados a y b cm.
2.- Para hallar la fórmula del área de algunas figuras geométricas sencillas trabaja siguiendo
el cuadro siguiente:
Modesto Arrieta
FIGURA TRANSFORMACIÓN
FIGURA
TRANSFORMADA ÁREA
Cortar una esquina y
colocarla en otra
Paralelogramo Rectángulo A = Base x Altura = b x a
Adosar otro triángulo
igual
Triángulo Paralelogramo A = Base x Altura
2
Cortar por la mitad y
recolocar
Rombo Paralelogramo
A =
D · d
2
Descomponer en 2
triángulos
Trapecio Suma de 2 triángulos
A1 = B·h
2
A2 = b·h
2
A = A1 + A2 = B+b · h
2
A1 = l·a
2
A = 5 l ·a
2
A =
B + b
· h
2
Descomp. en triángulosPentágono regular Suma de 5 triángulos A = Semiperímetro x apotema
Descomp. en triángulosHexágono regular Suma de 6 triángulos A = Semiperímetro x apotema
h
b
d
D
b
h
B
b
h
B
a
a
a
l
l
l a
l
d
D/2
➝
A1 = l·a
2
A = 6 l ·a
2➝

3.- Observa las dos últimas filas del cuadro anterior. A medida que aumente el número de
lados el polígono se irá aproximando cada vez más a una circunferencia. Si el polígono
tiene un número elevado de lados su área se aproxima al área del círculo:
Area del círculo = semiperímetro x apotema = · r = ␲·r·r = ␲·r2
4.- Obtén el área de estas dos figuras descomponiendo en polígonos o utilizando papel milimetrado.
5.- Halla el área de las siguientes figuras: (toma las medidas necesarias).
INTERIORIZANDO UNIDADES
1.- Dibuja en la pizarra un cuadrado de 1 dm2
de área. Estima la superficie de la pizarra en
dm2
. Recorta en papel un cuadrado de 1dm2
. Comprueba y, en su caso, rectifica.
2.- Dibuja en la pizarra un cuadrado de 1 m2
de área. Estima la superficie de la pizarra en m2
.
Recorta, en papel de embalar o juntando hojas de periódico, un cuadrado de 1 m2
.
Comprueba y, en su caso, rectifica.
3.- ¿Cuántos cuadrados de 1 dm2
son necesarios para cubrir el cuadrado de 1m2
.
4.- El cuadrado de 1dm2
cúbrelo con cuadrados de 1cm2
. ¿Cuántos se necesitan para cubrirlo?,
y ¿para cubrir el de 1 m2
?.
2␲r
2

5.- Completa la tabla de equivalencias:
1 m2
= .......... dm2
1 m2
= .......... cm2
1 dm2
= ......... cm2
1 m2
= .......... mm2
1 cm2
= .......... mm2
1 dm2
= ......... mm2
6.- Haz una plantilla de papel centimetrado y otra de papel decimetrado.
7.- Haz un dibujo de tu mano marcando el entorno sobre un folio. Estima en cm2
su área.
Compruébalo con el papel centimetrado.
8.- Coloca sobre un papel los dos pies juntos (con zapatos). Dibuja su perfil. Estima su área
en dm2
. Afina un poco más y estímalo en cm2
. Compruébalo con las plantillas centime-
trada y decimetrada.
9.- Busca en tu cuerpo tres referencias para la unidad de 1 dm2
y otras tres para 1 cm2
.
10.- Busca tres objetos de tu entorno que te sirvan también de referencia para 1 dm2
.
BIBLIOGRAFIA
Arrieta, M., López, G. y Pardo, E. (1992). “La Didáctica de la Matemática en la
Formación Inicial del Profesorado. Una propuesta”. Revista de Enseñanza Universitaria,
2-3, 103-112. Investigación en la Escuela, 18, 107-114.
Averbuj, E. (1981). “Para medir, aparatos y métodos”. Barcelona: Laia.
Balzola, P. (1917). “Tablas de correspondencia de todas las pesas y medidas de
Gipuzkoa”. San Sebastián: Diputación provincial.
Dienes, Z.P. (1977). “Exploración del espacio y práctica de la medida”. Barcelona: Teide.
Chamorro,C. y otro (1988) . “El problema de la medida”. Madrid: Síntesis.
Gete-Alonso,J.C. y otro (1989). “Medida y realidad”. Madrid: Alhambra.
del Olmo, M.A. y otros (1989). “Superficie y Volumen”. Madrid: Síntesis.
Kula; W. (1980). “Las medidas y los hombres”. Madrid: Siglo XXI.
Museu de la Ciencia (1981). “Pesos, mides i mesures”. Barcelona: Obra Social Caixa
Pensions.
Segovia, I. y otros (1989). “Estimación en cálculo y medida”. Madrid: Síntesis.
Modesto Arrieta

Oinarrizko eragiketa matematikoen hitzezko adierazpidea
OINARRIZKO ERAGIKETA MATEMATIKOEN
HITZEZKO ADIERAZPIDEA
Martxel Ensunza, Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila, EHU
Jose Ramon Etxebarria, Fisika Saila, UEU
Jazinto Iturbe, Kimika Fisikoa Saila, EHU
Laburpena:
Artikulu honetan era praktikoan azaltzen dira oinarrizko eragiketa matematikoen hi-
tzezko irakurbiderako esamoldeak. Irakaskuntza arautua duten hizkuntzen kasuan, esa-
molde horiek guztiz normalizaturik daude. Baina oraindik irakaskuntza arautuan bide
laburra egin duten hizkuntzetan, ahalegin handiak egin dira forma erabat normalizatuak
lortzeko. Euskararen kasua horrelakoa izanik, artikulu honetan normalizaziorako bidean
nahikoa finkaturik dauden esamoldeak aurkezten dira. Hain zuzen, oinarrizko eragiketa
bakoitzari dagokionez, honako puntu hauek landu dira: eragiketa adierazteko ikurren
izenak eta esamoldeak, eragiketako elementuen izenak, eta eragiketaren adierazpide
mintzatua edo irakurbidea. Azalpena osatzeko, kasuan kasuko adibideak ere aurkeztu
dira. Artikuluaren bigarren atalean polinomien arteko eragiketak azaldu dira, horien
kasurako egokiak diren irakurbideei buruzko adibideak adieraziz.
Resumen:
En este artículo se explican de forma práctica las pautas para la lectura de las operacio-
nes fundamentales. Las forma linguísticas utilizadas están totalmente normalizadas en
los idiomas con tradición de enseñanza reglada. Pero en las lenguas recientemente lle-
gadas a ese tipo de enseñanza, se han llevado a cabo esfuerzos notables para conseguir
las formas normalizadas correspondientes. Siendo ese el caso del euskara, en este artí-
culo se presentan algunas formas que se consideran actualmente totalmente estableci-
das para la normalización. Así pues, en referencia a cada una de las operaciones fun-
damentales, se presentan los siguientes puntos normativos: nombres y frases para expre-
sar los símbolos de la operación, nombres de los elementos, y expresiones habladas y
lectura de las operaciones. Para completar la exposición, se presentan ejemplos corres-
pondientes a cada operación. En un segundo apartado se explican las operaciones fun-
damentales entre polinomios, poniendo ejemplos de lectura de los mismos.
Mota desberdinetako eragiketa matematikoak daude, ikasgelan behin eta berriro burutu-
-beharrekoak. Tradizionalki eskolan ikasi ditugu guk eragiketa horiek adierazteko behar-
beharrezkoak diren esamoldeak; baina euskaraz dihardugun irakasle gehienok, gaztela-
niaz —edo frantsesez— ikasi ditugu forma horiek. Horrexegatik gutariko askok ez dugu
ohiturarik euskaraz egiteko. Izan ere, euskaraz ohitura hori landu gabe egon da; alegia, ez
zenbakiak ez eta eragiketak ere ez dira normaltasunez euskaraz landu eskolan, azken
urteotara iritsi arte, alegia, euskarazko irakaskuntza normaldu arte.
Gure artean, ohitura hori azken hogeita bost/hamar urteotan landu da, Euskaltzaindiak bere
lehenengo arauak ematen hasi zenetik hona, eta lehentxoagotik ere. Horretan hiru liburu aipa-
tuko ditugu, lehenengoa abiapuntu modura —zenbait bide irekita utzi baitzuen— eta biga-
rrena praktikotasunari begira lehenengo oinarri modura. Hain zuzen, artikulu honetan landuko
ditugun esamolde gehienak liburu hauetatik hartuak dira:

• Euskaltzaindia, (1975): Zortzi urte arteko Ikastola Hiztegia, (separata), EUSKARA XXX,
Donostia.
• Zalbide, M. (1978): Matematika. Hiztegia, hizkera, irakurbideak, Jakin-UZEI, Zarautz.
• Ensunza, M. (1983): Alfabetatze Zientifikoa. Zenbakiak / unitateak / irakurketa / eragi-
ketak /esamoldeak, UEU, Iruñea. [Liburu honek hiru argitalpen izan ditu, UEUn bertan
(1984 eta 1987. urteetan beste biak)].
Berriki, artikulu honen egileetako batek (M. E.) gai hori zabalago landu du bere doktorego-
-tesian, eta horrek bidea eman digu hona ekartzeko. Hortaz, diogun ezen kasu guztietan tesi-
-lan horretan emandako arauak izango ditugula kontuan, gaur eguneko idazkera estandarra
erabiliz, nahiz eta, hizkuntzari dagokionez, hizkuntza tekniko-zientifikoaren eremuan sartuko
garen erabat, zenbait kasutan hizkuntza arrunt estandarreko egiturak eta joskerak gaindituz.
Hain zuzen, artikulu honetan eskolarako “eredu tekniko-zientifiko estandarra” azalduko dugu.
Aztertuko ditugun eragiketak honako hauek dira: batetik, oinarrizko eragiketak (batuketa,
kenketa, biderketa eta zatiketa) eta bestetik, Batxilergoan eta Derrigorrezko Bigarren
Hezkuntzan behin eta berriro agertzen diren bestelako eragiketa batzuk (berreketa, erroketa
eta logaritmoen erabilera). Kasu bakoitzean honako elementuak aztertuko ditugu: ikurrak eta
esamoldeak, eragiketako elementuen izenak (eragigaiak, emaitza…), eragiketen adierazpide
mintzatua edo irakurbidea (alegia, arbelean gabiltzanean, hitzez adieraztean edo eragiketak
diktatzean darabilguna) eta, azkenik, adibideak.
Besterik gabe, hona hemen banan banan.
1. BATUKETA
Aditza: batu
zeinua: gehi / eta zeinua: berdin
a + b = c
eragileak (edo eragigaiak):
batugaia batugaia emaitza: batura
Irakurbidea: a gehi b berdin c
3 + 2 = 5
hiru gehi bi berdin bost
Adibidea:
ehunekoak
hamarrekoak
batekoak
4 7 5
+ 2 6 8
7 4 3
Martxel Ensunza, Jose Ramon Etxebarria, Jazinto Iturbe

Adibideko irakurbidea:
a) Batekoen batuketa: bost gehi (/ eta) zortzi (berdin) hamahiru; hiru, bururako bat.
b) Hamarrekoen batuketa: buruko bat gehi (/ eta) zazpi (berdin) zortzi, gehi (/ eta) sei
(berdin) hamalau; lau, bururako bat.
c) Ehunekoen batuketa: buruko bat gehi lau berdin bost, gehi bi berdin zazpi.
2. KENKETA
Aditza: kendu
zeinua: ken zeinua: berdin
a – b = c
kenkizuna kentzailea emaitza: kendura
Irakurbidea: a ken b berdin c
3 – 2 = 1
hiru ken bi berdin bat
– Zenbaki positibo eta negatiboekin:
+
5 – 2 = 3 edo 5 – (+2) = 3
bost ken plus bi berdin hiru
–
6 – 4 = 10 edo 6 – (–4) = 10
sei ken minus lau berdin hamar
Adibidea:
milakoak
ehunekoak
hamarrekoak
batekoak
1 6 2 9
_ 8 4 3
7 8 6
Irakurbidea:
a) Batekoen kenketa: bederatzi ken hiru (berdin) sei; sei.
b) Hamarrekoen kenketa: bi ken lau ezin da; hamabi ken lau (berdin) zortzi; zortzi, (eta)
bururako bat.

c) Ehunekoen kenketa: sei ken buruko bat (berdin) bost; hamabost ken zortzi (berdin)
zazpi; zazpi, eta bururako bat.
d) Milakoen kenketa: bat ken buruko bat (berdin) zero.
Nolanahi den, beste era honetara ere egin daiteke, gaztelaniazko ohitura kontuan edukiz. Guk
geuk ez dugu erabakirik hartu kasu honi dagokionez, eta irakurbide biak jo ditugu ontzat.
a) Batekoen kenketa: hirutik bederatzira, sei; sei.
b) Hamarrekoen kenketa: lautik bira ezin da; lautik hamabira, zortzi; zortzi, bururako bat.
c) Ehunekoen kenketa: buruko bat eta zortzi, bederatzi; bederatzitik hamaseira, zazpi;
zazpi, bururako bat.
d) Milakoen kenketa: buruko bat; batetik batera, zero (ez dut ezer idazten).
3. BIDERKETA
Aditza: biderkatu (hemen ez da #bidertu erabiltzen)
zeinua: bider (baita ere ×) zeinua: berdin
a · b = c
biderkakizuna biderkatzailea emaitza: biderkadura
maila bereko eragigaiak: biderkagaiak, faktoreak
Irakurbidea: a bider b berdin c
Adibidea:
4 5 3
x 2 6 1
4 5 3 ’ batekoaren biderkadura partziala
2 7 1 8 ’ hamarrekoaren biderkadura partziala
9 0 6 ’ ehunekoaren biderkadura partziala
1 1 8 2 3 3
Irakurbidea:
a) Batekoaren biderkadura partziala: bat bider hiru berdin hiru; bat bider bost berdin bost;
bat bider lau berdin lau.
b) Hamarrekoaren biderkadura partziala: sei bider hiru berdin hamazortzi, zortzi, buru-
rako bat; sei bider bost hogeita hamar, gehi buruko bat, hogeita hamaika, bat, buru-
rako hiru; sei bider lau berdin hogeita lau, gehi buruko hiru, hogeita zazpi.
c) Ehunekoaren biderkadura partziala: bi bider hiru berdin sei; bi bider bost berdin
hamar, zero, bururako bat; bi bider lau berdin zortzi, gehi buruko bat, bederatzi.

d) Biderkadura partzialen batura: hiru; bost gehi zortzi berdin hamahiru, hiru, bururako
bat; buruko bat gehi lau berdin bost, gehi bat berdin sei, gehi sei berdin hamabi, bi,
bururako bat; buruko bat gehi zazpi berdin zortzi; bi gehi bederatzi berdin hamaika.
4. ZATIKETA
Aditza: zatitu
zeinua: zati zeinua: berdin
a : b = c
zatikizuna zatitzailea emaitza: zatidura
eragigaiak
Irakurbidea: a zati b berdin c
Zatikiak: zenbakitzailea
a
b
izendatzailea / zatitzailea
Zenbait erabilpen berezi:
izendatzaile komuna: ‘denominador común’
zatitzaile komunetan handiena (z.k.h. / zkh): ‘máximo común divisor’
izendatzaile komunetan txikiena (i.k.t. / ikt): ‘mínimo común denominador’
multiplo komunetan txikiena (m.k.t. / mkt): ‘mínimo común múltiplo’
Adibidea:
5 6 7 8 1 6
0 8 7 3 5 4
0 7 8
1 4
hondarra
Irakurbidea:
a) Lehenik bi zifra hartuko ditut; berrogeita hamasei zati hamasei, hiru; hiru bider sei ber-
din hamazortzi; hamazortzitik hogeita seira, zortzi, eta bururako bi; hiru bider bat hiru,
buruko bi eta hiru bost, bostetik bostera zero.
b) Jaitsi hurrengo zifra, zazpia; laurogeita zazpi zati hamasei, bost; bost bider sei berdin
hogeita hamar; hogeita hamarretik hogeita hamazazpira, zazpi, eta bururako hiru; bost
bider bat bost; bost eta buruko hiru berdin zortzi; zortzitik zortzira, zero.
c) Jaitsi hurrengo zifra, zortzia; hirurogeita hamazortzi zati hamasei, lau; lau bider sei ber-
din hogeita lau; hogeita lautik hogeita zortzira, lau, eta bururako bi; lau bider bat ber-
din lau, eta buruko bi berdin sei; seitik zazpira bat.

d) Amaitu da zatiketa. Zatidura hirurehun eta berrogeita hamalau; baina zatidura ez da
zehatza; hondarrak hamalau balio du.
5. BERREKETA
Aditza: berretu
Ez dago zeinu berezirik, eragigaien posizioa baizik
berretzailea zeinua: berdin
ab
= c
berrekizuna emaitza: berretura
Irakurbidea: a ber b berdin c
Euskaltzaindiak definizio hau eman du bere hiztegi batuan:
berretu, berret(u), berretzen. du ad. 1 Zah. ‘emendatu, gehitu’. 2 Mat.: ‘zenbaki bat
(berrekizuna) beste zenbaki batek (berretzaileak) adierazten duen adina aldiz bere burua-
rekin biderkatu’.
Adibideak:
a2
a ber bi / a karratu
a3
a ber hiru / a kubo
5 · 104
bost bider hamar ber lau
7 · 10–7
zazpi bider hamar ber minus zazpi
6. ERROKETA
Aditza: erroak lortu, erroak atera, errotu
errotzailea zeinua: berdin
zeinua: erro
b
√a = c
errokizuna emaitza: erroa / errodura
Irakurbidea: b-erro a berdin c
Adibideak:
2
√16 = 4 bi-erro hamasei berdin lau / erro karratu hamasei berdin lau / erro hamasei berdin
lau
3
√27 = 3 hiru-erro hogeita zazpi berdin hiru / erro kubiko hogeita zazpi berdin hiru

7. LOGARITMOAK
loga b = x
oinarria
b = ax
Irakurbidea: logaritmo a-oinarrian b berdin x (hots, b berdin a ber x)
Adibideak:
Mota desberdineko oinarriak, mota desberdineko logaritmoak. Mota nagusiak:
a = 10 logaritmo hamartarrak x = log10 b
a = e logaritmo nepertarrak x = loge b = ln b = L b
Oharra: Matematikan eta Fisikan, askotan, “log” hutsa idaztean logaritmo nepertarra adierazi
ohi da. Informatikan eta Informazioaren Teorian logaritmo bitarra adierazi ohi da era
horretan.
8. POLINOMIOEN ARTEKO OINARRIZKO ERAGIKETA MATEMATIKOAK
Polinomioen arteko eragiketa matematikoak zenbakiekin arteko eragiketen era berean irakur-
tzen dira. Desberdintasun bakarra hauxe da: unitateak, hamarrekoak, ehunekoak... erabili
beharrean, maila(1)
desberdineko monomioak kontsideratu behar dira. Horrela, eragiketak
monomioka ordenatuz, gainerako eragiketak zenbakien artekoenak bezalakoak dira. Adibide
modura, lau oinarrizko eragiketen kasu batzuk aurkeztuko ditugu:
8.1. Polinomioen arteko batuketa
Egin dezagun ondoko bi polinomioen batuketa:
P1(x) = 4 x5
+ 2 x3
+ x2
+ 3 x
P2(x) = 13 x5
+ x4
+ 9 x3
+ 3 x2
+ 5
Era honetan antolatuko dugu batuketa:
4 x5
+ 2 x3
+ x2
+ 3 x
+
13 x5
+ x4
+ 9 x3
+ 3 x2
+ 5
17 x5
+ x4
+ 11 x3
+ 4 x2
+ 3 x + 5
Irakurbidea:
a) Zenbakizko gaien (zerogarren mailako gaien) batuketa partziala: (zero gehi bost ber-
din) bost.
b) Lehen mailako monomioen batuketa partziala: ixa duten gaien batura: hiru ixa.
c) Bigarren mailako monomioen batuketa partziala: x2
duten gaien batura: bat gehi hiru,
berdin lau, lau ixa karratu; lau ixa ber bi, edo ixa ber bi gehi hiru ixa ber bi berdin lau
ixa ber bi, edo ixa karratu gehi hiru ixa karratu berdin lau ixa karratu.

d) Hirugarren mailako monomioen batuketa partziala: bi gehi bederatzi, berdin hamaika,
hamaika ixa kubo, edo bi ixa ber hiru gehi bederatzi ixa ber hiru, berdin hamaika ixa
ber hiru, edo bi ixa kubo gehi bederatzi ixa kubo, berdin hamaika ixa kubo.
e) Laugarren mailako monomioen batuketa partziala: ixa ber lau.
f) Bosgarren mailako monomioen batuketa partziala: lau gehi hamahiru berdin hama-
zazpi, hamazazpi ixa ber bost, edo lau ixa ber bost gehi hamahiru ixa ber bost, berdin
hamazazpi ixa ber bost.
8.2. Polinomioen arteko kenketa
Egin dezagun ondoko bi polinomioen arteko kenketa:
P1(x) = 8 x4
– x3
+ 2 x2
+ 5 x – 1
P2(x) = 3 x4
– 4 x3
+ 2 x2
+ 7x – 9
Era honetan antolatuko dugu kenketa:
8 x4
– x3
+ 2 x2
+ 5 x – 1
–
3 x4
– 4 x3
+ 2 x2
+ 7 x – 9
5 x4
+ 3 x3
/ – 2 x + 8
Irakurbidea:
a) Zenbakizko gaien (zerogarren mailako gaien) kenketa partziala: minus bat ken minus
bederatzi, berdin plus zortzi.
b) Lehen mailako monomioen kenketa partziala: bost ixa ken zazpi ixa, berdin minus bi ixa.
c) Bigarren mailako monomioen kenketa partziala: bi ixa karratu ken bi ixa karratu, ber-
din zero.
d) Hirugarren mailako monomioen kenketa partziala: minus ixa kubo ken minus lau ixa
kubo, berdin plus hiru ixa kubo.
e) Laugarren mailako monomioen kenketa partziala: zortzi ixa ber lau ken hiru ixa ber
lau, berdin bost ixa ber lau.
8.3. Polinomioen arteko biderketa
Egin dezagun ondoko bi polinomioen arteko biderketa:
P1(x) = x3
– 2 x2
P2(x) = x + 3
Era honetan antolatuko dugu biderketa:
x3
– 2 x2
×
x + 3
3 x3
– 6 x2
’ zenbakizko gaiaren biderkadura partziala
x4
– 2 x3
’ lehen mailako gaiaren biderkadura partziala
x4
+ x3
– 6 x2
Irakurbidea:
a) Zenbakizko gaiaren biderkadura partziala:
• hiru bider minus bi ixa karratu, berdin minus sei ixa karratu.
• hiru bider ixa kubo, berdin hiru ixa kubo.

b) Lehen mailako gaiaren biderkadura partziala:
• ixa bider minus bi ixa karratu, berdin minus bi ixa kubo.
• ixa bider ixa kubo, berdin ixa ber lau.
c) Biderkadura partzialen batuketa:
• bigarren mailako gaien batuketa: minus sei ixa karratu.
• hirugarren mailako gaien batuketa: hiru ixa kubo gehi minus bi ixa kubo, berdin
ixa kubo.
• laugarren mailako gaien batuketa: ixa ber lau.
8.4. Polinomioen arteko zatiketa
Egin dezagun ondoko bi polinomioen arteko zatiketa:
P1(x) = x2
+ 4 x + 5
P2(x) = x + 1
Era honetan antolatuko dugu zatiketa:
x2
+ 4 x + 5 x + 1
–
x2
+ x x + 3
0 + 3 x + 5
–
3 x + 3
0 + 2
Irakurbidea:
a) Bigarren mailako gaiaren zatiketa: ixa karratu zati ixa, berdin ixa.
• ixa bider ixa, berdin ixa karratu.
• ixa bider bat, berdin ixa.
• Kenketa eginez:
– lau ixa ken ixa, berdin hiru ixa.
– ixa karratu ken ixa karratu, berdin zero.
• 5 zenbakia jaitsi.
b) Lehen mailako gaiaren zatiketa: hiru ixa zati ixa berdin hiru
• hiru bider ixa, berdin hiru ixa.
• hiru bider bat, berdin hiru.
• Kenketa eginez:
– bost ken hiru, berdin bi.
– hiru ixa ken hiru ixa, berdin zero.
c) Zatidura (x + 3) da eta hondarra, 2
NOTAS
(1) UZEIren Matematika Hiztegian “maila” hitza hobetsi zen kontzeptu hori adierazteko, alegia polinomioen kasurako, eta guk ere
horixe hobetsi dugu. Dena den, oso zabalduta dago, halaber, “gradu” hitzaren erabilera.

SONETO PARA ELEGIR UN NÚMERO
Un número debo elegir, del cero al nueve.
De buenas a primeras, quito el cero.
El uno no me gusta : ¡Es tan austero!
El dos, nombra doblez. Mi ser no mueve.
El tres, su trinidad, a Dios me lleve.
El cuatro, quiere jugar al esquinero.
El cinco, nombra suerte. Es traicionero.
El seis, ni fu ni fa. No me conmueve.
El siete, en juventud, me hizo buen trato.
El ocho, dobla el cero con ahínco.
El nueve, al final, veo prolijo.
El cero, el uno, el dos, el tres, el cuatro...
El nueve, el ocho, el siete, el seis, el cinco...
El siete, entre los diez, es el que elijo.
Fede Bilbao (Algorta. Bizkaia)

Lapizarraelectrónica/Arbelaelektronikoa

Visualización con Mathematica
VISUALIZACIÓN CON MATHEMATICA
Fernando Castañeda (*)
1. INTRODUCCIÓN
Un buen amigo me ha hecho ver en numerosas ocasiones que cuando los periódicos dan noti-
cias relativas a incendios de bosques la superficie quemada es tan grande como la provincia
completa, a veces se quema el país entero. Seguro que usted, amable lector, también ha tenido
experiencias parecidas. El año 2002 se ha producido un fenómeno similar al tener que utilizar
los periodistas el euro para dar las noticias relacionadas con los presupuestos. Las cantidades
que citaban eran en muchas ocasiones totalmente exageradas. Quienes así escriben sobre la
superficie quemada en un incendio o hablan sobre el coste de una determinada carretera no
se han parado un segundo a pensar lo que de verdad están diciendo.
Las matemáticas deben servir además de para torturar (falsa idea muy generalizada) a los estu-
diantes, para enseñar y aprender a ser críticos con nuestros propios comentarios: el área de
una figura plana no puede ser negativa, una cúbica no tiene puntos picudos, ... En las siguien-
tes líneas, usando fundamentalmente la visualización trataré de indicar como pueden intentar
obviarse algunos problemas como los señalados cuando se considera el problema de la repre-
sentación gráfica de funciones. Para ello haré uso de una herramienta muy interesante que ya
es conocida por los profesores y está disponible en los centros de enseñanza como es el pro-
grama Mathematica. El interés que estas ideas pudieran tener se pone de manifiesto con toda
seguridad de forma mucho más clara en un laboratorio de informática-matemática viviendo lo
que aquí, en las siguientes lineas, sólo se puede escribir.
2. FUNCIONES ELEMENTALES
En primer lugar se deben presentar las gráficas de las funciones elementales a partir de las cua-
les se irán construyendo mediante distintas manipulaciones todas las que pueden aparecer en
este nivel.
2.1. Funciones polinómicas
Son funciones definidas por f (x) = an x n
+ an-1 x n -1
+ · · · + a1 x + a0 , an 0 siendo todos los
ak números reales. El grado del polinomio es n y el dominio de cualquier función polinómica
es todo R.
La gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta, por lo que para su repre-
sentación bastará considerar dos puntos distintos y unirlos con cuidado (a veces se ven rec-
tas torcidas). La de una función polinómica de segundo grado es una parábola y en conse-
cuencia sus elementos determinantes son el eje de la parábola y el extremo (máximo o
mínimo). Una forma sencilla de dibujar parábolas puede ser la siguiente: para representar la
gráfica de f (x) = x2
– 2x – 2 podemos escribir x2
– 2x – 2 = (x - 1)2
– 3, luego la parábola que
buscamos tiene eje de simetría x = 1, mira hacia arriba (coeficiente de x2
positivo), tiene un
mínimo en el punto (1,-3) y, por lo tanto, es una de las que aparecen en la Figura 1.
(*) Profesor de la Universidad del País Vasco. Euskal Herriko Unibertsitatea.

Figura 1: Gráficas de varias parábolas
El valor de la función en cero, o en otro punto, determina finalmente cual de ellas es (Figura 2).
Figura 2: Gráfica de la parábola y = x 2
– 2x – 2
Lo que se ha hecho en este caso se puede hacer también para la representación de cualquier
función polinómica de segundo grado.
La representación gráfica de la función y = ax 2
+ bx + c, a 0, se puede obtener a partir de
la gráfica de y = x 2
, mediante las transformaciones siguientes:
Cualesquiera que sean los coeficientes a 0, b y c, podemos escribir:
Por lo tanto, para llegar a la representación gráfica de la función ax 2
+ bx + c, a partir de la
de x 2
, necesitamos hacer el siguiente tipo de transformaciones:
1: Pasar de x 2
a (x + ␣)2
, para un número ␣ positivo o negativo.
2: Pasar de (x + ␣)2
a (x + ␣)2
+ ␤, para un número ␤ positivo o negativo.
3: Pasar de (x + ␣)2
+ ␤ a ␥ ((x + ␣)2
+ ␤), para un número ␥ positivo (␥ > 1 ó 0 < ␥ < 1)
o negativo (␥ < –1 ó –1 < ␥ < 0).
En el caso que hemos considerado, el polinomio x2
- 2x - 2 se puede escribir en la forma
(x – 1)2
– 3, por lo que su representación gráfica (ver Figura 3) se obtiene a partir de la gráfica
de x 2
, pasando por la de (x-1)2
(se traslada el dibujo una unidad hacia la derecha), para fina-
lizar con la de (x-1)2
-3 (se traslada el dibujo tres unidades hacia abajo).
Figura 3: Gráficas de y = x 2
, y = (x –1)2
e y = (x –1)2
-3
SIGMA Nº 22 fi SIGMA zk. 2256
Fernando Castañeda
4
2
-2
-1 1 2 3
4
2
-2
-1 1 2 3

La gráfica de una cúbica, polinomio de tercer grado, es siempre como una de las que apare-
cen en la Figura 4.
Figura 4: Gráficas de varias cúbicas
Por lo tanto, para hacer su representación bastará con localizar sus elementos esenciales que,
a la vista de la Figura 4 son: el coeficiente de x 3
(determina si es como las dos primeras o
como las dos últimas), los cortes con los ejes, los extremos: un máximo y un mínimo (si los
tiene será como la primera o la cuarta; en otro caso como la segunda o la tercera), y el punto
de inflexión.
Un ejercicio interesante puede ser estudiar los efectos que en la gráfica de una función poli-
nómica, por ejemplo en una cúbica, produce el cambio de uno de sus coeficientes.
Figura 5: Gráficas de y = x 3
– (2 + a) x 2
– x + 2 para distintos valores de a
Para representar funciones polinómicas de grados superiores se pueden utilizar métodos similares.
2.2. Funciones racionales
Son el cociente de dos funciones polinómicas. La función racional más sencilla es la función
1/x, es decir, la función de proporcionalidad inversa.
Figura 6: Gráfica de la función de proporcionalidad inversa
A partir de la gráfica anterior se puede obtener la gráfica de una función racional que sea el
cociente de dos polinomios de primer grado, mediante transformaciones elementales de forma
muy sencilla. La gráfica de la función

se obtiene a partir de la y = 1/x pasando por y = 1/(x + d/c) (es decir la asíntota vertical se des-
plaza), luego multiplicando por la constante (b/a) – (d/c), después se le suma una unidad y
finalmente se multiplica por la constante a/c.
En el dibujo siguiente aparecen la gráfica de una función racional, cociente de dos polinomios
de primer grado obtenida de esta forma
Figura 7: Gráfica de una función racional
La representación de funciones racionales del tipo 1/(ax 2
+ bx + c) se puede hacer, según sean
las raíces del denominador, sumando dos más sencillas. Si, por ejemplo, el denominador tiene
dos raíces reales ␣ y ␤ distintas, entonces
con lo que su gráfica se obtiene sumando las gráficas de y = 1/(x – ␣) e y = –1/(x – ␤), para
terminar multiplicando el resultado por la constante 1/(a(␣ – ␤)). La gráfica de la función
está obtenida utilizando este procedimiento. Las dos asíntotas, x = 1 y x = 2, son un dato
importante para la realización del dibujo.
Figura 8: Gráfica de una función racional con dos asíntotas verticales
Fernando Castañeda

También es posible la utilización de estos métodos para la representación de otras funciones
racionales.
En el caso general, los elementos esenciales en la representación gráfica de las funciones
racionales son: los cortes con los ejes, las asíntotas (verticales, horizontales e inclinadas), los
extremos (crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión (concavidad).
2.3. Funciones radicales
Partimos de la más sencilla de todas, la función y = √x y dado que esta es la inversa de
y = x 2
, su gráfica es su simétrica con respecto a la recta y = x (ver Figura 9).
Figura 9: Gráfica de la función y = √x (junto con las de y = x 2
e y = x)
Se pueden considerar otras funciones radicales. Puesto que una función radical y = √g(x) es la
compuesta de las funciones y = √t y t = g(x), se puede obtener su gráfica a partir de las de
éstas.
Para estas funciones radicales, resulta esencial determinar los conjuntos de puntos donde el
radicando mantiene el signo positivo, para que la función esté definida. En el dibujo de la
Figura 10 se ha utilizado este método para representar y = √p(x), con p(x) un polinomio de
segundo grado, por lo que la función no está definida allí donde el polinomio p(x) es nega-
tivo. En este caso, para todos los valores de x pertenecientes al intervalo (1, 2).
Figura 10: Gráfica de la función raíz cuadrada de un polinomio de grado dos
También se puede ir un poco más lejos en la utilización de estos métodos y plantear la repre-
sentación de funciones radicales donde el radicando sea, por ejemplo, un polinomio de grado
3 o superior, o incluso una función racional sencilla (cociente de dos polinomios de primer
grado) u otras funciones elementales.
2
1
1 2 3

Otras funciones radicales de interés son las funciones y =
n
√ x, para n = 3, 4, 5, . . . . Para n
par estas funciones tienen como dominio la semirrecta positiva y para n impar toda la recta.
En el dibujo siguiente (Figura 11) se representa y =
n
√ x, para distintos valores de n y x ≥ 0,
junto con las funciones y = x n
, para los mismos valores de n.
Figura 11: Diversas funciones potenciales y radicales
En este dibujo se observa, además de la simetría, que, para x = a fijo, los sucesivos valores de
n
√ a son cada vez más grandes si 0 < a < 1 y se van aproximando a 1 cuando n crece indefi-
nidamente; si 1 < a, son cada vez menores y también se acercan a 1.
Si tomamos dos gráficas distintas, es decir, n y m distintos con n < m, resulta que, si 0 < a < 1,
entonces
n
√ a <
mn
√ a, y si 1 < a, entonces
n
√ a >
mn
√ a,.
2.4. Funciones trigonométricas
Son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente y sus inversas. Una característica esen-
cial de estas funciones es la periodicidad. También son importantes las posibles simetrías. En
los siguientes dibujos (Figuras 12 y 13) se representan las gráficas de las funciones y = sin x,
y = cos x, y = tan x e y = cot x, y se pueden observar sus correspondientes períodos; por lo
tanto, estos dibujos se repiten a lo largo de la recta teniendo en cuenta que las funciones
y = sin x e y = cos x son 2π-periódicas y que las funciones y = tan x e y = cot x son π-periódicas.
Figura 12: Gráficas de las funciones seno y coseno
Un dato notable en el caso de las funciones tan x y cot x es que aparecen las asíntotas vertica-
les, x = π/2, x = -π/2 para la tangente, y x = 0 y x = π para la cotangente, que, como es lógico,
también se repiten a lo largo del eje de abscisas, dada la periodicidad de las funciones.
Fernando Castañeda
1
-1
-2␲ -␲ ␲ 2␲
-2␲
-␲ ␲
2␲

Figura 13: Gráficas de las funciones tangente y cotangente
La representación gráfica de otras funciones trigonométricas se puede obtener a partir del
conocimiento de las gráficas anteriores mediante sencillas transformaciones. La gráfica de la
función y = sin (x - a) se obtiene desplazando hacia la derecha a unidades la gráfica del sin x
(Figura 14).
Figura14: Gráficas de la función y = sin (x – a) para distintos valores de a positivos
En el dibujo siguiente se representan las funciones inversas arcsin x, arccos x y arctan x. Como
se observa, las gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de las fun-
ciones sin x, cos x y tan x.
Figura 15: Gráficas de funciones trigonométricas inversas
2.5. Funciones exponenciales y logarítmicas
Estas funciones se pueden estudiar conjuntamente teniendo en cuenta que unas son las inver-
sas de las otras. Las exponenciales y = ax
(a = 1) están definidas en toda la recta. En el siguiente
dibujo (Figura 16) están representadas diversas funciones exponenciales, para bases a mayo-
res o menores que 1, y quedan reflejadas algunas de sus propiedades principales. Las funcio-
nes exponenciales son siempre positivas y en x = 0 valen todas ellas 1. El crecimiento o decre-
cimiento de las mismas (dependiendo de si la base es mayor o menor que 1), el valor de los
límites de las funciones, cuando x tiende a -∞ o a +∞ permiten completar las gráficas.
1
-1
2␲␲

Figura 16: Gráficas de funciones exponenciales, para distintos valores de la base
Para las funciones logarítmicas escribimos logx para los logaritmos decimales, es decir, de
base 10, lnx para los logaritmos neperianos, luego de base e y loga x para los logaritmos de
base a 1 en los demás casos.
Las representaciones gráficas de las logarítmicas, cuyo dominio es la semirrecta (0,+∞), se
pueden obtener a partir de las de las exponenciales, dado que son sus inversas, y por lo tanto
sus gráficas son simétricas, respecto de la recta y = x, de las gráficas de aquéllas.
Figura 17: Gráficas de funciones logarítmicas, para distintos valores de la base
En la Figura 17, se pueden observar algunas de las principales propiedades de las funciones
logarítmicas.
Son funciones continuas con dominio el intervalo (0,+∞); crecientes o decrecientes depen-
diendo de que la base a sea mayor o menor que 1; y, tienden a ϯ∞ cerca de 0 y a ±∞ en +∞,
con el signo dependiendo, de nuevo, de que la base a sea mayor o menor que 1.
2.6. Funciones hiperbólicas
A partir de las gráficas de las funciones exponenciales se pueden obtener de forma sencilla las
de las funciones hiperbólicas que están definidas de la siguiente manera:
Fernando Castañeda

En la Figura 18 se representan las gráficas del seno y del coseno hiperbólicos obtenidos a par-
tir de las gráficas de las exponenciales e x
y e - x
.
Figura 18: Gráficas de las funciones seno y coseno hiperbólicos
Como se observa en el dibujo, la función seno hiperbólico es impar (simétrica con relación al
origen de coordenadas), vale 0 en x = 0, es creciente (la derivada, que es el coseno hiperbó-
lico, es siempre positiva), su derivada en x = 0 es 1, tiene un punto de inflexión en x = 0 y
tiende a +∞ cuando x tiende a +∞ (y, por tanto, a -∞ cuando x tiende a -∞). La función coseno
hiperbólico es siempre positiva; de hecho se verifica que cosh x ≥ 1, es una función par (simé-
trica respecto del eje vertical), tiene un mínimo en el punto x = 0 cuyo valor es 1 (su derivada,
que es el seno hiperbólico, se anula en x = 0 y es positiva a la derecha y negativa a la
izquierda de 0), es, por tanto, creciente en (0,+∞) y decreciente en (-∞, 0) y tiende a +∞
cuando x tiende a ±∞.
En la Figura 19 se representan las gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbóli-
cas:
Figura 19: Gráficas de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas
De las propiedades de las funciones tangente y cotangente hiperbólicas se pueden destacar
las siguientes: la tangente hiperbólica vale 0 en x = 0, es una función impar, es creciente y
tiende a ±1 cuando x tiende a ±∞; en cuanto a la cotangente hiperbólica no está definida en
x = 0 y los límites laterales en x = 0 valen ±∞ (positivo por la derecha); es impar, decreciente
tanto en (-∞, 0) como en (0,+∞) y cuando x tiende a +∞ la función tiende a 1 y cuando x
tiende a -∞ la función tiende a -1.
Las funciones hiperbólicas inversas, el argumento seno hiperbólico y el argumento coseno
hiperbólico, se pueden escribir de la siguiente forma con ayuda de la función logaritmo nepe-
riano:

Y, el argumento tangente hiperbólico, definido para |x| < 1, y el argumento cotangente hiper-
bólico, definido para |x| > 1, son
En los siguientes dibujos se representan las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas:
Figura 20: Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas
Cada una de las gráficas es simétrica, respecto de la recta y = x, de su correspondiente fun-
ción inversa.
3. ALGUNAS MANIPULACIONES CON GRÁFICAS DE FUNCIONES
En este apartado vamos a ver como el conocimiento de las gráficas de las funciones elemen-
tales (sección anterior) permite, mediante distintas manipulaciones sencillas obtener otras
muchas representaciones.
3.1. Cambios (sencillos) en las variables independientes y dependientes
Partimos de la gráfica de la función y = f (x) y vemos como son las de las funciones
y = f (x) + 2, y = f (x + 2), y = f (x/2), y = 2f (x), y = f (|x|), y = |f (x)|, y = 1/f (x). Lo hacemos a
partir de la cúbica y = f (x) siendo f (x) = 2x3
- 2x (en todos los dibujos está representada con
trazo discontinuo la cúbica original y con trazo continuo la gráfica de la nueva función).
Al sumar una cantidad a la variable dependiente, la gráfica se mueve en sentido vertical: hacia
arriba si la cantidad es positiva y hacia abajo si es negativa (Figura 21).
Figura 21: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x)+2
Fernando Castañeda

Si sumamos una cantidad a la variable independiente el movimiento de la gráfica es en sen-
tido horizontal: hacia la izquierda si la cantidad es positiva y hacia la derecha si es negativa
(Figura 22).
Figura 22: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x + 2)
Si multiplicamos las variables x o y por constantes los efectos que se producen quedan refle-
jados en la Figura 23, lo que ocurría antes en x ahora ocurre en 2x, y en la Figura 24, los ceros,
puntos x donde f (x) = 0 son ahora esenciales.
Figura 23: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = f (x/2)
Figura 24: Gráficas de las cúbicas y = f (x) e y = 2f (x)
También podemos considerar las gráficas de y = f (|x|) o de y = |f (x)| (Figuras 25 y 26).
Figura 25: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = f (|x|)

Figura 26: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = |f (x)|
En fin, podríamos considerar también la gráfica de y = 1/f (x).
Figura 27: Gráficas de la cúbica y = f (x) y de y = 1/f (x)
Quizás es más interesante realizar este mismo trabajo a partir de la gráfica de una función sin
dar explícitamente su expresión analítica. Por ejemplo, partimos del dibujo que aparece en la
Figura 28:
Figura 28: Gráfica de una función y = f (x)
Se puede obtener entonces las gráficas de las funciones: y = f (2x), y = f (|x|), y = |f (x)| o
incluso las de y = e f (x)
e y = log |f (x)| (Figuras 29, 30, 31, 32 y 33), u otras.
Figura 29: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (2x)
Figura 30: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = f (|x|)
Fernando Castañeda

Figura 31: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = |f (x)|
Figura 32: Gráficas de las funciones y = f (x) e y = e f (x)
Figura 33: Gráficas de las funciones y = f (x), y = |f (x)| e y = log |f (x)|
3.2. Suma de funciones (de sus gráficas)
En este apartado vamos a obtener la gráfica de la función y = f (x)+g (x) a partir de las de las
funciones y = f (x) e y = g (x). En el apartado anterior hemos visto el caso en que una de las
funciones es constante y también ha aparecido ya (Figura 8) la representación gráfica de la
función
como ejemplo de función racional.
El conocimiento de las gráficas de y = 1/(x – 1) e y = 1/(x – 2) (trazo discontinuo), permite obte-
ner la de su suma (trazo continuo) de forma sencilla (Figura 34):

Figura 34: Gráficas de las tres funciones (los dos sumandos y la suma)
Este método está especialmente indicado cuando uno de los sumandos es una función trigo-
nométrica.
Consideremos por ejemplo el caso y = x / 2 + sin x. A partir de las gráficas de las funciones
y = x / 2 e y = sin x obtenemos la siguiente representación gráfica:
Figura 35: Gráficas de las funciones y = x / 2, y = sin x e y = x / 2 + sin x
Dado que la derivada de la función es 1/2 + cos x, las soluciones de la ecuación cos x = –1/2
son las abscisas de los extremos (máximos y mínimos) de la gráfica de y = x / 2 + sin x.
3.3. Producto de funciones (de sus gráficas)
Dadas dos funciones f y g con gráficas sencillas, podemos hacer la representación de y = f (x) g(x)
a partir del conocimiento de las de los factores. El caso en que una de ellas, por ejemplo g(x) = k,
es una función constante es el más sencillo: debemos tener en cuenta si la constante es positiva
y mayor o menor que 1 o negativa y menor o mayor que -1; el otro elemento importante es
el conjunto de puntos donde se anula la función f (x) que, lógicamente quedará invariable. En
las Figuras 36 y 37 se pueden ver las distintas situaciones siendo f (x) = x2
- 2x – 3, es decir,
como se mueve la parábola.
Figura 36: Gráfica de y = x 2
– 2x – 3 y su producto por distintas constantes positivas
Fernando Castañeda

– 2x – 3 y su producto por distintas constantes negativas
Algo más complicado puede resultar el caso general, no obstante, es muy interesante hacer el
esfuerzo cuando, por ejemplo, una de las funciones es sencilla (un monomio: x, x 2
, ...) y la
otra es una función trigonométrica. Vamos a considerar las gráficas de las funciones
y = x sin x e y = x 2
sin x (Figura 38).
Figura 38: Gráfica de y = x sin x y de y = x 2
sin x
Observemos que, como ya hemos comentado, se mantienen los ceros (puntos de corte con el
eje horizontal) y, cuando sin x = ±1, las gráficas de las funciones y = x sin x e y = x 2
sin x lle-
gan a tocar las rectas y = ±x o las parábolas y = ±x 2
respectivamente. Además, dado que
| sin x| ≤ 1 los dibujos se mantienen en los recintos limitados por y = ±|x| el primero y por
y = ±x 2
el segundo.
3.4. Composición de funciones (de sus gráficas)
El problema de la composición es más complicado pero, también se pueden hacer cosas inte-
resantes.
Vamos a considerar algunos ejemplos.
Para representar gráficamente la función y = ln(3x – 2) podemos considerar las gráficas de
y = lnt y de t = 3x – 2 (que, evidentemente, ya conocemos) y a partir de ellas hacer la com-
posición.
Figura 39: Gráficas de las funciones y = ln t y t = 3x – 2
La función ln t sólo está definida cuando t > 0, luego 3x – 2 > 0, es decir, para x > 2/3 está defi-
nida la función propuesta. Además aquella tiene una asíntota vertical x = 0, luego ésta tendrá
la asíntota vertical x = 2/3. Cuando x recorre el intervalo (2/3,+∞), entonces t recorre el inter-
valo (0,+∞), luego y = ln t se moverá desde -∞ hasta +∞ siempre creciendo y será igual a cero

sólo una vez, cuando t = 3x – 2 = 1, es decir, cuando x = 1. Con todos estos elementos pode-
mos hacer ya el siguiente dibujo (Figura 40).
Figura 40: Gráfica de y = ln (3x – 2)
Vamos a considerar otros dos ejemplos interesantes,
las gráficas de las funciones y = sin2
x – 2 sin x e y = e3x
– 4e2x
+ 5ex
– 2. La primera de ellas es
la compuesta de las funciones t = sin x e y = t 2
– 2t cuyas gráficas ya conocemos (Figura 41).
Figura 41: Gráficas de t = sin x e y = t 2
– 2t
A partir de ellas construimos la gráfica propuesta. Consideremos lo que ocurre en los sucesi-
vos intervalos:
cuando x ⑀ [0, π/2] entonces t = sin x recorre creciendo el intervalo [0, 1], luego y = t 2
– 2t
recorre decreciendo el intervalo [0,-1]; el mismo análisis podemos hacer en los intervalos
[π/2, π], [π, 3π/2] y [3π/2, 2π]. Así, por ejemplo, en el intervalo [π, 3π/2] el sin x se mueve
entre 0 y -1, luego y = t 2
– 2t irá desde 0 hasta 3 creciendo. De esta forma resulta el dibujo
siguiente (ver Figura 42).
Figura 42: Gráfica de y = sin2
x – 2 sin x
Para hacer la representación gráfica de la función y = e 3 x
– 4e2x
+ 5ex
– 2 debemos partir de
t = ex
e y = t 3
– 4t 2
+ 5t – 2 cuyas gráficas ya hemos hecho (Figura 43).
Fernando Castañeda

Figura 43: Gráficas de t = ex
e y = t 3
– 4t 2
+ 5t – 2
A partir de ellas construir la gráfica de la función propuesta. En este caso los elementos esen-
ciales son: cuando x va desde -∞ hasta 0 entonces ex
crece desde 0 hasta 1 y la cúbica crece
desde -2 hasta 0, luego la gráfica propuesta tiene en -∞ una asíntota horizontal y = -2 y desde
allí crece hasta el origen de coordenadas. Si x se mueve en el intervalo [0, ln2] entonces ex
crece desde 1 hasta 2 y la cúbica se mueve primero decreciendo y luego creciendo pasando
por el mínimo con lo que la función compuesta hará este recorrido. Finalmente, cuando
x ⑀ [ln2,+∞), entonces t = ex
crece en [2,+∞) y la cúbica también crece en el intervalo [0,+∞).
Con todos estos datos tenemos el siguiente dibujo (ver Figura 44).
Figura 44: Gráfica de y = e 3 x
– 4e2x
+ 5ex
– 2
Observemos como ya hemos mencionado que
3.5. Un ejemplo completo de manipulación gráfica
Si queremos obtener la representación gráfica de la función
podemos actuar de la siguiente manera: Partimos de la conocida gráfica de la función y = x 2
(Figura 45).
3
2
1
-1
-2
-2 -1 1 2

a partir de ella por simetría con relación al eje horizontal obtenemos la de y = -x 2
(Figura 46).
y de y = -x 2
a continuación obtenemos la de y = 3 – x 2
sin más que subir tres unidades la anterior (Figura
47). Los puntos x = ±√3, cortes con el eje OX, cobran importancia.
Figura 47: Gráfica de y = -x 2
y de y = 3 – x 2
La gráfica de y = √3 – x 2
se obtiene a partir de la de y = 3 – x 2
teniendo en cuenta lo siguiente:
en primer lugar, √3 – x 2
sólo está definida si 3 – x 2
≥ 0, es decir en el intervalo [-√3,√3]; la
función vale 0 en x = ±√3 y cuando 3 – x 2
= 1, es decir en x = ±√2, también vale 1; se man-
tiene el crecimiento y la concavidad del radicando; y, por último √t < t cuando t > 1, pero se
da la desigualdad contraria √t > t si t < 1 (ver Figura 48). La visualización de estas últimas desi-
gualdades resulta muy importante.
Figura 48: Gráfica de y = 3 – x 2
y de y = √3 – x 2
Observemos también que la gráfica de y = √3 – x 2
es la semi-circunferencia (superior) de
ecuación x 2
+ y 2
= 3, es decir, de centro el origen de coordenadas (0, 0) y radio √3.
Finalmente, en la Figura 49 tenemos la representación gráfica propuesta. Aquí pasamos de
y = t a y = 1/t, siendo t = √3 - x 2
. Debemos señalar los siguientes elementos: la gráfica de par-
tida es simétrica, luego también lo es la final; t es siempre positiva, luego también es positiva
1/t; cuando t = 1 también 1/t = 1; cuando t tiende a 0, entonces 1/t tiende a +∞ con lo que
Fernando Castañeda
3
2
1
-1
-2
-3
-2 -1 1 2
3
2
1
-1
-2
-3
-2 -1 1 2
3
2
1
-1 1
√2 √3
√3

aparece la asíntota vertical x = √3 y claro la simétrica; cuando t crece, entonces 1/t decrece y
viceversa; en fin, con todos estos datos obtenemos la gráfica de y = 1/√3 – x 2
de forma sen-
cilla y, sobre todo, viendo en cada momento y en cada paso (en cada manipulación) lo que
está ocurriendo.
Figura 49: Gráfica de y = √3 – x 2
y de y = 1/√3 – x 2
4. OTRAS CUESTIONES RELACIONADAS CON LA VISUALIZACIÓN
En las secciones anteriores hemos visto como se pueden aprovechar al máximo los conoci-
mientos que ya se tienen sobre las representaciones gráficas más sencillas (funciones ele-
mentales) para a partir de ellas obtener otras más complicadas. No debemos caer en pérdidas
innecesarias de tiempo como ocurre, con toda seguridad, cuando por ejemplo buscamos
asíntotas y la curva no las va a tener o al no considerar la periodicidad cuando ésta va a resul-
tar fundamental. En resumen, proponemos dedicar los primeros momentos a ver qué tipo de
función tenemos y por lo tanto qué tipo de gráfica esperamos; una vez hecho este análisis,
buscamos sólo los elementos esenciales de ese dibujo y, para ello, lo relacionamos con otros
de tal suerte que mediante manipulaciones sencillas como las que se han comentado, poda-
mos obtener la gráfica planteada.
Lo que tenemos que evitar por todos los medios es que, como decíamos al principio, las rec-
tas resulten a veces torcidas, las cúbicas pinchen, la recta tangente a una curva en un punto
no pase por ese punto, no sea tangente y a veces, ni siquiera sea una recta, etcétera. En las
Figuras 50 y 51 se han reproducido dos ejercicios de un examen de estudiantes de primer
curso de la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco. En ellos se pueden obser-
var varias de las cosas que venimos comentando y que no deberían pasar.
En la Figura 50 para representar una cúbica se han obtenido 6 parejas de valores (x, y = f (x)),
y después se han unido con todo cuidado. También resulta curioso ver cómo se resuelven las
ecuaciones de tercer grado. Pero sobre todo resulta tremendo constatar la falta total de espí-
ritu crítico: nada termina de encajar en la gráfica y, sin embargo, todo se deja escrito y dibu-
jado.
3
2
1
-1 1
√2
√3
√3

Figura 50: Un ejemplo de algo que no debería ocurrir
En la Figura 51 ocurren cosas similares. La recta tangente a la curva, que por cierto está bas-
tante bien dibujada (al menos en sus elementos esenciales), ni es tangente, ni pasa por el
punto en cuestión. Parece como si primero hubiera hecho la representación gráfica de la
curva y = x 2
e - x
, luego hubiera hecho las cuentas para obtener la ecuación de la tangente
(lamentablemente con error) y, finalmente, hubiese puesto el dibujo de la recta encima. Lo tre-
mendo del asunto es que al ver el resultado final no se le planteara ningún tipo de duda.
Fernando Castañeda

Figura 51: Otro ejemplo
Situaciones como las anteriores se encuentra uno con cierta frecuencia y, como se ha dicho
al comienzo no sólo en los exámenes de matemáticas de los estudiantes. Tenemos que tratar
de evitar que ocurran este tipo de cosas.
Además de permitir resolver problemas como los tratados, la visualización gráfica ayuda a
entender mejor, y poder resolver, otros muchos y muy variados problemas. Sin ánimo de ser
exhaustivo, vamos a ver a continuación unos cuantos ejemplos en los que un buen dibujo,
que no es un dibujo aparentemente perfecto, sino el que muestra mejor lo que es esencial en
relación con el problema concreto, ayuda a resolver la cuestión planteada.
4.1. La derivada de Nora
En algunas ocasiones hemos denominado el problema de la derivada de Nora a la siguiente
cuestión: Bajo qué condiciones se verifica la igualdad:

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