Texto Escolar 1.pdf

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Secundaria
Texto
escolar
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Secundaria
Texto
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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
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El texto Matemática 1 de Secundaria ha sido elaborado
según el plan de obra creado por el departamento
editorial delGrupo Editorial Norma en el Perú.
Directora editorial: Andrea Viviana Saavedra Garzón
Editora de área: I4audhy Johana Tasayco Sánchez
Editora: Laura Chavez Callañaupa
Jefa de arte: Rocío lVilena lr/armolejo Cumbe
Los adaptadores del texto lvatemática I son: Enrique
Huapaya, Jessica Ynfanzón, Sara Pacheco, Javier Brito,
Arlario Rivera y Equipo Editorial Norma
Corrección de estilo: Rossana Alba
Diseño gráfico: Equipo Editorial Norma
Diagramación: ALN Telemark Colombia S. A. S.
Diseño de cubierta: Equipo Editorial Norma
Apoyo gráfico: Equipo Editorial Norma
llustraciones: ALN Telemark Colombia S. A. S.,
lVauricio Restrepo López, Juan Pablo Suárez Cano
y Equipo Editorial Norma
Archivo fotográfico: Archivo gráfico Norma
y @ 2015 Shutterstock
O 2015, Grupo Editorial Norma S.A.C.
Primera edición, enero de 20,l6
O 2018, EDUCACTIVA S.A.C
Segunda edición, noviembre de 2018
Sello editorial Norma
Av. It/anuel Olguín n." 211, int. 501 ,
Urb. Los Granados, Santiago de Surco, Lima - Perú.
lmpreso en noviembre de 2018
Publicado en enero de 2019
Tiraje: 107 049 ejemplares
lmpreso en Perú / Pilnted in Peru
lmpreso en Amauta lmpresiones Comerciales S.A.C.
Jr. Juan Arlanuel del lt/ar y Bernedo n.o I290
Urb. Chacra Ríos Sur, Lima 1
Número de Proyecto Editorial: 31501401801 'l
I 3
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional
del Perú n.o 201 B-16784
|SBN 978-6 1 2-02-1 423-7
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro,
por cualquier medio, sin permiso escrito de la Editorial.
DE¿

Querido estudiante: ü
El libro que t¡enes en tus manos te reta a explorar tu mundo con creatividad
y a aprender matemática a través de situaciones que te llevarán a desarrollar tus
habilidades y potenciar tus capacidades. La matemática está presente en diversos
espacios de tus actividades y su uso te permite entender el mundo que te rodea.
La presencia de la matemática en tu vida diaria, en aspectos sociales, culturales y de
la naturaleza es algo cot¡diano, pues se usa desde situaciones tan simples y generales
como cuantificar el número de integrantes de la familia, hacer un presupuesto
familiar y desplazarnos de la casa a la escuela, hasta cuestiones más complejas como
esperar la cosecha de este año sujeta al tiempo y los fenómenos de la naturaleza,
realizar los balances contables de negocios o pract¡car juegos haciendo cálculos
probabilísticos de sucesos. Como puedes notar, tener un entendimiento y un
desarrollo matemát¡co adecuado te permite partlcipar en el mundo que te rodea en
cualquiera de los aspectos mencionados.
Nuestra sociedad necesita de una cultura matemática para comprender y asumir un
rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad contemporánea.
Esto impl¡ca que desarrolles habilidades básicas que te permitan desenvolverte
en la vida cotidiana, relacionarte con tu entorno, con el mundo del trabajo, de la
producción y el estudio, entre otros ámbitos.
Por ello, el propósito del libro es que desarrolles competencias a partir de los campos
temáticos planteados en las Rutas del aprendizaje, y los vincules a diversos contextos
de tu vida cotidiana.
En sus páginas encontrarás temas en contextos cotidlanos y cercanos que te
guiarán por el universo fascinante de los números, las figuras, las formas, los datos
y los modelos, lo cual te llevará a indagar por las causas y las relaciones, mediante
la interpretación, la búsqueda de patrones, la formulaciÓn de hipÓtesis y la
argumentación para solucionar problemas de tu diario vivir.
Utilizando las herramientas que te ofrecemos podrás explicar tus
ideas, tomar decisiones y hallar nuevas y mejores formas de
responder a los hechos. Será un material de consulta que
te brindará información pertinente y oportuna para el
desarrollo de las actividades en el cuaderno de trabajo,
el cual es un recurso para que puedas comprender la
nueva información, centrándote en la resolución de
problemas y contribuyendo a que puedas utilizar
y aplicar lo aprendido en diversos contextos y
situaciones de tu vida.
¡Bienvenido!
re
o
*
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7
I
II

Conozco mi libro
Sección inicial
Esta sección te mostrará a través de imágenes cada uno de los elementos que lo componen.
Número y nombre
del capítulo
lntencionalidad
pedagógica
Sintetizará la
información que
encontrarás en el
capítulo.
Variadas
situaciones
sign ificativas
Abordará situaciones
de la realidad y de la
actualidad, reconociendo
la funcionalidad de
los conocimientos
matemáticos en tu
entorno.
¡É& <ñ4tn.n @6¡
Antes de comenzar
ten en cuenta
5e te mostrará un listado
de conceptos previos.
Conceptos clave
Conceptos que
trabajarás a lo largo
del capítulo.
Aprendizajes
esperados
Presentará las
competencias, capacidades
e indicadores que abordarás
en el capítulo.
a
Decimales y fracciones
§ l.!i¡c'oo.id.d rá5ó3Ká
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Sección central
Aquíencontrarás la información contenida en el capítulo, de manera ordenada y fácil para su ub¡cación
lntroducción
Describlrá el campo
temático que
tratarás y su relación
con las situaciones
significativas
planteadas.
Presentación de
los conocimientos
matemáticos
Encontrarás la
información sobre
los conocimientos
a trabajar.
I nformación complemenraria
Hallarás notas, llamados y cuadros que
orienten la información principal.
Mdrhlor ydivkor6
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Datos históricos
Encontrarás hechos y eventos
históricos relacionados con la
matemática.
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Y.bl¡t y tr¡ñ.6 .{¿dLti<6
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a
Bibliografía y sitios de I
Encontrarás información complementaria
para profundizar los conocimientos
matemáticos que desarrollarás.
o
a

Sección final
Esta secctón te mostrará la información final del capitulo con información que amplíe tus conocimientos.
a
especializadas "
cff«.ñ6 ñáed€ l¡ r¡opóa
a
u¡lnrt ?l cnñYóYcl.(or
Lecturas
especializadas
Encontrarás textos
para ampliar los
conocimientos
matemáticos que
abordarás en el
capítulo.
Estrategias heurísticas
Presentará estrategias ejemplificadas
en la resolución de problemas, cuyo
desarrollo corresponde a lo tratado
en el capítulo.
q
Bibliografía
Encontrarás bibliotecas,
hemerotecas, libros,
revistas y artículos
disponibles en lnternet.
Organizador visual
Presentará los
conocimientos que
desarrollarás en el
capitulo.
itsi¡ffi p heurísticas r
a
Índice temático
Hallarás términos y expresiones de uso
matemático para facilitar la búsqueda
de información. Claves en la resoluciÓn
de problemas del cuaderno de trabajo.
E@
G@r
@
a
o
I
I

Sección central
Sección inicial
Tabla de contenidos
¡ Representación y descomposlción polinómica de un número natural tO
o A/últipios y divisores l l
r Divisibilidad 12-13
o l4áximo común divisor (m. c d.) 14-15
o Mínimo común múltiplo (m. c. m.) 16
¡ Números enteros 17
. Relación de orden en los enteros 1g
. Operaclones con números enteros 19-21
¡ Potenciación con exponente positivo 22
o Propiedades de la potenciación 23
o Cambio de signo de la base y del exponente 24
o Fracciones 30
¡ Clasificación de fracciones. Números racionales 3l-33
o Fracciones y números decimales 34-35
¡ Adición y sustracción con fracciones y decimales 36-37
. A,4ultiplicaclón y división con decimales y fracciones 3g-39
¡ Aproximación de los números decimales por defecto, exceso y redondeo 40
o Problemas aditivos: de igualación y comparación 41-42
¡ Razones proporcionales 4g
o Proporcionalidad directa 49-50
o ltz1étodo de reducción a la unidad 5l
o Regla de tres simple directa 52-53
o Significado del porcentaje 54
¡ Variación porcentual 55
o Aumentos y descuentos porcentuales 56-57
r Diagramas y gráficos de aumentos y descuentos porcentuales 5g
o Transformaciones geométricas: isometrías 64
. Patrones geométricos 65-69
o Progresión aritmética 69-72
. Características de una ecuación
o Ecuaciones equivalentes
o Resolución de ecuaciones: transformaciones algebraicas
¡ Ecuaciones con fracciones
78-79
80
81-84
85-86
¡ Desigualdad de expresiones algebraicas
¡ Condiciones de desigualdad de la forma
x > a o x < a, ax > b o ax < b,Y a * 0
o lnecuaciones
92
93
94-96
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 25
o Organizador visual 26
. Estrateg¡as heurísticas 27
¡ Lecturas especializadas/
Bibliografía 43
o Estrategias heurísticas 45
Bibliografía 59
¡ Orqanizador visual 60
. Estrateqias heurísticas 61
r Lecturas especializadas/
Bibliografía 73
. Estrategias heurísticas 75
Bibliografía 87
. Estrateg¡as heurísticas 89
o Lecturas especializadas I
Bibliografía 97
¡ Estrategias heurísticas 99
Sección final
Proporcionalidad y
porcentaje
46-47
Capítulo 3W
capítulo 4>
Patrones geométricos
y progresión aritmética
62-63
capítuto 5 F
Ecuaciones lineales
76-77
$»
lnecuaciones lineales
90-91
Capítulo
o
capítuto 1 P
Números enteros y
teoría de números
8-9
capíturo 2tb
Decimales y fracciones
28-29

Sección central
Sección inicial
o Poliedros y cuerpos redondos: lados, caras, aristas y vértices
o Clasificación de prismas: rectangular y triangular
¡ Desarrollo de prismas y cilindros
o Vistas de prismas
o Unidades arbitrarias y convencionales de superficie y volumen
. Área, perímetro, volumen de prismas y cilindros
o Paralelismo y perpendicularidad. Propiedades de triángulos,
rectángulos, cuadrados y rombos
. Construcción de figuras pollgonales
¡ Clasificación de cuadriláteros
o Perímetro y área del triángulo, rectángulo, cuadrado y rombo
¡ Triángulos en que se descompone un polígono regular
. Diagonales en un polígono
o Suma de ángulos de un polígono regular
¡ Proporcionalidad directa
o Proporcionalidad inversa
¡ Función linealy su regla de formación
o Dominio y rango
. lntercepto con los ejes
¡ Pendiente
¡ Distancias y medidas de mapas o planos a escala
o Localización de objetos empleando coordenadas
r Semejanza de figuras
o Condiciones de proporcionalidad en perímetro, área y volumen
. Ampliación, reducción y rotación de figuras en el plano cartesiano
. Composiciones de transformaciones geométricas
¡ TransformaciÓn geométrica con figuras semejantes
r Población y muestra
o Características y cualidades de una muestra representativa
¡ Variables cualitatlvas y cuantitativas
¡ Recolección de datos (experimentaciÓn, interrogantes, encuesta)
o Tablas y gráficos estadísticos para datos no agrupados
¡ Gráficos de barras y circulares
o Tablas de frecuencias para datos agrupados
o Medidas de tendencia central y el rango para datos no agrupados
¡ Experimento determ¡nístico y aleator¡o
. Espacio muestral y sucesos
o Probabilidad
102
103
1 04-1 05
106
1 07-1 08
109-112
118-120
121
122
123-125
126
127
128
134
1 35-1 36
137-139
140
141
142
148
149
150
151
1 52-1 54
't 55
156
'162
163
164
165
166-167
168-169
170
'171-172
178
1 79-1 81
182-184
r Lecturas especializadas/
BibliografÍa 1 l3
o Organizador
visual 114
. Estrategias
heurísticas 115
Bibliografía 129
. Organizador visual 130
. Estrateg¡as
heurísticas 131
Bibliografia 143
o Istrategias
heurísticas 145
Biblioqrafía 157
¡ Organizador visual 158
o Estrategias
heurísticas 159
Bibliografía 173
. Estrategias
heurísticas 175
Bibliografía 185
¡ Organizador vlsual 186
o Estrategias
heurísticas 187
188
190
Sección final
capíturo 7 >
Prismas y cilindros
100-101
capítulo 8 P
Iiguras poligonales
116-117
capítulo 9e
Proporcionalidad y
función lineal
r 32-',|33
capíturo 11W
Gráficos estadísticos y
estadígrafos
160-161
capíturo 12 *
Probabilidad
176-177
índice temático
Bibliografía
o
capíturo10p
Mapasyplanosaescala
Transfomraciones
146-147

'l
't=-t'
+
i-, .,, -. : -
soleádo
l)éó ss L,
| '20"
22'
r 120 0 mm-i '
Soleado
,25' 2'l'
a15' 1'l' soteado
i0.0 mm r19o 22' I Friaie
Io¿" oO. .r21. 29"
E.sotana -:ó.0 mm t19' 21"
it9" zz' '10.0 mm
-0.0 mm i
Grani¿o Fiia¡e
Lloviznas -1A" 22' .2V 26'
r17' ?9'^ i.o.s" .0.2" it¿ó ts"
a15" 1§ 2.Omm -25pmm
f 0.8 mm Nevadat :
'15'
18" 1
Pr;nósticos de a-12ó -0 7''"
támPoraturas-- = a.O mm i
rJJlffliÍilt'il,ii.r P;#gr.
'l
'li;,l r:;*
Capítulo
J
, ,
n eros
lntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás a solucionar problemas mediante el uso de números
enteros. Para ello, desarrollarás operaciones de cálculo, modelos o estrategias
de resolución de problemas, en diferentes contextos.
Asimismo, expresarás en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre
números enteros.
Por último, conocerás la potenciación con exponente pos¡tivo.
La diversidad demográfica,
permite a cada visitante vivir
experiencias variadas, desde el
turismo de aventura hasta el
turismo cultural.
¿Todas las temperaturas máximas
son iguales en todo el Perú?
¿Cómo determinamos la diferencia
entre la temperatura máxima y
mínima? ¿Qué significa 20.0 mm
en un día soleado?
La biodiversidad del territorio
peruano.es una oportunidad,,
para conocer ecosistemas como
desiertos, costas, planicies,
montañas y páramos. En poco
tiempo, se pasa de un clima
cálido (30'C en la costa) a un
ambiente helado (-15 "C en las
montañas).
¿Qué significa el signo - en la
representac¡ón -15 "C?
Lima cuenta con el prestigio
de ser una ciudad turística, en
la que se destacan sus parques
como gran atractiyo para los
visitantes locales y extranjeros.
Si el Servicio de Parques
realiza el mantenimiento de
uno de estos parques cada
15 días e instala las áreas
verdes cada 45 días, ¿cada
cuántos días coinciden las dos
labores?

Antes de com enzar ten en cuenta
. Números naturales: representaciÓn, lectura,
escritura, orden y comParaciÓn
. Operaciones con números naturales: adiciÓn,
sustracciÓn, multiplicaciÓn, divisiÓn y potenciaciÓn
. Sección inicial
Conceptos clave
o Teoría de números: múltiplos, divisores,
criterios de divisibilidad, m. c. m. y m. c. d.
o Númerosenteros:representación,
orden, com paración, operaciones:
adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
Reconoce datos y relaciones no explícitas en situaciones duales y relativas, al expresar un modelo
usando números enteros y sus operaciones.
Selecciona un modelo relacionado con números enteros al plantear o resolver un problema en
situaciones duales y relativas.
Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.
Ordena datos de cantidades y magnitudes en s¡tuaciones de regularidad y los expresa en modelos
referidos a la potenciación con exponente positivo.
Reconoce datos y relaciones no explícitas, y los expresa en un modelo relacionado con múltiplos y
divisores.
Emplea el modelo de solución más pertinente al resolver problemas relacionados con múltiplos y
divisores.
a
a
a
a
a
Comunica y
representa
ideas
matemáticas
. Expresa el significado dei signo en el número entero en situaciones diversas.
. Expresa en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre números enteros empleando la
recta numérica.
. Expresa procedimientos de medida de peso y temperatura, entre otros, con expresiones decimales.
o Describe las características de la potenciación considerando su base y exponente con números
naturales.
. Expresa el significado de múltiplo, divisor, números primos, compuestos y divisibles.
. Util¡za la criba de Eratóstenes para expresar los números primos y compuestos inferiores a un
número natural cualquiera.
Elabora y usa
estrateg¡as
¡ Diseña y eiecuta un plan orientado a la investigación y resoluciÓn de problemas.
. Emplea procedimientos y recursos para realizar operaciones con números enteros.
. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas con nÚmeros enteros.
. Emplea operaciones de multiplicación entre potencias de una misma base al resolver problemas.
. Emplea estrateg¡as heurísticas y procedimientos al resolver problemas relacionados con potencias
de base natural y exponente entero.
. Emplea el m. c. d. y el m. c. m. para resolver problemas de traducción simple y compleja con
fracciones.
o Realiza procedim¡entos de descomposición polinómica con múltiplos de nÚmeros naturales al
resolver problemas.
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G
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Razona y
argumenta
generando
ideas
matemáticas
o Propone conjeturas referidas a relaciones de orden y propiedades de números enteros.
r Justifica con ejemplos que las operaciones con números enteros se ven afectadas por el signo.
o ldentifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
. Propone conjeturas respecto a los números divisibles por 2, 3, 5, 7, 9, 1 1.
¡ Justifica cuándo un número es divisible por otro a partir de criterios de divisibilidad.
Cornpetencia lndicadores
Capacidad
o

. lntroducción
Si viajas con tu familia a una playa cuya temperatura es de 35 oC, sabes que el clima es caluroso. Si van a las
montañas, donde la temperatura es de -5 oC, sabes que deben vestirse bien abrigados. Quizá tus padres
lleven un control de gastos y resten cada consumo o compra que hagan. En los folletos de los lugares que
visitan, encontrarán diferentes datos (cantidad de población, altura de las montañas, la extensión en km2
del lugar, índice en potencias de reproducción de animales, como mariposas, entre otros). En las anteriores
situaciones, están presentes temas como el ordenamiento de datos de cantidades o magnitudes, el uso de
modelos de potenciación, el m. c. d. y el m. c. m., la descomposición polinómica con múltiplos de números
naturales para resolver problemas y las operaciones de números naturales con distinto signo.
6 rc
10
l
100 1 000
Figura 1.1
Representación y
descomposición polinóm ica
de un número natural
Nuestro sistema de numeración se denomina decimal porque está basado en
un sistema ar¡tmético que usa potencias de 10, es decir, cada unidad de orden
superior se forma a partir de la agrupación de diez unidades del orden inme-
diatamente inferior (ver figura 1.1).
La tabla 1.1 presenta valores posicionales de nuestro sistema de numeración.
aC
g.o
C'=
Lt
OJ
E
l0e 103 10r ,l00
Tabla 1.1
Tenemos tres formas de escribir un número, a saber:
o Verbal (con palabras): doce mil ochocientos cincuenta y tres.
o Estándar (con cifras): 12 853
o Descomposición polinómica:1 x 104 +2x10r+Bx 102+5 x 10r+3
Ejemplo 1
Completa cada expresión matemática.
a. 5462=_x .l000+_x 100+_x 10 + 2
b. 93751=-X10000+3x + x100+5x +l
Solución
a. 5462= 5 x 1000 +4x100+ 6x t0+2
b. 93 751 = 9 x 1 0 000 + 3 x 1 000 + 7 x i00 + 5 x t O + l
rtr
C
(.)
C
CJ
U
102
u
!
cJ-
'jf'=
ro-
p
C
l
o
!
La descomposición
polinómica de un número
consiste en tomar cada una
de sus cifras y expresar su
valor posicional mediante
las potencias de la base del
sistema de numeración;
en nuestro caso, el s¡stema
decimal.
Recu¿rda
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c'=
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C
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104
Tema 1

I Múltiplos y divisores
" S¿cción central
6 7 B
Un atleta entrena en una pista circular de 4 km de longitud. La distancla reco-
rrida depende del número de vueltas que dé, tal como se indica en la tabla 2.1.
0 2 3 4 5
12 16 20 24
Tabla 2.1
Los números de la segunda fila se obtienen multiplicando la longitud de la
pista por el número de vueltas. Si un día el atleta recorrió 36 kilómetros, ¿cuán-
tas vueltas da a la pista?
Se divide la distancia recorrida entre la longltud de la pista, es decir, 36 entre 4.
I
36 I + fl cociente es 9. Como el residuo es cero, la divisiÓn se denomina
0 9 exacta, porque 4 divide exactamente a 36. Así,4 es un divisor de 36.
Los números 4y 9, cuyo producto es 36, se llaman factores de 36.
Un número natural a es divisor del número natural b si lo divide exactamen-
te, es decir, si existe otro número natural c tal que a x c = b. Los númercs oy
c se denominan factores de b.
Si o es el número, usaremos el sÍmbolo Dopara representarel conjunto de
los divisores de a.
Los múltiplos de un número natural son aquellos que se obtienen de mul-
tiplicar ese número por cada uno de los números naturales.
Si a es el número, usaremos el símbolo lvl,para representar el conjunto de
los múltiplos de a.
p Eiemnlo t
I Determina lo siouiente:
I
. rl conlr-ito de los múltiplos de 12.
I :":,ll''"'o
de ros divisores de 12
I . Los múltiplos de 12 son M,, : {0, 1 2,24,36,48,60,72,U,96, 108...},
I Oorque son los productos de multiplicar a 12 por cada número natural.
I U. Al dividir a 12 entre los números naturales menores o iguales que é1,
! seencuentraque lasdivisionesexactasson 12 * 1 : 12,12 + 2 : 6,
I r 2 + 3:4,12 + 4:3,12 + 6:2,12 + 12= 1. Portanto,los divi-
t tores de 12 son los siguientes: D,r={1,2,3,4,6,12]¡.
,4
Eiemnlo z
I Determina el valor del factor z en la expresión 117 : 9 x z.
Solución
Debemos encontrar un número z que multiplicado con 9 dé 1
'17.
Esto equi-
. vale a dividir'l 17 entre 9. El valor del factor zes 13,porque 9 X 13 : 117.
4
0 8
Distancia recorrida (km)
Número de vueltas
Se dice que d es divisor de
b cuando b se obtiene de
multiplicar d por un número
natural c y, por tanto, b es un
múltiplo de a. Por ejemplo, 3 es
divisor de 18, porque
3 x 6 = 18. Además, 18 es
múltiplo de 3 y también de 6.
Recuerda
Revisa el llbro Cuentos de
matemóticas, de Hervás. Esta
obra te ofrecerá actividades
con aprendizajes que requieren
de tu creatividad.
Módulos de biblioteca
o
28 32
1

Divisibilidad
Para determinar si un número es divisible por otro se realiza una división y se
analiza el residuo: si el residuo es diferente de 0, el dividendo no es divisible por
el divisor. sin embargo, los criterios de divisibilidad te ayudan a saber si un
número es divisible por otro sin necesidad de hacer divisiones.
Estudiemos los criterios para determinar si un número natural es divisible por
2;3;4;5;6;7; B;9;'10 u '11:
Los criterios de divisibilidad
son el resultado de
razonamientos que se dan en
un campo de Ias Matemát¡cas
denominado Teoria de
números. Esta rama surgió en
el siglo XVll con los trabajos del
abogado y matemático Pierre
Fermat y fue consolidada en
el siglo XIX por el matemático
alemán Friedrich Gauss.
Collette, J. Historia de las
lttlatemóticas (1 985). l/adrid,
España: Siglo XXl.
Un número natural distinto
de cero, que tiene más de
dos divisores diferentes,
se denomina número
compuesto.
Un número natural que tiene
exactamente dos divisores
diferentes (la unidad y el
mismo número) se denomina
número primo.
4 si el número que forman
sus dos últimas cifras es 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
múlr¡plo de 4.
5 si la cifra de las unidades
es0o5.
10 si la cifra de las unidades es 0.
2 si la cifra de las unidades
es par.
3 si la suma de sus cifras
es múltiplo de 3.
7, si de derecha a izquierda, al multiplicar cada cifra del
número por los factores 1;3;2; -1; *3; -2; 1;3;2; -1; ...
y al sumar los resultados se obtiene un múltiplo de 7.
8 si el número que forman sus tres últimas cifras es múl-
tiplo de 8. Este criterio se aplica si el número analizado
tiene4omáscifras.
1 1 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan
lugar par y la suma de las cifras que ocupan lugar impar
es0omúltiplodelt.
6 si es divisible por 2 y por
3 a la vez.
Tabla 3.1
¡$P
Eiemnlo t
Determina si 82)6 es divisible por 2;3;4; 5;6 y 9
Solución
De acuerdo con los criterios de divisibilidad por 2;3;4;5;6;9;10 y 11, se
puede afirmar de 8226lo siguiente:
5íes divisible por 2,ya que la cifra de las unidades es par.
Síesdivisible por3, porqueB * 2 + 2 + 6: 1B,y 1B es múlriplode 3
No es divisible por 4, porque 26 no es múltiplo de 4.
No es divisible por 5, porque no termina en 0 o 5.
Síes divisible por 6, porque es divisible por 2 y por 3.
Síes divisible por 9, porque si sumamos las cifras el resultado es 18.
a
a
a
a
t
@
Un número compuesto siempre puede definirse como producto de
números menores que é1. Un número primo solo puede deflnirse como
producto de la unidad y de él mismo.
Tema 3
Un número es divisible por
que...?

. Sección central
Criba de Eratóstenes
Empleando la criba de Eratóstones se pueden determinar cuáles son los nú-
mero primos menores que '100.
La flgura 3.1 es conocida como la criba de EratÓstenes; se obtiene mediante
los siguientes pasos:
1.o Tacha el uno.
2.o Considera al 2 como el primer número primo y tacha todos sus múltiplos,
que serán números compuestos.
3.o EI 3 es el segundo número primo.
4.o Tacha los múlt¡plos de 3 que no hayan sido tachados anteriormente.
5.o El 5 es el siguiente número primo;tacha sus múltiplos, los que no hayan
sido tachados.
6.o Cont¡núa el proceso con los siguientes números primos. Al final obtendrás
una tabla como la de la figura 3.1, donde los números marcados en rojo
son números primos.
+ 2 3 I 5 6 7 B 9 +e
11 D '13
11 15 1t 17 ffi 19 x
2+ » 23 a-4.
* x * n 29 3e
31 T 33 31 35 36 37 38 39 1e
41 + 43 11 15 16 47 18 19 5e
* D (2
* 55 56 g 5B 59 6e
61 e G G 65 66 67 68 69 70
71 72 73 11 75 16 # 7A 79 BE
&r ü B3 B1 85 B6 &+ BB ao 9e
91 92 93 91 95 96 97 98 99 +ee
Figura 3.'1
¡ > Ejemplo2
Determina cuáles de los siguientes números son prlmos: I 1 1; 550; 1821 y 47
Solución
. 111 es múltiplo de 3 y 37;por tanto, no es primo.
. 550 tiene como divisores al1;2;5, entre otros;entonces, no es primo.
. 1B2l tiene como divisores al l; 3; 607, entre otros; luego, no es primo.
. 47 solo tiene como divisores al 1 y 47; por ello, es primo.
Eratóstenes (284-192 a. C.),
matemático, geógrafo y
astrónomo griego fue célebre
por la criba que lleva su
nombre, utilizada para hallar
los números primos. También,
es reconocido por haber
establecido por primera vez la
longitud de la circunferencia
de la Tierra (252 000 estadios,
equivalentes a 40 000 km)
con un error de solo 90 km
con respecto a los cálculos
actuales.
Calero, E. (2005). ltlanual técnico
ECO [versión Adobe Digital
Editionsl. Recuperado de
http:/ /www.ecomexico.net
Dato histórico
a
o

Máximo común divisor (m. c. d.)
El concepto de máximo común divisor (m. c. d.) se aplica en diversas situacio-
nes en las que se requiere realizar divisiones que impliquen agrupamientos
o repartos de varias cantidades de forma que no sobre nada; por ejemplo, si
con listones de diferentes longitudes, un carpintero quisiera constru¡r marcos
cuadrados que tengan el mayor tamaño posible de lado.
§ Ejemplo r
Halla el máximo común divisor de28y 42.
Solución
Una manera de hallar el m. c. d. de dos o más números es utilizando conjun-
tos. Para esto, primero hallamos los divisores de cada número.
Drr= {1;2;4;7; 14;28}
D o, = {1 ; 2; 3; 6; 7 ; 1 4; 21 ; 42}
Luego determinamos la intersección de esos conjuntos, es decir, hallamos los
divisores comunes de28y 42.
Drrl Dor= {1;2;7;14}
El mayor divisor común es 14; se escribe así: m. c. d. (28; 42) = 14.
cuando los números son mayores, es poco práctico hallar el conjunto de divi-
sores. En este caso, utiliza un método más rápido: la descomposición en facto-
res primos. Veamos un ejemplo:
rf Ejemplo 2
Calcula el m. c. d. de 120 y 380.
Solución
Paso 1. Descomponemos cada uno de los números en sus factores primos.
120
60
30
15
5
'I
380
190
95
19
1
2
2
5
19
2
2
2
3
5
120=23 x 3 x 5 380 = 22 x 5 x'19
Paso 2. Elegimos los factores comunes con el menor exponente:22 x 5
Paso 3. lvlultiplicamos los factores elegidos: 20.
El máximo común divisor de un conjunto finito de números naturales es
el mayor número de los divisores comunes de estos números. Se escribe en
forma abreviada así: m. c. d.
V
En la siguiente página
encontrarás problemas resueltos
sobre m. c. d. y m. c. m;
http://www.vitutor,com/d i/
dila_a.html
@
Terna 4
Ttc

. Sección central
Ejemplo 3
Gustavo heredó dos lotes de 120 m2 ('10 m x 1Z m) y otro de 384 m2
(16 m x 24 m). Él quiere dividirlos en parcelas de igual área.
¿Cuál es la mayor área posible de las parcelas? ¿Cuántas parcelas obtendrá de
cada lote si se dejan con la mayor área posible?
Solución
Hallamos el m. c. d. de los números 120 y 384 utilizando el método de des-
composición en factores primos.
Paso 1. Descomponemos cada número en factores primos.
120=23x3x5 384=27x3
Paso 2. Elegimos los factores comunes elevados a su menor exponente.
En este caso, son 23 y 3.
Paso 3. Ivlu lti pl ica mos los factores eleg idos.
23 x3 =Bx3 =24.
Entonces, escribimos así: m. c. d. (120; 384) = 24
De esta manera, la mayor área posible de cada parcela es de 24 m2. Del lote
de menor área, saldrán 5 parcelas y del de mayor área, l6 (ver figura 4.1).
'16
m
'10
m
.- 12m
24m
Figura 4.1
rt) Eiemplo 4
Calcula el m.c.d.de 2 x 32 x 52 x7;22 x5 x11 y 23x 5 x 13.
Solución
Paso 1. Podemos omitir este paso, porque los números están descompues-
tos en factores primos.
Paso 2. Los factores primos comunes de las tres expresiones, elevados a su
menor exponente, son 2 y 5.
Paso 3. El producto de los factores elegidos es 2 x 5 =
'10.
Luego, el m. c. d. de
los números dados es '10.
Para saber más acerca del
m. c. d., consulta la siguiente
página: http://i-matematicas.
co m /De s ca rte s / Lib r o /f e m a2 /
N/CDmcm.htm
V
Revisa el libro E/ mentor de
matemóticas, de Gispert y
Navarro. Al lí encontrarás
ejercicios que te ayudarán a
profundizar en lo aprendldo.
o
TIC

Mínimo común múltiplo (m. c. m.)
Figura 5.1
¡ » Ejemplo 1
IVaria tiene cartulinas rectangulares amarillas, rojas y verdes del mismo an-
cho, pero de 15 cm, 20 cm y 12 cm de largo, respectivamente, y quiere armar
una bandera como la que se muestra en la figura 5.1.
a. ¿Qué medida como minimo puede tener la bandera de largo?
b. ¿Cuántas cartulinas neces¡ta de cada color para formar la bandera?
Solución
Para calcular el largo de la bandera, debemos encontrar el mÍnimo común
múltiplo de los números I 5; 20 y 12. Para ello, realizamos lo siguiente:
a. Escribimos los múltiplos de t5;20y 12.
ltl,r= {0; I 5; 30; 45; 60;75; 90; 1 05; 1 20; 1 35...}
lttlro = {0; 20; 40;60; B0; I 00; 1 20; 1 40. . .}
4,4,, = {0; 1 2; 24; 36 4B', 60; 7 2; 84; 96; 1 0B; 1 20; 1 32. . .}
b. Hallamos la intersección entre los tres conjuntos de múltiplos.
M,rO Mro) M,r= {0; 60; 120...}
c. Escogemos el menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, en este
caso,60. Este número es el mínimo común múltiplo de l5; 20y 12,y se
simboliza asÍ: m. c. m. (1 5;20;12) = 60.
o Por tanto, la longitud minima del largo de la bandera es 60 cm.
A continuación, se presenta el método basado en la descomposición en fac-
tores primos.
l¡*
Elemnlo z
I Halla el m. c. m. de 700 y 1125, por descomposición en factores primos.
ffi solución
ffi euro 1. Descomponemos en factores primos cada número, como se muestra
I a cont¡nuación.
700
350
175
35
7
'I
1125
375
125
25
5
1
2
2
5
5
7
3
3
5
5
5
700=/x?x7 1125:32x51
Paso 2. Elegimos los factores no comunes, que son 22, I y 3,. Luego selec-
cionamos los factores comunes con el mayor exponente, que resulta ser 53.
Paso 3. N/ultiplicamos entre sí los factores elegidos, asi:
7 x32 x2) x 53 =7 x9 x4x 125 = 3l 500
. Por tanto, m. c. m. (700;1125) = 31 500.
El mínimo común múltiplo de un conjunto finito de números naturales es
el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, de estos números. Se
escribe en forma abreviada así: m. c. m.
Consulta la siguiente página
web donde se describe el
método de factores primos
para hallar el mínimo común
múltiplo de un número:
https:/,/www.youtu be.com/
watch?v=OsaX_lbhxNg
V
@
T¿ma 5
TIC

. Sección central
Números enteros
A/ayra y Luis pertenecen a una asociación que protege los animales en peligro
de extinción en nuestro paÍs. Ellos están planeando recorrer el Perú.
Para comenzar, deciden ir a lquitos, porque el clima es cálido y la época en que
piensan lr presentará una temperatura promedio de 28'C.
Luego irán a Juliaca, donde la temperatura puede alcanzar los 10 "C bajo cero.
¿Cómo podemos representar numéricamente estas temperaturas?
La temperatura en lquitos se representa así: +28 "C.
La temperatura mínima en Puno se representa así: -10 "C.
El conjunto de los números naturales diferentes de 0 recibe el nombre de
enteros positivos. El conjunto de los nÚmeros enteros positivos unido
con el cero y con el conjunto de los números enteros negativos forman el
conjunto de los números enteros, elcual se simboliza conlaletraZ.
Z : {...-5;-4;-3; -2;-t ; 0; I ; 2;3; 4; 5....}
lr? Ejemnlo t
I tnOica cómo representarías numéricamente las siguientes expresiones:
ll :u:l;'u,"*.,
I .. Tengo 3 puntos a favor.
I solu.¡¿n
I .. +3s b. -6 c. *3
(* eiemptoz
ffi Senala a qué conjunto numérico pertenece cada nÚmero
I
N
Z
Tabla 5.1
Solución
N
Z
X
X
X
X
X
XXXX
a
El conjunto de los números
naturales es un subconjunto
del conjunto de los números
enteros.
Recuerda
El conjunto de los números
enteros surgió de la necesidad
de representar situaciones
relacionadas con temperaturas
bajo cero, pérdidas
económicas, entre otras.
Recuerda
Conjunto
Número
o
Tabla 5.2
Tema 6
-8
35 0 -4 -7 +42
nto
+42 -8
35 0 -4 -7

Relación de orden en los enteros
El conjunto de los números enteros z se puede representar en la recta numé-
rica. Para ello, se trazan segmentos consecutivos de igual longitud y sus extre-
mos se marcan con puntos. A cada punto marcado, se le asigna un número
entero, que será la coordenada de dicho punto.
3 -2 0 2 3
Figura 7.1
nrff rjempto 1
En la figura 7.2 se observan las temperaturas de distintos lugares de perú
¿Qué podemos decir de las temperaturas señaladas?
100'C 80'a 60'a ¿,A'C .20"(. 0 -t{t - , ,. , .- : ti.r ,-
Figura 7.2
Solución
Entre los números enteros que indican las temperaturas, se pueden esta-
blecer relaciones como las siguientes: 17 > O; -60 < 0; -80 < 0; -80 < 17;
57 > -60; -89 < -60.
Al comparar números enteros en una recta numérica, los que se ubican a la
derecha del cero (enteros positivos) son mayores que los números que se
ubican a la izquierda del cero (enteros negativos).
S Ejemplo 2
ubica los siguientes pares de números en la recta numérica de la figura 7.3 y
luego determina el número mayor.
a. -7y6 b. -9y-11 c. 10y7
Solución
-i5 "c 17 "( 32"C
111
-11-10-9-B-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 B 9 1011
Flgura 7.3
a. -7 está ubicado a la izquierda de 0; por tanto, su valor es menor que el de
6, que está ubicado a la derecha de 0, es decir,6> -7.
b. El número negatlvo que está a menor distancia de 0 es mayor. Luego,
-9>-11.
c. 10 es mayor que 7, porque está a la derecha de 7.
@
Para comparar números enteros ubicados en la recta numérica es sufi-
ciente observar la posición de cada uno. El número que está a la derecha del
que se referencie es mayor.
Los desplazamientos en
la recta numérica son
movimientos de un punto a
otro. Los avances se expresan
con números posit¡vos y
los retrocesos con números
negativos.
Cuando se expresan números
enteros en una recta horizontal,
el número mayor siempre
estará más a la derecha.
Recuerda

. Sección central
Operaciones con números
enteros
Adición y sustracción de números enteros
La tabla 8.1 registra el número de pasajeros que subieron y bajaron en cada
parada durante el recorrido de un microbús. Para diferenciar los pasajeros que
suben de los pasajeros que bajan se usan los signos + y -, respectivamente.
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
'15
0
5
8
1
+15
0
+5
+B
+'1
0
-3
-2
1
-4
0
3
2
1
4
Tabla 8.1
a. Si el pasaje por persona cuesta S/ 1, ¿cuánto dinero se recibiÓ en total?
Primero, calculamos el número de pasajeros que tomaron el micro. Para
ello, adicionamos el número de pasajeros que subió en cada paradero.
15+0+5+B+1=29
Para hallar la cantidad de dinero recibido, multiplicamos
29 xS/ 1= S/ 29
b. ¿Cuántos pasajeros se habían bajado hasta el cuarto paradero?
Para hallar el resultado, sumamos los valores absolutos de cada número
entero negativo:l-¡ I + l-2 I + l-'l I = 6. Como los tres sumandos iniciales
son negativos, colocamos el signo - en el resultado.
Por tanto, se bajaron 6 pasajeros: -6.
Cuando sumamos dos números enteros del mismo signo, el resultado es
la suma de los valores absolutos de los sumandos con su correspondiente
signo.
Ejemplo 1
Realiza las adiciones.
a. 32+24
Solución
a. 32* 24=56
b. (-12) + (-B) = (-20)
b. ( t2)+(_B)
32y 24 son enteros positivos; entonces, adiciona sus
valores absolutos y el resultado es positivo.
-12 y -B son enteros negativos; entonces, adiciona sus
valores absolutos y el resultado es negativo.
@
El valor absoluto de un
número entero es la distancia
que separa al número del
punto cero en la recta
numérica. Para representar el
valor absoluto de un número,
se usan barras vert¡cales | | y
dentro de ellas se escribe el
número.
Recuerda Pasajeros
bajan
suben
Paradero
que
Representación
La adición de números
enteros también cumple las
propiedades conmutat¡va y
asociativa.
Recuerda
Tema B
I
Renresentacion

Uno de los vestigios más
antiguos sobre la aritmética
conocidos hasta ahora, es el
llamado hueso de lshango,
encontrado a las orillas del
río Nilo (África), que data de
alrededor de 1 8 000 a 20 000
años a. C. El hueso presenta
varias muescas que indican
multiplicaciones y divisiones
por dos. Hay también una
columna con números impares
y los primos que existen entre
el número 10 y el 20 (11 ,13,17
v 1e).
Collette, ). Historio de las
lv4atemáticos (1 985). N4adrld,
España: Siglo XXI Editores.
ías que...?
L
Podemos representar la adición de números enteros utilizando una recta nu-
mérica y flechas para indicar los "desplazamientos", que se inician desde el
cero con el primer sumando.
Ejemplo 2
Representa en una recta numérica cada adición y halla la suma.
a. B+4 b. (-7) +(-3)
Solución
a. Observa la figura 8.1.
+8 +4
-4 -3 -2 -1 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]t 12
Figura 8.1
B * 4 = 12, porque se avanza 12 unidades hacia la derecha de cero.
b. Observa la flgura 8.2.
? -7
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 _2 _1 0 1 2 3
Figura 8.2
-7 + -3 = -10, porque se avanza 10 unidades hacia la izquierda
de cero.
$ r¡empto 3
Calcula las adiciones.
a. (-19) + 15 b.
Solución
B-15 c. (-14) - 12
a. (-19) + 15 = -4. Como -19 y 15 tienen signos diferentes, entonces res-
tamos sus valores absolutos y dejamos el signo -, porque -19 tiene el
mayor valor absoluto.
b. B - (+15) = 3 + (-15) = -7. Al minuendo B, sumamos el opues-
to del sustraendo. El opuesto de +15 es -15.
c. (-14) - (+12) = -26. Al minuendo -14, sumamos el opuesto del sus-
traendo. El opuesto de +12 es -12. El resultado es -26.
La suma de dos números enteros de diferente signo se obtiene sustrayendo
los valores absolutos de los números (el mayor del menor) y escribiendo en
el resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
El signo menos (-)tiene
dos significados: uno para
la operación y otro para el
número propiamente. Por
ejemplo, en (-14) - 12 el signo
menos que acompaña a 14 se
usa para indicar que el número
-14 es un entero negativo,
m¡entras que el signo menos
que está entre (-14) y 'l
2 indica
que estos se restan.
Recuerda
Restar un par de números enteros equivale a sumar el minuendo con el
opuesto del sustraendo.
@
a
ü

. Sección central
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican sus
valores absolutos y el producto es positivo.
Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican sus
valores absolutos y el producto es negativo.
Ejemplo 4
Realiza las multiplicaciones.
a. 36 x -5 b. -13 x -15
Solución
a. 36 x -5 : -180. Ivlultiplica 36 por 5, que son los valores absolutos de
36 y de 25. El producto es negativo, porque los factores tienen signos
diferentes.
b. -13 x -15 : 195. tMultiplica 13 por 15, que son los valores absolutos de
-'l 3 y de -1 5. El producto es positlvo, porque los factores tienen el mismo
signo (negativo).
Ejemplo 5
a. Si Daniela ahorra cada semana S/ 50 de su venta de dulces en el colegio,
¿cuánto ahorra en 3 semanas?
b. Si Daniela gasta cada semana S/ 50 en los dulces que compra, ¿cuánto
gasta en 3 semanas?
Solución
a. (+50) x (+:) : + 150. El número + 150 indica que ahorró S/ 150.
b. (-50) x (3) : -150. El número - 150 indica que gastÓ S/ 150.
División exacta de números enteros
La división es la operación inversa de la multiplicaciÓn. En el conjunto de
los números naturales y enteros, el cociente entre dos números se obtiene
buscando un número que multiplicado por el divisor dé como resultado el
dividendo.
Para dividir dos números enteros (con el divisor diferente de cero), se dividen
sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, el resultado es posi-
tivo. Si son de signos diferentes, el resultado es negativo.
reff r¡emplo 6
Realiza las siguientes divisiones:
a. -81 + 9 b. -144 + -6
Solución
a. El cociente es -9 y es negatlvo, porque uno de los números es negativo.
b. El cociente es +24 y es pos¡tivo, porque ambos números son negativos.
Los términos de la mult¡pli-
cación son factores y pro-
ducto.
13 X 15 = 195
X +
+ +
+
Recuerda
Los términos de la división son
dividendo, divisor, cociente y
45+9=5 0
Divisor
+
+ +
+
residuo.
Recuerda
a
-r- -T- -L
J Factor.t I I Producto I
Ico."^t"l
F-
T
I nes¡duo I

Potenciación con exponente
positivo
Base y exponente natural
Cristian estudió la reproducción de una bacteria a través de varias observacio-
nes y registros. A partir del análisis, dedujo que se divide en otras dos bacterias
del mismo tipo cada 20 minutos y pronosticó que una bacteria estará dividida
en 64 bacterias del mismo tipo en dos horas. ¿cómo puedes verificar esto7
La tabla 9.'i muestra la cantidad de bacterias que se generan cada 20 minutos
durante dos horas.
2
2x2
2x2x2
2x2x2x2
2x2x2x2x2
2x2x2x2x2x2
Tabla 9.1
Podemos inferir que en dos horas una bacteria estará dividida en 64 bacterias.
Este resultado se obtiene después de multiplicar 2x2x2x2x2x2, expre-
sión que se escribir como 26.
Base negat¡va y exponente natural
se opera considerando las propiedades de la multiplicación de números en-
teros.
Ejemplo 1
Escribe como potencia cada expresión.
a. (-2) x (-z) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2)
b. (-a)x (-a)x (-a) x (-a)x (-a)x (-a)x (-a)
c. (-m)x (-m)x (-m)
d. (-3)x (-:)x (-3)x (-3)
Solución
a. (-2)x(-2) x (-2)x (-2)x (-2)x(-2):(-2)u=26 =64
b. (-a) x (-a) x (-a) x (-a) x (-a) x (*a) x (-a) = -a'.
c. (-m)x (-m) x(-m) = (-m)t = -m'
d. (-3) x (-¡) x (-3) x (-3) = (-3)'= 3a = 81
20
40
60
BO
100
120
V
Para practicar la potenciación,
consulta la sigulente página
web:
https://www youtu be.co m/
watch?v-rhfN N h-alBl
La operación de multiplicar el mismo factor varias veces se llama potenciación.
Sia es un número natural, calcularelproducto dea x axa...xa,n veces,
es igual a calcular la potencia a,,.
La operación que consiste en
multiplicar el mismo factor
un número determinado
de veces, se denomina
potenciación. Los términos
de la potenciación son la base,
que es el factor que se repite;
el exponente, que indica el
número de veces que se rep¡te
el factor en el producto; y la
potencia, que es el resultado
de la multiplicación.
Base ----> 3? = 243 <- potencia
T
Exponente
Recuerda
@
Tiempo
(minutosl
Divisiónrde una bacteria
cada 20 minutos
'Tétal de
diviiiánes
2
4
B
16
32
64
Ttc

T Propiedades de la potenciación
. Sección central
La potenciación de números naturales cumple las siguientes propiedades.
)
Exponente
cero
Producto de
potencias
con bases
iguales
Potencia de
una potencia
Todo número natural, distinto de cero,
elevado al exponente cero es igual a uno.
aa=1,Ya*0
El producto de potencias de igual base es
igual a la misma base de los factores, y el
exponente es la suma de los exponentes.
a'xa^=an't,Ya*0
La potencia de una potencia tiene como
base la misma base, y el exponente es el
producto de los exponentes.
(an)*=an"*,Ya*0
90= l
r4 ., ¡2
-
.4+)
-
a6
1l1-1 -Z
(5s)6 - 55x6 - 530
(3 X 4)e =3e x 4e
Potencia de
un producto
Cociente de
potencias
con bases
iguales
La potencia de un producto es igual al
producto de las potencias de los factores.
(axb)'=anxb',Ya,b*o
El cociente de potencias de igual base es
igual a la potencia con la misma base y el
exponente es la diferencia del exponente
del dividendo y del divisor.
a'
e=amxncona+0ym>n
(3
-
(r z
-
(r
._J
-J
q2
Tabla I0.1
É
rlemnlo t
| ,ru*or las propiedades de la potenciación para calcularryl
L",*,u"
32x (3)' _ 32 x (33") _ 32 X 36
3s 35 35
32+6
25
?8
J -o .
25
=33 =27
Aplicamos la propiedad potencia
de una potencia.
Aplicamos la propiedad producto
de potencias de igual base.
Aplicamos la propiedad cociente de
potencias de igual base.
Aplicamos el concepto de
potenc¡ación.
Propiedad
Para interpretar la teoría de
exponente que corresponde
a la aritmética, se tienen que
usar conocimientos de álgebra.
Conexiones
La potencia de una adición
o sustracción no es igual
a la suma o diferencla de
las potencias cuando los
términos que se adicionan son
diferentes de 0.
(3 + 2): +33 +23
53+27 +B
125 * 35
Recuerda
@
Tabla
'10.2
Explicación Ejemplo
o

Cambio de signo de la base
y del exponente
El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar por sí misma la base.
Ejemplo: 43 = 4x4x4 = 64
Si la base es negativa y el exponente es positivo, entonces debemos determi-
nar si el exponente es par o impar.
a. Si el exponente es par, la potencia es positiva.
Ejemplo: (-2)o = -2 x -2 x -2 x -2 = 16
b. Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
Ejemplo: (-2)t = -2 x -2 x -2 = *B
Orden en las operac¡ones
Cuando en una expresión hay varias operaciones, los signos de agrupación
indican cuáles deben resolverse primero, desde las operaciones ¡nternas hasta
las externas, en el siguiente orden:
1.o Operaciones indicadas dentro de los paréntesis ( )
2.o Operaciones dentro de los paréntesis rectangulares []
3." Operaciones indicadas dentro de las llaves { }
Si no hay paréntesis, el orden en el que se deben efectuar es el siguiente:
1.o Potencias
2.o lVultiplicaciones y divisiones
3.o Adiciones y sustracciones
Ejemplo
Simplifiquemos las siguientes expresiones.
a. 3x(-5+10)-42
b. l5+-3 +23x4-62
Solución
a. lndicamos las reglas empleadas.
3 x (-5 + 10) -4')= 3 x (5) - 42 Resolvemos la operación dentro
del paréntesis.
=3 x 5 - 16 Calculamosla potencia.
=
'l
5 - 16 Efectuamos la multiplicacion.
- -1 Calculamos la suma.
b. 15+-3 +23x4-62 = 15+-3+Bx4-36
=-5+32-36
-_o
En una potencia, si la base
es positiva y el exponente
es positivo, la potencia será
positiva.
Recuerda
Para cualquier valor de a, b y c
se cumple que:
-(o+b*c)=-s-b-c
Recuerda
@
Tema 1 1
a

Lecturas.
o especla
. Sección final
lizadas D
Dibujar en el desierto
El valle de Nasca es un sit¡o de gran atractivo turístico debido a los portentosos geoglifos conocidos como
líneas de Nasca. Se trata de enormes figuras trazadas a lo largo de kilómetros en el suelo del desierto, que se
han relacionado con el culto a ciertas divinidades, con cálculos astronómicos o con observaciones del universo.
Las formas de las figuras van del simple trazo de líneas hasta complejas representaciones que recuerdan anima-
les, plantas, formas geométricas y, sin duda, imágenes extraordinarias o fantásticas. La única manera de admirar
en toda su magnitud y belleza estos trazos sobre el desierto es desde el vuelo de una avioneta o un helicóptero.
Estos geoglifos han sido atribuidos a los diferentes pueblos preincaicos pertenecientes a la cultura Nasca, la cual
floreció entre los años 400 a 1000 d. C. en la costa meridional del Perú.
En 1994,estos glifos fueron incluidos por la Unesco en la lista del patrimonio mundial de la humanidad.
Otro de los atractivos de la zona es la riqueza de la cerámica elaborada por los antiguos habitantes de esta re-
gión. Se destacan los vasos, las vasijas cilíndricas y los cuencos decorados con temas variados: animales, pájaros
marinos, peces, figuras mitológicas (felinos, pájaro demonio, dios de dos cabezas, dios ciempiés) y, de nuevo,
motivos geométricos.
Asimismo, los tejidos provenientes de esta cultura Nasca son famosos, especialmente las prendas elaboradas
en lino o de material obtenido de animales de la región: lana de llamas, alpacas y vicuñas. Su temática es muy
similar a la realizada en la cerámica. La tradición de elaborar este t¡po de tejidos se mantiene vigente en la
actualidad.
RENa. (2005) . ltrlultiplicación y división de números enteros. Recuperado de http://www.rena.edu.vel
Tercera Eta palfi/atematica/TEltlAB/Mu lti pl icacion Divi sion.htm I
RENa. (2005). Números negativos ¿Qué significonZ Recuperado de http://www.rena.edu.ve/TerceraE-
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Timoteo, S. (2005). Ar¡tmét¡ca. Lima, Perú: Editorial San A/arcos.
a
a
a
Bibliografía
e
I
)

Crqanizador
v¡sual D
Se realiza la
operación entre
los valores
absolutos de los
dos números
Positivo
Puede expresarse como la suma
del minuendo con el opuesto
del sustraendo
Se sustraen los valores absolutos
de los números (el mayor
del menor) y se escribe en el
resultado el signo del número de
mayor valor absoluto
Se suman los valores absolutos de los
sumandos y se deja igual su signo
Multiplicar el mismo factor
varias veces
Negativo
Máximo común
divisor (m. c. d.)
Mínimo común
múltiplo (m. c. m.)
Relación de
orden
Criba de
Eratóstenes
Operaciones
Divisibilidad
Teoría de números y
números enteros
Nrimeros
enteros
Múltiplos Divisores
Adición
de signo
diferente
Sustracción
I de igual
signo
de igual
signo
Multiplicación y
división
de diferente
signo
Potenciación consiste en
elementos
resultado
@
Base, exponente y
potencia
7

. Sección final
En un día de invierno en Machu Picchu, la temperatura a las 3:00 a. m. era de 5 'C bajo cero y a las 4:00 p. m. del
mismo día, de 10 "C.
¿Cuántos grados aumentó la temperatura de las 3:00 a. m. a las 4:00 p. m.?
Pasos para la resolución del problema
qo
wo
@o
@9
aa
fo(o
'm.9
§¿ü
rc, _
6ú
UJ -C
Comprendemos el problema
Datos:temperatura de Machu Picchu a las 3:00 a. m. era de 5'C bajo cero, y a las 4:00 p. m
del mismo día, de 10'C.
Pregunta: ¿Cuántos grados aumentó la temperatura de las 3:00 a. m. a las 4:00 p. m.?
Diseñamos una estrategia
Utilizaremos la estrategia dividir el problema en partes, que consiste en comprender cada
una de las partes del problema, resolverla y así llegar a la solución total.
Aplicamos la estrategia heurística: Dividir el problema en partes.
a. Primero identiflcamos el punto de referencia 0'C (ver figura superior). Como la tempera-
tura de 10'C está por encima del punto de referencia, podemos escribirla con el número
relativo +,10'C o, simplemente, como 10 "C. La temperatura de 5 "C bajo cero la marca-
mos con un signo menos antes; esto indlca que la temperatura es bajo cero: -5 'C.
b. Nuestro punto de referencia es -5 "C, la temperatura registrada a las 3:00 a. m. Desde
esta temperatura, vamos a determinar el cambio. En primer lugar, ascendemos 5 "C y, en
segundo lugar, otros 10'C, para un total de l5 'C, es decir, 5 "C + I0'C = 15 'C.
La temperatura subió 15 "C.
Transferimos lo aprendido
Podemos afirmar que la temperatura subió 15 "C.
Esta estrategia nos sirve para resolver problemas y aplicarla en diversas situaciones.
e
c F

ffi
Mffiffi"ffi#trffi4i
ffi
ffiffiffi¿&;&ffi&ffi:i
ffiw
ffif -1 ; "i *i,
mw
a
B
I
ffi
T
H
t
-
H
t
-t ¡
--*.^-d
J
---¡
¡
.I'
La construcción de una
zampoña puede hacerse con
un tubo de PVC de 16 mm de
diámetro y 3 m de largo que
puede cortarse en 17 tubos.
Para los tubos más largos, se
puede inviertir un SO % del
tubo y el5 o/o,
en la decoración.
¿Cuáles son las posibles
medidas de los tubos?
Las fracciones están
presentes en la repartición
de una torta y en el peso
de los ingredientes. Si la
harina constituve f del
,4
contenido de una torta,
¿qué fracción representa
la totalidad de los
ingredientes?
Los jóvenes practican diversos
deportes: fútbol, vóley, tenis,
etc. Generalmente, en estas
competencias se usan frases
como "octavos de final",
"cuartos de final", etc.
Exactamente, ¿qué
representan los cuartos de
final?

Antes de comenzar ten en cuenta
o Número fraccionario: elementos
o Númerosdecimales:representación
¡ Números fraccionarios y decimales: comparación y
orden
o Números fraccionarios: adición y sustracción con el
mismo denominador
Sección inicial
Conceptos clave
o Clases de fracciones: con respecto a
la unidad y a su denominador
o Fracciones:operaciones
o Problemas aditivos: igualación y
comparación
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones en problemas aditivos de comparación e iguala-
ción con decimales y fracciones, y los expresa en un modelo.
o Usa modelos aditivos con decimales al plantear y resolver problemas
aditivos de comparación e igualación.
. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el
problema.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
o Representa el orden en la recta numérica de fracciones y decimales.
. Expresa las características de las fracciones equivalentes, propias
e impropias.
. Expresa las medidas de peso y temperatura, entre otros, con expresiones
decimales haciendo uso de la estimación.
Elabora y usa
estrategias
o Emplea estrateg¡as heurísticas y procedimientos al operar o simplificar
fracciones y decimales.
o Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen
cuatro operaciones con decimales y fracciones.
o Emplea procedimientos de estimación con decimales al resolver proble-
ma5.
. Emplea procedimientos de simplificación de fracciones.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
o .Justifica procedimientos de aproximación en números decimales por
exceso, defecto o redondeo.
o Justifica que al multiplicar el numerador y denominador de una fracción
por un número siempre se obtiene una fracción equivalente.
¡ Justifica a rravés de ejemplos qy"Í, b =t=#,t=ffi(siendo a y
b números naturales, con n, b # 0).
Capacidad lndicadores
Competencia
@

. lntroducción
Los números racionales se usan para expresar la relación entre cantidades de la misma magnitud o las partes
de un todo, entre otros. El manejo de números racionales implica utilizar una notación matemátlca cuyas
reglas permitan ordenar, comparar y operar con cantidades que representan parte de un entero, ya sea
por defecto o por exceso. Este tipo de números se emplean para construir zampoñas, pues de una caña de
I metro se cortan tubos de 0,25 metros de largo o de 0,1 metros, en el caso de los más pequeños. También,
en cocina, se emplean para determinar la cantidad o peso de los ingredientes de un plato;y en deportes, al
dividir una competición en octavos o cuartos de final.
Fracciones
Doña Patricia prepara un pastel y lo divide en partes iguales, de las cuales una
es para su hijo Rodolfo, otra para su hija Alejandra, otra para su hijo Ricardo, dos
para su esposo y la última para ella. ¿En cuántas partes dividió el pastel doña
Patr¡cia? ¿Qué parte del pastel recibió su esposo?
Si contamos las partes, doña Patricia tuvo que dividir el pastel en 6 partes, y
cada una de estas partes representa la sexta parte del pastel.
Figura 12.1
Si el esposo de doña Patricia recibió dos de las partes, entonces recibió
1121
obbJ
Como podemos observar, una unidad (o un conjunto) puede dividirse en va-
rias partes iguales, y a cada una de esas partes se las denomina fracción.
Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Se representa
delaforma
[,conb+0.
En la fracción 9, a es el numerador,y b, el denominador
J,
)u
b
Las fracciones se pueden representar por un numerador (que se lee primero)
y un denominador (que se lee después como un adjetivo partitivo: medio, ter-
cio, cuarto, etc.); también, con las terminacion es avo o ovos si el denomlnador
es mayor que 10). Las fracciones también se representan en la recta numérica.
Los egipcios fueron quienes
usaron por primera vez las
fracciones. Los babilonios
fueron quienes desarrollaron un
sistema de notación fraccionaria
con el que realizaron cálculos
muy precisos.
Ruiz, C. (2013). La fracción como
relación parte-todo y como cociente.
flesis de maestría). Universidad
Nacional de Colombia, Bogotá,
Colombia. Recuperada de
http://www.academia.
ed u / B 1 57 9 63 / La_fra cc i7oC30lo B3 n_
co mo_re I ac ioloC 3 7oB3 n_pa rte-
todo_y_como_cociente
@
Tema 12
que...?

Sección central
Clasificación de fracciones
Clases de fracciones con relación a la unidad
Una fracción puede ser menor, igual o mayor que la unidad, lo que las clasifica en
fracciones propias, iguales a la unidad e impropias. Observa que la fracción nueve
quintos se representa pintando cinco quintos en una unidad y cuatro quintos en
otra unidad igual.
l5
2
_
5
¡
5
2
5
!
5
+ !
5
Figura 13.1
Para representar una fracción propia se utiliza menos de una unidad o todo;
por esta razón, este tipo de fracciones son menores que la unidad.
Para representar una fracción impropia se utiliza más de una unidad o todo;
por esta razón, este tipo de fracciones son mayores que la unidad.
Para representar una fracción igual a la unidad se utiliza la unidad completa.
Figura 13.2 Ejemplo 1
Clasifica las siguientes fracciones:
c.
16
Solución
7
a. ; es una fracción propia, porque es menor que 1. En este caso, el nume-
8
rador es menor que el denominador.
?1
b. T es una fracción impropia porque es mayor que la unidad. En este caso,
el numerador es mayor que el denominador.
t6
c. fr es una fracción igual a la unidad. El numerador es igual al denominador.
Ejemplo 2
7
a.
B
b. 31
3
16
Ordena de manera descendente las siguientes fracclone t + +, +,
555
Solución
óo
=,=
55
1
5
87 6 3
5'5'5' 5
o
/
13
1
I

El Perú cuenta con una gran
variedad de instrumentos
oriundos como la zampoña, el
cajón y la quena, entre otros.
La Organización de Estados
Americanos (OEA) declaró
el cajón peruano como
"lnstrumento del Perú para las
Américas". También, reconoció
a José Escajadillo como el
"Compositor de América".
Recuperado de http://www.
larepublica.pe/01 -1 1 -201 4/
oea-reconocio-a l-cajon-perua no-
como-lnstrumento-del-peru-para-
las-americas
lnformación regional
Clases de fracciones según sus denominadores
De acuerdo con sus denominadores, dos o más fracciones se clasifican en ho-
mogéneas o heterogéneas.
¡ Las fracciones homogéneas tienen el mismo denominador.
. Las fracciones heterogéneas tienen diferente denominador
^#€D Eiemolo 3
J
Observa las figuras y determina qué tienen en común las fracciones:
Solución
En ambos casos, la unidad
está dividida en el mismo
número de partes (B), que
corresponde al denomi-
nador; el numerador es
diferente. Por tanto, son
fracciones homogéneas.
Figura 13.3
l8
:
8
t
Fracciones eq uivalentes
Dos o más fracciones con numeradores y denominadores diferentes pueden
representar la misma parte de una unidad. Estas fracciones reciben el nombre
de fracciones equivalentes.
2x1
3x1
2x2 Cada parte
dividida en dos
Cada parte
2
3
4
6
6
9
B
12
2
3
4
2
3
2
3
2
3
2
3
3x2
2x3
6
6
3x3
2x4
9 dividida en tres
B Cada parte
'l
2 dividida en cuatro
3x4
Figura 13.4
Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural, diferente de cero, se obtienen fracciones equivalentes.
Este proceso se denomina amplificación.
La figura 13.4 muestra fracciones equivalentes: al dividir cada parte de la figura
en 2, se duplican el numerador y el denominador de la fracción que la repre-
senta, lo que da como resultado una fracción equivalente a dos tercios. Al divi-
dir cada parte en 3, se triplican el numerador y el denominador de la fracción y
se obtiene otra fracción equivalente. Al dividir cada parte en 4 se obtiene otra
fracción equivalente. Entonces, las fracciones son equivalentes y se escrrben
,2 4 6 8
"'''3 6 9 12'
Se pueden encontrar infinitas
fracciones equivalentes a una
fracción dada.
Recuerda
Para simpl ifica r fracciones
en las que el numerador y el
denominador son números
grandes, es conveniente
expresarlos como el producto
de sus correspondientes
factores primos.
e

Al dividir el numerador y el denominador de una fracción entre un mismo
número que sea divisor común, se obtienen fracciones equivalentes. Este
proceso se denomina simplificación.
Sección central
Ejemplo 4
11
Si multiplicamos por 9 el numerador y el denominador de la fracción oc-
tamos amplificándola por 9, como se muestra a continuación
15
11 1',1x9 99
. 15 15X9 135
Son números racionales aquellos que pueden ser expresados como el
cociente entre dos números enteros a y b, con b + 0.
Números rac¡onales
Las características de un número racional son las siguientes:
. Un número racional puede ser positivo (*), negatlvo (-) o cero (0) y su
signo dependerá de la ley de signos de la división. Si el número está expre-
sado como fracción, esta puede llevar el signo negativo en el numerador
o el denominador, o estar alineado con la lÍnea que separa el numerador
deldenominador.
o La representación de un número racional en la recta numérica emplea la
fracción correspondiente. Así, para una fracción de denominador n, cada
unidad se divide en n partes iguales y se ubica la fracción en el lugar res-
pectivo. Una fracción como un número racional ocupa un único punto en
la recta.
. La reunión de los racionales negativos, cero y positivos forma el conjunto
de los números racionales que se representa con Q, que proviene de la
palabra cociente o quocient. Así:Q : Q- u {0i u Q*.
o El conjunto CD no tiene primer elemento, es ordenado según la relación
menor que (<) y, además, es denso, porque entre dos números racionales
existe otro número racional.
,GF rjemplo s
c.0
Solución
a. Este número pertenece a Q+
b. Este número pertenece a Q-
c. Este número pertenece a {0}.
Indica si los siguientes números pertenecen a Q-, {0} o Q*
1
1
b.
§_
7
Observa la relación entre los
números naturales, enteros y
racionales.
a
Recuerda
e

2 unidades
Fracciones y números decimales
Ejemplo 1
Hallemos la fracción m¡xta que corresponde a la fracción l.
4
Solución
La fracción mixta se puede obtener mediante una representación gráfica (ver
figura 14.1).
Por tanto, la fracción mixta correspondiente u 1 "t
Z).
44
Fracciones decimales
Natalia dibujó dos cuadrados. El
primero lo dividió en 10 partes
iguales y coloreó 6. El segundo
lo dividió en 100 partes iguales y
coloreó 87 (ver figura 14.2).
Escribamos la fracción que repre- Figura 14.2
senta la parte coloreada en cada cuadrado.
6
La fracción
fr ,"p,.r.nta la parte coloreada del primer cuadrado, y S tu O.t
' 100
segundo. Estas fracciones t¡enen en común que sus denominadores son po-
tencias de 10. La primera fracción, se lee "seis décimas', y la segunda, "ochenta
y siete centésimas".
Una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 se denomina
fracción decimal. También hay fracciones decimales cuyo denominador es
múltiplo o divisor de una potencia de 'l
0; por ejemp|o,50,25,250, 500, etc.
Números decimales
Podemos escribir las fracciones decimales de otra forma; por ejemplo, Jl
se escribe 0,56. Esta última expresión se denomina número dec¡mal. frl?H
número decimal,la parte que aparece antes de la coma (a la izquierda) se llama
parte entera, y la que está después de la coma (a la derecha), parte decimal.
Para escribir una fracción decimal como número decimal, debes tener en
cuenta lo siguiente:
1. Escribir el numerador y una coma después de correr de derecha a
izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador.
2. Si la cantidad de cifras en el numerador es menor que la de ceros en el
denominador, agregar a la izquierda del numerador tantos ceros como
sea necesario para correr la coma decimal la cantidad de lugares que
indica el denominador.
4
Figura 14.1
Un número mixto es otra
forma de escribir una fracción
impropia.
Recuerda
Revisa el libro Cuentos de
matemót¡cas, de Hervás, y
aprende estrategias para la
resolución de problemas.
Los porcentajes pueden
escribirse como fracciones,
por ejemplo, 20 o/o equivale a
?n
,1i.En un gráfico estadÍstico,
IUU
se puede aludir al 30 7o de la
población, que equivale ¿ 39.
100
V
Conexiones
Para expresar una fracción
impropia como fracción
mixta, se procede a dividir
el numerador entre el
denominador. El cociente
corresponde al número
natural de la fracción mixta, el
residuo es el numerador y el
denominador es el mismo de
la fracción.
Recuerda
@
14
o

. Sección central
c.
Ejemplo 2
Escribe como número decimal cada
una de las siguientes fracciones deci-
males.
a.
148
b.
67
Solución
a. ffi= r,+a
b. #=nu,o
c. ffi= o,oo,
d. 29 = 0.0029
10000
100
964
10
1 000
29
d.
10000
q
ñ
6tr
(u
ó
otrro.0J
':6F
F .or '= l-
:v
qú
r§9cl
c!-o
U_IU
U
L
UCJC
uol
C-C
.^ L .af
-: .o :
ECC-CC
(L
cJ - Q () ^. (J
-o:c-olg"5
6(J66uq
Fre*PÉ9
O)Yrtrc,:.rO
UPU
LVLV
AtUCa)UC
üolüof
Tabla de valor posicional
La tabla de valor posicional de los números naturales se puede extender hacia
la derecha. Se debe tener en cuenta que, cada vez que se mueve un lugar a
la derecha, el valor de la unidad correspondiente se hace l0 veces menor. La
tabla muestra los diferentes valores posicionales de un número decimal.
2 3 4 5 6
Coma decimal
Ejemplo 3
Ubica en la tabla de valor posicional los siguientes números y escríbelos en
palabras.
a. 52,9 b. 721,34 c. 4,503 d. 0,0006
Solución
7
6
Tabla 14.1
Para escribir los números en palabras, primero determinamos la posición del
último dígito a la derecha.
a. Como el 9 está en la posición de las décimas, el número se puede escribir
como 529 décimas o 52 unidades y 9 décimas.
b. 72 134 centésimas o 721 unidades y 34 centésimas.
c. 4503 milésimas o 4 unidades y 503 milésimas.
d. Seis diezmilésimas o cero unidades y seis diezmilésimas.
El primero que usó la coma
para separar la parte decimal
fue el astrónomo italiano
Giovannl Magini ('1 555-'l 6l 7).
En 1617, el matemático
escocés .iohn Napier (1550-
'161
7) recomendó el uso del
punto. En la actualidad, no es
uniforme el simbolismo de la
notación decimal. En países
como EE. UU. y México se
usa el punto, mientras que
en Europa y varios países de
América Latina se emplea la
coma.
que...?
L
5 2 9
2 1 3 4
5 0 3
4
0 0 0 0
Centenas
Coma
decimal
Centésimas
Diezmi-
El valor de cada dígito en un
número decimal depende de
la posición que ocupa.
Recuerda
e
Decenas Unidades Décimas Milésimas

1
2
+
3
8
?
Adición y sustracción con
Íracciones y decimales
De un vitral con forma octagonal, Jorge pinta la mitad de la superficie de azul
y lt4iguel pinta tres octavos de verde. ¿Qué fracción de la superficie del vitrai
pintaron entre los dos?
La suma de las fraccio 1 3 '
nes
, V
f indicará la fracción de la superficie del vitral
que se encuentra pintada (verfigura 15.1). Para hallar dicha suma, buscamos
fracciones homogéneas equivalent"r,
], ]
o Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
m. c. m. (2;B) : 6.
o Buscamosfracciones equivalentes. I V * con denominadorB yamplifi-
1 ¿'I
camos -.
2
11x443
_:_:_ la I
1: Zx+: B.
Lu fracción
f tiene como denominador B; por lo tanto, se
deja igual.
¡ Finalmente, sumamos las fraccion"r ]a I :!¡1:7 .
z B 8'8 B'
Luego, lt/iguel y Jorge pintaron I O. tu superficie del vitral.
ó
Para sumaro restarfracciones con el mismo denominador (homogéneas),
se suman o restan los numeradores según corresponda y se escribe el
mismo denominador.
Para sumar o restar fracciones con diferente denominador
(heterogéneas), se buscan fracciones equivalentes a estas, con igual
denominador; luego, se suman o restan estas fracciones.
Figura 15.1
Ejemplo 1
Gilberto obtuvo S/ 28,75 por la venta de dos zampoñas. Patricia ganó S/ 13,5
más que Gilberto por la venta de las suyas. ¿Cuánto dinero obtuvo Patricia?
Solución
Para responder la pregunta, sumamos 28,75 y 13,5. Para ello, ubicamos los
sumandos, de manera tal que las comas decimales queden alineadas y, con
el fin de que las dos cantidades tengan el mismo número de clfras después
de la coma decimal, expresamos I3,5 como 13,50 y resolvemos.
2 8,7 5 +
13,5 0
42,25
Por lo tanto, Patricia ganó S/ 42,25.
Consulta la sección de
Ar¡tmética del libro E/
mentor de motemóticas, de
Gispert y Navarro. Con ello,
profundizarás en operaciones
con números fraccionarios y
decimales.
Cuando se van a sumar o a
restar números decimales que
no tienen el mismo número
de cifras después de la coma,
se iguala el número de cifras
agregando ceros a la derecha
de la última cifra del número
que lo requiera.
Recuerda
@
15

Sección central
El lunes Carmen compró
] fg O. azúcar y eljueves compró
J
kg. ¿Cuanta
azúcar compró más eljueves que el lunes?
Solución
Para resolver el problema, debemos resolver la operación
i-+
Como las fracciones son heterogéneas, debemos buscar fracciones homogé-
neas que sean equivalentes (ver flgura 15.2).
o Hallamos el minimo común múltiplo de los denominadores:
m. c. m. (3;4) : 12.
o Amplificamos por +, !:+::+
3 3x4 12
Ejemplo 2
Amplificamos por 3
1 1x3 3
4 4x3 12
a
a
a
a
Restamoslasfraccioner,Z-
1- B
-
3:5
34121212
Por tanto, Carmen compró
fi mas eljueves.
Solución
Para responder la pregunta, debemos restar 0,2 de 1,76.
Como t¡enen diferente número de cifras en la parte deci-
mal, agregamos un cero para realizar la sustracción:
Para hallar la edad de Felipe, se realiza lo slguiente:
1
4
2
3
8 3
12
Figura 15.2
Ejemplo 3
Alicia mide 1,76 m, Felipe 0,1 m más que Lucas, y este 0,2 m menos que Alicia.
¿Cuál es la estatura de Lucas? ¿Cuál es la estatura de Felipe? ¿Quién es más
alto de los tres?
2
1, 7 6 -
0,20
1, 5 6
1, 5 6 +
0,r
1, 6 6
Como Alicia mide 1,76 cm, Felipe, 1,66 cm, y Lucas 1,56 cm, la más alta
es Alicia.
Los tiempos empleados por los
competidores en las carreras
de fórmula uno, se presentan
en números decimales. Los
resultados se exponen de la
siguiente manera: se escribe
el tiempo del competidor
que llega primero a la meta;
luego se escribe solamente
la diferencia entre el tiempo
alcanzado por el ganador y
el tiempo de cada uno de los
demás participantes.
V
Para ejercitar la adición y
sustracc¡ón de nÚmeros
decimales, ingresa a
http://www.skoool.es/contenV
los/maths/su m m-deci mals,/
launch.html
e
que...?
Tlc
a

Multiplicación y división
con decimales y fracciones
Luis le regaló a su hijo Raúl la mitad de un terreno. Raú1, a su vez, le regaló a su
hila ] de lo que le correspondió. ¿Qué parte de la finca le regaló Raúl a su hija?
,4
11. 1l
4
O"
, matematlcamente se expresa como 4
x
1,
l-1_1x1_1 ^. l
4 ^ j: T7,
:, . Raúl le regaló a su hija
, del terreno.
4r r Eiemplo 1
Eva compró una pulsera de oro con un peso de 4,5 gramos. Si el precio de un
gramo de oro el día de Ia compra eraS/ 148,80, ¿cuánto pagó por la pulsera?
Solución
Para responder esta pregunta, multiplicamos el precio de un gramo de oro
por el peso en gramos de la pulsera, es decir, 148,80 por4,5. Realizamos la
operación como si fueran números naturales:
148 B0 x 45 : 669 600
Como 148,80 tiene dos cifras decimales y 4,5 tiene una cifra decimal,
el producto debe tener 2 + 1 : 3 cifras decimales; entonces, el producto es
669,600.
r Portanto, Eva pagó S/669,6 por la pulsera
;@ Ejempto 2
Calculamos el área del terreno rectangular de la figura.
Tiene 2 cifras decimales
Tiene 1 cifra decimal
2,35 m
2,3 sx
6,4
940
1410
Separamos 3 cifras
decimales en el resultado 1 5, 0 4 0
6'4 m Figura 15.4
Solución
Para hallar el área del terreno, multiplicamos la longitud del ancho (2,35 m)
por la longitud del largo (6,4 m), como se muestra en la figura 1 5.4.
o Como el producto es 15,040, entonces el área del terreno es 15,04 mr.
Cuando uno de los factores
de la multiplicación es un
número natural, se debe
expresar como fracción y
luego se debe efectuar el
producto. Cuando uno de los
factores es un número m¡xto,
se debe transformar en una
fracción impropia y luego
multiplicar numerador por
numerador y denominador por
denominador.
Recuerda
La multiplicación de fracciones consiste en multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí. El producto de los numeradores será el numerador,
y el de los denominadores, el denominador de la fracción resultante.
Para multiplicar un número
decimal por una potencia
de diez, se corre la coma a la
derecha tantos lugares como
ceros tenga la potencia de
diez; por ejemplo:
5,6X10:56
3,498x100=349,8
0,B9B7xl0=8,987
5i el número decimal tiene
menos cifras decimales que
la cantidad de ceros de la
potencia de 10, el producto
se completa con ceros a la
derecha; por ejemplo:
45,7x100=4570
Recuerda
Para multiplicar números decimales se realiza la multiplicación como si
se tratara de números naturales y en el producto se cuenta, de derecha
a izquierda, tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras
decimales de los factores.
@

. Sección central
¡ r ElemRlo 3
Determinamos cuántos tarros de gintura se necesltan para envasar O) Oab-
nes en tarros cuya capacidad es de
f,
de galón.
Solución
Para resolver el problema, realizamos la operació
"
u)"2
Para dividir fracciones, multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor.
'I .5
')o
6 6 x
1
9
5
Expresamos el número mixto como fracción y efectuamos la multiplicación
13 .,9 117 _ 1
;";:,0 :"ro
. En conclusión, se necesitan
l,Y turro, de pintura, es decir, 12 tarros
10
f-- EiemRlo a
Una constructora construirá un edificio de 21,6 m de altura. Si construye de-
partamentos simples, el edificio tendrá 9 pisos. Si hace departamentos dú-
plex, cada piso tendrá una altura de 3,6 m. ¿Qué altura tendrá cada piso si se
construyen departamentos simples? ¿Cuántos pisos tendrá el edificio si se
construyen departamentos d ú Plex?
Solución
Para responder la primera pregunta, dividimos 21,6 entre 9
Ds-
216
3 6 2
I4ultiplicamos por 10 a 21 ,6y a 9, luego reso
vemos la división entre naturales.
Continuamos la divislón agregando un 0 al
residuo y colocando una coma decimal en el
cociente.
216
360
Lr-
2,
Lru-
2,4
216
360
00
Una forma de hacerlo consiste en multiplicar el dividendo y el divisor por
10, como se muestra a la derecha. Así, se trata de una división entre números
naturales (216 + 90). Los cocientes de 21,6 + 9 y 216 + 90 son iguales.
Sl se construyen departamentos simples, la altura de cada piso será de 2,4 m.
Para responder la segunda pregunta, dividimos la altura del edificio entre la
altura de cada piso: 21,6 + 3,6. N¡ultiplicamos el dividendo y el divisor
por 10 y realizamos la división.
216
00
Lr-
6
. Por tanto, si se construyen departamentos dúplex, el número de pisos será de 6.
Para dividir dos fracciones,
multiplicamos el dividendo por
el recíproco del divisor.
Recuerda
Dos números fraccionarios son
recíprocos si el producto de
ambos es uno.
1a
j es recíproco de 9, porque
81
:3:1 Del mismo
2
modo,
5
es reclProco oe
5 3 5 15
J,porqueE"J:E:'
1r9
B1
Recuerda
e
Para dividir dos números decimales se realiza una división con números
naturales que tenga el mismo cociente. Los nÚmeros naturales que se van
a dividir se obtienen multiplicando el dlvidendo y el divisor por la potencia
de 10 necesaria.

Aproximación de números
decimales por defecto, exceso
y redondeo
Aproximación de números decimales por defecto
Para aproximar un decimal exacto por defecto, se busca el número con una
cantidad de cifras determinadas que esté próximo al número dado pero que
sea menor. Por ejemplo, para aproximar el número 2,1358 por defecto con
2 cifras decimales, se eliminan las últimas 2 cifras y el resultado es 2,,1 3.
Aproximación de números decimales por exceso
Para aproximar un decimal exacto por exceso, se busca el número con una
cantidad de cifras determinadas que esté próximo al número dado pero que
sea mayor. Por ejemplo, para aproximar el número 2,1358 por exceso con
2 cifras decimales, se eliminan las últimas 2 cifras y el resultad o es 2,14.
Aproximación de números decimales por redondeo
Aproximar un número decimal a la unidad consiste en eliminar la parte deci-
mal, aproximándola a la unidad más cercana.
6§
e¡empto r
ffi
Aproxima por redondeo cada número alvalor posicional indicado.
f,
". 254,3 ala decena más cercana.
b. 9,476 a la centésima más cercana.
Solución
a. La cifra de las decenas del número254,3 es 5. El digito que está a la de-
recha de 5 es 4, que es menor que 5. Por tanto, se deja igual la cifra de
las decenas, se om¡te la cifra que está después de la coma decimal y se
vuelve cero la que se encuentra antes de la coma decimal. Lueqo, la apro-
ximación de254,3 es 250.
b. La cifra de las centésimas del número 9,476 es 7. El dígito que está a la
derecha de 7 es 6, que es mayor que 5. Por tanto, se suma I a la cifra de
las centésimas y se omiten las cifras que están a su derecha. Luego, la
aproximación de 9,476 es 9,48.
Por
defecto
Por
exceso
Por
redondeo
),6
Pr¡r
defer to
2,7
Por
exceso
),7
Por
redondeo
2,673
2,67 2,68 2,67
Recuerda
Para profundizar en la
aproximación de los números
decimales, consulta la página
web
http://www.ematematicas.net/
a proximacion.ph p
Para aproximar un número decimal a una cifra determinada, se observa el
dígito que se encuentra a su derecha.
o Si este dígito es menor que 5, la cifra a la que se desea aproximar se deja
igual y se omiten todas las de las derecha si están después de la coma
decimal. Si se encuentran antes de la coma decimal, se vuelven cero.
. Si este dígito es mayor o igual que 5, se suma I a la cifra que se desea
aproximar y se omiten todas las de la derecha si están después de la
coma decimal. Si se hallan antes de la coma decimal, se vuelven cero.
@
17
Número Aproximación a la décima
Ttc

Sección central
Problemas aditivos: de
igualación y comparación
Problemas de igualación
A Sara yJosefina les obsequiaron una bolsa de dulces. Sara recibió :f a" to,
a
1
dulces. Si come t
i de los dulces, tendría lo mismo que Josefina. ¿Cuántos
dulces recibió Josefina?
Los problemas de igualación presentan las siguientes características
a
Se trata de igualar dos cantidades.
Se incluyen las frases "tantos como" e "igual que'i
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola,
hasta hacerla iguala la otra.
Representamos los datos del problema en un diagrama, como el de la
figura 18.1.
Consumió de los dulces
A
Recibió 35
de los dulces
Josefina Figura lB.1
l
Sara
Para determinar cuánto recibió Josefina, restamos lo que recibió Suru t 3l )
y la parte que se comería 1r
J I v obtenemos zal. eooemos representar esta
situación de la siguiente manera:
,t -, 1: (¡ -, ).(Í- i)
:,.L+ -A:,h
Restamos las partes fraccionarias de cada número mixto y las partes enteras.
Así, Josefina recibió zS O. dulces.
Problemas de comparación
La empresa Picaya recaudó S/ 5800,20 en la exportación de zampoñas. Lo
recaudado por la empresa Picaya fue S/ 985,10 más que la empresa Soraci.
¿Cuánto dinero recaudó la empresa Soraci? ¿Cuánto dinero recaudaron las dos
empresas?
?
Para resolver problemas sigue
estos pasos:
1. Comprende el problema
2. Diseña una estrategia
3. Aplica la estrategia
4. Transfiere lo aprendido
Recuerda
@
18

Los problemas de comparación presentan las siguientes características:
a
a
Se comparan dos cantidades y se establece una relación de comparación
entre ellas.
Una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir,
la cantidad que se compara con respecto al referente.
Para responder la primera pregunta, representamos el problema en un dia-
grama (ver figura 18.2).
La empresa Picaya recaudó S/ 985,10 más que la empresa Soraci. Por tanto,
restamos S/ 985,10 de S/ 5800,20 para saber cuánto dinero recaudó la empresa
Soraci. Un procedimiento para hacerlo consiste en ubicar el minuendo y el
sustraendo, de manera que las comas decimales queden alineadas.
s/ 5800,20
Picaya
+ S/ 985,1 0
Soraci
Figura 18.2
Daniel
Figura 18.3
20
10
5800
9Bs
481s
La empresa Soraci recaudó S/ 4815,10.
Para responder la segunda pregunta, sumamos S/ 5800,20 y S/ 4815,'10. Una
forma de calcular esta suma consiste en ubicar los sumandos, de manera tal
que las comas decimales queden alineadas.
10
20 +
5800
4815
-rr3,-
'I 0
10615,30
Entre la dos empresas recaudaron S/ l0 615,30.
-:1 Ejemplo 1
Sofía tiene17,B kg de indice de lvlasa Corporal (lA/C) menos que su hermano
Daniel. Si Sofía pesa 35,47 kg de lA/C, ¿cuál es el lA/C de Daniel?
Solución
Representamos en un diagrama el lA/C de Sofía con respecto al lfi4C de Daniel
(ver flgura 18.3). Sea p el peso de Daniel, entonces:
p - 17,8 = 35,47 Relramros I l,ti de p.
p - 17,8 + 17,8 = 35,47 + 17,8 lLrrnamos t7,B a ambos lados de la iqualdad
P = 53,27 I tictuamos ;rs operacionc:
Así, p = 53,27.Por lo tanto, el ltvlC de Daniel es 53,27 kg.
Verificamos la respuesta reemplazando p por 53,27 y efectuando las opera-
ciones.
p-17,8=35,47
53,27 -17,8=35,47
35,47 = 35,47
35,47 kg
5ofía
?
?
@

Sección final
a t
Conocer más sobre la zampoña
Nuestro país no solo cuenta con una gran riqueza
culinaria y natural; también tiene una riqueza musical.
Existe una gran variedad de instrumentos musicales en
nuestro país, lo cual permite la generación de múltiples
tonos y estilos musicales. Uno de los instrumentos
musicales más conocidos es la zampoña.
La zampoña es un instrumento de viento característico
de la región andina. Produce notas melodiosas debido
a su estructura: l3 o 15 tubos de diferentes diámetros y
tamaños, ubicados en dos hileras (la hilera superior, de B
o 7 tubos, llamada arka;la hilera inferior,deT o 6 tubos,
llamada lra). Estas hileras se atan con lindos tejidos y
crean una disposición armoniosa y singular.
Las zampoñas también se afinan de acuerdo con una tonalidad específica. 5in embargo, a diferencia de las
quenas, estas se nombran según la relativa menor, es
decir, una zampoña afinada en Sol mayor se dirá que
es una "zampoña en IVli menor", siendo Arli menor la
afinación más común.
Las zampoñas se pueden hacer de carrizo o de tubos
de PVC, y el número de cañas varía dependiendo de la
necesidad del músico o de la canción. La elaboración
de las zampoñas requiere de precisión. La longitud de
cada tubo, diámetro, abertura, entre otros, hace que la
nota cambie de rango de amplitud.
Podemos hacer uso de los números racionales
cuando nos referimos a la elaboración de la zampoña.
Por ejemplo, para elaborar una zampoña de una hilera de B tubos, algunas personas utilizan 3 metros de
1
tubo de PVC de; pulgada (1,27 cm) y lo dividen en B partes:30,5 cm; 27,5 cm 24,5 cm;22,5 cm;20,5 cm;
)'
19,5 cm; 17,5 cm. En otros casos, utilizan otro material y otras medidas.
Lecturas,
espdüializadas
. Disfruta las lt/atemáticas. (201 1). Decimales. Recuperado de http://www.disfrutalasmatematicas.
com/n u meros/deci ma les-menu.html
. Gamarra ,N. (2007). Aritmética:Teoría y próct¡ca.lima, Perú: Editorial San IVlarcos.
o N/atex Website. (2006). Números fraccionarios. Recuperado de http://docente.ucol.mx/grios/aritme-
tica/NumFraccionarios.htm
¡ Timoteo, S. (2005). Ar¡tmét¡ca. Lima, Perú: Editorial San lvlarcos.
@
)
s
,(
f
," t
¡
,
t
I
!1
*
Bibliografía

Orqanizador
visual '
según la
unidad
según sus
denominadores
se pueden
expresar
como
se pueden
pueden ser
operaciones
para ner
para
9enerar
se expresan
como
@
Fracciones
decimales
Números racionales
Homogéneas
y heterogéneas
Números
mixtos
Propias
lmpropias
lguales a la
unidad
Adición
Sustracción
Mult¡plicación
División
Números decimales
Clases
Fracciones
Simplificar
Amplificar
Fracciones
equivalentes
-1

Sección final
Sebastián recibió de regalo por su cumpleaños algunas zampoñas, las cuales colocó en un tapete de forma
rectangular de 3 metros cuadrados de área, cuya longitud total es de 7 metros.
¿Cuáles son las dimensiones deltapete rectangular?
Pasos para la resolución del problema
@o Comprendemos el problema
Sabemos que el tapete es de forma rectangular y que tiene 3 metros cuadrados de área y
7 metros de perímetro. Debemos hallar las medidas del largo y el ancho del tapete.
Diseñamos una estrategia
Pensemos cómo podemos resolver el problema. En este caso, usaremos la estrategia ensayo
y error.
Aplicamos la estrategia heurística: Utilizar el ensayo y el error
Recordemos cómo podemos hallar el área y el perimetro de + Largo
-
@o
@0
un rectángulo. f
I
Área = largo x ancho Ancho
Perímetro=(largo+ancho)x2
I
Como el perímetro es 7 m, la suma del largo y el ancho es 3,5 m.
Tomemos dos números cuya suma sea 3,5 y organicemos los datos en una tabla.
a
(o
U
.F
.(n
-
:f
§)
.C
a
.(o
oo
§)
1J
fo
l-
+J
a
LLI
1,8 3,06
El área no corresponde al dato buscado.
Probemos con otros dos números que sumen 3,5, como 1,9 y 1,6.
1,8 3,06
1,9 3,04
Nos acercamos al valor del área que necesitamos. Tomemos un número mayor que 1,9.
1,8 3,06
1,9 3,04
2,0 3
Vemos que si las medidas son 2 m y 1,5 m, los valores del perímetro y el área coinciden con
los datos proporcionados en el problema, entonces estas son las dimensiones del tapete.
Las dimensiones del tapete son 2 m y '1,5
m.
Transferimos lo aprendido
La estrategia ensayo y error puede ser útil cuando necesitamos hallar dos o más datos. Los
dos datos que necesitábamos encontrar en el problema anterior eran el largo y el ancho del
tapete. Si el tapete tuviera la forma de un cuadrado de 9 metros cuadrados y de una longitud
total de 12 metros, ¿cuáles serían sus dimensiones?
1,7 3,5
Largo (m) I Ancho (m) i Perímetro (m) i Area (m'?)
Largo (m) : Ancho (m) Perímetro (m) Área (m2)
I
1,7 3,5
1,6 3,s
1,5 3,s
Largo (m) Ancho (m) I Perímetro (m) i Área (m'?)
@9
@
T
1,7 3,5
1,6 3,s

Proporcionalidad
y porcentaje
I ntencionalidad pedagógica
En este capítulo abordarás las relaciones entre cantidades y magnitudes
mediante modelos de aumentos y descuentos porcentuales. También
conocerás el método de reducción a la unidad y la regla de tres simple, en
problemas relacionados con proporcionalidad dírecta. Todo ello te aportará
aprendizajes relacionados con el pensamiento y el actuar matemático en
situaciones que involucren cantidades. Alfinal, elaborarás modelos basados en
aumentos y descuentos porcentuales y presentarás la información pertinente
de los gráficos y tablas.
Capítulo
(}
'
I
I
I ¿
,F Simulación de crecimiento
de Escherichia coli
Número de
bacterias
0 (inicio) 50
100
200
300
2
3
L--:;
ñ &
horas
En una feria gastronómica
realizada en Huancayo,
se venden platos típicos.
Uno de ellos es la humita.
Sise utilizan 2 kg de maíz
para preparar 20 humitas,
¿cuántos kg de maíz se
necesitarán para preparar
4 docenas de humitas?
Una de las pasiones
latinoamericanas más
conocidas es el fútbol.
Si a un partido de fútbol
asisten 43 210 personas,
de las cuales22790 san
menores de 40 años,
¿qué porcentaje de los
asistentes son mayores de
40 años?
Exherichia coli es una
bacteria que vive en el
intestino de las personas;
tiene una masa de 2 x 1012
9ramos.
Según la tabla, ¿cuál es la
razón entre el número de
horas y el crecimiento del
número de bacterias?

. Sección inicial
Antes de empezar ten en cuenta
o Porcentajes:definición
. Números: decimales y fraccionarios
o Representación:porcentual
o Problemas:proporcionalidaddirecta
a
Conceptos clave
Proporcionalidad: d irecta, razones
proporcionales, magnitudes de
proporcionalidad directa, método de
reducción a Ia unidad y regla de tres simple
directa.
Porcentaje: sig nificado del porcentaje,
vanación porcentual, aumentos y descuentos
a
porcentuales, diagramas y gráficos de
au mentos y descuentos porcentuales.
Apr endizaies esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones entre magnitudes en problemas multiplicativos
de proporcionalidad y lo expresa en un modelo de solución.
¡ Usa modelos referidos a la proporcionalidad directa al resolver problemas.
o Relaciona cantidades y magnitudes en situaciones específicas y Io ex-
presa en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales.
o Usa un modelo basado en aumentos y descuentos porcentuales al plan-
tear y resolver problemas.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
. Organiza datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad
d¡recta entre magnitudes.
r Representa aumentos o descuentos porcentuales empleando diagra-
mas o gráficos.
¡ Expresa en forma oral o escrita el aumento o descuento porcentual,
expresando el significado del porcentaje.
Elabora y usa
estrategias
o Emplea el factor de conversión, el método de reducción a la unidad y
la regla de tres simple en problemas relacionados con proporcionalidad
directa.
o Halla el término desconocido de una proporción con base en recursos-
gráficos y otros al resolver problemas.
. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas relacionados con
el aumento o descuento porcentual.
¡ Halla el valor de aumentos o descuentos porcentuales apoyándose en
recursos gráficos y otros al resolver problemas.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
. Plantea conjeturas con respecto a la propiedad fundamental de las
proporciones a partir de ejemplos.
¡ lustifica la diferencia entre el concepto de razón y proporcionalidad
a partir de ejemplos.
. Argumenta los procedimientos de cálculo sobre aumentos y descuen-
tos porcentuales.
o Justifica los procesos de variación porcentual para resolver problemas.
lndicadores
Competencia Capacidad
@

t lntroducción
La proporcionalidad se puede aplicar en diversas situaciones de la vida cotidiana, como en la reproducción
de las bacterias, ya que existe una relación directamente proporcional entre los días transcurridos y la
proliferación de ellas. También aplicamos los porcentajes al realizar compras y preferimos los productos
que nos ofrezcan mayor descuento. Asimismo, podemos aplicar los porcentajes si deseamos calcular el
incremento del precio de una entrada a una tribuna con respecto a otra en un estadio de fútbol.
¡
Razones proporc¡onales
2 5
2
5
En las construcciones de las ruinas de A/achu Picchu, encontramos que por
cada2 piedras de forma pentagonal hay 5 piedras de forma cuadrangular.
Estamos comparando dos cantidades o dos magnitudes. Es decir, compara-
mos el número de piedras de forma pentagonal con el número de piedras de
forma cuadrangular. La relación entre el número de piedras de forma penta-
gonal y el número de piedras de forma cuadrangular es de 2 a 5, que se puede
)^
expresar como
f ; 2'.5,2 + 5 y significa que el número de piedras de forma
pentagonal .r] O.t número de piedras de forma cuadrangular. Estamos
5
comparando las cantidades usando razones.
EI cociente que se utiliza para comparar dos magnitudes o cantidades se
denomina razón. Se puede escribir como d * b,t oa:b,parab+0.
la razón a : b se lee a es a b. El primer término de una razón (a) recibe el
nombre de antecedente;y el segundo (b), el de consecuente.
En Ia razón ] el antecedente es 2 y el consecuente 5.
5
¿Cuántas piedras de forma cuadrangular habrá por cada 4 y 6 piedras de forma
pentagonal?
Si por cada 2 piedras de forma pentagonal hay 5 piedras de forma cuadrangular,
entonces, con el doble de piedras de forma pentagonal habrá el doble de
piedras de forma cuadrangular. Organicemos la información en la tabla 19.1.
Podemos amplificar o simplificar las razones, así como lo hacemos con las
fracciones.
Cuando relacionamos dos razones estamos reconociendo una proporción.
Por ejemplo, las razones
ftt frforman
una proporción, porque
,04
:
É t"
lee asi:4 es a 10 como 6 es a 15. Los términos de una proporción son extremos
y medios. En esta proporción, los extremos son 4 y 15, y los medios, 10 y 6. Si
multiplicamos los medios obtenemos el mismo resultado que si multiplica-
mos los extremos.
4X15:6X 10
60:60
4 10
t5
4
m
6
'15
Tabla 19.1
6
Magnitud
Propiedad o cualidad
común a un conjunto de
elementos, seres u objetos,
cuya intensidad puede variar
(aumentar o disminuir). La
magnitud se representa a
partir de un patrón de medida
Recuerda
o
§
a
gr
G
E
o
)
€o
EE
o.ó
(ÜrE
TI
". o
zt
.§:
¡E'
(,
o.
o)
§
z
c
"o
N
t§
ú.
v
Teorema de Tales. Si se cortan
varias rectas paralelas con dos
rectas transversales, la razón de
dos segmentos cualesquiera
de una de ellas es igual a
la razón de los segmentos
correspondientes de la otra.
Conexiones
Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
@
19
a

I
- Sección central
Proporcional i dad d¡ recta
Magnitudes de proporcionalidad directa
La arquitectura inca se caracteriza por su sencillez y por buscar que sus cons-
trucciones armonicen con el paisaje. El principal material utilizado es la piedra.
Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes:
verdaderos mosaicos formados por bloques de piedra tallada que encajaban
perfectamente, sin que entre ellos pudiera pasar ni un alfiler. Si el número de
hombres que se necesitaba para tallar una piedra de un metro cuadrado y
colocarla en los muros era 20, ¿cuántos hombres se necesitaban para hacer el
trabajo en las mismas condiciones siel número de piedras aumentaba?
x2 x2
x2 x2 Tabla 20.1
Para tallar el doble de metros cuadrados de piedra se necesitaba el doble de
hombres, por tanto, las magnitudes piedra y cantidad de hombres son direc-
tamente proporcionales.
Cantidad de piedra (en m2) _ 'l
Número de hombres 20 40 60 B0
Dos magnitudes A y I son directamente proporcionales (D. P.) si varían
en proporción directa, es decir, si al multiplicar un valor de uno de ellos por
un número, el valor correspondiente a la otra magnitud también queda
multiplicado por el mismo número. Por tanto, el cociente entre cualquier par
de valores correspondientes, diferentes de cero, siempre es el mismo.
A :o, _02_or:gj..._k
E-f,-fr- br- h. -^
;rS
ejemnlo r
§ La tabla muestra la relación entre gramos de harina y gramos de levadura
para preparar la masa de una torta. Determina si estas dos magnitudes son
d irecta mente proporcionales.
2 4
80
3
234
1 000
2000
3000
500
250
50
100
150
')(
12,5
20 40 60
N.o de hombres
Cantidad de piedra (en m2)
La gráfica de las magnitudes
d i rectamente proporcionales
es una IÍnea recta, en
donde k es la constante de
proporcionalidad.
Número
de
hombres
Recuerda
Levadura (g)
Harina (g)
la razón entre d y b no es igual
a la razón entre b y o.
Recuerda
@
fal:la 20.2
--1
I
levadura para la masa de la torta
Harina y

ñ
Solución
Formemos razones con parejas de valores correspond¡entes. Por ejemplo,
1000 2000
50 Y too
Observamos que si usamos el doble de harina necesitaremos el doble de
levadura, entonces las razones
t# , ffi Or"r.nran la misma relación en-
tre cantidad de harina y cantidad de levadura. Lo anterior significa que son
razones equivalentes y forman una proporción.
Además, si la cantidad de harina se divide por 4 (que es lo mismo que multi-
plicar por l),la cant¡Oad de levadura también se divide por 4yformamos la
4'
proporción13# : #
Ya que siempre se tiene esta relación (que cualquier par de valores corres-
pondientes forman una proporción en la que ambas cantldades aumentan),
entonces las magnitud es cant¡dad de harina y cant¡dad de levadura son direc-
tamente proporciona les.
Ejemplo 2
Unos turistas visitan Chachapoyas (Amazonas) y deciden ir a la imponente
fortaleza Kuélap (Luya). El precio de la entrada a este lugar es S/ 11,50 por
persona. Ellos pagan S/ 115 por el ingreso de l0 personas. Al poco tiempo,
llega otro grupo de 30 personas para visitar dicho lugar. ¿Cuánto paga en
total este último grupo por ingresar a la fortaleza?
Solución
Resumiendo, el costo de la entrada es S/ 1 1,50. Entonces, 30 personas paga-
ron 30(11,50)= S/ 345.
Observemos lo siguiente:
Precio pagado por 10 personas: '10(1
1,50) = S/ 'l
15
Precio pagado por 30 personas: 30(1 1,50) = S/ 345
Podemos afirmar que si el número de personas se tr¡pl¡ca, el monto también
se triplica.
Entonces, el número de personas y el monto a pagar son proporcionales.
A continuación, atiende a la proporción:
10 personas
30 personas
_ 'l
15 personas
x(10)=115(30)
x soles
5og
Honno
roOOg
+
-ññ
Horino
Iooog
LetodÚa
(
**rJ
!¡-)
2
3
1 1,50
23
34,50
46
57,50
115
5
X
4
r0
1 15(30)
'10
X:
x :1 15(3)
x :345
Luego, este último grupo paga en total S/ 345 por ingresar a la fortaleza
@
V
lngresa a http://www.vitutor.
com/ di / p / a _2e.htm I y refuerza
lo aprendido.
N.o de
personas
Costo
(soles)
Multiplicamos en
30
Tabla 20.3
t
3
Ttc

- Sección central
Método de reducción
a la unidad
Un grupo de estudiantes de un colegio
desean hacer un regalo a sus maestros
y forman una comisión. Deciden
regalar a cada uno lapiceros grabados
con sus nombres. Para ello, la comisión
averigua que 3 lapiceros, incluida la
grabación, cuestan S/ 18,60. Si en total
son 32 maestros, ¿cuánto se paga por
los lapiceros grabados?
Para resolver el problema, utilizaremos
el método de reducción a la unidad y
tendremos en cuenta algunos pasos.
Paso 1. ldentificamos si las magnitudes son directamente proporcionales.
Podemos observar que por 3 lapiceros, incluida la grabación, se paga S/ 18,60.
Como son 32 maestros, necesitamos más lapiceros, y si aumentamos el nú-
mero de lapiceros, debemos pagar más dinero. Por tanto, podemos afirmar
que las magnitudes lapiceros y dinero son magnitudes directamente propor-
cionales.
Paso 2. Precisamos los datos.
El costo de 3 lapiceros es S/ 18,60. Necesitamos lapiceros para 32 maestros.
Paso 3. Reducimos a la unidad.
Como 3 lapiceros cuestan S/ 18,60, es necesario averiguar el costo de un lapi-
cero. Entonces, procedemos a dividir y asÍobtener el valor unitario por lapicero.
18,60 _ 6.20
3
Por tanto, cada lapicero cuesta S/ 6,20.
Paso 4. Respondemos la pregunta.
Cada lapicero cuesta S/ 6,20. Ahora, necesitamos saber cuánto se debe pagar
por la compra de 32 lapiceros.
Entonces, resolvemos el problema de la siguiente manera:
S/ 6,20x32=S/ 198,40
Finalmente, podemos concluir que por los lapiceros grabados que les regala-
remos a nuestros maestros tendremos que pagar S/ 198,40.
El método de reducción de la unidad consiste en calcular el número
asociado a la unidad. Una vez que se conoce este valor, se puede resolver el
problema planteado.
Dos cantidades o magnitudes
son directamente
proporcionales si aumentan o
disminuyen a la vez.
o
n I
ts
I
Recuerda

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