Este documento trata sobre el cambio de variable en integrales dobles y el uso de jacobianos. Explica cómo una transformación de coordenadas puede convertir una región plana D en otra región D*, y cómo el jacobiano de la transformación permite calcular la integral doble sobre D* en términos de la integral sobre D. Además, incluye ejemplos de aplicación del cambio de variable y el cálculo de jacobianos para resolver integrales dobles.

1. CALCULO AVANZADO
PARA INGENIERIA
Semana 08
Unidad: 1
Sesión 1: Funciones reales de varias variables y
funciones vectoriales de variable real.

2. TEMA:
CAMBIO DE VARIABLE EN
INTEGRALES DOBLES: JACOBIANOS

3. Contenido general
 Cambio de Variable en integrales dobles
 Jacobiano de una Función de dos Variables
 Teorema del cambio de variable

4. Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante
conoce y aplica el cambio de variable en la integral
doble de una función
𝑧 = 𝑓 (𝑥; 𝑦) , para así modelar problemas de las
Ciencias Básicas en el calculo de áreas y
volúmenes.

5. Utilidad
Las integrales dobles nos permiten calcular el área
de una región plana o el volumen de un sólido en
coordenadas cartesianas, aplicando sus diferentes
propiedades.

6. Cambio de Variable en integrales
dobles
Imagen extraída de https://goo.gl/images/LmwShr
Sea la transformación 𝑇: ℝ2 → ℝ2, la cual transforma o convierte una región
plana 𝐷 en otra región plana 𝐷∗, esta transformación puede describirse por
dos ecuaciones (funciones reales de dos variables) de la forma
𝑥 = 𝑔(𝑢; 𝑣)
𝑦 = ℎ(𝑢; 𝑣)

7. Jacobiano de una Función de dos
Variables
𝑇 descrita por las
El Jacobiano de la transformación diferenciable
ecuaciones:
𝑥 = 𝑔(𝑢; 𝑣)
𝑦 = ℎ(𝑢; 𝑣)

8. 𝐶1
Supongamos que 𝑇 sea una transformación inyectiva de clase cuyo
Jacobiano es no nulo y que transforma una región 𝐷∗ del plano 𝑢𝑣 sobre
una región 𝐷 del plano 𝑥𝑦. Si además 𝑓 es continua en 𝐷 ∗, entonces se
cumple:
Teorema del cambio de variable
𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝐴 =
D
𝑓(𝑔 𝑢; 𝑣 ; ℎ(𝑢; 𝑣))
D*

9. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la region triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
 𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
1) Describe: D Y D*
2) Halle T(u;v), además del JACOBIANO.
3) Cambio de integral:
4) Calcular la integral

10. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
 𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
1) Describe: D Y D*

11. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
 𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
2) Halle T(u;v), además del JACOBIANO.

12. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
 𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
3) Cambio de integral:

13. Ejercicio Aplicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−𝑦
Donde 𝐷 es la región triangular del plano XY limitado por 𝑥 = 0; 𝑦 = 0,
𝑥 + y = 1
Solución
 𝑒𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D
4) Calcular la integral

14. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución
1) Describe: D Y D*
2) Halle T(u; v), además del JACOBIANO.
3) Cambio de integral:
4) Calcular la integral
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D

15. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 1) Describe: D Y D*
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D

16. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 2) Halle T(u; v), además del JACOBIANO.
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D

17. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 3) Cambio de integral:
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D

18. Ejercicio Aplicativo 2
Calcule la integral doble
Donde 𝐷 es la región acotada por 𝑥 -2𝑦 = 0; 𝑥 -2𝑦 = 3, 2𝑥 + 𝑦 = −1
y 2𝑥 + 𝑦 = 3.
Solución 4) Calcular la integral
(x -2𝑦 + 2) 2 𝑒2𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
D

19. Ejercicio Explicativo 1
Calcule la integral doble
𝑥−2𝑦
Donde 𝐷 es la región acotada por 2𝑥 + 𝑦 = 1; 2𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 − 2𝑦 = −1
y 𝑥 − 2𝑦 = 1.
Solución
 2𝑥 + 𝑦 −3 𝑒2𝑥+𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
D

20. Calcule
Ejercicio Explicativo 2
𝑦−𝑥
 𝑒𝑦+𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
D
donde 𝐷 es el triángulo limitado por las rectas 𝑥 + 𝑦 = 2 y los ejes
coordenados.
Solución

21. Solución
Ejercicio Reto
Use En la figura adjunta se muestra la región 𝐷 del primer cuadrante
limitada por las gráficas de
3 5
𝑥
+ 𝑥
+
3 5
𝑦
= 1 ; 𝑦
= 2 ; 3𝑦 = 5𝑥 y 3𝑦 =
𝑦2
𝑑𝐴
20𝑥. Calcule el valor de la integral.
 𝑒𝑥/𝑦
D

22. CONCLUSIONES
1. Muchas integrales dobles con respecto a sus variables
iniciales son muy complejas o casi-imposibles de resolver.
2. El jacobina de la transformación muchas veces aporta para
que la nueva integral doble sea mas manejable.