Este documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles e integrales triples. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini para evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de evaluación de integrales dobles.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Incluye la evaluación de integrales dentro de regiones delimitadas por cilindros, conos, esferas y planos; y muestra las transformaciones de las integrales a las coordenadas apropiadas. También asigna como tarea al estudiante calcular seis integrales triples usando estas técnicas.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
El documento presenta información sobre integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Explica las definiciones de estas coordenadas y cómo transformar entre sistemas de coordenadas. Luego, resuelve ejemplos numéricos de cálculo de volúmenes usando integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Incluye la evaluación de integrales dentro de regiones delimitadas por cilindros, conos, esferas y planos; y muestra las transformaciones de las integrales a las coordenadas apropiadas. También asigna como tarea al estudiante calcular seis integrales triples usando estas técnicas.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
El documento presenta información sobre integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Explica las definiciones de estas coordenadas y cómo transformar entre sistemas de coordenadas. Luego, resuelve ejemplos numéricos de cálculo de volúmenes usando integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Propuestos de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
Este documento presenta una serie de ejercicios propuestos relacionados con el cálculo de integrales múltiples y sus aplicaciones. Se dividen los ejercicios en cuatro secciones correspondientes a los capítulos previos: 1) estimación de volúmenes y resolución de integrales dobles; 2) cálculo de integrales triples; 3) cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa y momentos de inercia; 4) uso de cambios de variables en el cálculo de integrales múltiples. Los ejercicios involuc
Este documento trata sobre el cálculo de integrales dobles, triples e integrales de línea y superficie. Incluye temas como integrales dobles en coordenadas polares y esféricas, teoría de campos escalares y vectoriales, divergencia, rotacional y laplaciana. También presenta los teoremas de Green, Stokes y el teorema de la divergencia.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
Presaentacion power point funciones trigonometricasDayannita Garzon
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Explica conceptos como dominio, rango, máximos, mínimos, periodo, amplitud e intervalos de crecimiento y decrecimiento para funciones como seno, coseno y tangente. También incluye ejercicios para graficar estas funciones y calcular valores relacionados a aplicaciones trigonométricas como alturas y distancias.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
1) La gráfica de una función real f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano tales que x está en el dominio de f e y es la imagen de x por f.
2) Para que una gráfica sea una función, una línea paralela al eje y debe cortar la gráfica en un solo punto.
3) Se describen las funciones constantes, identidad, valor absoluto, raíz cuadrada y lineal, incluyendo sus reglas de correspondencia y gráficas.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
Este documento trata sobre integrales triples, centro de masa y momento de inercia, y el uso de coordenadas cilíndricas para calcular integrales triples. Explica conceptos como la definición de integral triple, el teorema de Fubini, y cómo calcular el volumen, centro de masa y otros valores para diferentes regiones en el espacio utilizando integrales triples. También cubre la conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas, y cómo evaluar integrales triples en coordenadas cilíndricas.
Este documento presenta una serie de 13 problemas resueltos relacionados con conceptos básicos de funciones como definición, dominio, rango, gráficas, transformaciones, operaciones y composición de funciones. El documento fue escrito por el Dr. José Luis Díaz Gómez del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora con el objetivo de ayudar a estudiantes de cálculo diferencial y química biológica a comprender mejor los conceptos funcionales.
El documento presenta 12 problemas resueltos sobre el cálculo de áreas de figuras planas limitadas por curvas. Se explican fórmulas para hallar el área cuando la región está limitada por una función, dos funciones, o curvas paramétricas. Los problemas aplican estas fórmulas para calcular áreas de regiones limitadas por funciones, curvas algebraicas como circunferencias e hipérbolas, y curvas como la cardioide y la astroide.
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de álgebra lineal y funciones, incluyendo lógica, polinomios, funciones, ecuaciones, números complejos, funciones exponenciales y logarítmicas, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. El documento contiene 10 capítulos y proporciona ejercicios de práctica con soluciones para cada tema.
Este documento trata sobre integración múltiple. Introduce los conceptos de integrales dobles e integrales triples, definiendo las integrales dobles como una suma de volúmenes de paralelepípedos. Explica el teorema de integrabilidad, el teorema de Fubini y cómo evaluar integrales dobles sobre regiones generales mediante integrales iteradas. También cubre cálculos de volúmenes, áreas y valor medio para funciones de dos variables usando integrales dobles.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
primer parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene información sobre clases de análisis matemático en la UBA y sobre un primer parcial de análisis de ingeniería. Incluye cuatro ejercicios de cálculo y una solución propuesta. También proporciona un número de teléfono para obtener clases de apoyo.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales dobles y a evaluarlas mediante el cambio de orden de integración.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
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Este documento trata sobre el cálculo de integrales dobles, triples e integrales de línea y superficie. Incluye temas como integrales dobles en coordenadas polares y esféricas, teoría de campos escalares y vectoriales, divergencia, rotacional y laplaciana. También presenta los teoremas de Green, Stokes y el teorema de la divergencia.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
Presaentacion power point funciones trigonometricasDayannita Garzon
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Explica conceptos como dominio, rango, máximos, mínimos, periodo, amplitud e intervalos de crecimiento y decrecimiento para funciones como seno, coseno y tangente. También incluye ejercicios para graficar estas funciones y calcular valores relacionados a aplicaciones trigonométricas como alturas y distancias.
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Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
1) La gráfica de una función real f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano tales que x está en el dominio de f e y es la imagen de x por f.
2) Para que una gráfica sea una función, una línea paralela al eje y debe cortar la gráfica en un solo punto.
3) Se describen las funciones constantes, identidad, valor absoluto, raíz cuadrada y lineal, incluyendo sus reglas de correspondencia y gráficas.
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Este documento presenta una serie de 13 problemas resueltos relacionados con conceptos básicos de funciones como definición, dominio, rango, gráficas, transformaciones, operaciones y composición de funciones. El documento fue escrito por el Dr. José Luis Díaz Gómez del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora con el objetivo de ayudar a estudiantes de cálculo diferencial y química biológica a comprender mejor los conceptos funcionales.
El documento presenta 12 problemas resueltos sobre el cálculo de áreas de figuras planas limitadas por curvas. Se explican fórmulas para hallar el área cuando la región está limitada por una función, dos funciones, o curvas paramétricas. Los problemas aplican estas fórmulas para calcular áreas de regiones limitadas por funciones, curvas algebraicas como circunferencias e hipérbolas, y curvas como la cardioide y la astroide.
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de álgebra lineal y funciones, incluyendo lógica, polinomios, funciones, ecuaciones, números complejos, funciones exponenciales y logarítmicas, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. El documento contiene 10 capítulos y proporciona ejercicios de práctica con soluciones para cada tema.
Este documento trata sobre integración múltiple. Introduce los conceptos de integrales dobles e integrales triples, definiendo las integrales dobles como una suma de volúmenes de paralelepípedos. Explica el teorema de integrabilidad, el teorema de Fubini y cómo evaluar integrales dobles sobre regiones generales mediante integrales iteradas. También cubre cálculos de volúmenes, áreas y valor medio para funciones de dos variables usando integrales dobles.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
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El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales dobles y a evaluarlas mediante el cambio de orden de integración.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales dobles y a evaluarlas mediante el cambio de orden de integración.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integrales dobles. Explica la definición de integral doble como una suma de áreas de particiones infinitesimales de una región de integración. También introduce el teorema de Fubini que permite evaluar integrales dobles como integrales iteradas simples. Finalmente, explica cómo se pueden calcular integrales dobles sobre regiones de integración generales más allá de rectángulos.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integrales dobles. Define las integrales dobles como la suma de áreas de particiones infinitesimales de una región de integración. Explica el teorema de Fubini para evaluar integrales dobles como integrales iteradas, así como ejemplos de cálculo de integrales dobles sobre diferentes regiones. Los objetivos son calcular integrales dobles, invertir el orden de integración y calcular volúmenes y áreas usando este concepto.
El documento describe el uso de diferentes coordenadas para calcular integrales dobles y triples. Introduce las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, y explica cómo transformar entre sistemas de coordenadas utilizando el jacobiano de la transformación. Proporciona ejemplos del cálculo del volumen de una esfera y un cubo usando diferentes coordenadas.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
Este documento describe el cálculo de la integral definida. Explica la definición de la integral definida como el límite de la suma de Riemann, y que esta puede usarse para calcular el área bajo una curva. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la integral definida de una función es igual a la diferencia entre las antiderivadas de los límites de integración. Finalmente, enumera varias propiedades de la integral definida.
Este documento introduce los conceptos de integrales múltiples. Explica cómo se calcula el volumen de un prisma rectangular limitado por una función de dos variables mediante una integral doble. Luego define la integral doble sobre un rectángulo y sus propiedades, y cómo se puede calcular la integral doble sobre regiones más generales. Finalmente, introduce brevemente los conceptos de integral triple y cambio de variables en integrales dobles.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la integración o antiderivación. Explica que una función F es una primitiva de f si su derivada es f, y que cualquier función de la forma F(x)+C también es una primitiva de f. Además, introduce las nociones de integral indefinida, integral definida, y el Teorema Fundamental del Cálculo.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de matemáticas. En la primera pregunta, se demuestra que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. La segunda pregunta encuentra los puntos críticos de una función escalar dada. La tercera pregunta reescribe las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
Este documento trata sobre la aplicación de las integrales para calcular el área bajo una curva y el volumen de sólidos de revolución. Explica cómo calcular el área limitada por dos curvas usando integrales definidas, y cómo usar el método del disco y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región alrededor de un eje. También incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones.
Este documento presenta el segundo teorema fundamental del cálculo y métodos para aproximar integrales definidas como las sumas de Riemann. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos y aproximar la integral como la suma de las áreas de los rectángulos definidos por los puntos de la partición.
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
1) El documento describe las integrales dobles y triples, sus aplicaciones al cálculo de volúmenes y sus propiedades. 2) Explica cómo calcular una integral doble mediante particiones y sumas de Riemann y define la integral doble. 3) Presenta el teorema del valor medio para integrales dobles y cómo puede usarse para encontrar el valor medio de una función en una región.
TIPOS DE CONECTORES DE AUTOMOVILES SENA INDUSTRIAL
4 integ-clasemultiples unacds
1. CALCULO III UNAC-FIEE 2012-A INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
4
4.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN.
5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
5.1.3 TEOREMA FUBINI
5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
GENERALES
5.1.5 PROPIEDADES
5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN
5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS.
5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA
INTEGRALES DOBLES
(TRANSFORMACIONES)
5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE
5.2 INTEGRALES TRIPLES
O BJETIVOS:
• Calcular Integrales Dobles.
• Invertir el orden de integración.
• Calcular Volúmenes.
• Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones.
• Calcular áreas de una Superficie.
2. CALCULO III UNAC-FIEE 2012-A INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
5.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la
siguiente manera:
b n
⎡ ⎤
( ) ( )
∫ f x dx = lím ⎢ Σ
f x i Δ x
⎥
n →∞
i
⎣ 1
⎦ a i
=
La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la
curva y = f (x) en un intervalo [a,b].
Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos
variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración
sería de la forma [a,b]×[c,d ], es decir un rectángulo de R2 , la cual la
denotamos como R.
R
a b
d
c
x
y
Haciendo particiones de la región R, de dimensiones no necesariamente
iguales:
m Δy
i Δx
a b
m y
d
m 1 y −
2 y
1 y
c
x
y
0 x 1 x 2 x n x n 1 x −
0 y
1 Δx 2 Δx n Δx
#
2 Δy
1 Δy
"
i Δy
i x
j y
R
3. La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al
área de esta partición, que estaría dada por:
ij i j ΔA = Δx Δy
Podemos definir una función de dos variables z = f ( x, y) en la región
R, que para la ij − ésima partición sería:
( i , j ) i j f x y Δx Δy
Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica
siguiente:
El punto ( i , j ) x y , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.
El volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ij ΔV , estaría
dado por:
ij ( i , j ) i j ΔV = f x y Δx Δy .
Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer
una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir:
( )
m n
= Σ Σ Δ Δ
V lim fx ,
y x y
i n
→∞
j i j m →∞ j = 1 i
=
1
x
y
z
z = f ( x, y)
i Δx
j Δy
i ( i , j ) z = f x y
• ( i , j ) x y
a
b
c d
4. CALCULO III UNAC-FIEE 2012-A INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
De aquí surge la definición de Integral doble
Sea f una función de dos variables
definida en la región plana
R = [a,b]×[c, d ] = {( x, y) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}
m n
Al ( )
Σ Σ Δ Δ se le
lim ,
i n
j i j m j 1 i
1
f x y x y
→∞
→∞ = =
denomina la Integral Doble de f en R y
se la denota de la siguiente manera:
∫ ∫ f ( x , y )
dxdy
d b
c a
Además, si existe este límite decimos que
f es integrable en R.
Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la
Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo
evaluarla.
En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero
surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en
el siguiente teorema.
5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Sea f una función de dos variable
definida en la región plana
R = [a,b]×[c, d ] = {( x, y) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}
Si f está acotada en R y si f es continua
en R a excepción de un número finito de
curvas suaves, entonces f es integrable
en R.
Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable,
si la función es continua será integrable.
5. CALCULO III UNAC-FIEE 2012-A INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral
doble.
5.1.3 TEOREMA FUBINI
Sea f una función de dos variable
definida en la región plana
R = [a,b]×[c, d ] = {( x, y) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}. Si f es
continua en R, entonces:
⎡ ⎤
( )
∫∫ ∫ ∫
= ⎢ ⎥
f ( x , y ) dA f x ,
y dx dy
⎢⎣ ⎥⎦
⎡ ⎤
( )
∫ ∫
= ⎢ ⎥
,
d b
R c a
b d
a c
f x y dy dx
⎢⎣ ⎥⎦
Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas
como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales
Iteradas.
Ejemplo
Calcular ∫ ∫
−
1
0
2
1
xy2dydx
SOLUCIÓN:
Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:
( )
⎤
⎡
⎤
⎡
1
∫ ∫ ∫ ∫
⎡ −
xy dy dx x y dx = x 2
−
x dx
0
∫ ⎤
∫
⎤
1
= = = ⎥⎦
8
= ⎡ +
⎢⎣
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
=
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
−
−
1
0
1
0
2
1
0
3 3
1
0
3
1
3
1
0
2
1
2
3
2
2
3 3
1
3
3
3
3
3
x x dx xdx x
Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a
y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.
6. CALCULO III UNAC-FIEE 2012-A INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
154
Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integración
rectangulares, pero en las mayorías de las ocasiones se presentarán otros
tipos de regiones.
5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
GENERALES
El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.
En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana,
como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente
manera:
Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:
Cuya área, denotada como dA, está dada por:
dA = dxdy = dydx
Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral
doble sobre la región plana R tiene la forma:
∫∫ ( , )
f x y dA
R
Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:
PRIMERO haciendo un barrido vertical
7. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
155
⎤
⎡ ( )
dx f x y dy
x b
∫ ∫
x a
y f x
y g x
=
=
=
=
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
( )
( , )
SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal
⎤
⎡ ( )
f x y dx dy
y d
∫ ∫
y c
x f y
x g y
=
=
=
=
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
( )
( , )
Si f (x, y) = 1, la integral doble representa el área de la región R , es decir:
= ∫∫
A dA
R
La región anterior es llamada una región simple- xy , sin embargo pueden
existir regiones simple- x , sólo se puede empezar haciendo primero un
barrido vertical.
y = f ( x)
dy
y = g ( x)
dx
a b
x
y
R
8. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezar
haciendo primero un barrido horizontal.
156
d
c
Ejemplo 1
1
Calcular ∫ ∫
0
3
2
160
x
x
xy dydx
SOLUCIÓN:
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
( ) ( )
⎤
⎡
⎤
⎡
x
∫ ∫ ∫ ∫
xy dy dx x y dx x x x x dx
x
∫[ ]
⎞
⎤
= − = ⎟ ⎟
⎠
= ⎡ −
⎛
⎜ ⎜
= − = −
⎝
⎥⎦
⎢⎣
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
=
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
1
0
1
0
4 10
3 9
1
0
4 2 4
1
0
4
1
0
3
10 4 6
10
40
4
40 40 40
40 40
4
160 160
2
2
x x dx x x
x
x
Ejemplo 2
y
1
xy ∫ ∫
Calcular y e dxdy
0 0
2
SOLUCIÓN:
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
x = f ( y)
x = g ( y)
dx
dy
x
y
R
9. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
157
[ ( ) ]
1
⎤
xy y
∫ ∫ ∫ ∫
yy y
dy ye ye dy
y
y e dx dy y e
2 2
y y
ye y dy ye dy ydy
⎛
1 2 0 2
0
⎞
2 2
1
− − ⎟ ⎟
⎠
2 2
1
⎛
− = ⎟ ⎟
⎠
⎡
⎛
y
= −
2 2 2
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
2
1
⎡
0 0
2
2 2 2
− = ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎜ ⎜
⎝
− = ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= −
= −
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
=
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
∫ ∫ ∫
e y e e e
y
xy
Ejemplo 3
y ∫ ∫
Calcular e dxdy
y
−
1
0
1
1
SOLUCIÓN:
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
[ ]
⎤
⎡
⎤
⎡
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
e dx dy e dx dy =
e x dy
⎦
⎣
e y ( ( y))dy ye y
dy
y
y
y
y
y
y
=
= ∫ − − =
∫
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
−
− −
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1 1
La última integral, se la realiza POR PARTES:
∫y
NN
ye dy = ye −∫e dy = yey − ey = e − e − − =
1
)PP PP ( ) ( ) ( 0 1
1
0
1
0
v du
y
v
y
u
dv
u
En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los límites de integración,
por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las
integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la región
de integración porque los límites no están definidos.
Ejemplo 1
∫∫ donde R es la región limitada por y = 2x y y = x2
Calcular xdA
R
SOLUCIÓN:
Primero identificamos la región R :
10. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
158
Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas.
PRIMER MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical.
x
∫ ∫
La integral doble con límites será: xdydx
x
2
0
2
2
Calculando la integral, resulta:
∫ ∫ ∫ ∫
[ ] [ ( ) ( )]
xdy dx = xy xdx = x x −
x x dx
x
( )
4 4
3
16
3
= − = −
3 4
2
⎛
2 2
3 4
2
0
2 3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
⎞
= − = ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
∫
x x dx x x
x
x
SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal.
y
4
y ∫ ∫
La integral doble con límites será: xdxdy
0
2
Calculando la integral doble, resulta:
11. MOISES VILLENA Integración Múltiple
⎞
159
⎡
∫ ∫ ∫ ∫ ( )
∫
4
3
⎛
4 8
3
2
⎡
⎛
= −
⎤
y
4 24
2
⎛
= −
⎞
⎞
2 2 8
2 2
4
0
2 3
4
0
2
4
0
2
2
4
0 2
4
0
2
⎞
= − = ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠
⎛
⎜⎝
= −
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
=
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
y y
dy y y dy
y
y
xdx dy x dy
y
y
y
Ejemplo 2
∫∫ donde
Calcular dA
R
⎧
⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
y =
x
=
=
=
1
2
0
:
x
y
x
y
R SOLUCIÓN:
La región R es:
x 2
x
Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: ∫ ∫ + ∫ ∫
1
1
0
1
0 0
dydx dydx
Calculando las integrales dobles, tenemos:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dy dx dy dx = y xdx +
y x dx
= +
= +
ln 2
1
2
ln
2
1
2
1
1
0
2
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
⎡
0 0
= +
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
+
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
∫ ∫
x x
dx
x
xdx
x x
12. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
160
Ejemplo 3
y ∫∫ 12 2 2 donde
Calcular x e dA
R
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
R y x
=
y =
x
3
: en el primer cuadrante.
SOLUCIÓN:
La región R es:
Aquí es mejor primero un barrido horizontal ¿Por qué? ¿Observe qué ocurre si hacemos
primero un barrido vertical?
Planteando la integral doble con límites y calculándola, tenemos:
∫ ∫ ∫
y
x e dxdy e x dy
12 12
1
∫
3
y
y
( )
∫ ∫
=
0
4
y
e y y dy
y y
ye dy y e dy
= −
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= −
1
0
3
1
0
3 3 3
1
0
3
1
0
2
2 2
2
3
2
3
2
4 4
y
y
y
Haciendo cambio de variable t = y2 . De aquí tenemos: dt = 2ydy
Reemplazando y resolviendo:
∫ ⎛
ye dy ∫ y e dy ∫ ye dt
∫
y y t t
t t
2 2
= −
⎞
[ ]
[ ( )]
e te e
2 2
= − −
e
2 2 2 0 1
= − − − −
2 4
y e dt
2
4
2
4 4 4
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
3
1
0
1
0
3
1
0
2 2
= −
⎞
⎟ ⎟⎠
⎛
⎜ ⎜⎝
− ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
− =
∫ ∫
e
e dt te dt
y
y
t t t
13. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
161
Ejemplo 4
∫∫ 2 +1
Calcular ( x )dA
R
donde R es el triángulo que tiene por vértices los puntos (−1,0) , (0,1) y (1,0)
SOLUCIÓN:
La región R es:
No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las
y −
y
rectas se las puede obtener empleando la formula y 2 1
− y = ( 1 x −
x
) 1
.
x −
x
2 1
Aquí también es mejor primero un barrido horizontal:
∫ ∫ ∫
( ) ( )
x + dxdy = x +
x dy
[( ) ( )] [( ) ( )]
y y y y dy
1 1 1 1
∫
= − + − − − + −
[( ) ( ) ]
y 1 1 y y 1 y 1
dy
1
∫
= − + − − − − +
0
[ ]
( )
= −
= −
(2 1) 1
2
2 2
2 1
1
0
1
1
1
0
2
1
0
2 2
1
0
2 2
1
0
1
1
2
1
0
1
1
+ =
∫ ∫
∫
−
−
−
−
−
−
x dxdy
y y
y dy
y
y
y
y
y
y
14. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
162
5.1. 5 PROPIEDADES
Sean f y g funciones de dos variables
continuas en una región R, entonces:
1. ;
∫∫kdA = k∫∫dA ∀k ∈ℜ
R R
2. ( )
∫∫ f ± g dA = ∫∫ fdA ± ∫∫gdA
R R R
3.
∫∫dA = ∫∫dA+ ∫∫dA donde 1 2 R = R ∪R
R R1 R2
5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN
Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero
tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.
Ejemplo 1
e x
Calcular ∫ ∫
xydydx
1
ln
0
SOLUCIÓN:
Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada
primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que
interpretar la integral doble de la siguiente manera:
=
∫ ∫
=
=
=
x e
x
y x
y
xydydx
1
ln
0
Por tanto, la región es
⎧
⎪⎩
⎪⎨
y =
x
R =
0
x =
e
y
ln
: , es decir:
15. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Invirtiendo los límites de integración hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir:
xydxdy y x dy y e e dy e ydy ye dy
163
( )
⎛
∫ ∫ = ∫ = ∫ − ∫ ∫
e y y e e
= − −
2 2 2
⎡
e e e
= − + −
1
8
8
1
8
1
4 4 8
1
2 2
2 2
2 2
1
2
⎞
2 2 2 2
2
1
0
1 2 2
0
2 2
1
0
2
1
0
2
1
0
2 2
1
0
2
1
0
= −
⎤
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
− = ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
e
y y
y
e y
e
e
e
y
y
Ejemplo 2
2 −
Invierta el orden de integración para ∫ ∫
0
4
0
2
f (x, y)dydx
x
SOLUCIÓN:
=
Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫
=
= −
=
2
0
4
0
2
( , )
x
x
y x
y
f x y dydx . Se ha hecho
primero un barrido vertical
Entonces la región de integración es
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪⎪⎨
y x
4
= −
=
=
0
0
:
2
x
y
R
Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
4 −
∫ ∫
0
4
0
y
f (x, y)dxdy
16. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
164
Ejemplo 3
Invierta el orden de integración para ∫ ∫
−
+
− +
1
1
1
f (x, y)dxdy
1
y
y
SOLUCIÓN:
=
Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫
=−
= +
=− +
1
1
1
( , )
1
y
y
x y
x y
f x y dxdy . Se ha
hecho primero un barrido vertical
Entonces la región de integración es
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
R y x
: 1
= −
1
=
2
y
Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
2
∫ ∫
− −
2
1
f (x, y)dydx
2 1
x
Ejemplo 4
4
Invierta el orden de integración para ∫ ∫
2
16
x
f (x, y)dydx
x
SOLUCIÓN:
=
Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫
=
=
=
4
2
16
( , )
x
x
y x
y x
f x y dydx Se ha hecho
un barrido vertical primero
Entonces la región de integración es
⎧
⎪ ⎪
y x
: 16
⎨
x
⎪ ⎪
⎩
=
=
=
x
2
y
R
Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
17. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
165
y y
∫ ∫ + ∫ ∫
4
16
2
4
2 2
f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy
Ejercicios propuestos 5.1
1
y
ex ydxdy
1. Calcular ∫ ∫ +
0 0
2. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por
⎧
⎪⎩ ⎪⎨
9 0
2
x y
− + =
9 0
2
x y
+ − =
3. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por:
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
y 2 = 2 x
−
2
y = x
−
5
4. Calcular: ∫∫
R
dA
y
2
x
2
donde R es la región limitada por
⎧
⎪⎩
⎪⎨
y =
x
=
2
=
1
y
xy
5. Calcular ∫∫
R
12x dA donde R es la región limitada por
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
y x
=
y =
2
x
2
2
6. Calcular ∫ ∫
0
4
2
cos
x
y ydydx
∫ ∫ x −
7. Calcular e dxdy
y
1
0
2
1
2
2
+
−
8. Invierta el orden de integración: ∫ ∫ ∫ ∫
x
f x y dydx f x y dydx
− − +
− +
+
3
2
3
3
2
1
1
3
( , ) ( , )
x
x
x
x −
x
9. INVERTIR el orden de integración y EVALUAR. ∫ ∫ +
∫ ∫
2
1
2
0
1
0 0
2
ydydx ydydx
18. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
166
10. Calcular: ∫∫
R
12 x 2 y 2 e dA
, donde R es la región del primer cuadrante limitada por y = x3 y
y=x
2 8
8
11. Representar la región de integración para: ∫∫ ( ) +∫∫ ( )
2
1
, ,
3
x
x
x
f x y dydx f x y dydx e invertir el
orden de integración.
5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
Sea f una función continua en las
variables x y y . El valor Medio de f
en una región plana R está dado por:
f x y dA
∫∫
∫∫
=
R
R
dA
ValorMedio
( , )
Ejemplo
Encuentre el valor medio de la función f (x, y) = x 1 + y3
sobre la región limitada por
⎧
⎪⎩
⎪⎨
=
y
y =
x
=
2
0
x
SOLUCIÓN:
La región de integración es:
Empleando la fórmula, tenemos:
19. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
167
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
f ( x , y ) dA x 1
y dxdy
( )
( )
( )
2
3
0 0
2
0 0
2
2
3
0
0
2
0
0
2
2 3
0
2
0
2
3
3 2
0
2 2
0
1
2
1 1
2
1 1
2 2 3 1 2 27 1 6
2
2
13
6
y
R
y
R
y
y
Valor Medio
dA dxdy
y x dy
x dy
y ydy
ydy
y
y
+
= =
+
=
+
=
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ =
=
∫
∫
∫
∫
Ejercicios Propuestos 5.2
1
1. Calcule el valor medio de la función 2
( , )
−
f x y = e x y en la región del primer cuadrante
limitada por
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪⎪⎨
y =
x
=
=
0
1
2
x
y
2. Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f (x, y) =100x0,6 y0,4 .
Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de
unidades de capital entre 300 y 325.
3. Hallar el valor medio de f (x, y) = x + 2y + 4 sobre la región limitada por las rectas
y = 2x, y = 3 − x, y = 0
4. Encuentre el valor medio de la función 2
f (x, y) = e−x sobre la región
⎧
⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪
⎩
=
=
x
x
y =
x
=
0
2
2
y
2
f x y y , sobre la región
5. Encuentre el valor medio de la función 2
( 1)
( , )
+
=
xy
⎩ ⎨ ⎧
y
0 ≤ ≤
1
< ≤
=
x y
R
0
6. Hallar el valor medio de f (x, y)=2xy en la región limitada por y=x2 y y = x
20. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
168
5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
Ya definimos el volumen bajo una superficie.
Ejemplo
Hallar el volumen del sólido limitado por el plano x y z 1
+ + = y el plano xy en
a b c
el primer octante.
SOLUCIÓN:
Haciendo un dibujo
x
z
a
c
El volumen del elemento diferencial sería
z c 1 x y
dA
= ⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟
a b
⎝ ⎠
b
dV = hdA = zdA
Por tanto el volumen total está dado por :
h
⎝ ⎠ ∫∫
V c x y dA
= ⎛ ⎜ 1
− − ⎞ ⎟
R
a b
Donde la región R sería:
y
x
y
y b 1 x
= ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
a
⎝ ⎠
a
b
Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:
21. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
169
1
⎝ ⎠ ∫ ∫
0 0
1
b x
a a
V c x y dydx
a b
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟
Evaluando:
⎛ ⎜ 1
− ⎞ ⎟
⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
1 2 1
V c x y dydx c x y y dx
= ⎛ ⎞ ⎜ − − = ⎢⎛ − ⎞ ⎥ a b ⎟ ⎢⎜ a ⎟ − ⎝ ⎠ ⎢⎝ ⎠ b
⎥ ⎣ 0 0
⎦
⎥ 0 0 0
⎡ ⎛ ⎞ 2 2 ⎛ ⎞ 2
⎤ = ⎢ ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥
c b x b x dx
0
a b a
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
2
c b x dx
= ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
0
⎝ ⎠
3
a
0
3
1 1
2
1 1
2
1
2
1
2 3 1
1
6
b x
a a a x x b b
a a
a
a
a
x
bc a
a
abc x
a
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
= ⎝ ⎠
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
∫
[ ]
0
1 0
6
6
a
abc
V abc
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
= −
=
Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo:
x
y
z
z = f (x, y)
z = g (x, y)
R
22. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
En el gráfico, el volumen del sólido limitado por las superficies está dado
por:
170
V = ∫∫⎡⎣ f ( x , y ) − g ( x , y )
⎤⎦dA
R
R, es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy .
Ejemplo
Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 − x2 − 2y2 y el plano z = 2
SOLUCIÓN:
Haciendo un dibujo
En este caso
V = ∫∫hdA = ∫∫⎡⎣ (4 − x 2 − 2 y 2 ) − (2)
⎤⎦dA
R R
Para ponerle los límites de integración identificamos la región R , en este caso sería la curva de
intersección de
⎧ = − −
⎨
⎩ =
4 2 2 2
2
z x y
z
proyectada en el plano xy .
Igualando y simplificando:
2 2
x y
4 2 2
− − =
+ =
+ =
2 2
x y
x y
2 2
2 2
1
2 1
Entonces la región sería:
y
z
h
dA
z = 4 − x2 − 2y2
z = 2
2
R
x
y
1
2 2
2
−
y x
2
=
0
23. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
171
Entonces
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4 2 2 4 2 2
∫
∫
∫
∫
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2
2
3 2
2 2 2
0
0 0 0
2
3
2 2
2
0
2
3 3
2 2 2 2
3
0
2
3
2 2
0
2
3
2 2
0
3
4 2 2 2 2
2 3 2
2 2 2 4
2 3 2
4 1 1 2
2 3 2
8 2
3 2
x
x
V x y dydx x y y dy
x x x dx
x x
dx
x dx
x dx
−
−
⎡ ⎤
= − − = ⎢ − − ⎥
⎣ ⎦
⎡ − ⎛ − ⎞ ⎤ = ⎢ − − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ − − ⎤ = ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
= ⎛ − ⎞ − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
La última integral se la realiza por sustitución trigonométrica.
Haciendo x = 2sent entonces dx = 2 cos t dt y los límites serían
x 0 t
0
x tπ
2
2
= → = ⎧⎪⎨
= → = ⎪⎩
∫ ∫
8 ( 2 ) 8 ( 2 2 )
2 cos
3 2 3 2
V = − x dx = −
sen t t dt
∫
∫
∫
∫
8 2 ( cos )
2 cos
3 2
( )
( )
( )
2 2
3 3
2 2 2 2
0 0
2
3 3 2 2 2
0
2
3
4
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
0
0
8 2 cos
3
8 2 2 1 cos 2
3 2
16 2 1 2cos 2 cos 2
3 4
4 2 2 2 1 cos4
3 2 2
⎡ ⎤
⎢ + ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
4 2 0 1
3 2 2
t dt
t dt
t dt
t t
dt
t sen t t dt
t
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=
=
⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ +
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎛ + ⎞ ⎥ = ⎢ + + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
= + +
∫
2
2
0
0
4
8
4 2
3 2 4
4 2 3
3 4
2
sen t
V
π
π
π π
= ⎡ + ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
= ⎡ π
⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
=
π
24. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
La evaluación de la integral doble puede resultar un asunto tedioso, sin
embargo si la región de integración es simple-θ , podemos hacer uso de
coordenadas cilíndricas.
∫∫ f x y dA puede ser expresada de la forma:
172
5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS.
Suponga que la región de integración es simple-θ , la integral doble
( , )
R
∫∫ f ( r θ rsenθ )
dA
´
cos ,
R
Definamos el dA en coordenadas cilíndricas. Observe la figura:
r = f (θ )
ds
dr
1 θ
2 θ
En este caso dA = dsdr pero ds = rdθ entonces dA = rdrdθ
Finalmente la integral doble en coordenadas polares quedará de la
forma:
∫∫ f ( r θ )
rdrdθ
´
,
R
Ejemplo 1
Hallar el volumen del sólido limitado por z = x2 + y2 y el plano z = 9 .
SOLUCIÓN:
25. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
173
Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido
La región de integración sería:
9
z = 9
V = ∫∫⎡⎣ − x + y ⎤⎦ dA
Por tanto el volumen estará dado por 9 ( 2 2 )
R
Cambiando a cilíndricas
π
= ∫ ∫ ( − )
θ
2 3
2
V 9 r rdrd
0 0
Evaluando
2 3 2 3
π π
∫∫ ∫∫
( 2 ) ( 3
)
V = 9 − r rdrd = 9
r −
r drd
θ θ
0 0 0 0
2
2 4 3
0
π
= ⎜ − ⎟
0
2
π
= ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
0
⎛ ⎞
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
0
9
2 4
81 81
2 4
π
3
81
4
81
2
r r d
d
V u
θ
θ
θ
π
=
=
∫
∫
z = x2 + y2
h
x2 + y2 = 9
x
y
z
r = 3
26. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
174
Ejemplo 2
Encuentre el volumen de la región limitada por las superficies x2 + y2 + z2 = 4 y
x2 + ( y −1)2 = 1 .
SOLUCIÓN:
Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido
x
Calcularemos el volumen de la porción superior, ya que el sólido es simétrico y lo multiplicaremos
por dos.
V = 2 ∫∫ 4 − x 2 − y 2
dA
R
La región de integración es:
y
z
x2 + y2 + z2 = 4
x2 + ( y −1)2 =1
r = 2senθ
2
1
x2 + ( y −1)2 =1
27. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
175
Cambiando a coordenadas cilíndricas.
sen
π θ
∫∫ ∫ ∫
V = 2 4 − x − y dA = 2 4
−
r rdrd
π θ
( )
∫
−
3 2
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
2 8 4 4
3
( )
2 4 2
2 8 8cos
3
( )
θ
θ
θ θ
θ θ
2 8 cos cos
3
θ θ θ θ
28 ( 1 )
cos
3
2
2 2 2
0 0
3 2
2 2
0 0
3
2 2
0
3
0
2
0 0
2
θ θ θ θ
0
0
28 cos 2
cos
3
0 0
R
sen
r
d
sen d
d
d d
sen d
d sen d
π
π
π π
π
π
π π
π θ θ θ θ θ
=
−
= ⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ − − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡
= − +
sen sen
[ ]
3
0
0
2 8
3 3
28 0 0
3
16
3
V
π
π θ
π θ
π
π
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ − + ⎥ =
⎢⎣ ⎥⎦
= − +
=
Ejercicios Propuestos 5.3
1. Usando integrales dobles determine el volumen del sólido limitado por :
a) z = 5x 2 ; z = 3− x 2 ; y = 4 ; y el plano xz. Resp. 8 2
b) z = x 2 + y 2 ; z = x 2 + y 2 Resp.
π
6
c) x 2 + y 2 = 2z ; x 2 + y 2 − z 2 = 1 ; y, z = 0 Resp.
π
3
d) z = x 2 + y 2 +1; z = 0 ; x 2 + y 2 = 4 Resp. 12π
2. Encontrar el volumen de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 situada entre los planos
z = ± 1 . Resp. 5 2
2
π
6
3. Calcular el volumen del sólido que está en el interior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2z ; y
arriba del paraboloide x 2 + y 2 = z . Resp. 7
6
π
28. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
∫∫ f x u v y u v dA
Donde R´ será una nueva región de integración en el plano uv por tanto
el dAserá el correspondiente.
Determinemos en nuevo dA. Observe la figura:
176
4. Hallar el volumen del sólido que está en el interior a y 2 + z 2 = 2 ; y exterior a
x 2 − y 2 − z 2 = 2
5. Calcule el volumen del sólido intersección de los cilindros x 2 + y 2 = 1 y y 2 + z 2 = 1
Parece ser que la evaluación de las integrales dobles pueden resultar
difíciles de realizar, el hecho utilizar coordenadas cilíndricas nos permite
pensar que en ocasiones será posible emplear diversas transformaciones
que hará nuestro trabajo más plausible.
5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA
INTEGRALES DOBLES
(TRANSFORMACIONES)
Supongamos que se tiene la siguiente transformación
( )
( )
x x u ,
v
y y uv
,
= ⎧⎪⎨
⎩⎪ =
∫∫ f x y dA, quedaría de la forma
Aplicándola a la integral doble ( , )
R
( ( ) ( ))
´
, , ,
R
JG R R´
x
y
u
v
(u,v + Δv)
(u, v) (u + Δu,v)
( x (u, v + Δv); y (u, v + Δv))
JG
( x, y)
( x (u, v); y (u, v))
( x (u + Δu, v); y (u + Δu, v))
P
Q
29. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
P x u u v x u v y u u v y u v u x y du
177
Haciendo un análisis vectorial:
JG
Q = ( x (u, v + Δv) − x (u, v); y (u, v + Δv) − y (u, v))
P = ( x (u + Δu, v) − x (u, v); y (u + Δu, v) − y (u, v))
JG
JG
para Δu y tomando límite:
Dividiendo y multiplicando al vector P
( ) ( ) ( ) ( )
⎛ − = lim + Δ , , ; lim + Δ , − , ⎞Δ = ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ;
⎟ ⎝ Δ u → 0 Δ u Δ u
→ 0
Δ u ⎠ ⎝ ∂ u ∂ u
⎠
JG
Dividiendo y multiplicando al vector QJG
para Δv y tomando límite:
( ) ( ) ( ) ( )
Q x u v v x u v y u v v y u v v x y dv
⎛ − = lim , + Δ , ; lim , + Δ − , ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ⎟ Δ = ⎜ ;
⎟ ⎝ Δ v → 0 Δ v Δ v
→ 0
Δ v ⎠ ⎝ ∂ v ∂ v
⎠
JG
El área de la regiónR está dada por:
JG JG
dA = P×Q
El producto cruz será:
i j k x y
P Q x du y du u u dudv k
0 ˆ
u u x y
x dv y dv 0
v v
v v
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ × = =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
JG JG
Al determinante menor resultante se lo denomina JACOBIANO y se lo
denota por:
( ,
)
( ,
)
x y
∂ ∂
x y u u
u v x y
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂
v v
∂ ∂
Por tanto:
( x y
)
( )
, ˆ
,
P Q dudv k
u v
∂
× =
∂
JG JG
Finalmente
( x ,
y
)
( ,
)
dA dudv
u v
∂
=
∂
30. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
∫∫ ∫∫ ∂
Calculemos el Jacobiano
178
5.1.10.1 TEOREMA.
Sean R y R´ regiones de los planos xy y
uv. Suponga que se tiene una
transformación biyectiva tal que
x = x(u, v)y y = y(u, v) mediante la cual la
región R es imagen de R´. Si f es continua
en R y x e y tienen derivadas parciales
continuas en R´ y ( )
x ,
y
u ,
v
( )
∂
∂
en no nula en R´,
entonces:
( ) ( ( ) ( )) ( )
∫∫ , ∫∫
, ,
,
∂ ,
( ,
) ´
R R
u v u v
x y
f x y dA f x y dudv
u v
∂
=
El cambio a coordenadas cilíndricas es un ejemplo de una transformación,
aquí tenemos que:
x r cos
y rsen
θ
θ
= ⎧⎨
⎩ =
Entonces:
( ) ( ) (
)
θ θ θ
( )
´
,
, cos ,
,
R R
x y
f x y dA f r rsen drd
r
θ
∂
=
( )
( )
x y
∂ ∂
x , y r r cos
θ sen θ
r 2 rsen 2 r
r x y rsen r
∂ = ∂ ∂ = = cos
+ =
∂ ∂ ∂ −
, cos
θ θ
θ θ θ
∂ ∂
θ θ
Por tanto se demuestra lo que antes habíamos presentado como un
resultado geométrico:
∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f ( r cos θ ,
rsenθ )
rdrdθ
´
R R
31. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
179
Ejemplo 1
Calcular
1 2
∫ ∫ dydx empleando el siguiente cambio de variable
0
x
x
x u (1 v)
y uv
⎧ = − ⎪⎨
⎩⎪ =
SOLUCIÓN:
Primero identificamos la región R .
En la integral dada, se tiene:
x 1 ∫ ⎡ y 2
x
⎤
⎢ ⎥
⎢ ∫ ⎥
, por tanto
⎢ ⎥
⎣ ⎦ x 0
yx
dy dx
= =
= =
y = 2x
y = x
Cambiando de variable, la integral tomaría la forma:
( )
( )
∫∫ ∫∫ ∂
´
,
,
R R
x y
dydx dudv
u v
∂
=
Donde para el Jacobiano tenemos:
( )
( )
x y x y v v
, 1
,
∂ −
u u
v v
u uv uv u
= = = − + =
u v x y u u
∂ −
Y para la región R´ , tenemos:
1. En y = x , reemplazando se tiene:
=
= −
= −
( )
( )
1
2 0
1 2 0 0 1
2
y x
uv u v
uv u uv
u uv
u v u v
− =
− = ⇒ = ∨ =
2. En y = 2x , reemplazando se tiene:
=
= −
= −
( )
( )
2
2 1
2 2
2 3 0
2 3 0 0 2
3
y x
uv u v
uv u uv
u uv
u v u v
− =
− = ⇒ = ∨ =
x =1
R
32. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
180
3. En x =1 , reemplazando se tiene:
( )
1
1 1
1
1 1 1
x
u v
u uv
uv u v
u
=
− =
− =
= − ⇒ = −
Por lo tanto R´ , sería:
Obteniendo la nueva integral y evaluándola:
∫∫ ∫∫ ( )
( )
∫ ∫
1
2
3 1
v
´ 1 0 2
1
2 1
0
( )
2
3
1
2
2
3
2
1
2
( )
( )( )
( )
2
2 1 3
1
2
2
3
1
2
( 2 ) ( 1
)
3 2
[ ]
,
,
2
1 1
2 1
1 1
2 2 1 1
1 1
2 1
1 1 1
2 1 1
1 3 2
2
1
2
R R
v
x y
dydx dudv ududv
u v
u dv
dv
v
v
v
−
−
− +
∂
= =
∂
=
=
−
−
=
− + −
=
−
⎡ ⎤
= ⎢ − ⎥
⎢⎣ − − ⎥⎦
= −
=
∫
∫
v 1 1
u
= −
2
3
v =
1
2
v =
u = 0
R´
33. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Ejemplo 2
Empleando transformaciones adecuadas, hallar el área de la región limitada por:
181
2 4
2 0
4
1
x y
x y
x y
x y
− = ⎧⎪
− = ⎪⎨
+ = ⎪⎪
⎩ + =
SOLUCIÓN:
La región de integración sería:
Podemos utilizar la siguiente transformación:
3
2
1
0
-1
-2
x − 2y = 0 x + y = 4
u x 2y
v x y
= − ⎧⎨
⎩ = +
Las trayectorias se transforman a:
4
0
4
1
u
u
v
v
= ⎧⎪
= ⎪⎨
= ⎪⎪
⎩ =
La nueva región de integración sería:
Entonces:
( )
( )
= =
∫∫ ∫∫ ∂
´
,
,
R R
x y
A dA dudv
u v
∂
Hallemos el Jacobiano
x
y
R
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
x + y =1 x − 2y = 4
v = 4
v =1
u = 4
u = 0 R´
34. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
182
Note que como u = u (x, y) y v = v (x, y)
Podemos decir que:
( x , y
)
1
( u , v ) ( u ,
v
)
( x ,
y
)
∂
=
∂ ∂
∂
Entonces:
( )
( ) ( )
x y
u v u v u v
, 1 1 1 1
, , 1 1 3
( )
x x
y y
x y u v
, 2 1
∂
= = = =
∂ ∂
∂ −
Finalmente:
4 4
( )
= ∫∫ ( ) = ∂ ∫ ∫
= = ( − )
=
, 1 1 4 4
14 1 4 4
, 3 3 1 0
3
´ 1 0
R
x y
A dudv dudv v u
u v
∂
Ejemplo 3
Calcular
∫∫ y −
x
y + x
donde R es el paralelogramo con vértices (0,1) , (0, 2) , (1,0) y
R
e dA
(2,0) .
SOLUCIÓN:
Primero identificamos la región R , ubicando los puntos en el plano y encontrando las ecuaciones
de las rectas que definen al paralelogramo
Escogemos la transformación:
x = 0
(0,1)
x + y =1
u y x
v y x
= − ⎧⎨
⎩ = +
(0,2)
¿por qué?
x + y = 2
(2,0)
y = 0
R
(1,0)
Para obtener la región R´ , aplicamos la transformación a cada recta que limita la región R ,
Vamos a necesitar la transformación inversa:
Sumando la primera ecuación a la segunda:
35. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
183
= − ⎧⎨
⎩ = + ⇒ = +
+ =
1 ( )
u y x
v y x
y u v
2 2
u v y
Multiplicando por (-1) a la primera ecuación y luego sumando:
u y x
− = − + ⎧⎨
( ) 1 ( )
⎧⎪ = − − ⎩ = + ⎨ ⇒ ⇒ = −
2
u y x 1
v y x
2
x v u
v y x v u x
− = = + ⎪⎩
• La ecuación x + y = 1 , es obvio que se transforma en v = 1 .¿porqué?
• La ecuación x + y = 2 , se transforma en v = 2
• Para la ecuación y = 0 , tenemos:
1 ( u + v )
=
0
2 v = −
u
• Para la ecuación x = 0 , tenemos:
1 ( v − u )
=
0
2 v =
u
Por tanto la región R´ , estaría limitada por
v
1
v
2
v u
v u
= ⎧⎪
= ⎪⎨
= − ⎪⎪
⎩ =
v = −u v = u
Escogemos primero un barrido horizontal, por tanto:
( )
( )
∫∫ ∫∫ ∂
´
,
,
y x
y x u v
R R
x y
v = 2
e dA e dudv
u v
−
+ ∂
=
El Jacobiano sería:
( )
( ) ( )
x y
u v u v u v
, 1 1 1 1
, , 1 1 2
( )
x x
y y
x y u v
, 1 1
∂
= = = = −
∂ ∂ −
∂
Reemplazando, poniendo límites y calculando:
v =1
36. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
184
∫∫ ( )
( )
∫∫
, 1
, 2
( )
2
´ 1
2
1
2
1
1
−
( 1 )
2 2
1
( 1
)( )
( 1
)
1
2 1
1
2
2 2
4 1
4
3
4
v
u u
v v
R v
v
u
v
v
x y
e dudv e dudv
u v
e dv
v
v e e dv
e e v
e e
e e
−
−
−
−
−
∂
= −
∂
=
= −
−
=
−
= −
−
=
∫
∫
Ejercicios propuestos 5.4
∫∫1
dxdy
, donde R es la región comprendida entre las curvas y = 2x ,
x 1. Calcular 2
R
y = x , x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4 en el primer cuadrante.
∫∫x dA siendo R la región del primer cuadrante limitada por la hipérbola:
2. Calcular 2
R
xy = 16 ; y las rectas: y = x ; y = 0 ; x = 8 .
1
2
∫∫ y + x y − x dA , donde R es la región limitada por 2
3. Calcular ( 2 2 )( 2 )
R
2
1
xy
xy
y x
y x
= ⎧⎪
= ⎪⎨
= ⎪⎪
⎩ = −
en
el primer cuadrante.
4. Calcular
∫∫ 1
− x 2 y 2
− dA
; siendo R la elipse 1 a 2 b
2 2
R
2
2
+ =
x usando la siguiente
2
y
b
a
transformación:
cos
sen
x r
a
y r
b
θ
θ
⎧ = ⎪⎪⎨⎪
=
⎪⎩
.
∫∫ x + y dA donde R es la región limitada por las curvas: x 2 − y 2 = 1;
5. Calcular ( 2 2 )
R
x 2 − y 2 = 9 ; xy = 2 ; xy = 4 . Utilizando la transformación:
⎧ = − ⎪⎨
⎩⎪ =
2 2
2
u x y
v xy
37. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
∫∫ x + y dA ; siendo R el triángulo con vértices; (0,0); (4,0); (4,4),
∫∫ x − y x + y dA ; siendo R el paralelogramo con vértices; (0,0);
∫∫ x − y x + y dA ; R es la región acotada por el cuadrado con
∫∫ x − y sen x + y dxdy ,
185
6. Calcular ( 2 2 )
R
usando la siguiente transformación: x u
= ⎧⎨
⎩ =
y uv
.
7. Calcular ( )( 4 )
R
(1,1); (5,0); (4,-1).
8. Evaluar ( )2 cos2 ( )
R
vértices (0,1); (1,2); (2,1); (1,0). Utilizando la transformación u x y
= − ⎧⎨
⎩ = +
v x y
9. Empleando un cambio de variable adecuado evalúe ( )2 2 ( )
D
donde D es el paralelogramo con vértices en (π ,0) , (2π ,π ) , (π ,2π ) , (0,π ) .
10. Una lámina cuadrada definida por los vértices (1,0) , (0,1) , (1,2) , (2,1) tiene una
densidad variable dada por f (x, y) = (x2 − y2 )(x − y) 2
gr
cm . Determine la masa de la
lámina. Resp. 43
gr.
5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE.
Si tuviésemos una superficie con ecuación z = f ( x, y), y quisiéramos
hallar el valor del área de una porción R de la superficie, podemos actuar
con la misma metodología con la que hemos resuelto nuestros problemas
hasta el momento; es decir, particionar la región R y luego sumar dando
lugar a una integral.
Observe la gráfica:
R
R´
dS
x
y
z
dA
z = f (x, y)
x R
y R
38. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Llamemos S , al valor del área de la porción R de la superficie, entonces:
186
S = ∫∫dS
R
El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la
región R´. Podemos pensar en una transformación de 3 R a 2 R .
Denotando como R la función vectorial para la superficie, tenemos:
R = (x, y, f ( x, y ))
Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( x R ) y con
respecto a y ( x R ), serían:
(1,0, ) x x R = f y (0,1, ) y yR = f
Entonces:
x y dS = R ×R dA
Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:
i j k
1 0 ( , ,1)
0 1
R ×R = = − −
f f f
f
x y x x y
y
1 2 2 x y x y R ×R = + f + f
Finalmente:
S = ∫∫dS = ∫∫ + f 2 + f 2
dA
´
1 x y
R R
Si la ecuación de la superficie está dada en FORMA IMPLÍCITA, es decir
F ( x, y, z) = 0. La formula anterior se transforma a:
2 2 2
+ +
= ∫∫ ¡Demuéstrela!
S dA
´
F F F
x y z
F
R z
39. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Ejemplo 1
Demuestre que el área de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 es 4π a2 .
SOLUCIÓN:
Trabajaremos con la porción superior de la esfera y el resultado del área multiplicado por 2 por ser
simétrica.
187
La región R´ en este caso sería:
El área estaría dada por
2 2 2
+ +
2 x y z
´
z
R
F F F
S dA
F
= ∫∫
Reemplazando:
∫∫ ∫∫
2 2 2 ( )2 ( )2 ( )2
F + F + F x + y +
z
S dA dA
F z
´ ´
2 2 2
´
2 2 2
´
2 2 2
´
2 2 2
2 2
2
4 4 4
2
2
2
2
2
2
x y z
z
R R
R
R
R
x y z
dA
z
x y z
dA
z
x y z
dA
z
= =
+ +
=
+ +
=
+ +
=
∫∫
∫∫
∫∫
y
z
x
z = a2 − x2 − y2
a
a
x2 + y2 = a2
a
a
x
y
40. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
188
Reemplazando por la ecuación de la superficie z = a2 − x2 − y2
2 2 2 2
x y z a S dA dA
z a x y
2 2 2
R R
´ ´
a dA
2 2 2
´
2 2
2 1
R
a x y
+ +
= =
− −
=
− −
∫∫ ∫∫
∫∫
Cambiando a polares:
∫∫ ∫ ∫
2 1 2 1
S = a dA =
a rdrd
2 2 2 2 2
a − x − y a −
r
´ 00
( )
2
2 2
( )
2
1
2 2 2
0 0
2
0
2 2
0
2
2
2 0
2
4
a
R
a
a r
a d
a a d
a
a
π
π
π
π
θ
θ
θ
θ
π
−
=
−
= −
=
=
∫
∫
Ejemplo 2
Encuentre el área de la región de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 limitada por el cilindro
x2 + y2 − 3x = 0 .
Soluci.on:
Haciendo un dibujo
La región R´ en este caso sería:
y
z
x
z = 9 − x2 − y2
3
3
41. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
189
El área estaría dada por
2 2 2
+ +
2 x y z
´
z
R
F F F
S dA
F
= ∫∫
Reemplazando:
∫∫ ∫∫
2 2 2 ( )2 ( )2 ( )2
F + F + F x + y +
z
S dA dA
F z
´ ´
2 2 2
´
2 2 2
´
2 2 2
´
2 2 2
2 2
2
4 4 4
2
2
2
2
2
2
x y z
z
R R
R
R
R
x y zdA
z
x y z dA
z
x y z dA
z
= =
+ +
=
+ +
=
+ +
=
∫∫
∫∫
∫∫
Reemplazando por la ecuación de la superficie z = 9 − x2 − y2
2 2 2
2 2 9
2 2
´ ´
2 2
´
9
6 1
9
R R
R
x y z
S dA dA
z x y
dA
x y
+ +
= =
− −
=
− −
∫∫ ∫∫
∫∫
Cambiando a polares:
3cos
π θ
∫∫ ∫∫
6 1 6 1
S dA rdrd
2 2 2
9 9
´ 0 0
( )
1 3cos
2 2
( )
π
∫
∫
( )
( ( ))
( )
0
0
0
0
2
9
6 2
2
6 3 3
6 3 3cos
6 3 3 1 1
6 3 6
R
x y r
r
d
sen d
S u
θ
π
π
θ
θ
θ θ
θ θ
π
π
= =
− − −
−
=
−
= −
= +
= + − −
= −
r = 3cosθ
x
y
3
42. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Puede ocurrir que no sea posible proyectar la superficie en el plano xy y
que si se la pueda proyectar en el plano xz o en el plano yz , en tales casos
tenemos:
190
• Proyectando en el plano xz .
Si la ecuación de la superficie está dada por y = f ( x, z)
1 2 2 x z dS = + f + f dxdz
O en forma implícita, si F (x, y, z) = 0 entonces;
2 2 2
x y z
F + F +
F
dS dxdz
F
y
=
• Proyectando en el plano yz .
Si la ecuación de la superficie está dada por x = f ( y, z)
1 2 2 y z dS = + f + f dydz
O en forma implícita si F (x, y, z) = 0, entonces:
2 2 2
x y z
F + F +
F
dS dydz
F
x
=
Ejemplo
Demuestre que el área lateral del cilindro, que se muestra es 2π ah .
SOLUCIÓN:
Proyectando en el plano zy
S : x2 + y2 = a2
x
y
z
h
a
R
43. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
191
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
∫∫ ∫ ∫
F F F x y
+ + + +
2 2 0
S dydz dydz
F x
a dydz
a 2 y
2
( )
0 0
0 0
0
0
( )
4
2
4 2
2
4
4 1 0
4
2
2
h a
x y z
x
R
h a
a
h
a arcsen y z
a
a arcsen arcsen h
π
a h
ah
π
= =
=
−
= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
∫ ∫
5.1.11.1 SUPERFICIES PARAMETRIZADAS.
Si para una superficie están dadas sus ecuaciones paramétricas:
( ,
)
( ,
)
( ,
)
:
u v
u v
u v
x x
= ⎧⎪
S y y
= ⎨⎪
⎩ =
z z
Que definen su vector posición:
R(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z (u, v))
Entonces el diferencial de superficie está dado por:
u v dS = R ×R dudv
Ejemplo.
Hallar el área de la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 .
SOLUCIÓN:
Empleando las ecuaciones paramétricas para la esfera:
cos
x asen
S y asen sen
: ;0 ;0 2
cos
z a
φ θ
φ θ φ π θ π
φ
= ⎧⎪
= ≤ ≤ ≤ ≤ ⎨⎪
⎩ =
El vector posición para los puntos de la esfera sería:
R(φ ,θ ) = (a senφ cosθ , a senφ senθ , a cosφ )
Las derivadas parciales serían:
(a cos cos , a cos sen , a sen ) φ R = φ θ φ θ − φ
( a sen sen , a sen cos ,0) θ R = − φ θ φ θ
El producto cruz y su magnitud:
44. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
192
i j k
a cos cos a cos
sen a sen
a sen sen a sen
a sen a sen sen a sen a sen sen
× = φ θ φ θ −
φ
φ θ cos 0
−
= +
φ θ φ θ
φ θ φ θ φ φ θ φ φ θ
( 2 2 cos , 2 2 , 2 cos cos 2 2 cos
2 )
R R
( )
4 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2
a sen a sen sen a sen a sen sen
a sen sen a sen sen
a sen a sen
a sen sen
a sen
R R
× = + + +
( ) ( )
4 4 2 2 4 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2
( )
4 2 2 2
2
cos cos cos cos
cos cos cos
cos
cos
φ θ
R R
φ θ
φ θ φ θ φ φ θ φ φ θ
φ θ θ φ φ θ θ
φ φ φ
φ φ φ
φ
= + + +
= +
= +
× =
El área de la esfera estaría dado por:
= ∫ ∫ φ φ θ = ( − φ ) π ( θ ) π = ( + )( π )
= π
2
π π
2 2 2 2 2
S a sen d d a cos a 1 1 2 4 a
0 0
0 0
Ejercicios propuestos 5.5
1. Calcular el área de la superficie de la parte del paraboloide x 2 + y 2 = z que queda dentro
π
de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4z Resp. (13 13 1)
6
−
2. Encontrar el área de la superficie del plano y + z = 4 limitado por el cilindro z = x2 , y el
plano y = 0 . Resp. 32 2
3
3. Encontrar el área de la parte de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 situada entre los
planos
z = 1 y
2
z = − 1
2
4. Calcular el área de la porción de la superficie z = xy limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 4
5. Calcular el área de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a2 interior al cilindro
x 2 + y 2 = ay ; siendo a>o
6. Calcular el área de la superficie dada por:
x r
y r
z
cos
2 cos
φ
φ
φ
= ⎧⎪
= ⎨⎪
⎩ =
0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π
45. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
5.2 INTEGRALES TRIPLES
5.2.1 DEFINICIÓN
Para definir una integral para una función de tres variables, análogamente
a integrales dobles, deberíamos pensar que nuestra región de integración se
extendería a la forma [a,b]×[c,d ]×[e, g] ; es decir, ahora se tendría un
paralelepípedo, una región de 3 , la cual se la denota como Q:
193
a
b
Q
c d
k
g
e
x
y
Si hacemos particiones de Q, la ijk -ésima partición tendría la forma:
i Δx
j Δy
k Δz
Y su volumen sería: ijk i j k ΔV = Δx Δy Δz .
Una función de tres variables w = f ( x, y, z) definida en Q, para esta
partición sería de la forma
f (xi , y j , zk )ΔxiΔy jΔzk
Donde ( i , j , k ) x y z representa un punto cualquiera de la ijk -ésima
partición.
46. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones,
es decir:
194
Σ Σ Σ ( )
Δ Δ Δ
l m n
lim i , j , k
n i j k
m k 1 j 1 i
1
l
f x y z x y z
→∞
→∞ = = =
→∞
De aquí surge la definición de integrales triples
Sea f una función de tres variables
definida en una región de 3 ,
Q = [a,b]×[c, d ]×[e, g] = {(x, y, z) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ g}
l m n
Σ Σ Σ Δ Δ Δ se
Al lim ( )
i , , j k
n i j k
m k 1 j 1 i
1
l
f x y z x y z
→∞
→∞ = = =
→∞
le denomina la Integral Triple de f en Q
y se la denota de la siguiente manera:
∫ ∫ ∫ f ( x , y , z )
dxdydz
g d b
e c a
Además, si existe este límite decimos que
f es integrable en Q.
Si f ( x, y, z) =1, sería el volumen de la región Q. En esta sección nos
ocuparemos de calcular volúmenes con integrales triples para familiarizarnos
con su planteo y con su evaluación; en otra sección calcularemos otras
integrales triples y además con alternativas de evaluación.
El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales también, porque al
igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales
iteradas. Y es más, si tuviésemos regiones generales también el teorema de
Fubini es aplicable.
Ejemplo 1
Encontrar el volumen de la región acotada por z = x2 + 3y2 y 12 1 2
z = − x .
3
Solución
Haciendo un dibujo
47. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
195
La integral triple para el volumen sería:
z = − x
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫∫
V dz dA dA
( 12 ) ( 3
)
( )
1 2
3
1 2
3
2 2
12
⎣ 2 2
⎦
12
3
3
1 2 2 2
3
4 2 2
3
12 3
x
x
x y
R x y R
∫∫
R
∫∫
R
x x y dA
x y dA
z
−
−
+
+
= ⎡⎣ − − + ⎤⎦
= − −
Para definir la región R , determinemos la curva de intersección entre las superficies:
2 2
2
z x 3
y
z 12 1
x
3
⎧ = +
⎪⎨
= − ⎪⎩
Igualando, tenemos:
1 3 123
2 2 2
x + y = −
x
4 2 3 2
12
3
x y
x y
+ =
2 2
1
+ =
9 4
12 1 2
3
z = x2 + 3y2
x
y
z
48. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
196
x + y =
Poniendo límites, tenemos:
2 36 4 2
2
∫∫ ∫ ∫
+ −
y =
x
( ) ( )
V 12 x 3 y dA 4 12 x 3
y dydx
( )
( ) ( )
( )
2
36 4
3 3
4 2 2 4 2 2
3 3
0 0
3 36 4
2 3 3
∫
∫
∫
0 0
3 3 3
2 2 2 2
0
3
3
2 2
0
36 4
4 3
3 3
36 4 36 4
4
9 27
4 2 36 4
27
x
R
x
x y y dx
x x
dx
x dx
+ −
−
= − − = − −
⎡ ⎤
⎢ − ⎥
= ⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
⎡ − − ⎤ = ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
= −
Empleando sustitución trigonométrica:
x = 3sent entonces dx = 3cost dt y
0 0
3
2
x t
x t
π
→ ⇒ → ⎧⎪⎨
→ ⇒ → ⎪⎩
reeemplazando
2 2
1
9 4
x
y
3
3
0
49. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
197
π
∫ ∫
( ) ( ( ) ) ( )
4 2 36 4 8 36 4 3 3cos
V = − x dx = −
sent tdt
π
∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
8 6cos 3cos
27
( )( )
π
16 cos
3
t tdt
( )
t dt
t dt
π
16 1 cos 2
3 2
( )
π π π
( )
3 2
3 3 2 2 2 2
27 27
0 0
2
3
0
2
4
0
2
2
0
2
2
t t
π
16 1 2cos 2 cos 2
3 4
0
2 2 2
4 1 cos 4 2cos2
3 2
0 0 0
4 2 2 1
3 2 2
dt
t
dt tdt dt
t sen t t s
=
=
⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ +
=
⎡ ⎤
⎢ + ⎥
= ⎢ + + ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
⎡ ⎤
⎢⎣ ⎥⎦
= + + +
2
0
= ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
=
3
4
8
4 3
3 2 2
en t
V u
π
π
π
Ejemplo 2
Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por
ecuación x2 + y2 + z2 = a2 .
Solución:
Haciendo un gráfico
dx dy
dz
y
z
x
z = a2 − x2 − y2
a
a z = 0
Q
50. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
198
El volumen del paralelepípedo diferencial sería: dV = dzdA (altura por área de la base), será
mejor plantearlo de esta forma para que el dA sea planteado igual que en integrales dobles.
El volumen total sería:
V = ∫∫∫dzdA
Q
Trabajando con la porción superior de la esfera, haciendo un barrido vertical, el límite inferior
para z sería la ecuación del plano z = 0 y el límite superior sería la ecuación de la esfera
z = a2 − x2 − y2 , entonces:
⎡ 2 2 2
⎤
= − − ⎢ ⎥
2 2 2
∫∫ z ∫ a x y
∫∫
V 2 dz dA 2
a x y dA
= ⎢ ⎥ = − −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
R 0
R
los demás límites se los obtiene observando la proyección de la superficie en el plano xy
Pasando a polares y evaluando la integral:
x2 + y2 = a2
a
π
a
y
a
∫∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2
x
V = a − x − y dA = a −
r rdrd
0 0
2 3
( )
2
∫
( )
2 2 2
0 0
3 2 2 2
0
3
2 2
2 2
3 2
2 0
3
4
3
R
a
a r
a
a
π
π
θ
θ
π
−
=
= ⎡ − ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
=
Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse
laboriosa en su evaluación; por tanto, aquí también es posible utilizar
trasformaciones.
51. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
5.2.2 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS
∂ ∫∫∫ ∫∫∫
f x y z dV f ρ θ φ dρ dθ dφ
199
ESFÉRICAS
Recordemos que las transformaciones en coordenadas esféricas son:
x sen
cos
y sen sen
z
ρ φ θ
ρ φ θ
ρ φ
cos
= ⎧⎪
= ⎨⎪
⎩ =
Análogamente a integrales dobles, ahora una integral triple en
condiciones especiales puede ser expresada de la siguiente forma:
( ) ( ) (
)
x , y ,
z
, , , ,
( ) ´
, , Q Q
ρ θ φ
∂
=
Hallemos el Jacobiano:
( )
( )
x y z
ρ ρ ρ
θ θ θ
φ φ φ
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
, ,
, ,
cos cos
cos 0
cos cos cos
cos cos cos cos cos
cos cos
x y z
x y z
x y z
sen sen sen
sen sen sen
sen sen
sen sen sen sen sen sen sen
sen sen
ρ θ φ
φ θ φ θ φ
ρ φ θ ρ φ θ
ρ φ θ ρ φ θ ρ φ
φ ρ φ φ θ ρ φ φ θ ρ φ ρ φ θ ρ φ θ
ρ φ φ θ θ ρ
∂
=
∂
= −
−
= ⎡⎣− − ⎤⎦ − ⎡⎣ + ⎤⎦
= − ⎡⎣ + ⎤⎦ −
2 3 2 2
2 2 2 3
2 2 2
2
cos
cos
cos
sen sen
sen sen
sen sen
sen
φ θ θ
ρ φ φ ρ φ
ρ φ φ φ
ρ φ
⎡⎣ + ⎤⎦
= − −
= − ⎡⎣ + ⎤⎦
= −
Por tanto:
( x y z
)
( )
2 , ,
, ,
ρ senφ
ρ θ φ
∂
=
∂
Ejemplo 1
Calcular el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 empleando coordenadas
esféricas.
Solución:
La ecuación de la esfera en coordenadas esféricas es ρ = a
52. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
200
x
El volumen estaría dado por:
2
ρ = a
z
φ ρ
θ
π π
= ∫ ∫ ∫ ρ 2
φ ρ φ θ
a
V sen d d d
0 0 0
Evaluando
π π π π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
y
( )
= −
( )
2 2
3
2
0
= =
0 0 0 0 0
2
3
0
π
0
2
3
= +
0
3
2
0
3
3
cos
3
1 1
3
2
3
4
3
a
a
V sen d d d sen d d
a d
a d
a
a
π
π
π
ρ
ρ φ ρ φ θ φ φ θ
φ θ
θ
θ
π
=
=
∫
∫
Ejemplo 2
Hallar el volumen de la porción del cono z2 = x2 + y2 , limitada superiormente
por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 .
Solución:
Haciendo un dibujo:
53. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
201
La integral para el volumen sería:
π
2 4
ρ = a
π
π
= ∫ ∫ ∫ ρ 2
φ ρ φ θ
a
V sen d d d
0 0 0
Evaluando
π π
2 4 2 4
π π
3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
2
0
= =
0 0 0 0 0
2
3
4
0
π
= −
0
2
3
0
3
2
0
3
3
cos
3
1 2
3 2
1 2
3 2
2 1 2
3 2
a
a
V sen d d d sen d d
a d
a d
a
a
π
π
π
ρ
ρ φ ρ φ θ φ φ θ
φ θ
θ
θ
π
⎛ ⎞
= ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ⎠
∫
∫
x
y
z
4
φ =
54. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
202
Ejercicios Propuestos 5.6
1. Determine el volumen del sólido limitado en su parte superior por la esfera
x2 + y2 + z2 = 9 y en su parte inferior por el cono x2 + y2 = 2z2 ; considere z ≥ 0 .
2. Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x 2 + y 2 = a 2 y el
hiperboloide x 2 + y 2 − z 2 = −a 2
3. Calcular el volumen del sólido limitado por los tres planos coordenados, la superficie
z = x 2 + y 2 ;y el plano x + y = 1
4. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el cono
z 2 = x 2 + y 2 ; z ≥ 0
5. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4z
e inferiormente por el cono x 2 + y 2 = z 2 . Resp. 8π
6. Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies:
x 2 + y 2 = 2z ; x2 + y 2 − z 2 = 1 ;y z = 0
7. Utilizando una transformación adecuada, hallar el volumen del cuerpo limitado por el
2 2 2
x + y + z = y el cono 0
elipsoide 2
9 4 25
2 2 2
x + y − z =
9 4 25
8. Sea un campo escalar f (x, y, z) definido sobre una región Q ⊆ R3 , se define el valor
1 , donde V(Q) es el volumen de Q.
medio de f por: f = ∫∫∫ ( , ,
)
med f x y z dV
Q
V Q
( )
Encontrar el valor medio de f (x, y, z) = xyz sobre el cubo de lado "L" que se
encuentra en el primer octante con vértice en el origen y aristas paralelas a los ejes
coordenados
Misceláneos
1. Califique como verdaderas o falsas lasa siguientes proposiciones:
e ln x 1 e 0
e
∫ ∫ = ∫ ∫ +∫ ∫
a) ( ) ( ) ( )
f x y dydx f x y dxdy f x y dxdy
, , ,
y y
− − −
x e e
1 ln 0 1
1 1 − x 2 1 1 −
x
2
∫ ∫ + = ∫ ∫ +
b) ( 2 ) ( 2
)
x y dydx x y dydx
3 2 3
x x
1 1 0 1
− − −
c) El valor promedio de la función f (x, y) = xy en la región [0,1]×[1,3] es igual a 1.
1 1 1 1 1
∫ ∫ = ∫ ∫
d) ( )
( )
( )
2
+ −
, ,
0 1 1 0 0
y
x
f x y dydx f x y dxdy
− −
x y y
2 2 2 2 1 2
− − −
∫ ∫ = ∫ ∫ +∫ ∫
e) ( ) ( ) ( )
f x , y dydx 2 f x , y dxdy f x ,
y dxdy
x y
0 1 1 1 0 1
− −
2. Empleando integrales dobles, calcular el área de la región limitada por:
a) y 2 = 10x + 25 ; y 2 = −6x + 9
b) x 2 + y 2 = 2x ; x 2 + y 2 = 4x ; y = x ; y = 0
55. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
∫∫xydA donde D es la región comprendida entre la elipse x 2 + 2y 2 = 1 y la
203
3. Calcule la integrales doble sobre la región R
⎧
y
+ ∫∫ 4
⎪⎩
⎪⎨
=
y =
x
=
=
0
,
R
y
1 2 x
R
x
4. Calcular x dx dy
y
x sen
2
0
4
2 ∫ ∫
2
5. Calcular ∫ ∫ +
0
2
1 3 dydx
x
x y
y
∫∫e donde R es la región limitada por y = x2 , y = x , x =1 , x = 2 .
6. Evaluar dA
R
x
7. Suponga que el triángulo R con vértices (0,0) , (0,10) y (10,0) representa la región situada dentro
del límite de cierta región de la provincia de Manabí. Después de una tormenta de invierno, la
( , ) 1
− −
profundidad del agua en el punto (x, y) de R era 100 50
500
x y
f x y e e
= cm. Suponiendo
que x e y se miden en centímetros HALLE una expresión para establecer la profundidad media del
agua en la región.
8. Para las integrales dadas, calcular el valor de la integral, dibujar la región de integración,
cambiar el orden de integración y calcular el valor de la nueva integral.
a) ∫ ∫ ( )
−
+
1
0
1
1
2
y2
x y y dxdy
a a
adxdz
b) ∫ ∫ −
z a x
0
2 2
1
c) ∫ ∫ ( + )
0
3
x
x
y y dydx
π +
d) ∫ ∫
0
x
y xdydx
1 cos
0
2 sen
ln8
e) ∫ ∫ +
1
ln
0
y
e x y dxdy
9. Evaluar
∫∫xdA ; si R es un triángulo con vértices los puntos (2,3) ; (7,2) ; (4,5).
R
10. Calcular
D
circunferencia x 2 + y 2 = 1 en el primer cuadrante.
11. Calcular ∫∫
D
xydA donde D es el cuadrado con vértices (0,0); (1,1); (2,0); (1,-1).
⎛ π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ∫∫ ; donde R es el rectángulo [0,2]x[-1,0].
12. Evaluar cos
4
R
y x dA
56. CALCULO III UNAC-FIEE INTEGRACION MULTIPLE -DOC.LIC RAUL CASTRO VIDAL
204
∫∫ x + y dA ; R es la región acotada por las gráficas xy = 1; xy = 2 ;
13. Calcular ( 2 2 2 )
R
y = x ; y = 2x . Utilizando la transformación:
x =
u
v
=
y v
14. Encuentre el área de la superficie del paraboloide hiperbólico z = y 2 − x2 comprendida
entre los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4 .
15. Determine el volumen del sólido comprendido entre las esferas 2 ( )2 2
1S : x + y −1 + z = 4 y
2 ( )2 2
2S : x + y +1 + z = 4 . Resp. 10
π
3
16. Determine el área de la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2 que se encuentra en el
interior del cilindro x2 + y2 = a2 . Considere z ≥ 0
BELLAVISTA ,FEBRERO DEL 2012
DOC.LIC. RAUL CASTRO VIDAL
Cód.Doc. 2364-UNAC-FIEE