material de ayuda calculo 3

1. Departamento de Ciencias
CÁLCULO 3
SEMANA 1
Funciones reales de varias variables reales

2. INTRODUCCIÓN
Idea intuitiva de función real de varias variables reales
Dado el sólido con dimensiones:
• Largo: 𝒙
• Ancho: 𝒚
• Alto: 𝒛
y
z
x
Existen muchas situaciones prácticas en las que una cantidad de
interés depende de los valores de dos o más variables.
área de la base (𝑨) volumen del sólido (𝑽)
𝑨 = 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑽 = 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
➢ Variable dependiente: 𝑨
➢ Variables independiente: 𝒙, 𝒚
➢ Variable dependiente: 𝑽
➢ Variables independiente: 𝒙, 𝒚; 𝐳

3. SABERES PREVIOS
Enlace: https://quizizz.com/join

4. LOGRO DE SESIÓN
Al término de la sesión, el
estudiante determina el dominio de
una función de varias variables, en
forma analítica, graficándolo y
contrastando su resultado con el
obtenido en un graficador,
realizando los procedimientos
ordenada y coherentemente.

5. CONTENIDOS
1. Funciones reales de varias variables reales.
2. Gráfica de funciones reales de dos variables reales.
3. Dominio y rango de una función real de varias variables reales.
4. Álgebra de funciones reales de dos variables reales.
5. Curvas de Nivel.
6. Trazas sobre los planos coordenados.
7. Modelación matemática.

6. ➢Una función 𝒇 de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado
de números reales (𝑥, 𝑦) de un conjunto 𝑫, un número real único denotado
por 𝑓(𝑥, 𝑦).
➢El conjunto 𝑫 es el Conjunto de Partida de 𝑓 y su imagen es el conjunto de
valores que toma 𝑓.
Entrada 1
x
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
1 salida
PROCESO
y
Entrada 2
D
FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
Al conjunto de entradas se llama dominio de 𝒇 y se denota por 𝑫𝒐𝒎 𝒇 . Al conjunto
de números de salida se llama rango o imagen de 𝒇 y se denota por 𝑰𝒎(𝒇).

7. Funciones reales de varias variables reales
➢ Función real de una variable real:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ
𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
➢Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
➢Función real de 3 variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ
(𝑥 , 𝑦, 𝑧) ⟼ 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
➢Función real de 𝑛 variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ⟼ 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 2.

8. Gráfica de una función real de dos variables reales
➢La gráfica de la función de dos variables 𝑓, se entiende como el
conjunto de puntos de la forma (𝑥, 𝑦, 𝑧) , donde 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y
(𝑥, 𝑦) pertenece al dominio de 𝑓. Es decir,
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
Dicha gráfica se interpreta
geométricamente como una
superficie en el espacio, y se
dice que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) es la
ecuación en forma explícita de
dicha superficie.

9. Dominio y rango de funciones reales de varias variables
reales
➢ Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
➢ Análogamente se define el dominio y
rango para funciones de 𝑛 variables.
Dominio
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/ ∃𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐷
Rango o imagen
Im( 𝑓) = 𝑓(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
𝑰𝒎(𝒇)
(𝒙, 𝒚)
Gráficamente:

10. Representación gráfica del dominio y rango de una función
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
➢ Ejemplo : Halle el dominio de la función
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 + 1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
Solución
La función está bien definida si:
1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
≥ 0
Entonces el domino de la función es:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
/
(𝑥 − 2)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
≤ 1
Gráficamente:
𝑧 = 3 + 1 −
(𝑥 − 2)2
4
−
(𝑦 − 3)2
9
(𝑥 − 2)2
4
+
(𝑦 − 3)2
9
≤ 1

11. Álgebra de funciones
Si 𝒇 y 𝒈 son funciones de dos variables con dominio 𝐷 ⊂ ℝ2 , entonces:
• Suma o diferencia: 𝑓 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦
• Producto: 𝑓. 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑔(𝑥, 𝑦)
• Cociente:
𝑓
𝑔
𝑥, 𝑦 =
𝑓 𝑥,𝑦
𝑔 𝑥,𝑦
, 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ 0
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si 𝒉 es una función de varias variables y 𝒈 en una función de una
sola variable, puede formarse la función compuesta 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) como sigue:
Composición: 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) = 𝑔 ℎ(𝑥, 𝑦)
𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ ℎ = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ℎ : ℎ(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)

12. Curvas de Nivel
Las curvas de nivel se obtienen cortando
la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con planos
horizontales situados a distintas alturas,
cuyas intersecciones son curvas que al
proyectarlo sobre el plano 𝑋𝑌 tienen por
ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, a estas curvas se le
llaman curvas de nivel de la función 𝑓 en
𝑘 y al conjunto de curvas de nivel se
llama mapeo de contorno.
Definición. Las curvas de nivel de una función 𝒇 de dos variables son las que tienen
como ecuación a 𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒌, donde 𝒌 es una constante (en el rango de 𝒇 ).

13. Curvas de Nivel
➢ De forma similar para el caso de una función de tres variables se obtiene que
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 son llamadas superficies de nivel.
• Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, las superficies de nivel son:

14. APLICACIÓN TECNOLÓGICA
https://www.geogebra.org/m/ksnhk3vg
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4
− 𝑥2
+ 𝑦2
, las curvas de nivel y la gráfica de esta superficie
son:

15. Trazas sobre los planos coordenados
➢Las trazas sobre los planos coordenados son las curvas de
intersección de la superficie 𝑺 con cada uno de los planos
coordenados (𝑋𝑌,𝑋𝑍;𝑌𝑍).
➢Sea la superficie S con ecuación:
𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑜 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 … (∗)
Traza sobre: En la ecuación (∗)
El plano 𝑋𝑌 (𝑧 = 0) Reemplazar 𝑧 = 0
El plano 𝑋𝑍 (𝑦 = 0) Reemplazar 𝑦 = 0
El plano 𝑌𝑍 (𝑥 = 0) Reemplazar 𝑥 = 0

16. Trazas sobre los planos coordenados
➢Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2:
a) Use las trazas sobre los planos coordenados y grafique la función 𝑓.
b) Halle el dominio de 𝑓.
c) Halle el rango de 𝑓.
Solución
a)

17. Trazas sobre los planos coordenados
a)
b) c)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑧 ∈ 0,4
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
:
𝑥2
4
+
𝑦2
16
≤ 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 4𝑥2 − 𝑦2

18. MODELACIÓN MATEMÁTICA
➢ Una empresa petroquímica está diseñando un tanque cilíndrico con extremos semiesféricos para
utilizarlo en el transporte de sus productos.
a) ¿Qué variables intervienen en el problema?
b) ¿Cómo se podrá expresar el volumen del tanque en función de las variables mencionadas?
c) ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes?
Solución
➢ 𝑟: radio de la tapa semiesférica
➢ ℎ: altura de la parte cilíndrica
➢ 𝑉: volumen del tanque
a)
ℎ
𝑟
Variables que intervienen en el problema b) El volumen del tanque:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ +
4
3
𝜋𝑟3
= 𝑓(𝑟, ℎ)
➢ 𝑟 ; ℎ: variables independientes
➢ 𝑉: variable dependiente
c)

19. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Forme grupos de 4
estudiantes.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo.

20. INDICACIONES PARA EL TRP1
Estimado estudiante, en este espacio encontrarán la actividad Taller de Resolución de
Problemas correspondiente a la T1 actividad sincrónica que le permitirá desarrollar sus
habilidades de análisis para plantear estrategias de solución a partir de un contexto realístico
problemático y aplicar de manera pertinente sus conocimientos adquiridos en el curso.
En este sentido tenga en cuenta lo siguiente:
1. La actividad es sincrónica y se realiza en la sesión de clase
2. La actividad tiene una duración de 80 minutos
3. La actividad se realiza en grupos de 4 o 5 integrantes de acuerdo al registro en la sección de
inscripción de grupos.
4. Consignar en la carátula SOLO los estudiantes que han participado en el desarrollo de la
actividad.
5. Solo el líder del equipo sube el desarrollo del Taller de Resolución de Problemas.
6. El nombre del archivo debe tener el formato: CAL3_NRC_TRP1_N° de Equipo . Por Ejemplo si
mi equipo es el número 4, el nombre del documento será: CAL3_6853_TRP1_4

21. METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
las dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas se
pueden resolver mediante
funciones de varias variables?

22. REFERENCIAS
▪ Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas.
McGraw-Hill Interamericana.
▪ Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables: Trascendentes
tempranas. Cengage Learning.
▪ Larson, R. (2010). Cálculo 2. McGraw Hill.

23. GRACIAS