Este documento presenta conceptos sobre longitud de arco y áreas de superficie de revolución calculadas usando integrales definidas. Explica las fórmulas para calcular la longitud de una curva dada por una función y o x, y el área de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor de un eje. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar la comprensión de estos conceptos en el cálculo.

1. CÁLCULO II
SESIÓN 8. Longitud de Arco y Áreas de Superficie de
Revolución.

2. Logros de Aprendizaje
2
Al finalizar la sesión el estudiante
resuelve problemas vinculados a
ingeniería calculando la longitud de
arco, y áreas de superficies de
revolución usando el cálculo de
integrales definidas.

3. Inteligencia Social: Elabora un mensaje que sea acorde con las personas
con las que interactúa a través de diversos medios, regulando sus
emociones y fortaleciendo la relación y el aprendizaje mutuo
Resolución de Problemas: Diseña e implementa soluciones de manera
innovadora y emprendedora que agregue valor al proceso, servicio o
producto y evalúa su impacto
COMPETENCIAS DESARROLLADAS EN EL CURSO

4. ¿Se podrá determinar la longitud de arco
del cable eléctrico entre las dos torres?

6. LONGITUD DE ARCO
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
Fórmula para la longitud de arco de 𝐲 = 𝒇(𝒙), 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
Fórmula para la longitud de arco de x= 𝒉(𝒚), 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

7. Longitud de una curva 𝒚 = 𝒇(𝒙)

8. EJEMPLO
Determine la longitud de la gráfica de
𝑓 𝑥 =
𝑥3
12
+
1
𝑥
, 1 ≤ 𝑥 ≤ 4.
Solución. En la figura se muestra una gráfica de la función. Determinamos
𝑓′(𝑥) =
𝑥2
4
−
1
𝑥2
Por lo que
1 + 𝑓′(𝑥) 2 = 1 +
𝑥2
4
−
1
𝑥2
2
= 1 +
𝑥4
16
−
1
2
+
1
𝑥4
=
𝑥4
16
+
1
2
+
1
𝑥4 =
𝑥2
4
+
1
𝑥2
2

9. CONTINUACIÓN
La longitud de la gráfica en 1,4 es
𝐿 =
1
4
1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥 =
1
4
𝑥2
4
+
1
𝑥2 𝑑𝑥
=
𝑥3
12
−
1
𝑥 1
4
=
64
12
−
1
4
−
1
12
− 1 =
72
12
= 6
Donde 𝐴(1,13/12) y 𝐵 = (4,67/12)

10. Obs. En un punto en la curva donde 𝑑𝑦/𝑑𝑥 no existe, es posible que exista 𝑑𝑥/𝑑𝑦,
en este caso determinamos la longitud de la curva expresando 𝑥 como una función de
𝑦 aplicando la fórmula planteada.
Definición:
Si 𝑔’ es continua en [𝑐, 𝑑] entonces la longitud de arco de la curva
𝑥 = 𝑔(𝑦) desde (𝑔(𝑐), 𝑐) hasta el punto (𝑔(𝑑), 𝑑) es el valor de la
integral
𝐿 =
𝑐
𝑑
1 + 𝑔′(𝑦) 2 𝑑𝑦 =
𝑐
𝑑
1 +
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
𝑑𝑦
Fórmula para la longitud de arco de 𝒙 = 𝒈(𝒚), 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

11. Determine la longitud de la curva 𝑦 = 𝑥/2 2/3, desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 2.
Ejemplo

12. ÁREA SUPERFICIAL DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

13. ÁREA SUPERFICIAL DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

14. Si la función 𝑓(𝑥) ≥ 0 es una función con derivada continua, el área de la
superficie generada al hacer girar alrededor del eje 𝑋 desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏,
está dada por:
𝑆 =
𝑎
𝑏
2𝜋𝑦 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
2𝜋𝑓(𝑥) 1 + 𝑓′(𝑥) 2 𝑑𝑥.
Área de la superficie para rotación alrededor del eje 𝑌
Si x = 𝑔(𝑦) ≥ 0 es una función con derivada continua, el área de la superficie
generada al hacer girar alrededor del eje Y desde y = 𝑐 hasta y = 𝑑, está dada
por:
𝑆 =
𝑐
𝑑
2𝜋𝑥 1 +
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
𝑑𝑦 =
𝑐
𝑑
2𝜋𝑔(𝑦) 1 + 𝑔′(𝑦) 2 𝑑𝑦.
ÁREA SUPERFICIAL DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

15. Solución. Evaluamos la fórmula
𝑆 =
𝑎
𝑏
2𝜋𝑦 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
Con 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑦 = 2 𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
EJEMPLO
Determine el área de la superficie generada al hacer girar la curva
𝑦 = 2 𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, alrededor del eje 𝑋
Primero, realizamos algunas manipulaciones algebraicas en el radical del
integrando para transformarlo en una expresión que sea más fácil de integrar.
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
= 1 +
1
𝑥
2
= 1 +
1
𝑥
=
𝑥 + 1
𝑥
=
𝑥 + 1
𝑥

16. CONTINUACIÓN
Con tales sustituciones, tenemos.
𝑆 =
1
2
2𝜋. 2 𝑥
𝑥 + 1
𝑥
𝑑𝑥 = 4𝜋
1
2
𝑥 + 1𝑑𝑥
= 4𝜋
2
3
𝑥 + 1 3/2
1
2
=
8𝜋
3
3 3 − 2 2

17. EJERCICIOS:
Calcular la longitud de arco de las curvas dadas por las siguientes funciones:
A) 𝑦 = 4𝑥3/2 entre 𝑥 = 1/3 y 𝑥 = 5
B) 𝑦 =
2
3
(𝑥2 + 1)3/2 entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2
Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva en torno al eje X.
G) 𝑦 =
𝑥3
6
+
1
2𝑥
,
1
2
≤ 𝑥 ≤ 1
H) 𝑥 =
1
3
𝑦2 + 2 3/2 ,
1
2
≤ 𝑦 ≤ 2

18. Gracias