Diferenciales Parciales

1. Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Cálculo aplicado a la física 3

2. Datos/Observaciones
LOGRO DE LA SESIÓN:
✓ Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante
aplicará los conceptos de las ecuaciones de
Laplace, onda y calor en las ecuaciones
diferenciales parciales en problemas aplicados a la
física.

3. Datos/Observaciones
CONTENIDO
• Derivadas parciales
• Ecuaciones diferenciales parcial
• Resolución de ejercicios.
• Cierre.

4. Datos/Observaciones
RECORDANDO

5. Datos/Observaciones
Derivada Parcial
Sea z = f (x; y). La derivada parcial de f con respecto a x, denotado
como 𝑓𝑥(x; y), es la función dada por
en caso exista el límite.
Sea z = f (x; y). La derivada parcial de f con respecto a y, denotado
como 𝑓
𝑦(x; y), es la función dada por
en caso exista el límite.

6. Datos/Observaciones
Derivada Parcial
Sea z = f (x; y), algunas notaciones de las derivadas parciales de f son
Para hallar 𝑓
𝑥 , trate a y como constante y derive f respecto a x. Igualmente para hallar 𝑓
𝑦
trate a x como constante.

7. Datos/Observaciones
Ejemplo 1
Ejemplo calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función:
Solución: Calculamos las primeras derivadas parciales
Ahora, calculamos las segundas derivadas parciales

8. Datos/Observaciones
Ecuación diferencial Parcial (EDP)
Una ecuación en derivadas parciales (EDP)
de orden n ∈ IN es una ecuación en la que
aparece una función desconocida que
depende (al menos) de dos variables reales,
junto a algunas de sus derivadas parciales
hasta orden n.
Cuando la función incógnita sólo depende de
una variable real, se trata de una ecuación
diferencial ordinaria (EDO) de orden n.
Se dice que una EDP es lineal si es lineal
respecto de la función desconocida y de todas
sus derivadas parciales. En otro caso, se dice
que es no lineal.
Dada una función u(x,y), es habitual utilizar
la siguiente notación abreviada para
designar sus derivadas parciales

9. Datos/Observaciones
EDP: Ecuación de Laplace
Cuando contiene derivadas parciales.
En este caso representa la dependencia
de una variable respecto a varias
variables independientes.
Por ejemplo, la siguiente ecuación
describe la dependencia de r respecto
de x, y y z.
Una ecuación diferencial que envuelva derivadas
parciales es conocida como una ecuación
diferencial parcial. Por ejemplo, la ecuación
diferencial parcial:

10. Datos/Observaciones
Ejemplo 2
Verificar que la función
es una solución de la ecuación de Laplace.
Solución:
Tenemos que:
Por lo tanto, u satisface la ecuación de Laplace:

11. Datos/Observaciones
EDP- Ecuación de la Onda
La ecuación de onda:
Describe el movimiento de una onda, que puede ser una ola de mar, una
onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja por una cuerda
que vibra.
Por ejemplo, Si u(x, t) representa el desplazamiento de una cuerda
de violín que está vibrando en el tiempo t y a una distancia x de un
extremo de la cuerda

12. Datos/Observaciones
EDP- Ecuación de la conducción de Calor
La ecuación de la conducción de calor:
Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia
neta o transporte de materia, energía o momento lineal en cantidades grandes o
macroscópicas. Estos fenómenos físicos tienen rasgos comunes que pueden ser
descritos mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional Donde
es una constante característica de cada situación física y u(x, t) es el campo
correspondiente al fenómeno de transporte de que se trata.

13. Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
• ¿Qué aprendimos hoy?
• ¿Qué fue lo que más me costo entender?
• ¿En qué podemos utilizar lo que hemos aprendido?