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ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
Profesor: Gustavo A. Sanabria De A.
Docente de matemáticas
Ing. Civil U de C.
Magister en Educación Uninorte
Conceptos y Definiciones Fundamentales
Un ejemplo muy conocido es la segunda ley de Newton para el movimiento unidimensional
de una partícula:
Aquí la m es la masa, x es la posición de la partícula. La primera derivada dx/dt de la
posición x con respecto al tiempo t es la velocidad de la partícula y la segunda derivada es
la aceleración.
Generalmente, una fuerza F (t, x, dx/dt) que actúa sobre la partícula es una función del
tiempo t, de la posición x y de la velocidad dx/dt.
Vemos, que la forma matemática de la segunda ley de Newton es una ecuación
diferencial. Tenemos que resolver esta ecuación para obtener la posición de la partícula x
como una función del tiempo t, x = x(t).
Definición de la Ecuación Diferencial
Se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figuran las derivadas o
diferenciales de una o más funciones incógnitas con respecto a una o más
variables independientes.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con:
 El tipo,
 el orden,
 el grado y
 la linealidad.
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo:
■ Ecuación Diferencial Ordinaria
■ Ecuación Diferencial Parcial
Ecuación Diferencial Ordinaria
Si la función desconocida depende sólo de una variable independiente, la ecuación se
llama ecuación diferencial ordinaria.
Forma general:
Ejemplo 1:
En esta ecuación y es una función desconocida de una sola variable x.
Llamamos a x la variable independiente y a la función y, que depende de x, variable
dependiente..
Ejemplo 2:
En esta ecuación x es una función desconocida de una sola variable t
Llamamos a t la variable independiente y a la función x, que depende de t, variable
dependiente.
Ecuación Diferencial Parcial
Si la función incógnita depende de dos o más variables independientes, tal que la
ecuación contiene derivadas parciales de la función, esta ecuación se llama una
ecuación diferencial parcial o ecuación en derivadas parciales.
Ejemplo 1: La ecuación de onda
Aquí el campo de onda E(x, t) es una función desconocida, la cual depende de dos
variables independientes, de la coordenada x y del tiempo t.
Ejemplo 2: La ecuación de Laplace para el potencial escalar V del campo eléctrico.
Aquí la función incógnita V (x, y, z) depende de tres variables independientes, de las
coordenadas x, y y z.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Orden:
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que
aparece (está) en la ecuación.
Ejemplo 1. Por ejemplo, la ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, porque la más alta derivada
en esta ecuación es y‘ , la cual es de primer orden.
Ejemplo 2. La ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, porque la más alta
derivada en esta ecuación es y“, la cual es de segundo orden.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Orden:
Ejemplo 3. También, la ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Ejemplo 4. Según la definición, la ecuación en derivadas parciales
es una ecuación diferencial parcial de segundo orden.
Es interesante notar que una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede
expresarse como:
Esta forma es la más general para una ecuación diferencial ordinaria de enésimo
orden.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Grado:
Algunas ecuaciones diferenciales se clasifican por el grado de éstas.
Si una ecuación diferencial se escribe como un polinomio con respecto a la variable
dependiente y sus derivadas, entonces la potencia más alta de la más alta derivada
es el grado de la ecuación.
Ejemplo 1. Por ejemplo, la ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado, porque
la más alta derivada en esta ecuación es y”, la cual es de segundo orden, esta
derivada está en su primera potencia.
Ejemplo 2. La ecuación
es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y de segundo grado, porque
la más alta derivada en esta ecuación es la tercera derivada, y’”, en la segunda
potencia.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Grado:
Ejemplo 3. También la ecuación:
es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de primer grado.
Ejemplo 4. Según las definiciones, la ecuación en derivadas parciales:
es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y de primer grado, con cuatro
variables independientes.
Debe notarse que el orden se define para todas las ecuaciones diferenciales. Sin
embargo, el grado está definido solamente para ecuaciones diferenciales que puede
escribirse como un polinomio. Por ejemplo, la ecuación:
es una ecuación diferencial de segundo orden y de grado indefinido, porque la
ecuación no es un polinomio.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad:
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal:
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n tiene tal forma general:
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si la función F en la
representación general es una función lineal de la variable dependiente y y todas
sus derivadas
En otras palabras, Una ecuación diferencial ordinaria se llama lineal, si puede ser
escrita en la forma:
O en la forma equivalente:
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad:
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal:
La linealidad significa que todos los coeficientes p1, p2,. . . . , pn y la función g(x)
son solamente funciones de x y que la función incógnita y(x) y todas sus derivadas
están en su primera potencia.
Es interesante notar que cualquier ecuación diferencial lineal ordinaria es de primer
grado. Sin embargo, no toda ecuación diferencial ordinaria de primer grado es
lineal.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad:
Ecuación Diferencial Ordinaria No-Lineal:
Una ecuación diferencial ordinaria que no puede escribirse en la forma:
es una ecuación diferencial no-lineal.
Ejemplos. Como un ejemplo de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo
orden podemos escribir la ecuación:
Ahora, vamos a tomar en lugar de x cualquier función no-lineal, por ejemplo, sen x.
En ese caso obtenemos la ecuación diferencial ordinaria no-lineal de segundo orden.
La primera ecuación diferencial es la ecuación para el péndulo oscilante con amplitud
pequeña. La segunda ecuación diferencial es la ecuación para el péndulo oscilante con
cualquier amplitud.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad:
Ecuación Diferencial Ordinaria No-Lineal:
Otro ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria no-lineal es la ecuación:
Esta ecuación es no-lineal porque tiene la tercera potencia de la primera derivada.
BIBLIOGRAFIA
BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA, FACULTAD DE
CIENCIAS DE LA ELECTRONICA. José Eligio Moises Gutiérrez Arias, Facultad de
Ciencias de la Electronica, A.A.E. de Mathematicas. Nykolay Makarov, Instituto de
Ciencias, Laboratorio de Físico-Química de Materiales. 2005.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Profesor: Gustavo A. Sanabria De A. Docente de matemáticas Ing. Civil U de C. Magister en Educación Uninorte
  • 2. Conceptos y Definiciones Fundamentales Un ejemplo muy conocido es la segunda ley de Newton para el movimiento unidimensional de una partícula: Aquí la m es la masa, x es la posición de la partícula. La primera derivada dx/dt de la posición x con respecto al tiempo t es la velocidad de la partícula y la segunda derivada es la aceleración. Generalmente, una fuerza F (t, x, dx/dt) que actúa sobre la partícula es una función del tiempo t, de la posición x y de la velocidad dx/dt. Vemos, que la forma matemática de la segunda ley de Newton es una ecuación diferencial. Tenemos que resolver esta ecuación para obtener la posición de la partícula x como una función del tiempo t, x = x(t).
  • 3. Definición de la Ecuación Diferencial Se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figuran las derivadas o diferenciales de una o más funciones incógnitas con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con:  El tipo,  el orden,  el grado y  la linealidad.
  • 4. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo: ■ Ecuación Diferencial Ordinaria ■ Ecuación Diferencial Parcial
  • 5. Ecuación Diferencial Ordinaria Si la función desconocida depende sólo de una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Forma general: Ejemplo 1: En esta ecuación y es una función desconocida de una sola variable x. Llamamos a x la variable independiente y a la función y, que depende de x, variable dependiente.. Ejemplo 2: En esta ecuación x es una función desconocida de una sola variable t Llamamos a t la variable independiente y a la función x, que depende de t, variable dependiente.
  • 6. Ecuación Diferencial Parcial Si la función incógnita depende de dos o más variables independientes, tal que la ecuación contiene derivadas parciales de la función, esta ecuación se llama una ecuación diferencial parcial o ecuación en derivadas parciales. Ejemplo 1: La ecuación de onda Aquí el campo de onda E(x, t) es una función desconocida, la cual depende de dos variables independientes, de la coordenada x y del tiempo t. Ejemplo 2: La ecuación de Laplace para el potencial escalar V del campo eléctrico. Aquí la función incógnita V (x, y, z) depende de tres variables independientes, de las coordenadas x, y y z.
  • 7. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que aparece (está) en la ecuación. Ejemplo 1. Por ejemplo, la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, porque la más alta derivada en esta ecuación es y‘ , la cual es de primer orden. Ejemplo 2. La ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, porque la más alta derivada en esta ecuación es y“, la cual es de segundo orden.
  • 8. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Orden: Ejemplo 3. También, la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Ejemplo 4. Según la definición, la ecuación en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Es interesante notar que una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como: Esta forma es la más general para una ecuación diferencial ordinaria de enésimo orden.
  • 9. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Grado: Algunas ecuaciones diferenciales se clasifican por el grado de éstas. Si una ecuación diferencial se escribe como un polinomio con respecto a la variable dependiente y sus derivadas, entonces la potencia más alta de la más alta derivada es el grado de la ecuación. Ejemplo 1. Por ejemplo, la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de primer grado, porque la más alta derivada en esta ecuación es y”, la cual es de segundo orden, esta derivada está en su primera potencia. Ejemplo 2. La ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y de segundo grado, porque la más alta derivada en esta ecuación es la tercera derivada, y’”, en la segunda potencia.
  • 10. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Grado: Ejemplo 3. También la ecuación: es una ecuación diferencial parcial de primer orden y de primer grado. Ejemplo 4. Según las definiciones, la ecuación en derivadas parciales: es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y de primer grado, con cuatro variables independientes. Debe notarse que el orden se define para todas las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, el grado está definido solamente para ecuaciones diferenciales que puede escribirse como un polinomio. Por ejemplo, la ecuación: es una ecuación diferencial de segundo orden y de grado indefinido, porque la ecuación no es un polinomio.
  • 11. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal: Una ecuación diferencial ordinaria de orden n tiene tal forma general: Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si la función F en la representación general es una función lineal de la variable dependiente y y todas sus derivadas En otras palabras, Una ecuación diferencial ordinaria se llama lineal, si puede ser escrita en la forma: O en la forma equivalente:
  • 12. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad: Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal: La linealidad significa que todos los coeficientes p1, p2,. . . . , pn y la función g(x) son solamente funciones de x y que la función incógnita y(x) y todas sus derivadas están en su primera potencia. Es interesante notar que cualquier ecuación diferencial lineal ordinaria es de primer grado. Sin embargo, no toda ecuación diferencial ordinaria de primer grado es lineal.
  • 13. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad: Ecuación Diferencial Ordinaria No-Lineal: Una ecuación diferencial ordinaria que no puede escribirse en la forma: es una ecuación diferencial no-lineal. Ejemplos. Como un ejemplo de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden podemos escribir la ecuación: Ahora, vamos a tomar en lugar de x cualquier función no-lineal, por ejemplo, sen x. En ese caso obtenemos la ecuación diferencial ordinaria no-lineal de segundo orden. La primera ecuación diferencial es la ecuación para el péndulo oscilante con amplitud pequeña. La segunda ecuación diferencial es la ecuación para el péndulo oscilante con cualquier amplitud.
  • 14. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según la linealidad: Ecuación Diferencial Ordinaria No-Lineal: Otro ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria no-lineal es la ecuación: Esta ecuación es no-lineal porque tiene la tercera potencia de la primera derivada.
  • 15. BIBLIOGRAFIA BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA, FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRONICA. José Eligio Moises Gutiérrez Arias, Facultad de Ciencias de la Electronica, A.A.E. de Mathematicas. Nykolay Makarov, Instituto de Ciencias, Laboratorio de Físico-Química de Materiales. 2005.