El documento introduce las ecuaciones en derivadas parciales y el método de separación de variables para resolverlas. Explica el problema clásico de la cuerda vibrante modelado por la ecuación de ondas unidimensional. Presenta la solución general de D'Alembert como la superposición de dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Finalmente, aplica el método de separación de variables para resolver analíticamente el problema de la cuerda vibrante con condiciones iniciales y de contorno dadas.

1. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 1
Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 6.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES.
Curso 2010-11
Las ecuaciones diferenciales ordinarias y los sistemas de ecuaciones diferenciales que hemos estu-
diado en las Lecciones 1 y 2 se usan para construir modelos matemáticos de problemas científico-
técnicos en los que sólo hay una variable independiente, que suele ser el tiempo. Cuando los
problemas tienen más de una variable independiente, normalmente el tiempo t y una o varias
variables espaciales x, y, z, las relaciones entre las magnitudes presentes se suelen establecer en
términos de sus derivadas con respecto a las variables independientes y el problema se formula
como una ecuación, o un sistema de ecuaciones, donde aparecen involucradas las derivadas par-
ciales de las incógnitas por lo que reciben el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales o, simplemente, ecuaciones en derivadas parciales.
Hemos visto que para resolver de manera unívoca una ecuación diferencial ordinaria o un
sistema de ecuaciones diferenciales es necesario dar condiciones iniciales. Ocurre lo mismo en el
caso de las ecuaciones en derivadas parciales, sólo que ahora las condiciones que se fijan dependen
de la naturaleza del problema. Así, lo normal es que cuando una de las variables independientes
es el tiempo t, se fijen condiciones iniciales en t = t0 , mientras que para las variables espaciales
x, y, z se fijen condiciones en la frontera de la región espacial en la que estemos trabajando, por
lo que reciben el nombre de condiciones de contorno.
Sólo algunas clases especiales de ecuaciones ordinarias pueden resolverse analíticamente, es
decir, mediante una fórmula explícita, así que no extrañará saber que el número de ecuaciones
en derivadas parciales resolubles analíticamente es aún menor. El estudio de las ecuaciones en
derivadas parciales es un campo muy amplio y muy difícil sobre el que se desarrolla hoy en
día una gran labor investigadora. Sin embargo, aunque somos conscientes de la importancia de
tales ecuaciones, no es posible, dentro de los límites de este curso, dar una visión general de
dicho campo. Nuestro objetivo en esta lección es el proporcionar una introducción al estudio
y la resolución de algunas ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes –la
ecuación de ondas, la ecuación del calor y la ecuación del potencial– que son importantes en las
aplicaciones, constituyen tipos representativos y pueden resolverse mediante una técnica común:
la separación de variables. Más adelante estudiaremos de nuevo la ecuación del potencial usando
técnicas de variable compleja. Lamentablemente, otras técnicas de resolución habituales, como
el uso de las transformaciones de Laplace y Fourier, quedan fuera del alcance de esta asignatura.

2. 2 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
1 El problema de la cuerda vibrante. La ecuación de
ondas
En la introducción de la lección sobre las series de Fourier comentamos que éstas surgieron al
abordar el problema de la cuerda vibrante, planteado por B. Taylor en 1713, que vamos a describir
ahora. Supongamos que tenemos una cuerda homogénea tensa y de longitud L sujeta por sus
dos extremos, como en una guitarra o un violín. Si la apartamos de su posición de equilibrio
y la soltamos, la cuerda comenzará a vibrar y nos preguntamos cómo es esta vibración, cuál es
su forma en cada instante temporal. Si hacemos algunas hipótesis simplificadoras, como que la
tensión es constante, que la cuerda vibra en un plano y que no se aparta mucho de su posición de
equilibrio, entonces el problema viene modelado por lo que se conoce como la ecuación de ondas
unidimensional, que es
∂2u ∂2u
= c2 2 ,
∂t2 ∂x
p
siendo x un punto de la cuerda (0 ≤ x ≤ L), t ≥ 0 el tiempo, c = τ /ρ una constante positiva
que depende de la densidad de la cuerda ρ y de la tensión τ , y u(x, t) es la incógnita: la función
que representa el desplazamiento vertical desde la posición de equilibrio u = 0 sobre el punto x
y en el instante t.
u
u ( x, t )
0 L x
La solución del problema de la cuerda vibrante que buscamos u(x, t) no sólo debe cumplir la
ecuación de ondas, también debe cumplir unas condiciones que vienen dadas por la naturaleza
del problema. Por un lado, como la cuerda está fija por sus extremos, tenemos
u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t ≥ 0.
Estas dos condiciones se llaman condiciones de contorno porque afectan a los valores de la variable
espacial x en la frontera de su intervalo de variación 0 ≤ x ≤ L. Por otro lado, debemos suponer
∂u
conocidas la posición inicial de la cuerda u(x, 0) y la velocidad inicial (x, 0), que vendrán
∂t
dadas por sendas funciones f(x) y g(x):
∂u
u(x, 0) = f (x) y (x, 0) = g(x) para 0 ≤ x ≤ L.
∂t
Estas dos condiciones se llaman condiciones iniciales porque fijan las condiciones físicas de par-
tida en el instante inicial t = 0. En esta sección nos centraremos en el caso en que la velocidad

3. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 3
inicial g(x) es nula. En resumen, el problema consiste en hallar una función u(x, t) que verifique
∂2u ∂2u
la ecuación de ondas: = c2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t2 ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
y las condiciones iniciales: u(x, 0) = f(x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂u
(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ L,
∂t
donde c es una constante positiva y f es una función dada.
Ejemplo. La función u(x, t) = asen (πx/L) cos(πct/L) es una solución del problema de la cuerda
vibrante cuando el desplazamiento inicial es f(x) = asen (πx/L). En este caso, la frecuencia de
oscilación de la cuerda es r
πc π τ
ω= =
L L ρ
lo que nos dice que a mayor longitud o mayor densidad el sonido es más grave y que a mayor
tensión el sonido es más agudo. Esta solución también puede escribirse como
a
u(x, t) = (sen (π(x + ct)/L) + sen (π(x − ct)/L))
2
que podemos interpretar como la superposición de dos ondas que viajan en sentido contrario con
velocidad c. Veremos que ésta es la forma, dada por J. D’Alembert, de la solución general.
La solución de D’Alembert. En 1747, J. D’Alembert calculó la solución general de la ecuación
de ondas unidimensional haciendo el siguiente cambio de variables independientes
r = x + ct y s = x − ct.
∂2u ∂2u
Con este cambio de variables, la ecuación = c2 2 se transforma en
∂t2 ∂x
∂2u
4c2 = 0.
∂r∂s
Integrando con respecto a r y a s, obtenemos que u(r, s) = φ(r) + ψ(s), o sea,
u(x, t) = φ(x + ct) + ψ(x − ct)
donde φ y ψ son funciones cualesquiera de una variable. Observemos que, como no hemos
impuesto ninguna condición, ésta es la solución general de la ecuación de ondas; éste es uno de
los pocos casos en los que puede hallarse una solución general explícita. Observemos también que
la gráfica de ψ(x − ct) se obtiene desplazando la gráfica de ψ(x) hacia la derecha con velocidad
c y que la gráfica de φ(x + ct) se obtiene desplazando la gráfica de φ(x) hacia la izquierda
con velocidad c. En otras palabras, la solución general de la ecuación de ondas consiste en la
superposición de dos ondas que viajan a la misma velocidad pero en sentido contrario.

4. 4 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
Si ahora imponemos ciertas condiciones iniciales, podemos obtener de forma explícita las
funciones φ y ψ. Por ejemplo, la solución del problema
∂2u ∂2u
la ecuación de ondas: = c2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t2 ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
y las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂u
(x, 0) = g(x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂t
es de la forma u(x, t) = φ(x + ct) + ψ(x − ct) siendo
Z
1e 1 x
φ(x) = f(x) + e(τ )dτ ,
g
2 2c 0
Z
1e 1 x
ψ(x) = f(x) − e
g (τ )dτ ,
2 2c 0
e e
donde f y g son las extensiones 2L-periódicas e impares de las funciones f y g, respectivamente.
Esta expresión se conoce como solución de D’Alembert al problema de la cuerda vibrante.
2 El método de separación de variables
Volvamos al problema de la cuerda vibrante en el caso en que la velocidad inicial es cero: Hallar
u(x, t) que cumpla
∂2u ∂2u
la ecuación de ondas: = c2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t2 ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
y las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂u
(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ L,
∂t
donde c es una constante positiva y f es una función dada: la posición inicial de la cuerda.
La idea clave del método de separación de variables, propuesto por D. Bernoulli en 1753, es
∂2u ∂2u
buscar soluciones de la ecuación de ondas 2 = c2 2 que sean de la forma
∂t ∂x
u(x, t) = v(x)z(t)
donde v(x) y z(t) son funciones de una variable (no nulas salvo para el caso trivial en que f sea
la función cero). Si u(x, t) = v(x)z(t), entonces
∂2u ∂2u
= v(x)z 00 (t) y = v00 (x)z(t),
∂t2 ∂x2
así que la ecuación de ondas queda
v(x)z 00 (t) = c2 v00 (x)z(t),

5. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 5
es decir,
v 00 (x) 1 z 00 (t)
= 2 .
v(x) c z(t)
Como el miembro derecho de esta ecuación es función sólo de la variable t y el izquierdo lo es
sólo de la variable x, ambos deben ser constantes. Si denotamos por −λ el valor de esa constante
(el signo menos es un convenio bien establecido), la ecuación se desdobla en sendas ecuaciones
diferenciales de segundo orden para v(x) y z(t):
v00 (x) + λv(x) = 0 y z 00 (t) + λc2 z(t) = 0,
cuyas soluciones dependen del signo de λ.
El siguiente paso es imponer las condiciones de contorno
0 = u(0, t) = v(0)z(t) y 0 = u(L, t) = v(L)z(t).
Como z(t) no es la función nula, debe ocurrir v(0) = v(L) = 0. En consecuencia, la función v(x)
es la solución del problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v(0) = 0 y v(L) = 0.
Vimos en la primera lección que este tipo de problemas, a diferencia de los problemas de valor
inicial, no siempre tienen solución o, si la tienen, no tiene por qué ser única. Veamos lo que
ocurre en este caso según sea el signo de λ.
1. Si λ = −α2 es un número negativo, entonces la solución general de v00 (x) + λv(x) = 0 es
v(x) = c1 eαx + c2 e−αx y, al imponer v(0) = v(L) = 0, nos queda únicamente la solución
trivial v(x) = 0.
2. Si λ = 0, entonces la solución general de v00 (x) + λv(x) = 0 es v(x) = c1 + c2 x y, al imponer
v(0) = v(L) = 0, de nuevo nos queda únicamente la solución trivial v(x) = 0.
3. Si λ = α2 es un número positivo, entonces la solución general de v00 (x) + λv(x) = 0
es v(x) = c1 sen (αx) + c2 cos(αx). Ahora, al imponer la condición v(0) = 0, nos queda
v(x) = c1 sen (αx) y al imponer v(L) = 0 nos queda c1 sen (αL) = 0. Esto nos vuelve a dar
la solución trivial salvo que αL sea un múltiplo entero de π; es decir salvo para
α = π/L, 2π/L, 3π/L, . . .
En resumen, el problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v(0) = 0 y v(L) = 0
únicamente tiene solución no trivial para una sucesión de valores de λ que son λn = n2 π2 /L2 con
n = 1, 2, . . . ; dichas soluciones son
vn (x) = sen (nπx/L) (n = 1, 2, . . . ).

6. 6 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
(ésta es una situación común a muchos problemas de contorno con ecuaciones diferenciales or-
dinarias de segundo orden; los valores del parámetro λ para los que existe solución no trivial
forman una sucesión creciente y divergente λn → ∞ que se llaman autovalores del problema,
mientras que las soluciones correspondientes se llaman autofunciones del problema; veremos más
ejemplos en lo que sigue.) Al sustituir estos valores de λ en la ecuación que verifica z(t), ésta
nos queda
00 n2 π 2 c2
z (t) + z(t) = 0
L2
cuya solución general es
c1 sen (nπct/L) + c2 cos(nπct/L).
Hasta ahora, el método de separación de variables nos ha proporcionado una colección de
funciones
sen (nπx/L) [c1 sen (nπct/L) + c2 cos(nπct/L)] (n = 1, 2, . . . )
que verifican la ecuación de ondas y las condiciones de contorno. Si imponemos la segunda
∂u
condición inicial (x, 0) = 0, entonces debe ser c1 = 0, con lo cual nos quedamos con la
∂t
colección de soluciones
un (x, t) = sen (nπx/L) cos(nπct/L) (n = 1, 2, . . . ),
a la que falta por imponer la primera condición inicial u(x, 0) = f(x). Está claro que si f(x) es
una de las funciones sen (nπx/L) o una combinación lineal de éstas
X
m
f (x) = bn sen (nπx/L),
n=1
entonces la correspondiente combinación lineal
X
m
u(x, t) = bn sen (nπx/L) cos(nπct/L)
n=1
es la solución buscada. La segunda idea clave de D. Bernoulli fue postular que cualquiera que
fuera la posición inicial f(x), ésta se podía escribir como una superposición infinita de sinusoidales
X
∞
f (x) = bn sen (nπx/L),
n=1
con cuyos coeficientes se puede construir la solución del problema
X
∞
u(x, t) = bn sen (nπx/L) cos(nπct/L).
n=1
Por lo que hemos estudiado en la Lección 4, sabemos que esto es posible si la función f(x) verifica
las condiciones de Dirichlet, en cuyo caso
X
∞
f (x) = bn sen (nπx/L),
n=1

7. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 7
es el desarrollo de f(x) en serie de senos en medio intervalo [0, L]; es decir, la serie de Fourier de
la extensión 2L-periódica impar de f(x) cuyos coeficientes vienen dados por
Z L
2
bn = f (x)sen (nπx/L) dx (n = 1, 2, . . . ).
L 0
Una vez calculados estos coeficientes, la solución del problema de la cuerda vibrante viene dada,
efectivamente, por
X∞
u(x, t) = bn sen (nπx/L) cos(nπct/L),
n=1
que se llama solución de Bernoulli.
Desde el punto de vista musical, podemos ver esta solución como una superposición de ar-
mónicos, el primero de los cuales nos da la frecuencia fundamental de vibración
r r
π τ 1 τ
ω= rad/s o ϕ= hertzios
L ρ 2L ρ
en términos de la longitud de la cuerda L, la tensión τ y la densidad ρ. Los siguientes, de
frecuencias 2ω, 3ω, . . . , nos proporcionan lo que en música se conoce como la octava, la dominante,
etc., y explican la razón del postulado pitagórico de que para conseguir sonidos armónicos al
pulsar a la vez varias cuerdas iguales (en tensión y densidad), sus longitudes deben estar en
proporciones numéricas sencillas (1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, . . . ).
Ejemplo. Si el desplazamiento inicial de la cuerda viene dado por
½
0.01x si 0 ≤ x ≤ L/2
f (x) =
0.01(L − x) si L/2 ≤ x ≤ L,
entonces
Z L
2 0.04L
bn = f(x)sen (nπx/L) dx = sen (nπ/2) para n = 1, 2, . . .
L 0 π2 n2
así que la solución es
∙ ¸
0.04L 1
u(x, t) = cos(cπt/L)sen (πx/L) − cos(3cπt/L)sen (3πx/L) + · · · .
π2 9
∂2u ∂ 2u
Hemos visto que la solución general de la ecuación de ondas = c2 2 es
∂t2 ∂x
u(x, t) = φ(x + ct) + ψ(x − ct)
donde φ y ψ son funciones cualesquiera de una variable. La ecuación recibe su nombre debido a
que, aparte de la cuerda vibrante, son muchos los fenómenos de tipo ondulatorio que se pueden
modelar con ella o con una variante suya.

8. 8 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
La cuerda vibrante con velocidad inicial. El problema consiste en hallar una función u(x, t)
que verifique
∂2u ∂2u
la ecuación de ondas: = c2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t2 ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
y las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂u
(x, 0) = g(x) para 0 ≤ x ≤ L,
∂t
donde c es una constante positiva y f y g son funciones dadas. Aunque es posible dar su
solución usando el método de D’Alembert, nos restringiremos al uso del método de separación de
variables. Para ello, se empieza como hemos hecho antes hasta llegar al punto en que obtenemos
una colección de funciones
un (x, t) = sen (nπx/L) [an sen (nπct/L) + bn cos(nπct/L)] (n = 1, 2, . . . ).
que verifican la ecuación de ondas y las condiciones de contorno. Ahora buscamos la solución del
problema como una combinación de éstas
X
∞
u(x, t) = sen (nπx/L) [an sen (nπct/L) + bn cos(nπct/L)]
n=1
lo que, al imponer las condiciones iniciales nos lleva a
X
∞
f(x) = u(x, 0) = bn sen (nπx/L),
n=1
∂u X
∞
g(x) = (x, 0) = [nπc/L]an sen (nπx/L),
∂t n=1
que son los desarrollos de f(x) y g(x) en serie de senos en medio intervalo [0, L]. En consecuencia,
los coeficientes vienen dados, para n = 1, 2, . . . , por
Z L
2
an = g(x)sen (nπx/L) dx,
nπc 0
Z
2 L
bn = f (x)sen (nπx/L) dx.
L 0
La ecuación de ondas bidimensional. Si en vez de la vibración de una cuerda queremos
estudiar la vibración de una membrana, como la de un tambor, el modelo viene dado por la
ecuación de ondas bidimensional
µ 2 ¶
∂2u 2 ∂ u ∂2u
=c +
∂t2 ∂x2 ∂y 2
donde u(x, y, t) es una función que depende del tiempo t ≥ 0 y de dos variables espaciales x e y
que se mueven en una región del plano Ω definida por la forma de la membrana; un círculo, por
ejemplo, si es la membrana de un tambor.

9. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 9
Las condiciones iniciales fijan el desplazamiento de la posición de equilibrio (u = 0) y la
velocidad de la membrana en el instante inicial t = 0 y son de la forma
∂u
u(x, y, 0) = f(x, y) y (x, y, 0) = g(x, y),
∂t
donde f y g son funciones dadas. Las condiciones de contorno se dan sobre los puntos de la
frontera de Ω; por ejemplo, en el caso del tambor circular la membrana está fija a la caja del
tambor, así que u(x, y, t) = 0 para (x, y) en la frontera del círculo.
Ahora el método de separación de variables consiste en buscar soluciones de la forma u(x, y, t) =
h(t)v(x, y) que, al sustituirla en la ecuación de ondas, nos da
µ 2 ¶
∂ v ∂2v
00 2
h (t)v(x, y) = c h(t) + = c2 h(t)∇2 v,
∂x2 ∂y 2
es decir,
h00 (t) ∇2 v
= ,
c2 h(t) v(x, y)
donde el miembro izquierdo depende sólo de t y el derecho sólo de x e y, por lo que debe ser
constante y la ecuación se desdobla en h00 (t) + λc2 h(t) = 0 y la ecuación de Helmholtz:
∂ 2v ∂ 2v
∇2 v = −λv ≡ + + λv = 0.
∂x2 ∂y 2
Un caso particular de esta ecuación es cuando λ = 0, es decir,
∂2v ∂2v
∇2 v = + =0
∂x2 ∂y 2
que se llama ecuación de Laplace o ecuación del potencial y que estudiaremos más adelante.
3 La ecuación del calor
Consideramos ahora la ecuación de la difusión o ecuación del calor que surge en diversos campos
de la física y la ingeniería. Aparece en relación con fenómenos de difusión en un medio homogéneo
y el ejemplo típico es el de la conducción del calor en una varilla homogénea de longitud L que
está aislada, salvo quizás en sus extremos. Si denotamos por u(x, t) la temperatura en la posición
x de la varilla (0 ≤ x ≤ L) en el instante t, entonces el calor pasa de las partes más calientes a
las más frías y, tras algunas consideraciones físicas, se postula que u verifica la ecuación del calor
unidimensional
2
∂u 2∂ u
=κ ,
∂t ∂x2
donde κ es una constante positiva que depende de la composición de la varilla. Es fácil ver
2 2 2 2
que las funciones u(x, t) = e−κ ω t cos(ωx) y u(x, t) = e−κ ω t sen (ωx) son soluciones de esta
ecuación para cualquier valor de ω y, en cierto modo, son las componentes fundamentales con
las que se pueden reconstruir todas las soluciones; ésta es la consecuencia fundamental de la

10. 10 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
aplicación del método de separación de variables para resolver la ecuación del calor cuando se
fijan condiciones iniciales y de contorno. Fue J. Fourier quien, a principios del Siglo XIX y en
sus investigaciones sobre la teoría del calor, aplicó dicho método, aparecido en el siglo anterior
en conexión con el problema de la cuerda vibrante, a la ecuación unidimensional de la difusión.
Para este problema no se conocen soluciones tipo D’Alembert, así que los buenos resultados
obtenidos por Fourier situaron las series trigonométricas, que hoy llevan su nombre, en el centro
de la escena matemática.
El método de separación de variables. Las condiciones iniciales y de contorno que se
imponen dependen de la situación concreta que queramos estudiar. Como ejemplo veamos el
caso en que ambos extremos de la varilla están permanentemente a cero grados de temperatura
y el caso en que ambos extremos están aislados.
Ejemplo. El modelo del problema de la difusión del calor en una varilla cuyos extremos están
permanentemente a cero grados viene dado por
∂u ∂2u
la ecuación del calor: = κ2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
y la condición inicial: u(x, 0) = f (x) para 0 ≤ x ≤ L,
donde f es una función dada, la distribución inicial de la temperatura, y κ2 es una constante
positiva, llamada difusividad térmica, que depende del material de la varilla; concretamente
k
κ2 = , donde k es la conductividad térmica del material, c su calor específico y δ su densidad.
cδ
∂u ∂2u
De nuevo, buscamos soluciones de la ecuación del calor = κ2 2 que sean de la forma
∂t ∂x
u(x, t) = v(x)z(t)
donde v(x) y z(t) son funciones de una variable (no nulas salvo para el caso trivial en que f sea
la función cero). Si u(x, t) = v(x)z(t), entonces
∂u ∂2u
= v(x)z 0 (t) y = v00 (x)z(t),
∂t ∂x2
así que la ecuación del calor queda
v(x)z 0 (t) = κ2 v00 (x)z(t),
es decir,
v00 (x) 1 z 0 (t)
= 2 .
v(x) κ z(t)
Como el miembro derecho de esta ecuación es función sólo de la variable t y el izquierdo lo es sólo
de la variable x, ambos deben ser constantes. Si denotamos por −λ el valor de esa constante, la
ecuación se desdobla en sendas ecuaciones diferenciales; de segundo orden para v(x) y de primer
orden para z(t):
v 00 (x) + λv(x) = 0 y z 0 (t) + λκ2 z(t) = 0.

11. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 11
Como antes, el siguiente paso es imponer las condiciones de contorno
0 = u(0, t) = v(0)z(t) y 0 = u(L, t) = v(L)z(t).
Como z(t) no es la función nula, debe ocurrir v(0) = v(L) = 0. En consecuencia, la función v(x)
es la solución del problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v(0) = 0 y v(L) = 0.
Este problema de contorno es el mismo que obtuvimos para la ecuación de ondas, así que ya
sabemos que únicamente tiene solución no trivial para la sucesión λn = n2 π 2 /L2 con n = 1, 2, . . .
y que dichas soluciones son
vn (x) = sen (nπx/L) (n = 1, 2, . . . ).
Al sustituir estos valores de λ en la ecuación que verifica z(t), ésta nos queda
n2 π2 κ2
z 0 (t) + z(t) = 0
L2
cuya solución general es
2 π 2 κ2 t/L2
z(t) = ae−n ,
donde a es una constante cualquiera.
Hasta aquí, el método de separación de variables nos ha proporcionado una colección de
soluciones
2 2 2 2
un (x, t) = e−n π κ t/L sen (nπx/L) (n = 1, 2, . . . ),
que verifican la ecuación del calor y las condiciones de contorno; falta por imponer la condición
inicial u(x, 0) = f (x). Como antes, si la función f(x) verifica las condiciones de Dirichlet y
calculamos su desarrollo de f(x) en serie de senos en medio intervalo [0, L]
X
∞
f(x) = bn sen (nπx/L),
n=1
entonces la temperatura viene dada por
X
∞
2 π 2 κ2 t/L2
u(x, t) = bn sen (nπx/L)e−n .
n=1
Observemos que la presencia de las exponenciales hace que la serie converja muy rápidamente y
que la temperatura tienda a ser igual a cero en toda la varilla.
Ejemplo. El modelo del problema de la difusión del calor en una varilla cuyos extremos están
aislados viene dado por
2
∂u 2∂ u
la ecuación del calor: =κ para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t ∂x2
∂u ∂u
las condiciones de contorno: (0, t) = (L, t) = 0 para t ≥ 0,
∂x ∂x
y la condición inicial: u(x, 0) = f(x) para 0 ≤ x ≤ L,

12. 12 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
donde κ es una constante positiva y f es una función dada, la distribución inicial de la tempera-
tura.
∂u ∂2u
De nuevo, buscamos soluciones de la ecuación del calor = κ2 2 que sean de la forma
∂t ∂x
u(x, t) = v(x)z(t). Entonces la ecuación se desdobla en
v 00 (x) + λv(x) = 0 y z 0 (t) + λκ2 z(t) = 0.
Como antes, el siguiente paso es imponer las condiciones de contorno
∂u ∂u
0= (0, t) = v 0 (0)z(t) y 0= (L, t) = v0 (L)z(t).
∂x ∂x
En consecuencia, la función v(x) es la solución del problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v0 (0) = 0 y v 0 (L) = 0.
Este problema de contorno es distinto al que obtuvimos para la ecuación de ondas. Separando
en los casos correspondientes a que λ sea positivo, cero o negativo, se prueba análogamente que
únicamente tiene solución no trivial para la sucesión λn = n2 π 2 /L2 con n = 0, 1, 2, . . . y que
dichas soluciones son
vn (x) = cos(nπx/L) (n = 0, 1, 2, . . . ).
Observemos que, en este caso, para λ = 0 sí aparece una solución constante no trivial. Al sustituir
estos valores de λ en la ecuación que verifica z(t), ésta nos queda
n2 π 2 κ2
z 0 (t) + z(t) = 0
L2
cuya solución general es
2 π 2 κ2 t/L2
z(t) = ae−n ,
donde a es una constante cualquiera.
Hasta aquí, el método de separación de variables nos ha proporcionado una colección de
soluciones
2 2 2 2
un (x, t) = e−n π κ t/L cos(nπx/L) (n = 0, 1, 2, . . . ),
que verifican la ecuación del calor y las condiciones de contorno; falta por imponer la condición
inicial u(x, 0) = f(x). Como antes, si la función f (x) verifica las condiciones de Dirichlet y
calculamos su desarrollo de f(x) en serie de cosenos en medio intervalo [0, L]
a0 X
∞
f (x) = + an cos(nπx/L),
2 n=1
entonces la temperatura viene dada por
a0 X
∞
2 2 2 2
u(x, t) = + an cos(nπx/L)e−n π κ t/L .
2 n=1

13. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 13
Observemos que la presencia de las exponenciales hace que la serie converja muy rápidamente
y que la temperatura tienda a ser igual a a0 /2 grados en toda la varilla. Esta temperatura en
régimen permanente es, precisamente, el promedio de la distribución inicial de la temperatura
ya que Z
1 L
a0 /2 = f (x) dx,
L 0
Régimen permanente de la temperatura. En los fenómenos de difusión del calor en una
varilla aislada (salvo, quizás, por sus extremos) se observa que la distribución de temperaturas
tiende a largo plazo a un estado en el que prácticamente no hay variaciones apreciables, que se
llama, como hemos mencionado en el ejemplo anterior, régimen permanente de la temperatura
y denotaremos por u∞ . Como este régimen sólo depende de la posición x y no del tiempo, la
ecuación que verifica es, simplemente, u00 (x) = 0 cuya solución es de la forma u∞ (x) = ax + b.
∞
Así, si suponemos que el extremo x = 0 está permanentemente a 10 grados y el extremo x = L
40
está permanentemente a 50 grados, entonces u∞ (x) = 10+ x. Si queremos estudiar la evolución
L
de la temperatura desde una distribución inicial f(x) hasta u∞ (x), entonces el modelo es
∂u ∂2u
la ecuación del calor: = κ2 2 para 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0,
∂t ∂x
las condiciones de contorno: u(0, t) = 10 y u(L, t) = 50 para t ≥ 0,
y la condición inicial: u(x, 0) = f(x) para 0 ≤ x ≤ L.
Para resolver este problema, escribimos u(x, t) = u∞ (x) + v(x, t), con lo que v cumplirá la
ecuación del calor pero con condiciones de contorno homogéneas. Esta idea de calcular el régimen
permanente de temperaturas y, después, reducir el problema a uno con condiciones de contorno
homogéneas, puede adaptarse a situaciones más complicadas como las que se muestran en los
ejercicios de esta lección.
La ecuación del calor bidimensional. Si queremos estudiar la distribución del calor en una
placa plana, entonces hay que resolver la ecuación del calor bidimensional
µ 2 ¶
∂u 2 ∂ u ∂2u
=κ +
∂t ∂x2 ∂y 2
donde u(x, y, t) es una función que depende del tiempo t ≥ 0 y de dos variables espaciales x e
y que se mueven en una región del plano Ω definida por la forma de la placa. El método de
separación de variables nos llevaría de nuevo a la ecuación de Helmholtz.
En el caso bidimensional, la ecuación que gobierna el régimen permanente es la ecuación de
∂2u ∂2u
Laplace + = 0, que estudiaremos a continuación.
∂x2 ∂y 2
4 Funciones armónicas
En esta sección y las siguientes vamos a estudiar una tercera ecuación en derivadas parciales que
es también esencial en las aplicaciones y se conoce como ecuación bidimensional de Laplace o

14. 14 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
ecuación del potencial:
2 ∂2u ∂2u
∇ u = 2 + 2 = 0,
∂x ∂y
donde u(x, y) es una función que depende de dos variables espaciales x e y que se mueven en una
región plana Ω y ∇2 es el operador laplaciano.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas y los ejemplos más
conocidos son
u(x, y) = ax + by + c, u(x, y) = x(x2 + y 2 )−1 , u(x, y) = y(x2 + y 2 )−1 ,
2 2
u(x, y) = x − y , u(x, y) = xy, u(x, y) = log(x2 + y 2 ),
u(x, y) = ex cos(y), u(x, y) = ex sen(y), u(x, y) = (x2 − y 2 ) (x2 + y 2 )−2 .
La ecuación de Laplace es un caso particular tanto de la ecuación de Helmholtz
∇2 u + λu = 0,
como de la ecuación de Poisson
∇2 u = g(x, y)
donde g(x, y) es una función dada.
A diferencia de la ecuación de ondas y de la ecuación del calor, el tiempo no aparece como
variable independiente en las ecuaciones de Laplace, Helmholtz y Poisson; de hecho, estas ecua-
ciones se usan para hacer modelos matemáticos de fenómenos de tipo estacionario en los que el
tiempo no interviene.
Para resolver estas ecuaciones de manera unívoca hay que establecer condiciones de contorno
en la frontera de la región Ω. Estas condiciones se llaman condiciones de Dirichlet cuando se
prescriben los valores de la función en la frontera de Ω, condiciones de Neumann cuando se
prescriben los valores de la derivada normal de la función en la frontera de Ω y condiciones
mixtas cuando se imponen condiciones de Dirichlet y de Neumann en trozos diferentes de la
frontera de Ω.
5 Problemas de Dirichlet y Neumann en rectángulos
El problema de Dirichlet en un rectángulo. Supongamos que Ω es el rectángulo definido
por los puntos (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ y ≤ M y que este rectángulo representa una
placa cuyas caras laterales están aisladas, cuyos lados verticales se mantienen a cero grados y
cuyos lados horizontales se mantienen a una distribución fija de temperaturas, f(x) en el lado
inferior y g(x) en el superior. ¿Cuál es la distribución de la temperatura en régimen permanente?
El modelo de este problema es
∂2u ∂2u
la ecuación de Laplace: + = 0 para 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ y ≤ M,
∂x2 ∂y 2
⎧
⎪ u(x, 0) = f(x) para 0 < x < L,
⎪
⎨
u(x, M) = g(x) para 0 < x < L,
con condiciones de contorno:
⎪ u(0, y) = 0 para 0 < y < M,
⎪
⎩
u(L, y) = 0 para 0 < y < M.

15. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 15
Separamos las variables buscando soluciones de la forma u(x, y) = v(x)z(y) con lo que la ecuación
de Laplace queda
v(x)z 00 (y) + v 00 (x)z(y) = 0,
es decir,
v00 (x) z 00 (y)
=− .
v(x) z(y)
Como el miembro derecho de esta ecuación es función sólo de la variable y y el izquierdo lo es
sólo de la variable x, ambos deben ser constantes. Si denotamos por −λ el valor de esa constante,
la ecuación se desdobla en sendas ecuaciones diferenciales de segundo orden para v(x) y z(y):
v00 (x) + λv(x) = 0 y z 00 (y) − λz(y) = 0.
Ahora imponemos las condiciones de contorno en los lados verticales
0 = u(0, y) = v(0)z(y) y 0 = u(L, y) = v(L)z(y).
Como z(y) no es la función nula, debe ocurrir v(0) = v(L) = 0. En consecuencia, la función v(x)
es la solución del problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v(0) = 0 y v(L) = 0.
Este problema de contorno es el mismo que obtuvimos para la ecuación de ondas, así que ya
sabemos que únicamente tiene solución no trivial para la sucesión λn = n2 π 2 /L2 con n = 1, 2, . . .
y que dichas soluciones son
vn (x) = sen (nπx/L) (n = 1, 2, . . . ).
Al sustituir estos valores de λ en la ecuación que verifica z(y), ésta nos queda
n2 π 2
z 00 (y) − z(y) = 0
L2
cuya solución general es
z(y) = ce−nπy/L + denπy/L
siendo c y d constantes arbitrarias.
Hasta aquí, el método de separación de variables nos ha proporcionado una colección de
soluciones
¡ ¢
un (x, y) = cn e−nπy/L + dn enπy/L sen (nπx/L) (n = 1, 2, . . . ),
que verifican la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno en los lados verticales. Con
estas soluciones podemos construir una solución de la forma
X¡
∞
¢
u(x, y) = cn e−nπy/L + dn enπy/L sen (nπx/L)
n=1

16. 16 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
a la que ahora tenemos que imponer las condiciones de contorno en ambos lados horizontales
u(x, 0) = f(x) y u(x, M) = g(x). Si las funciones f (x) y g(x) verifican las condiciones de
Dirichlet y calculamos sus desarrollos en series de senos en medio intervalo [0, L]
X
∞ X
∞
f (x) = an sen (nπx/L) y g(x) = bn sen (nπx/L)
n=1 n=1
entonces, sustituyendo y = 0 e y = M en la expresión de u(x, y) e identificando los coeficientes
de los desarrollos en series de senos obtenemos, para cada n = 1, 2, . . . ,
cn + dn = an
−nπM/L
cn e + dn enπM/L = bn
cuya solución es
an enπM/L − bn
cn =
enπM/L − e−nπM/L
bn − an e−nπM/L
dn = nπM/L .
e − e−nπM/L
Para obtener la solución del problema basta sustituir estos valores en la expresión
X¡
∞
¢
u(x, y) = cn e−nπy/L + dn enπy/L sen (nπx/L).
n=1
Si las condiciones de contorno fueran nulas en los lados horizontales y generales en los verti-
cales
u(x, 0) = 0 para 0 < x < L,
u(x, M) = 0 para 0 < x < L,
u(0, y) = f(y) para 0 < y < M,
u(L, y) = g(y) para 0 < y < M,
el método permite obtener, análogamente, una solución de la forma
X¡
∞
¢
u(x, y) = cn e−nπx/M + dn enπx/M sen (nπy/M).
n=1
Si tenemos condiciones de contorno generales en los cuatro lados, entonces se divide el proble-
ma en dos problemas: uno con condiciones nulas en los lados horizontales y otro con condiciones
nulas en los lados verticales; la suma de las soluciones será la solución del problema original.
El problema de Neumann en un rectángulo. Supongamos que Ω es el rectángulo
definido por los puntos (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ y ≤ M y que este rectángulo representa
una placa cuyas caras laterales están aisladas, cuyos lados verticales y horizontal inferior también
están aislados, con lo que no hay flujo de calor a lo largo de ellos, y en cuyo lado horizontal superior

17. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 17
∂u
hay un flujo de calor fijo de manera que (x, M) = f(x) en cada punto (x, M) de dicho lado
∂y
¿Cuál es la distribución de la temperatura en régimen permanente? El modelo de este problema
es
∂2u ∂2u
la ecuación de Laplace : + = 0 para 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ y ≤ M,
∂x2 ∂y 2
⎧
⎪ ∂u (x, 0) = 0 para 0 < x < L,
⎪
⎪ ∂y
⎪
⎪
⎪ ∂u
⎪
⎪
⎨ (x, M) = f(x) para 0 < x < L,
con condiciones de contorno : ∂y
⎪ ∂u
⎪
⎪
⎪ ∂x (0, y) = 0 para 0 < y < M,
⎪
⎪
⎪ ∂u
⎪
⎩ (L, y) = 0 para 0 < y < M,
∂x
que es un problema con condiciones de Neumann porque en los lados verticales derecho e izquierdo
la derivada normal respectiva de u(x, y) es la derivada en la dirección del vector (±1, 0), que es
∂u
± , y en los horizontales superior e inferior es la derivada en la dirección del vector (0, ±1),
∂x
∂u
que es ± .
∂y
Separamos las variables buscando soluciones de la forma u(x, y) = v(x)z(y) con lo que la
ecuación de Laplace se desdobla en
v00 (x) + λv(x) = 0 y z 00 (y) − λz(y) = 0.
Ahora imponemos las condiciones de contorno en los lados verticales
∂u ∂u
0= (0, y) = v0 (0)z(y) y 0= (L, y) = v0 (L)z(y).
∂x ∂x
Como z(y) no es la función nula, debe ocurrir v0 (0) = v0 (L) = 0. En consecuencia, la función
v(x) es la solución del problema de contorno
v 00 (x) + λv(x) = 0 con v 0 (0) = 0 y v0 (L) = 0.
Este problema de contorno es el mismo que obtuvimos para la ecuación del calor con los extremos
aislados, así que ya sabemos que únicamente tiene solución no trivial para la sucesión λn =
n2 π 2 /L2 con n = 0, 1, 2, . . . y que dichas soluciones son
vn (x) = cos(nπx/L) (n = 0, 1, 2, . . . ).
Al sustituir estos valores de λ en la ecuación que verifica z(y), ésta nos queda
n2 π 2
z 00 (y) − z(y) = 0.
L2
∂u
Si aplicamos ahora la condición en el lado horizontal inferior (x, 0) = v(x)z 0 (0) = 0, es decir
∂y
z 0 (0) = 0, las soluciones que se obtienen, salvo un factor constante, son
zn (y) = cosh(nπy/L) (n = 0, 1, 2, . . . ).

18. 18 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
Obtenemos pues una colección de soluciones
un (x, y) = cos(nπx/L) cosh(nπy/L) (n = 0, 1, 2, . . . ).
que verifican la ecuación de Laplace y las condiciones de contorno en los lados verticales y el
horizontal inferior. Con estas soluciones podemos construir una solución de la forma
X
∞
u(x, y) = cn cos(nπx/L) cosh(nπy/L)
n=0
∂u
a la que nos falta imponer la condición (x, M) = f(x). Ahora bien,
∂y
∂u X nπcn
∞
(x, M) = senh(nπM/L) cos(nπx/L).
∂y n=1
L
Si f (x) verifica las condiciones de Dirichlet y calculamos su desarrollo en serie de cosenos en
medio intervalo [0, L]
a0 X
∞
f (x) = + an cos(nπx/L).
2 n=1
∂u
Comparando estas series, vemos que (x, M) = f (x) si tomamos
∂y
an L
cn = para n = 1, 2, . . .
nπsenh(nπM/L)
y, esto es importante, el coeficiente a0 de la serie de cosenos de f es cero, es decir, f debe cumplir
que
Z L
f(x) dx = 0.
0
Puede probarse que esta condición es necesaria para que la ecuación de Laplace con condiciones
de Neumann tenga solución. En términos físicos, esto significa que el promedio del flujo de calor
en el borde superior de la placa debe ser cero, o sea, debe salir tanto calor como entra; si no
ocurre esto, entonces no se alcanza un régimen permanente de temperaturas.
Cuando tengamos un problema con condiciones de Neumann generales en los cuatro lados, lo
que podemos hacer es separarlo en cuatro problemas adecuados con tres condiciones nulas. La
solución del problema original será la suma de las soluciones de los problemas particulares.
6 El problema de Dirichlet en el círculo unidad
Si Ω es el círculo unidad, el problema de Dirichlet es hallar una función u(x, y) armónica en
el interior del círculo conociendo sus valores en la circunferencia x2 + y 2 = 1. La geometría

19. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 19
del problema sugiere trabajar en coordenadas polares, de manera que el problema es hallar una
función u(r, θ) tal que
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂2u
∇2 u = + + 2 2 =0 para 0 ≤ r < 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π
∂r2 r ∂r r ∂θ
con la condición
u(1, θ) = φ(θ) para 0 ≤ θ ≤ 2π
donde φ(θ) es una función dada que podemos suponer periódica y de período 2π.
Veremos dos formas de tratar este problema: mediante separación de variables y, en la si-
guiente lección, usando funciones analíticas.
Resolución mediante el método de separación de variables. Como ya hemos visto en
otros ejemplos, empezamos buscando soluciones que sean de la forma u(r, θ) = v(r)w(θ) donde
v(r) debe ser continua en el interior de Ω y w(θ) debe ser periódica y de período 2π. Derivando
y sustituyendo en la ecuación, obtenemos
1 1
v00 (r)w(θ) + v 0 (r)w(θ) + 2 v(r)w00 (θ) = 0
r r
o, equivalentemente,
r2 v00 (r) + rv0 (r) w00 (θ)
=− .
v(r) w(θ)
Como el miembro derecho sólo depende del ángulo y el izquierdo del radio, ambos deben ser
constantes, lo que nos desdobla la ecuación en dos ecuaciones de segundo orden
r2 v 00 (r) + rv 0 (r) − λv(r) = 0 y w00 (θ) + λw(θ) = 0.
Como la función w(θ) debe ser periódica y de período 2π, los valores admisibles de λ son los de
la sucesión λ = 0, 1, 4, 9, . . . , n2 , . . . , para los que se obtienen las soluciones
wn (θ) = cn cos(nθ) + dn sen (nθ).
Sustituyendo λ = n2 en la ecuación que verifica v(r)
r2 v00 (r) + rv0 (r) − n2 v(r) = 0
tenemos una ecuación de Euler-Cauchy cuya solución general para n = 0 es
v0 (r) = α0 + β 0 log(r)
y para n = 1, 2, . . . es
vn (r) = αn rn + β n r−n .
Como las v(r) adecuadas deben ser continuas en r = 0, las constantes β n deben ser todas cero.
Esto nos proporciona una colección de soluciones
un (r, θ) = rn [cn cos(nθ) + dn sen (nθ)] (n = 0, 1, 2 . . . )

20. 20 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
de la ecuación del potencial con las que podemos construir
X
∞
u(r, θ) = rn [cn cos(nθ) + dn sen (nθ)] .
n=0
Si φ(θ) verifica las condiciones de Dirichlet y la desarrollamos en serie de Fourier en [−π, π]
a0 X
∞
φ(θ) = + [an cos(nθ) + bn sen (nθ)]
2 n=1
a0
entonces u(r, θ) verificará la condición de contorno u(1, θ) = φ(θ) tomando c0 = , d0 = 0 y
2
cn = an , dn = bn para n = 1, 2, . . . En resumen, la solución es
a0 X n
∞
u(r, θ) = + r [an cos(nθ) + bn sen (nθ)] .
2 n=1
Observemos que cuando r = 0 obtenemos
Z π
1 a0
u(0, 0) = φ(t) dt = ,
2π −π 2
fórmula que se conoce como teorema del valor medio de Gauss.
La Fórmula Integral de Poisson. Si escribimos las fórmulas de los coeficientes
Z Z
1 π 1 π
an = φ(t) cos(nt) dt y bn = φ(t)sen (nt) dt
π −π π −π
en la expresión de u(r, θ) y tenemos en cuenta que
cos(nθ) cos(nt) + sen (nθ)sen (nt) = cos(nθ − nt),
entonces obtenemos
Z " #
1 X n
π ∞
1
u(r, θ) = φ(t) + r cos(nθ − nt) dt.
π −π 2 n=1
Para sumar la serie que aparece en el integrando observemos lo siguiente: si llamamos α = θ − t
y tomamos ζ = rejα = r [cos(α) + jsen (α)], entonces
ζ n = rn ejnα = rn [cos(nα) + jsen (nα)] ,
de manera que
à !
1 X n 1 X n 1 X n
∞ ∞ ∞
+ r cos(nθ − nt) = + r cos(nα) = Re + ζ
2 n=1 2 n=1 2 n=1
µ ¶
1 ζ 1 − r2
= Re + =
2 1−ζ 2(1 − 2r cos(α) + r2 )
luego Z π
1 1 − r2
u(r, θ) = φ(t) dt
2π −π 1 − 2r cos(θ − t) + r2
que se llama Fórmula Integral de Poisson o, más bien Fórmula Integral de Poisson para fun-
ciones armónicas en el círculo unidad porque, como veremos en la siguiente lección, existen
otras fórmulas análogas.

21. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 21
7 Ejercicios
∂2u ∂2u
Ejercicio 1. Resuelve la ecuación de ondas 2 = 2 en el intervalo [0, π] con las condiciones
∂t ∂x
de contorno e iniciales que se indican
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t ≥ 0,
u(x, 0) = sen (x) − 2sen (3x) para 0 < x < π,
∂u
(x, 0) = 3sen (2x) para 0 < x < π.
∂t
∂ 2u ∂2u
Ejercicio 2. Resuelve la ecuación de ondas 2 = 16 2 en el intervalo [0, 1] con las condiciones
∂t ∂x
de contorno e iniciales que se indican
u(0, t) = u(1, t) = 0 para t ≥ 0,
u(x, 0) = 0 para 0 < x < 1,
⎧
∂u ⎨ 0 si 0 ≤ x < 0.25,
(x, 0) = 1 si 0.25 ≤ x < 0.3,
∂t ⎩
0 si 0.3 ≤ x ≤ 1.
Este modelo corresponde al golpe del macillo de un piano contra una de las cuerdas.
∂2u ∂2u
Ejercicio 3. Resuelve la ecuación de ondas 2 = c2 2 en el intervalo [0, L] con las condiciones
∂t ∂x
de contorno e iniciales que se indican
u(0, t) = u(L, t) = 0 para t ≥ 0,
u(x, 0) = 0 para 0 < x < L,
∂u
(x, 0) = δ 0 (x − L/4) para 0 < x < L,
∂t
donde δ 0 es la función delta de Dirac. Este modelo corresponde a un golpe seco sobre un punto
de la cuerda en reposo.
Ejercicio 4. Resuelve el problema de ecuaciones en derivadas parciales
∂ 2u ∂2u
= c2 para 0 < x < L y t > 0,
∂t2 ∂x2
u(0, t) = u(L, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = sen (πx/L) para 0 < x < L,
½
∂u c si L/4 < x < 3L/4
(x, 0) =
∂t 0 en otro caso.
Ejercicio 5. Resuelve, usando el método de separación de variables la ecuación de ondas en el

22. 22 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
intervalo [0, π] con las condiciones de contorno e iniciales que se indican
∂2u ∂ 2u
=
∂t2 ∂x2
∂u ∂u
(0, t) = (π, t) = 0 para t ≥ 0,
∂x ∂x
u(x, 0) = 0 para 0 < x < π,
∂u
(x, 0) = ex para 0 < x < π.
∂t
Ejercicio 6. Mediante la ecuación de ondas se pueden modelar las vibraciones en el tubo de un
órgano suponiendo que su sección es despreciable frente a su longitud L. El modelo es
∂2u ∂2u
= c2
∂t2 ∂x2
u(0, t) = 0 para t ≥ 0: el extremo x = 0 está fijo,
∂u
(L, t) = 0 para t ≥ 0: el extremo x = L está libre,
∂x
u(x, 0) = 0 para 0 < x < L: el tubo está en reposo,
∂u
(x, 0) = a para 0 < x < L: al principio, el aire entra uniformemente.
∂t
Resuelve este modelo usando el método de separación de variables.
Ejercicio 7. Resuelve, usando tanto el método de Bernoulli como el de D’Alembert, la ecuación
∂2u ∂ 2u
de ondas 2 = 16 2 en el intervalo [0, 4] con las condiciones de contorno e iniciales que se
∂t ∂x
indican
u(0, t) = u(4, t) = 0 para t ≥ 0,
∂u
(x, 0) = 0 para 0 < x < 4,
∂t ⎧
⎨ x si 0 ≤ x < 1,
u(x, 0) = 1 si 1 ≤ x < 3,
⎩
4−x si 3 ≤ x ≤ 4.
Ejercicio 8. Resuelve la ecuación de ondas no homogénea
∂ 2u ∂ 2u
− 2 = 2(1 − x) cos(2t)
∂t2 ∂x
con las condiciones de contorno e iniciales nulas en el intervalo [0, 1]. Para ello, escribe u(x, t) =
v(x, t) + φ(x) cos(2t), donde v cumple la ecuación de ondas homogénea y φ(x) sólo depende de
la variable x.
Ejercicio 9. Resuelve la siguiente variante de la ecuación de ondas en la que se tiene en cuenta
la acción de la gravedad:
∂2u ∂2u
= c2 2 − g,
∂t2 ∂x

23. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 23
con condiciones de contorno e iniciales homogéneas en el intervalo [0, L]. Para ello, escribe
u(x, t) = v(x, t) + ψ(x) eligiendo ψ de forma que v satisfaga la ecuación de ondas usual.
Ejercicio 10. Resuelve el siguiente problema usando el método de separación de variables
∂2u ∂2u
− 2 = 6x
∂t2 ∂x
con las siguientes condiciones de contorno dadas en la banda 0 < x < 1, t > 0
∂u
u(0, t) = u(1, t) = u(x, 0) = (x, 0) = 0.
∂t
Indicación: busca una solución particular que sólo dependa de x.
Ejercicio 11. Resuelve la siguiente ecuación de ondas no homogénea
∂2u ∂2u
2
− 2 + 4π 2 cos(2πx) = 0, 0 < x < 1, t > 0,
∂x ∂t
con condiciones iniciales y de contorno
u(x, 0) = sen (3πx) (0 < x < 1),
∂u
(x, 0) = 0 (0 < x < 1),
∂t
u(0, t) = u(1, t) = 0 (t > 0).
Para ello escribe u(x, t) = v(x, t)+φ(x) donde v es la solución de la ecuación de ondas homogénea
y φ(x) es una solución particular de la ecuación dada que sólo depende de x.
Ejercicio 12. Resuelve la siguiente ecuación de ondas no homogénea
∂ 2u ∂ 2u
9 − 2 = 9 cos(3x)sen (t),
∂t2 ∂x
con condiciones iniciales y de contorno
∂u
u(x, 0) = (x, 0) = 0 (0 < x < π/2),
∂t
∂u ∂u
(0, t) = (π/2, t) = 0 (t > 0).
∂x ∂x
Para ello escribe u(x, t) = v(x, t) + φ(x)sen (t) donde v es la solución de la ecuación de ondas
homogénea y φ(x) es una función que sólo depende de x.
Ejercicio 13. La ecuación de la transmisión telegráfica es
∂2u ∂ 2 u ∂u
c2 = 2 + + u.
∂x2 ∂t ∂t
Usa el método de separación de variables para resolverla con las siguientes condiciones de contorno
e iniciales
u(0, t) = u(1, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = 0 para 0 < x < 1,
∂u
(x, 0) = x(1 − x) para 0 < x < 1.
∂t

24. 24 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
Ejercicio 14. Usa el método de separación de variables para resolver el problema
∂ 2u ∂2u ∂u
= +2
∂x2 ∂t2 ∂t
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = 0 para 0 < x < π,
½
∂u x si 0 < x < π/2,
(x, 0) =
∂t π−x si π/2 < x < π.
Ejercicio 15. Las ecuaciones de una línea de transmisión son
∂E ∂I
+ L + RI = 0,
∂x ∂t
∂I ∂E
+C + GE = 0,
∂x ∂t
siendo E(x, t) e I(x, t) la tensión y la intensidad, respectivamente, y L, C, R y G constantes que
caracterizan los parámetros físicos del sistema.
1. Prueba que la tensión satisface la siguiente ecuación:
∂2E 1 ∂2E ∂E
2
− 2 2 − (τ 0 + τ 1 ) − ρE = 0,
∂x ω ∂t ∂t
siendo ω 2 = (LC)−1 , τ 0 = RC, τ 1 = LG y ρ = RG.
2. Mediante un cambio de variable de la forma
Φ(x, t) = eax+bt E(x, t)
(con a y b constantes que tendrás que elegir), transforma la ecuación de segundo orden para
E en una para Φ que no contenga derivadas de primer orden:
∂2Φ 1 ∂2Φ
− 2 2 + kΦ = 0.
∂x2 ω ∂t
En particular, prueba que si τ 0 = τ 1 , entonces k = 0.
3. Encuentra E(x, t) para una línea de transmisión con L = C = R = G = 1 y condiciones
iniciales
1 ∂E −1
E(x, 0) = (x), (x, 0) = (x), −∞ < x < ∞,
cosh ∂t cosh
resolviendo la correspondiente ecuación de ondas que satisface Φ.
Ejercicio 16. Una barra cilíndrica de aluminio (κ2 = 0.86), que tiene 2m de longitud y está a
10 grados se encuentra térmicamente aislada. En el instante t = 0, sus extremos se enfrían hasta
0 grados y se mantienen así. Determina la distribución de temperaturas u(x, t) (en el punto x
de la barra y en el instante t).

25. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 25
Ejercicio 17. Resuelve el problema anterior pero suponiendo ahora que el extremo x = 0 se
mantiene a cero grados y el extremo x = 2 se mantiene a 100 grados.
Ejercicio 18. Utiliza el método de separación de variables para resolver el siguiente problema:
∂u ∂2u
= para 0 < x < π, t > 0,
∂t ∂x2
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = 4sen (3x) para 0 < x < π.
Ejercicio 19. Resuelve el problema anterior pero suponiendo ahora que el extremo x = 0 se
mantiene a 10 grados y el extremo x = π se mantiene a 20 grados.
Ejercicio 20. Utiliza el método de separación de variables para resolver el siguiente problema
de transmisión de calor en una barra:
∂u ∂ 2u
= κ2 2 para 0 < x < 4, t > 0,
∂t ∂x
u(0, t) = u(4, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = x(x − 4) para 0 < x < 4.
Ejercicio 21. Complicamos ahora un poco la situación ideal de la transmisión del calor en una
varilla: Suponemos que la varilla puede irradiar calor libremente hacia el medio que la rodea,
que se mantiene a temperatura constante. En este caso la ecuación queda:
∂u ∂2u
= κ2 2 − βu para 0 < x < L, t > 0.
∂t ∂x
Mediante el cambio u(x, t) = v(x, t)w(t), reduce esta ecuación a la ecuación del calor usual.
Ejercicio 22. Resuelve la ecuación del calor en una varilla de cobre (κ2 = 1.14) de un metro de
longitud para las siguientes condiciones de contorno e iniciales
u(x, 0) = 1 + x,
∂u ∂u
(0, t) = (L, t) = 0 para t > 0.
∂x ∂x
Ejercicio 23. Resuelve el siguiente problema usando el método de separación de variables
∂u ∂2u
= + 2u,
∂t ∂x2
u(x, 0) = sen (πx) para 0 < x < 1,
u(0, t) = u(1, t) = 0 para t > 0.
Ejercicio 24. Resuelve el siguiente problema
∂u ∂ 2u
= − 4u,
∂t ∂x2
u(x, 0) = cos(x) para 0 < x < π,
u(0, t) = 0 para t > 0,
u(π, t) = 1 para t > 0.

26. 26 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
Para ello, procede de la siguiente manera: escribe u(x, t) = v(x, t)e−4t + ψ(x) eligiendo ψ de
forma que v satisfaga la ecuación del calor con condiciones de contorno homogéneas.
Ejercicio 25. Resuelve el siguiente problema mediante el método de separación de variables
∂u ∂ 2u
= t2 2 − u,
∂t ∂x
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = cos(x) para 0 < x < π.
Ejercicio 26. Resuelve el siguiente problema –la difusión del calor en una varilla cuyos extremos
están aislados– mediante el método de separación de variables
∂2u ∂u
4 2
= ,
∂x ∂t
∂u ∂u
(0, t) = (π, t) = 0 para todo t > 0,
∂x ∂x
½
0 si 0 < x < π/2,
u(x, 0) =
1 si π/2 < x < π.
Ejercicio 27. Resuelve la ecuación del calor no homogénea
∂2u ∂u
4 2
= − 16e−2x ,
∂x ∂t
u(0, t) = u(1, t) = −1 para t > 0,
−2x
u(x, 0) = 4sen (6πx) − e para 0 < x < 1.
Para ello, escribe u(x, t) = v(x, t) + φ(x), donde v(x, t) verifica la ecuación del calor homogénea.
Ejercicio 28. Resuelve la ecuación
∂u ∂2u
=4 2 +8
∂t ∂x
bajo las condiciones
u(0, t) = u(2, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = 0 para 0 < x < 2.
Ejercicio 29. Prueba que la ecuación
∂u ∂2u
= κ2 2 − ν(u − u0 )
∂t ∂x
se reduce a la ecuación del calor unidimensional mediante el cambio v = eνt (u − u0 ). ¿Qué
significa el término ν(u − u0 )?
Ejercicio 30. Resuelve el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado de lado π
∂2u ∂2u
+ = 0,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = πx − x2 para 0 < x < π,
u(x, π) = 0 para 0 < x < π,
u(0, y) = u(π, y) = 0 para 0 < y < π.

27. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 27
Ejercicio 31. Resuelve el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado de lado π
∂ 2u ∂ 2u
+ = 0,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = 0 para 0 < x < π,
u(x, π) = sen (x) para 0 < x < π,
u(0, y) = 0 para 0 < y < π,
u(π, y) = sen (y) para 0 < y < π.
Ejercicio 32. Resuelve el siguiente problema de Neumann en el cuadrado de lado π
∂2u ∂2u
+ = 0,
∂x2 ∂y 2
∂u
(x, 0) = 0 para 0 < x < π,
∂y
∂u
(x, π) = cos(x) para 0 < x < π,
∂y
∂u ∂u
(0, y) = (π, y) = 0 para 0 < y < π.
∂x ∂x
Ejercicio 33. Resuelve el siguiente problema de Neumann en el cuadrado de lado 1
∂2u ∂2u
+ = 0,
∂x2 ∂y 2
∂u
(x, 0) = 0 para 0 < x < 1,
∂y
∂u
(x, 1) = sen (2πx) para 0 < x < 1,
∂y
∂u
(0, y) = 0 para 0 < y < 1,
∂x
∂u
(1, y) = 2y − 1 para 0 < y < 1.
∂x
Ejercicio 34. Resuelve el siguiente problema por el método de separación de variables
∂ 2 u ∂ 2 u ∂u
+ + = 0,
∂x2 ∂y 2 ∂x
u(x, 0) = u(x, π) = 0 para 0 < x < π,
u(0, y) = 0 para 0 < y < π,
u(π, y) = sen (y) para 0 < y < π.
Ejercicio 35. Resuelve el siguiente problema por el método de separación de variables y calcula

28. 28 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
el valor de u(0.5, 0.5) usando tres términos de la serie obtenida.
∂2u ∂2u
+ = u,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = 0 para 0 < x < 1,
u(x, 1) = sen (x) para 0 < x < 1,
u(0, y) = 0 para 0 < y < 1,
u(1, y) = y para 0 < y < 1.
Ejercicio 36. Resuelve el siguiente problema de Poisson en el rectángulo [0, π/2] × [0, 2]
∂2u ∂2u
+ = sen (x)
∂x2 ∂y 2
con las condiciones de contorno
∂u ∂u
(x, 0) = (x, 2) = 0 para 0 < x < π/2,
∂y ∂y
u(0, y) = 0 para 0 < y < 2,
∂u
(π/2, y) = 1 − y para 0 < y < 2.
∂x
Para ello, haz el cambio u(x, y) = v(x, y) + u(p) (x), donde u(p) (x) es una solución particular que
sólo depende de x y que deberás determinar de forma que v(x, y) sea una función armónica en
[0, π/2] × [0, 2] con condiciones de contorno lo más sencillas posible.
Ejercicio 37. Resuelve el siguiente problema de Poisson en el rectángulo [0, π] × [0, 1]
∂2u ∂2u
+ = y(1 − y)sen (x)
∂x2 ∂y 2
con condiciones de contorno homogéneas, sabiendo que admite una solución particular de la
forma sen (x)p(y), donde p es un polinomio.
Ejercicio 38. Resuelve el siguiente problema de contorno en el cuadrado [0, π] × [0, π] usando
el método de separación de variables
∂2u ∂2u
+ = cos(x), 0 < x < π, 0 < y < π,
∂x2 ∂y 2
u (frontera) = 0.
Para ello, haz el cambio u(x, y) = v(x, y) + u(p) (x), donde u(p) (x) es una solución particular que
sólo depende de x y que deberás determinar de forma que v(x, y) sea una función armónica en
[0, π] × [0, π] con condiciones de contorno lo más sencillas posible.
Ejercicio 39. Resuelve el problema de Dirichlet para el círculo unidad si la función de contorno
φ(θ) se define como:
1. φ(θ) = cos(θ/2) para θ ∈ [−π, π].

29. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 29
2. φ(θ) = θ para θ ∈ (−π, π).
3. φ(θ) = sen (θ) para θ ∈ [0, π] y cero en otro caso.
4. φ(θ) = 1 para θ ∈ [0, π] y cero en otro caso.
Ejercicio 40. Resuelve el problema de Dirichlet en el círculo unidad para la función dada en la
frontera por
φ(x, y) = A (x cos(α) − ysen (α)) ,
siendo A y α constantes reales positivas.
Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores.
Ejercicio 41. Resuelve el problema de valores iniciales
∂2u ∂2u
= 4 para 0 < x < π y t > 0,
∂t2 ∂x2
u(0, t) = 0 para t > 0,
u(π, t) = 0 para t > 0,
u(x, 0) = sen (x) para 0 < x < π,
∂u
(x, 0) = 1 para 0 < x < π.
∂t
Ejercicio 42. Resuelve la ecuación de ondas no homogénea
∂ 2u ∂ 2u
4 − 2 = 4(x2 + 2)sen (2t) para 0 < x < π/2 y t > 0
∂x2 ∂t
con las siguientes condiciones de contorno e iniciales
u(0, t) = u(π/2, t) = 0 para t > 0
u(x, 0) = 0 para 0 < x < π/2
∂u
(x, 0) = 2x2 para 0 < x < π/2.
∂t
Para ello, escribe u(x, t) = v(x, t) + f (x)sen (2t) siendo v(x, t) una solución de la ecuación de
ondas homogénea.
Ejercicio 43. Resuelve el siguiente problema de transmisión del calor
∂u ∂ 2u
= 3 2, para 0 < x < 2 y t > 0,
∂t ∂x
con condiciones iniciales y de contorno
½
−x si 0 < x < 1,
u(x, 0) =
2−x si 1 < x < 2.
∂u ∂u
(0, t) = (2, t) = 0 (t > 0).
∂x ∂x

30. 30 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
Ejercicio 44. Resuelve la ecuación del calor
∂u ∂ 2 u
= 2 para x ∈ [0, π] y t > 0
∂t ∂x
con las siguientes condiciones de contorno e iniciales
½
∂u ∂u 0 si 0 < x < π/2,
(0, t) = (π, t) = 0 y u(x, 0) =
∂x ∂x 1 si π/2 < x < π.
Ejercicio 45. Resuelve la ecuación del calor
∂u ∂ 2 u
4 = 2
∂t ∂x
con las condiciones de contorno
u(0, t) = u(50, t) = 0 para t > 0
y la condición inicial
u(x, 0) = 100 para x ∈ (0, 50)
Calcula aproximadamente el valor de u(25, 1800).
Ejercicio 46. Halla la solución de
∂u ∂2u
=4 2 con 0 < x < π y t > 0
∂t ∂x
con las condiciones de contorno
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0
y la condición inicial ½
x si 0 < x < π/2,
u(x, 0) =
π−x si π/2 < x < π.
Calcula, de manera aproximada, u( π , 1).
2
Ejercicio 47. Resuelve el problema de valores iniciales
∂u ∂2u
5 = para 0 < x < 10 y t > 0,
∂t ∂x2
∂u
(0, t) = 0 para t > 0,
∂x
∂u
(10, t) = 0 para t > 0,
∂x
u(x, 0) = 4x para 0 < x < 10.
Ejercicio 48. Resuelve el problema de transmisión de calor
∂u ∂2u
=9 2 para 0 < x < 1 y t > 0,
∂t ∂x

31. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 31
con condiciones iniciales y de contorno
u(x, 0) = sen (2πx) − 2sen (3πx) para 0 < x < 1,
u(0, t) = u(1, t) = 0 para t > 0.
Ejercicio 49. Halla la solución del siguiente problema
∂u ∂2u
la ecuación del calor: = 2 2 para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0,
∂t ∂x
∂u ∂u
con las condiciones de contorno: (0, t) = (1, t) = 0 para t ≥ 0,
∂x ∂x
y la condición inicial: u(x, 0) = 2 − cos(3πx) para 0 ≤ x ≤ 1.
Ejercicio 50. Resuelve el siguiente problema de difusión del calor calculando previamente el
régimen permanente de temperaturas
∂u ∂2u
la ecuación del calor: = 10−4 2 para 0 ≤ x ≤ 5 y t ≥ 0,
∂t ∂x
con las condiciones de contorno: u(0, t) = 5 para t ≥ 0, u(5, t) = 20 para t ≥ 0,
y la condición inicial: u(x, 0) = 3sen (πx) para 0 ≤ x ≤ 5.
Ejercicio 51. Resuelve la ecuación en derivadas parciales
∂u ∂ 2 u
= 2 +2
∂t ∂x
con las condiciones de contorno
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0,
y la condición inicial
u(x, 0) = 0 para x ∈ (0, π).
Se recomienda efectuar el cambio de variable dependiente u(x, t) = v(x, t) + h(x).
Ejercicio 52. Resuelve el siguiente problema de difusión.
∂u ∂ 2 u ∂u
la ecuación: = 2 −2 para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0,
∂t ∂x ∂x
con las condiciones de contorno: u(0, t) = 1 para t ≥ 0, u(1, t) = e2 para t ≥ 0,
∂u
y la condición inicial: (x, 0) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1.
∂t
Escribe una aproximación del valor u(0.4, 0.1) con dos cifras decimales.
Ejercicio 53. Calcula, usando un cambio de variables de la forma u(x, t) = eat v(x, t) la solución
de la ecuación en derivadas parciales
∂u ∂ 2 u
= 2 +u con 0 < x < L y t > 0
∂t ∂x

32. 32 Lección 6. Ecuaciones en Derivadas Parciales
con las condiciones de contorno
u(0, t) = u(L, t) = 0 para t > 0
y la condición inicial
u(x, 0) = sen (πx/L) − sen (2πx/L) para 0 < x < L.
Calcula, además, lim u(x, t) en los casos L < π, L = π y L > π.
t→∞
Ejercicio 54. (1) Halla el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = sen (πx) en el
intervalo [0, 1].
(2) Determina, según los valores de λ ∈ R, las soluciones del problema
y 00 + λy = 0, con y(0) = y(1) e y 0 (0) = 0.
(3) Resuelve la siguiente ecuación del calor no homogénea.
∂u ∂ 2 u 2
= 2 − 4π cos(πx)e−π t , para 0 < x < 1 y t > 0,
∂t ∂x
con condiciones iniciales y de contorno
u(x, 0) = (1 + 2x)sen (πx) (0 < x < 1),
u(0, t) = u(1, t) (t > 0),
∂u
(0, t) = 0 (t > 0).
∂x
2
Indiciación: Haz el cambio de variable independiente u(x, t) = v(x, t) + ϕ(x)e−π t , eligiendo ϕ
de manera que v verifique la correspondiente ecuación del calor homogénea.
Ejercicio 55. Calcula la solución de la ecuación en derivadas parciales
∂u ∂ 2 u
= 2 +u con 0 < x < π y t > 0
∂t ∂x
que satisface las condiciones de contorno
u(0, t) = u(π, t) = 0 para t > 0
y la condición inicial
u(x, 0) = 1 para 0 < x < π.
Calcula, asimismo, lim u(x, t).
t→∞

33. Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 33
8 Bibliografía
Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos. El de James incluye varias
aplicaciones interesantes a la ingeniería y muchos ejercicios adicionales.
[517.9/2-BRA] M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Cap. 5.
[517.9/3-EDW] C.H. Edwards y D.E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales, Cap. 8.
[51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. 9.
[517.9/2-SIM] G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales, Cap. 7.