Exposición de tema de derivadas parciales

1. DERIVADAS PARCIALES

2. • ¿cómo afectaría al valor de una función un
cambio en una de sus variables
independientes?
• Se puede contestar esta pregunta
considerando cada una de las variables
independientes por separado .por ejemplo,
para determinar el efecto de un catalizador
en un experimento, un químico podría repetir
el experimento varias veces usando
cantidades distintas de catalizador, mientras
mantiene constantes las otras variables como
temperatura y presión. para determinar la
velocidad o la razón de cambio de una
función f respecto a una de sus variables
independientes se puede utilizar un
procedimiento similar. A este proceso se le
llama derivación parcial y el resultado se
llama derivada parcial de f con respecto a la
variable independiente elegida. 2
¿Qué Es Una Derivada Parcial?

3. Derivadas Parciales Como
Velocidades O Razón De Cambio.
El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre
los que se forma un ángulo
θ está dada por A=ab sen θ, como se muestra en la figura.
a) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto
de a, se mantienen b y q constantes y se deriva respecto de
a para obtener:
b) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto
de q, se mantiene a y b constantes y se deriva respecto de
q para obtener:
3

4. Derivadas Parciales
Como Pendientes Y
De Rectas Tangentes
Para 𝑧 = 9 − 𝑥2
− 𝑦2
encuentre la
pendiente de la recta tangente en (2,1,4)
en:
a) el plano x =2 y b) el plano y =1.
a) Al especificar el plano x =2, se mantienen todos
los valores de x constantes. Por consiguiente,
calculamos la derivada parcial de z con respecto
a y:
b) En el plano y 1, y es constante y por ello
encontramos la derivada parcial de z con
respecto a x:

5. Construcción geométrica de la
derivada parcial
5
• Colocar la función
• Graficar la función

6. Construcción geométrica de la
derivada parcial
6
• Colocar la derivada
• Colocar un punto

7. Construcción geométrica de la
derivada parcial
7
• Representar un plano conforme a 1
• Colocar la tangente de la intersección

8. Construcción geométrica de la
derivada parcial
8
• Colocar los planos de la tangente
• Graficar la intersección planos de la tangente

9. Construcción geométrica de la
derivada parcial
9
• Colocar la tangente
• Graficar la tangente

10. LEYES DE LA DIFERENCIACIÓN ORDINARIA
• Indique las reglas de constante, múltiplo constante y
potencia.
• Aplica las reglas de suma y diferencia para combinar
derivadas.
• Use la regla del producto para encontrar la derivada de un
producto de funciones.
• Use la regla del cociente para encontrar la derivada de un
cociente de funciones.
• Extienda la regla de potencia a funciones con exponentes
negativos.
• Combina las reglas de diferenciación para encontrar la
derivada de una función polinómica o racional. 10

11. Derivadas parciales de orden superior
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Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las
segundas, terceras... derivadas parciales de una función de varias
variables, siempre que tales derivadas existan.
Por ejemplo, la función z = f(x, y) tiene las siguientes derivadas
parciales de segundo orden:

12. Diferenciación parcial implícita.
12
Suponga que la ecuación define a implícitamente como una función de x y y.
Encuentre:
Al mantener y constante implica
Por la regla de potencia para funciones junto con la regla del producto:
f
Después de que resolvamos la última ecuación para
2 2 2
z x xy z
  z

13. Diferenciación parcial implícita.
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Al mantener ahora x constante,
Al resolver para se obtiene

14. Regla de la cadena
Si son diferenciables entonces
Calcular para de las dos formas
siguientes:
• Sustituyendo y calculando las derivadas parciales
• Aplicando la regla de la cadena

15. Derivada direccional
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• La derivada direccional de f en el punto (a,b) y en la dirección de v
= (v1, v2) se define como:
siempre que este límite
exista.
• Si f(x,y) es una función direccionable en el punto (a,b) ∈ int (D(f))
entonces la derivada direccional en el punto /a,b) según la dirección
del vector v=v1, v2) es:

16. Vector Gradiente
ESCENARIOS DE MERCADOS B2B
o Si z = f(x, y) entonces el gradiente de f,∇f(x, y), es el vector
PROPIEDADES DEL GRADIENTE
Sea f diferenciable en (a, b).
o Si ∇f(a, b) = (0, 0) entonces Dvf(a, b) = 0 para toda dirección v.
o La dirección de máximo incremento de f está dado por ∇f(a, b) y
el valor máximo de Dvf(a, b) es k∇f(a, b)k.
o La dirección de mínimo incremento de f es −∇f(a, b) y el valor
máximo de Dvf(a, b) es −k∇f(a, b)k.
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17. Extremos De Funciones
Multivariables
o f tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) ∀(x, y) ∈ D.
o f tiene un máximo relativo en (a, b) si existe r > 0 tal que f(x, y) ≤ f(a,
b) ∀(x, y) ∈ B((a, b), r).
o f tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) ∀(x, y) ∈ D
o f tiene un mínimo relativo en (a, b) si existe r > 0 tal que f(x, y) ≥ f(a,
b) ∀(x, y) ∈ B((a, b), r).
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(F : D ⊂ R2 → R)

18. Condición Necesaria Para La
Existencia De Extremos
Sea f(x, y) definida en una
región abierta D y diferenciable
en (a, b). Si f tiene un extremo
relativo en (a, b) entonces
Nota: Si ∇f(a, b) = (0, 0) se
dice que (a, b) es un punto
crítico
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19. GRACIAS