Este documento presenta conceptos sobre análisis de circuitos de segundo orden. Explica que estos circuitos están representados por ecuaciones diferenciales de segundo orden y pueden contener más de un elemento de almacenamiento. Describe que la respuesta de estos circuitos depende de parámetros como el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural. También cubre métodos para determinar la respuesta natural y forzada de circuitos RLC en configuraciones serie y paralelo.

1. Análisis de Circuitos en Corriente Continua
S16.s1
Unidad III: Circuitos de 1er y 2do orden
“Estabilidad y Respuesta transitoria de
circuito de 2do orden”
Ciclo 2022-1
Dr. Ing. José Carlos Ugaz Peña

2. Datos/Observaciones
Introducción: Conceptos previos
¿Qué es un circuito eléctrico y para que se usa?
¿Cuáles son las principales variables (magnitudes) asociadas a un circuito eléctrico?
¿Cómo se describen las relaciones tensión-corriente en elementos resistivos?
¿Cómo se expresan las leyes de conservación de la energía en circuitos eléctricos?
¿Cómo se aplican estas leyes a las asociaciones de resistencias?
¿Cómo se describen las relaciones tensión-corriente en inductores y capacitores?
¿Cómo son las ecuaciones que describen el comportamiento de circuitos eléctricos
con capacitores e inductores?
¿Cómo se resuelven las ecuaciones de circuitos de primer y segundo orden?

3. Datos/Observaciones
Introducción: Conceptos previos
Ley de Ohm
Asociación serie y paralelo:
Leyes de Kirchhoff
En un nudo: En una malla: ෍ 𝑖 = 0
෍ 𝑣 = 0
𝑅 =
𝑉
𝐼
Inductores: Capacitores
𝑖𝐶 (𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡

4. Datos/Observaciones
Introducción: Conceptos previos
Parámetros de circuitos: Resistencia, Tensión, Corriente, Potencia
Leyes de circuitos: Leyes de Kirchhoff de Tensión y Corrientes
Análisis de redes resistivas: Divisores de tensión y corriente
Análisis de por tensiones de nodos y corrientes de malla
Teoremas de circuitos (Transformación de fuentes, Superposición, Thévenin,
Norton y Transferencia de máxima potencia)
Relaciones tensión-corriente en inductores y capacitores
Análisis de circuitos de primer orden (lineales)
Solución de las ecuaciones de primer orden

5. Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión el estudiante entiende la respuesta transitoria de circuitos
de segundo orden (RLC) frente a variaciones instantáneas de las condiciones de
operación aplicando los concepto previamente aprendidos.
El estudiante es capaz de determinar los parámetros que condicionan la
respuesta transitoria y clasificar el comportamiento del circuito según sea sobre
amortiguado, críticamente amortiguado o su amortiguado.

6. Datos/Observaciones
Resumen de elementos almacenadores de energía

7. Datos/Observaciones
Análisis de circuitos con elementos almacenadores
1. Analizar el circuito antes de t0 considerando estado estable: Condiciones iniciales
2. Reconocer la continuidad de tensión en condensador y corriente de inductor. Es
decir que deben tener valores idénticos para t0- y t0+
3. Aplicar teoremas y leyes para determinar la ecuaciones diferenciales para t>0.
Determinar los parámetros que rigen la respuesta transitoria
4. Determinar las condiciones finales
5. Resolver las ecuaciones diferenciales

8. Datos/Observaciones
Circuitos de Primer orden
Solución general de las ecuaciones
La solución general es
Debe cumplir las condiciones iniciales
y finales

9. Datos/Observaciones
Circuitos de Primer orden
Solución general de las ecuaciones
La solución general es
Cumple que para t=5τ el efecto
exponencial se anula.

10. Datos/Observaciones
Respuesta a Escalón Unitario
También conocida como fuente de paso unitario
(unitary step).
Permite representar tensiones que varían
abruptamente:
Esto es muy útil para simulaciones computaciones.
Permite aplicar de manera evidente el teorema de
superposición.

11. Datos/Observaciones
Respuesta a Escalón Unitario
Se puede generar funciones del tipo pulso

12. Datos/Observaciones
Respuesta a Escalón Unitario
Ejemplo 1. EL circuito de la figura se alimenta con una tensión definida según:

13. Datos/Observaciones
Estabilidad de circuitos de primer orden
La respuesta total de un circuito de 1er orden es:
Donde xn es la respuesta natural (no depende de la entrada) y xf la forzada (depende
de la entrada).
La forma de la respuesta natural es:
La estabilidad se garantiza cuando la energía del circuito es limitada, es decir cuando la
respuesta natural (almacenamiento) decae con el tiempo.
Se consigue estabilidad cuando τ>0
Circuitos con elementos pasivos y fuentes independientes constantes son estables,
pero las fuentes dependientes pueden llevar a inestabilidad.

14. Datos/Observaciones
Estabilidad de circuitos de primer orden
Ejemplo 2.

15. Datos/Observaciones
Respuesta de circuitos de segundo orden
Circuitos representados por ecuaciones diferenciales de
segundo orden.
Circuitos con más de un elemento de almacenamiento
(incluso del mismo tipo).
α Coeficiente de amortiguado
ω0 Frecuencia natural o de resonancia
Vamos a obtener las ecuaciones para circuitos RLC básicos.
Respuesta natural (solución homogénea) y respuesta
forzada (solución particular)
Aplicación de condiciones iniciales (tal como para primer
orden)

16. Datos/Observaciones
Circuito RLC paralelo
Circuitos simplificado mediante equivalente de Norton
Asumimos que ya conocemos las condiciones iniciales.
Determinamos las ecuaciones a partir de LKC y las
expresamos como ecuaciones diferenciales reduciendo el
número de variables.
Obtenemos una ecuación de 2do orden.
Este método se conoce como método directo.

17. Datos/Observaciones
Circuito RLC paralelo
Resumen del método directo:

18. Datos/Observaciones
Circuito RLC serie
Ejemplo 3. Aplicar el método directo al circuito RLC serie

19. Datos/Observaciones
Método alternativo: Operador
Una opción es utilizar el método del operador “s” que
corresponde a la derivada respecto al tiempo. De esta
forma las relaciones volt-ampere de los elementos de
almacenamiento se representan de manera proporcional,
similar a la Ley de ohm.
d
s
dt
=
L
L L
L
L
di
v L Lsi
dt
v
Ls
i
= =
=
C
C C
C
C
dv
i C Csv
dt
i
Cs
v
= =
=

20. Datos/Observaciones
Método alternativo: Operador
Resumen del método del operador
Dependiendo del circuito puede ser más fácil que el método directo.

21. Datos/Observaciones
Método alternativo: Operador
Ejemplo 4. Determine la ecuación diferencial de la corriente i2

22. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
La ecuación general tiene la forma:
Donde f(t) corresponde a la fuente de alimentación
(forzada)
Para la respuesta natural no se considera la fuente. Se
obtiene una Ec. Diferencial Homogénea.
La ecuación es una sucesión de derivadas, entonces se
espera que partimos de la solución del circuito de
primer orden.
Al sustituir tenemos la ecuación característica del
circuito.

23. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Solución de la ecuación característica:
Teoría de operadores desarrollada por Heaviside. Se obtiene
estableciendo todas las fuente independientes a 0 y
suponer una solución exponencial.
Tiene la forma de una ecuación algebraica de 2do grado.
Podemos determinar las soluciones.
Luego, la respuesta natural se obtiene según:
Tal como en el álgebra, las soluciones s1 y s2 pueden ser
reales o complejas.
Estas contienen toda la información de la dinámica del
circuito.

24. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Sistema 1. RLC paralelo

25. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Sistema 1. RLC paralelo
Posibilidades: Sobre amortiguado
Críticamente amortiguado
Subamortiguado

26. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Caso 1. Sobre amortiguado, condiciones iniciales conocidas.
Podemos determinar también condiciones iniciales de las derivadas:
Los valores de s1 y s2 son conocidos. Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas,
por lo tanto podemos determinar los valores de A1 y A2.

27. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Ejemplo 4.

28. Datos/Observaciones
Respuesta natural de 2do orden
Caso 2. Críticamente amortiguado
0
=