SEMANA 14 - ondas electromagnéticas.pptx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS
Docente: Miguel Angel Mosquera Molina
Física II
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas, Ondas electromagnéticas planas, y rapidez de la luz,
Ondas electromagnéticas armónicas, Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas,
Ondas electromagnéticas estacionarias

James Clerk Maxwell (1831-1879) dio forma a la teoría electromagnética
clásica estableciendo las ecuaciones, conocidas como ecuaciones de
Maxwell. El logro principal de Maxwell fue demostrar que el campo
electromagnético puede propagarse en el vacío donde se mueve a la
velocidad de la luz.
Ondas electromagnéticas
James Clerk Maxwell (1831-1879)
Dos superficies S1 y S2 cerca de la placa de un capacitor están limitadas
por la misma trayectoria P. La corriente de conducción en el alambre
pasa solamente a través de S1, lo que conduce a una contradicción en la
ley de Ampère que sólo se resuelve si uno postula una corriente de
desplazamiento a través de S2.

Cuando un campo, ya sea eléctrico o magnético, cambia con el tiempo, induce un
campo del otro tipo en las regiones adyacentes del espacio. Esto nos lleva (como a
Maxwell) a considerar la posibilidad de la existencia de una perturbación
electromagnética, consistente en campos eléctricos y magnéticos que se modifican
con el tiempo, capaz de propagarse a través del espacio de una región a otra, aun
cuando no exista materia en la región intermedia. Tal perturbación, en caso de existir,
tendrá las propiedades de una onda, por lo que el término apropiado para nombrarla
es onda electromagnética.
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
James Clerk Maxwell (1831-1879)
En los primeros días de la teoría electromagnética (a principios del siglo XIX), se
utilizaban dos unidades distintas de carga eléctrica: una para los fenómenos
electrostáticos y otra para los magnéticos que implicaban corrientes. En el sistema de
unidades empleado en ese tiempo, estas dos unidades de carga tenían dimensiones
físicas distintas. Su razón tenía unidades de velocidad, y las mediciones demostraron
que la razón tenía un valor numérico que era exactamente igual a la rapidez de la luz,
3×108 m/s. En esa época, los físicos veían esto como una coincidencia extraordinaria
y no tenían idea de cómo explicarla.
Corriente de desplazamiento
Unidad
(A)

Ecuaciones de Maxwell
(ley de
Gauss)
(ley de Gauss del
magnetismo)
(ley de
Ampère)
(ley de
Faraday)
En su búsqueda por entender este resultado, Maxwell
demostró en 1865 que una perturbación
electromagnética debe propagarse en el espacio libre
con una rapidez igual a la de la luz, por lo que era
probable que la naturaleza de las ondas de luz fuera
electromagnética. Al mismo tiempo descubrió que los
principios básicos del electromagnetismo podían
expresarse en términos de las cuatro ecuaciones que
hoy conocemos como ecuaciones de Maxwell.
Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Si está
presente un material, la permitividad m0 y la permeabilidad 𝜖0 del espacio libre se
sustituyen por la permitividad m y la permeabilidad 𝜖 del material. Si los valores de m y 𝜖
son diferentes en puntos distintos, entonces m y 𝜖 deben colocarse dentro de las
integrales.

Generación de la radiación electromagnética
Una manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es haciéndola oscilar en
movimiento armónico simple, de manera que tenga una aceleración casi en todo instante (excepto cuando la
carga pasa por la posición de equilibrio). Las líneas de campo no son objetos materiales; sin embargo, es útil
pensar que se comportan como cuerdas que se extienden de la carga puntual al infinito. las perturbaciones
eléctricas y magnéticas se dispersan o irradian desde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de
radiación electromagnéticao el de “ondas electromagnéticas”.
Líneas de campo eléctrico de una carga puntual que oscila con movimiento armónico simple, vistas en cinco
instantes durante un periodo de oscilación T. La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos. En t=0,
la carga puntual se encuentra en su máximo desplazamiento ascendente. La flecha muestra cómo se propaga
una “vuelta” de las líneas de 𝐸 a medida que se propaga hacia fuera de la carga puntual. El campo magnético
(no se ilustra) comprende círculos que se hallan en planos perpendiculares a las figuras y son concéntricos
con respecto al eje de oscilación.

Generación de la radiación electromagnética
Al parecer, el posible uso de las ondas electromagnéticas para la
comunicación a larga distancia no se le ocurrió a Hertz, y fue gracias a
Marconi y a otros investigadores que la comunicación por radio se
convirtió en una experiencia cotidiana en el hogar.
En un transmisor de radio se hacen oscilar las cargas eléctricas a lo
largo de la antena conductora, lo que produce perturbaciones
oscilatorias de campo. Como en la antena hay muchas cargas que
oscilan juntas, las perturbaciones son mucho más intensas que las de
una sola carga y se detectan a una distancia mucho mayor.
En un receptor de radio la antena también es un conductor, los campos
de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas
sobre las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce
una corriente oscilante que es detectada y amplificada por los circuitos
del receptor.
Esquema representativo de la
trasmisión y recepción de ondas de
radio
Esquema representativo de la
recepción de ondas de radio

El espectro electromagnético
Las ondas electromagnéticas cubren un espectro
extremadamente amplio de longitudes de onda y frecuencia.
Este espectro electromagnético incluye las ondas de
radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y
ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. Se han
detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde
1 hasta 1024 Hz.
El ser humano detecta directamente una parte muy
pequeña de este espectro con el sentido de la vista, y a ese
intervalo lo denominamos luz visible. Su intervalo de
longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 × 10–9 m),
con frecuencias correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a
4.3 × 1014 Hz) aproximadamente.
Las distintas partes del espectro visible evocan en los
humanos las sensaciones de los diferentes colores.
Esquema representativo del
espectro electromagnético
Rango de longitudes de
onda para la luz visible

Luz monocromática
La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda
visibles. Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es
posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda
dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es
aproximadamente monocromática (de un solo color).
La luz totalmente monocromática con una sola longitud de onda
es una idealización inalcanzable.
Cuando usamos la expresión “luz monocromática de 550 nm” en
relación con un experimento de laboratorio, en realidad nos
referimos a una banda pequeña de longitudes de onda alrededor
de 550 nm.
La luz láser está mucho más cerca de
ser monocromática que cualquiera que
se obtenga de otra manera.

Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz
Si tomamos como base un sistema de coordenadas xyz,
suponemos que todo el espacio está dividido en dos regiones por
un plano perpendicular al eje x (y paralelo al plano yz). En cada
punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctrico uniforme
en la dirección +y y un campo magnético uniforme en la dirección
+z, como se ilustra. Además, supongamos que el plano limítrofe, al
que llamaremos frente de onda, se desplaza hacia la derecha en
la dirección +x con rapidez constante c, un valor que por el
momento dejaremos indeterminado. Así, los campos 𝐸 y 𝐵 viajan a
la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con
rapidez definida.

El problema de generar efectivamente una configuración de
campo de este tipo; siendo congruentes con las leyes del
electromagnetismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell.
La onda satisface la primera y segunda ecuaciones de Maxwell,
es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.
Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja
rectangular con lados paralelos a los planos coordenados xy, xz y
yz. La caja no encierra cargas eléctricas, ni tampoco imanes. En
consecuencia, los flujos eléctrico y magnético totales a través de
la caja son iguales a cero, aún si parte de la caja está en la región
en la que E=B=0.
De la primera y segunda ecuación de Maxwell, los campos
eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de
propagación; es decir, la onda debe ser transversal.

De la ley de Faraday:
Para verificar si la onda satisface la ley de Faraday, aplicamos
esta ley a un rectángulo efgh paralelo al plano xy. En el corte
transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y anchura
x= cdt. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha
avanzado parcialmente a través del rectángulo, y 𝐸 es igual a cero
a lo largo del lado ef.
Al aplicar la ley de Faraday, consideramos el área vectorial 𝑑𝐴 del
rectángulo efgh está en la dirección +z. Con esta elección, la regla
de la mano derecha indica que se requiere integrar en sentido
antihorario alrededor del rectángulo. 𝐸 es igual a cero en todos los
puntos del lado ef. En cada punto de los lados fg y he, 𝐸 es igual a
cero o perpendicular a 𝑑ℓ. Sólo el lado gh contribuye a la integral,
y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene:
En el intervalo dt, el
frente de onda se
desplaza una distancia
cdt en la dirección +x
Vista
lateral

Para satisfacer la ley de Faraday, debe haber una componente de
en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un
flujo magnético Φ𝐵 distinto de cero a través del rectángulo efgh y
una derivada 𝑑Φ𝐵/𝑑𝑡 diferente de cero. En realidad, nuestra onda
tiene sólo la componente z. La componente tiene la dirección +z,
esta suposición es congruente con la ley de Faraday. Durante un
intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia
cdt hacia la derecha, y recorre un área acdt del rectángulo efgh.
Durante este intervalo, el flujo magnético Φ𝐵 a través del
rectángulo efgh se incrementa en 𝑑Φ𝐵 = 𝐵(acdt), por lo que la
tasa de cambio del flujo magnético es:
En la ley de Faraday:
Tenemos:
(OEM en el vacío)
En el intervalo dt, el
frente de onda se
desplaza una distancia
cdt en la dirección +x
Vista
lateral

Empleando la ley de Ampère, no hay corriente de conducción
(iC=0), por
lo que la ley de Ampère es
Tomamos el área vectorial 𝑑𝐴 en la dirección +y, y así, de la regla
de la mano derecha demanda, se integra 𝐵 ∙ 𝑑ℓ en sentido
antihorario alrededor del rectángulo. El campo 𝐵 es igual a cero
en todos los puntos a lo largo del lado ef, y en todos los puntos
sobre los lados fg y he es cero o perpendicular a 𝑑ℓ. Sólo el lado
gh, donde 𝐵 y 𝑑ℓ son paralelos, contribuye a la integral, por lo que
se obtiene:
Tenemos:
(OEM en el vacío)
En un tiempo dt, el frente
de onda se desplaza una
distancia cdt en la dirección
+x
Vista
superior
Rapidez de propagación
de la OEM en el vacío
Unidad
(m/s)

Propiedades de las ondas electromagnéticas
La onda es transversal; tanto como son perpendiculares a la dirección
de propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también
son perpendiculares entre sí. La dirección de propagación es la
dirección del producto vectorial 𝐸 × 𝐵.
Hay una razón definida entre las magnitudes de 𝐸 y 𝐵: E=cB.
La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable.
A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas
oscilantes de un medio —como el agua o aire— para transmitirse, las
ondas electromagnéticas no requieren un medio. Lo que “ondula” en
una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos.
Las variaciones periódicas de los dos campos en cualquier onda
periódica viajera deben estar en fase

Propiedades de las ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas tienen la propiedad de polarización. En el análisis
anterior, la asignación de la dirección y para 𝐸 fue arbitraria. De igual manera podríamos haber especificado el
eje z para 𝐸 en tal caso, 𝐵 habría estado en la dirección –y.
Se dice que una onda en la que 𝐸 siempre es paralelo a cierto eje está polarizada linealmente a lo largo de
ese eje. En general, cualquier onda que viaje en la dirección x se puede representar como una superposición
de ondas polarizadas linealmente en las direcciones y y z
Esquema representativo
de la polarización de la
luz,

Deducción de la ecuación de onda electromagnética
La función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de
cualquier punto en una onda mecánica que viaja a lo largo del
eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial
Esta ecuación se llama ecuación de onda, y 𝑣 es la rapidez de
propagación de la onda.
Para deducir la ecuación correspondiente para una onda
electromagnética, consideramos una onda plana. Es decir,
suponemos que en cada instante, 𝐸𝑦 y 𝐵𝑧 son uniformes en la
totalidad de cualquier plano perpendicular al eje 𝑥, la dirección
de propagación. Pero ahora dejamos que 𝐸𝑦 y 𝐵𝑧 varíen
continuamente a medida que se avanza sobre el eje 𝑥; en esas
condiciones, ambas son funciones de 𝑥 y 𝑡. Consideremos los
valores de 𝐸𝑦 y 𝐵𝑧 en dos planos perpendiculares al eje x, uno
en 𝑥 y otro en 𝑥 + ∆𝑥
Ley de Faraday aplicada a un rectángulo con
altura a y anchura ∆𝑥 paralelo al plano 𝑥𝑦.
Aplicamos la ley de Faraday a este rectángulo,
encontramos:

Determinamos el flujo magnético Φ𝐵 , ∆𝑥 es
suficientemente pequeño como para que 𝐵𝑧 sea casi
uniforme en todo el rectángulo.
Sabemos por la ley de Faraday:
Reemplazando en la Ley de Faraday, tenemos:
Si: ∆𝑥 → 0, entonces:
Aplicamos la ley de Ampere:
Ley de Ampère aplicada a un rectángulo con altura 𝑎 y
anchura ∆𝑥 paralelo al plano 𝑥𝑧.

Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos
como aproximación del flujo eléctrico
Por lo tanto:
Reemplazamos las ecuaciones anteriores en la expresión
anterior, obtenemos:
Sabemos:
Si: ∆𝑥 → 0, entonces:
Tomando las derivadas parciales con respecto a x en
ambos lados de la ecuación
y las derivadas parciales con respecto a t en ambos
lados de la ecuación
Resulta:

Se combinan estas dos ecuaciones para eliminar 𝐵𝑧
(ecuación de onda electromagnética en el vacío)
Como el campo eléctrico 𝐸𝑦 debe satisfacer esta ecuación, se
comporta como una onda con una configuración que viaja por el
espacio con rapidez definida. Además, se demuestra que la
rapidez de la onda 𝑣 está dada por
Esto concuerda con la ecuación de la rapidez 𝑐 de las ondas
electromagnéticas.

Ondas electromagnéticas sinusoidales
Las ondas electromagnéticas sinusoidales son
directamente análogas a las ondas mecánicas transversales
sinusoidales que se forman en una cuerda estirada.
En una onda electromagnética sinusoidal 𝐸 y 𝐵 en
cualquier punto del espacio son funciones sinusoidales del
tiempo, y en cualquier instante la variación espacial de los
campos también es sinusoidal. Algunas ondas
electromagnéticas sinusoidales son ondas planas;
Las direcciones 𝐸 y 𝐵 son perpendiculares a la dirección
de propagación (y entre sí), por lo que la onda es
transversal. Las ondas electromagnéticas producidas por
una carga puntual oscilante, son un ejemplo de ondas
sinusoidales que no son ondas planas
En una región relativamente pequeña del espacio a una
distancia suficientemente grande de la fuente, las ondas
planas son una buena aproximación de estas onda
Las ondas que pasan a
través de una pequeña
área a una distancia
suficientemente grande
de la fuente pueden
considerarse como ondas
planas.
La frecuencia 𝑓, la longitud de onda 𝜆 y la rapidez de
propagación 𝑐 de cualquier onda periódica guardan entre sí
la conocida relación entre longitud de onda y frecuencia,
𝑐 = 𝜆𝑓
Para 𝑓 = 60 Hz

Representación de los campos eléctricos y
magnéticos como funciones de 𝑥 correspondientes a
una onda electromagnética sinusoidal plana
linealmente polarizada. Se ilustra una longitud de
onda de la onda en el tiempo 𝑡 = 0 .Los campos se
indican sólo para puntos a lo largo del eje x.
Campos de una onda sinusoidal
Podemos describir las ondas electromagnéticas por medio de
funciones de onda. La ecuación es una forma de la función de onda
para una onda transversal que viaja en la dirección +𝑥 a lo largo de
una cuerda estirada:
Donde:
𝑦(𝑥, 𝑡): es el desplazamiento transversal de su posición de equilibrio en
el tiempo t de un punto con coordenada x sobre la cuerda.
𝐴: desplazamiento máximo, o amplitud, de la onda
𝜔: frecuencia angular

sea que 𝐸𝑚á𝑥 y 𝐵𝑚á𝑥 representen los valores máximos, o amplitudes, de
estos campos. De esta forma, las funciones de onda para la onda son
(onda electromagnética sinusoidal plana que se propaga en la
dirección +𝑥)
También es posible escribir las funciones de onda en forma
vectorial:
Estas ecuaciones indican que en cualquier punto las ondas sinusoidales de
𝐸 y 𝐵 se encuentran en fase. Las amplitudes se encuentran relacionadas
de la siguiente manera:

Las funciones de onda correspondientes a esta onda son:
(onda electromagnética sinusoidal plana, que se propaga en la
dirección −𝑥)
Al igual que ocurre con la onda que viaja en la dirección +𝑥, las
oscilaciones sinusoidales de los campos 𝐸 y 𝐵 en cualquier
punto se encuentran en fase, y el producto vectorial 𝐸 × 𝐵
apunta en la dirección de propagación.

Ondas electromagnéticas en la materia
Las ondas electromagnéticas también viajan en la materia;
piense en la luz que viaja a través del aire, el agua o el
vidrio. Por lo que se hará la revisión de las ondas
electromagnéticas en materiales que no son conductores,
es decir, en dieléctricos.
En un dieléctrico, la rapidez de la onda no es la misma que
en el vacío, y la denotaremos con 𝑣 en vez de con 𝑐.
Donde:
𝐾𝑚: permeabilidad relativa del dieléctrico
Con el mismo procedimiento que seguimos para las ondas
en el vacío, encontramos que la rapidez de onda 𝑣 es:
(rapidez de las ondas electromagnéticas en
un dieléctrico)
Para la mayoría de los dieléctricos, la permeabilidad
relativa 𝐾𝑚 m se aproxima a la unidad (excepto para
materiales ferromagnéticos aislantes)
Cuando 𝐾𝑚 ≅ 1
Como K siempre es mayor que la unidad, la rapidez 𝑣
de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico
siempre es menor que la rapidez 𝑐 en el vacío en un
factor de 1 𝐾

La razón entre la rapidez c en el vacío y la rapidez 𝑣 en un
material se conoce en óptica como el índice de refracción n
del material. Cuando 𝐾𝑚 ≅ 1

Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas
Es un hecho muy conocido que hay energía asociada con las
ondas electromagnéticas; piense en la energía de la radiación
solar. Entre las aplicaciones prácticas de las ondas
electromagnéticas, podemos mencionar los hornos de
microondas, los trasmisores de radio y rayos láser para
cirugía ocular, utilizan la energía que esas ondas transportan.
En una región de espacio vacío donde están presentes los
campos 𝐸 y 𝐵 la densidad total de energía 𝑢 está dada por:
𝜖0: Permitividad del espacio libre
𝜇0: Permeabilidad del espacio libre
Donde:
Para las ondas electromagnéticas en el vacío, las
magnitudes 𝐸 y 𝐵 están relacionadas por
También se puede expresar la densidad de energía u en
una onda electromagnética simple en el vacío como:
𝑢 = 𝜖0𝐸2
Esto demuestra que en el vacío, la densidad de energía
asociada con el campo 𝐸 en nuestra onda simple es
igual a la densidad de energía del campo 𝐵

Flujo de energía electromagnética y el vector de Poynting
Las ondas electromagnéticas como las que hemos descrito
son ondas que viajan y transportan energía de una región a
otra. Por ejemplo si los campos 𝐸 y 𝐵 avanzan con el
tiempo hacia regiones en las que originalmente no había
campos, y llevan consigo la densidad de energía 𝑢
conforme avanzan.
Esta transferencia de energía se puede describir en términos
de la energía transferida por unidad de tiempo por unidad
de área de sección transversal, o potencia por unidad de
área, para un área perpendicular a la dirección en que viaja
la onda.
Frente de onda en el momento 𝑑𝑡 después de haber
pasado a través del plano estacionario con área 𝐴.

El volumen 𝑑𝑉 de la región en cuestión es el producto del
área de la base 𝐴 por la longitud 𝑐𝑑𝑡, y la energía 𝑑𝑈 de esta
región es el producto de la densidad de energía 𝑢 por este
volumen
Esta energía pasa a través del área 𝐴 en el tiempo 𝑑𝑡. El
flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de área,
que llamaremos 𝑆, es
Formas alternativas
Unidad
Es posible definir una cantidad vectorial que describa
tanto la magnitud como la dirección de la tasa del flujo de
energía:
El vector 𝑆 se denomina vector de Poynting, y fue
introducido por el físico británico John Poynting (1852-
1914). Su dirección es la misma que la dirección en que se
propaga la onda (figura 32.18).
Estos paneles solares en el
techo de un edificio están
inclinados hacia el Sol, es
decir, de frente al vector
Poynting de las ondas
electromagnéticas provenientes
del Sol; de esta forma, los
paneles pueden absorber la
máxima cantidad de energía de
las ondas

El flujo total de energía por unidad de tiempo (potencia,
P) hacia fuera de cualquier superficie cerrada es la integral
𝑆 de sobre la superficie
los campos eléctricos y magnéticos en un punto
cualquiera varían con el tiempo, por lo que el vector de
Poynting en cualquier punto también es función del
tiempo. Puesto que las frecuencias de las ondas
electromagnéticas comunes son muy altas, la variación en
el tiempo del vector Poynting es tan rápida que lo más
apropiado es examinar su valor medio. La magnitud del
valor medio de en un punto recibe el nombre de
intensidad 𝑆 de la radiación en ese punto
la intensidad de la onda sinusoidal
El producto vectorial de los vectores unitarios 𝑗 × 𝑘 = 𝑖, y
𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) nunca es negativo, por lo que 𝑆(𝑥, 𝑡)
siempre apunta en la dirección x positiva (la dirección de
propagación de la onda). La componente x del vector de
Poynting es
El valor medio del vector de Poynting en un ciclo
completo es:
Podemos expresar la intensidad en varias formas equivalentes

Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y
presión de radiación
También se puede demostrar que las ondas
electromagnéticas llevan una cantidad de movimiento p
con una densidad de cantidad de movimiento
correspondiente (cantidad de movimiento 𝑑𝑝 por volumen
𝑑𝑉) de magnitud
Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo;
no está asociada con la masa de una partícula en
movimiento en el sentido habitual.
Existe además tasa de flujo de cantidad de movimiento
correspondiente. El volumen 𝑑𝑉 𝑜cupado por una onda
electromagnética (rapidez c) que pasa a través de una área
A en el tiempo dt es 𝑑𝑉 = 𝐴𝑐𝑑𝑡.
Ésta es la cantidad de movimiento que se transfiere
por unidad de área y por unidad de tiempo

Ondas electromagnéticas estacionarias
Las ondas electromagnéticas se reflejan; la superficie de un conductor (como una lámina metálica pulida) o de un
dieléctrico (como una hoja de vidrio) pueden servir como reflectores. El principio de superposición se cumple para las
ondas electromagnéticas igual que para los campos eléctricos y magnéticos. La superposición de una onda incidente y
una onda reflejada forma una onda estacionaria.

El principio de superposición establece que el campo total
𝐸 en cualquier punto es la suma vectorial de los campos 𝐸
de las ondas incidente y reflejada, y de manera análoga para
el campo 𝐵 . Por lo tanto, las funciones de onda para la
superposición de las dos ondas son las siguientes:
Estas expresiones se pueden expandir y simplificar con
ayuda de las identidades
Resultando:
Se observa que en 𝑥 = 0, el campo eléctrico 𝐸𝑦(𝑥 = 0, 𝑡)
siempre es igual a cero; esto es una exigencia de la
naturaleza del conductor ideal, que desempeña el mismo
papel que un punto fijo al final de una cuerda. Además,
𝐸𝑦(𝑥, 𝑡) es cero en todo momento en los puntos de
aquellos planos perpendiculares al eje x para los que
𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 = 0; es decir, 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, … .
Como 𝑘 = 2𝜋/𝜆, las posiciones de estos planos son
Estos planos se llaman planos nodales del campo 𝐸; son
el equivalente de los nodos, o puntos nodales, de una
onda estacionaria en una cuerda. En el punto medio entre
dos planos nodales adyacentes cualesquiera hay un plano
en el que 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 = ±1; en cada uno de tales planos, la
magnitud de 𝐸(𝑥, 𝑡) es igual al valor máximo posible de
2𝐸𝑚á𝑥dos veces en cada ciclo de oscilación. Éstos son los
planos antinodales de 𝐸, que corresponden a los
antinodos de las ondas en una cuerda.

El campo magnético total es igual a cero en todo momento
en los puntos de los planos en los que 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 = 0. Esto
ocurre donde
Éstos son los planos nodales del campo 𝐵; hay un plano
antinodal de 𝐵 en el punto medio entre dos planos nodales
adyacentes cualesquiera.
Ondas estacionarias en una cavidad
Siguiendo con la analogía de la cuerda estirada, ahora es
posible insertar un segundo plano conductor, paralelo al
primero y a una distancia 𝐿 de él, a lo largo del eje 𝑥. La
cavidad entre los dos planos es análoga a una cuerda estirada
sujeta en los puntos 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿.
Ambos planos conductores deben ser planos nodales para
𝐵; una onda estacionaria puede presentarse sólo cuando el
segundo plano está situado en alguna de las posiciones en
las que 𝐸(𝑥, 𝑡) = 0. Es decir, para que exista una onda
estacionaria, L debe ser un múltiplo entero de 𝜆/2. Las
longitudes de onda que satisfacen esta condición son
Las frecuencias correspondientes son
Así, hay un conjunto de modos normales cada uno con
frecuencia, forma de la onda y distribución nodal
características

Aplicación
Se establecen ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad con dos paredes paralelas, altamente
conductoras, separadas por una distancia de 1.50 cm. a) Calcule la longitud de onda más larga y la frecuencia más
baja de las ondas electromagnéticas estacionarias entre las paredes. b) En el caso de la onda estacionaria con la
longitud de onda más larga, ¿en qué parte de la cavidad 𝐸 tiene su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el
campo 𝐸? ¿Dónde tiene 𝐵 su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el campo 𝐵?
Solución:
Sabemos que:
La longitud de onda de 𝑛 = 1 es
La frecuencia
correspondiente está
dada por la ecuación:
Con 𝑛 = 1 hay una sola media longitud de onda entre las paredes. El
campo eléctrico tiene planos nodales (𝐸 = 0) en las paredes y un plano
antinodal (donde se presenta la magnitud máxima de 𝐸) equidistante de
ambas. El campo magnético tiene planos antinodales en las paredes y un
plano nodal equidistante de ambas.

Bibliografía
[1] SERWAY, Raymond A y JEWETT, John W. (2008), Física para ciencias e ingeniería, Vol.2,
(7a ed.), México DF. Cengage Learning Editores.
Sears, Z. Young & Freedman (2004). Física Universitaria. Volumen 1 y 2 (11ª Edición y 12ª
Edición). Ed. Pearson Education.
[2]

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