Este documento describe el movimiento oscilatorio y el oscilador armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio es un movimiento de vaivén alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza elástica. Luego, introduce el oscilador armónico simple como un modelo de masa-resorte y deriva las ecuaciones matemáticas que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Finalmente, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación Sistema Masa-Re...Isaac Velayos
El documento describe el movimiento armónico simple. Este ocurre cuando una partícula se mueve a lo largo de un eje y su posición en función del tiempo sigue la ecuación x = A sen (ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. Algunos sistemas que exhiben este movimiento son el oscilador armónico, el péndulo simple y el sistema masa-resorte.
El documento trata sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistemas masa-resorte y oscilaciones. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período y ecuaciones diferenciales para describir estos movimientos. También aborda temas como péndulo simple, hidrostática y principios como la conservación de la energía.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS), un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio que se describe mediante funciones trigonométricas. El MAS se utiliza para modelar diversos fenómenos físicos como el movimiento de un péndulo o una varilla sujeta por un extremo. El documento define las principales magnitudes que caracterizan un MAS, como la amplitud, período, frecuencia y fase, y presenta las ecuaciones que relacionan la posición, velocidad y aceleración con el tiempo.
Este documento presenta información sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistema masa-resorte, péndulo simple y oscilaciones e hidrostática. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período, momento de inercia, principio de conservación de energía y principio fundamental de la hidrostática.
El documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples, incluyendo péndulos simples, péndulos compuestos y masas unidas a resortes. Explica las fuerzas restauradoras involucradas, así como las ecuaciones que describen estos movimientos. También cubre conceptos como la amplitud, la frecuencia, la fase y la superposición de movimientos armónicos simples.
El documento describe tres tipos de movimientos armónicos simples: 1) un péndulo simple, 2) un péndulo compuesto, y 3) una masa unida a un resorte. En cada caso, cuando el objeto se desvía de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza o torque restaurador que lo hace oscilar en forma periódica. El documento también explica conceptos clave como amplitud, frecuencia, fase y energía asociados con los movimientos armónicos simples.
Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación Sistema Masa-Re...Isaac Velayos
El documento describe el movimiento armónico simple. Este ocurre cuando una partícula se mueve a lo largo de un eje y su posición en función del tiempo sigue la ecuación x = A sen (ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. Algunos sistemas que exhiben este movimiento son el oscilador armónico, el péndulo simple y el sistema masa-resorte.
El documento trata sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistemas masa-resorte y oscilaciones. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período y ecuaciones diferenciales para describir estos movimientos. También aborda temas como péndulo simple, hidrostática y principios como la conservación de la energía.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS), un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio que se describe mediante funciones trigonométricas. El MAS se utiliza para modelar diversos fenómenos físicos como el movimiento de un péndulo o una varilla sujeta por un extremo. El documento define las principales magnitudes que caracterizan un MAS, como la amplitud, período, frecuencia y fase, y presenta las ecuaciones que relacionan la posición, velocidad y aceleración con el tiempo.
Este documento presenta información sobre varios temas de física como trabajo y energía, movimiento armónico simple, rotación, sistema masa-resorte, péndulo simple y oscilaciones e hidrostática. Explica conceptos como amplitud, frecuencia, período, momento de inercia, principio de conservación de energía y principio fundamental de la hidrostática.
El documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples, incluyendo péndulos simples, péndulos compuestos y masas unidas a resortes. Explica las fuerzas restauradoras involucradas, así como las ecuaciones que describen estos movimientos. También cubre conceptos como la amplitud, la frecuencia, la fase y la superposición de movimientos armónicos simples.
El documento describe tres tipos de movimientos armónicos simples: 1) un péndulo simple, 2) un péndulo compuesto, y 3) una masa unida a un resorte. En cada caso, cuando el objeto se desvía de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza o torque restaurador que lo hace oscilar en forma periódica. El documento también explica conceptos clave como amplitud, frecuencia, fase y energía asociados con los movimientos armónicos simples.
El documento describe los conceptos fundamentales de los movimientos armónicos simples. Explica tres situaciones que ilustran este tipo de movimiento: un péndulo simple, un péndulo compuesto y una masa unida a un resorte. También define parámetros como la amplitud, la frecuencia y la fase inicial que caracterizan estos movimientos.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus características clave. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico en el que la posición de un objeto en función del tiempo sigue una función senoidal. La posición está determinada por la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial. La velocidad y aceleración también siguen funciones senoidales y la fuerza que causa el movimiento es proporcional a la desviación de la posición de equilibrio.
El documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples como péndulos y masas unidas a resortes. Explica que estos movimientos son periódicos y oscilan alrededor de una posición de equilibrio debido a fuerzas o torques restauradores. También describe cómo la superposición de dos movimientos armónicos simples puede dar lugar a nuevos patrones de movimiento.
Este documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples, incluyendo péndulos, masas unidas a resortes y osciladores amortiguados. Explica las ecuaciones matemáticas que rigen estos movimientos y cómo se relacionan con el movimiento circular uniforme. También analiza la superposición de movimientos armónicos simples y el fenómeno de resonancia en osciladores forzados.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple. Explica que las fuerzas restauradoras proporcionan las fuerzas necesarias para que los objetos oscilen con movimiento armónico simple, como en un trampolín. También describe las ecuaciones para calcular la frecuencia, periodo, velocidad y aceleración en términos del desplazamiento y tiempo, y cómo aplicar la conservación de energía en sistemas que oscilan.
Este documento describe el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte. Explica que la fuerza aplicada a un resorte es directamente proporcional a su elongación según la ley de Hooke. Luego analiza el caso de una masa suspendida de un resorte, derivando las ecuaciones que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo como funciones senoidales. Finalmente, introduce conceptos como periodo, frecuencia y transformada de Fourier.
El documento describe el movimiento armónico simple. Explica que es un movimiento periódico y oscilatorio alrededor de una posición de equilibrio. Define los elementos del movimiento armónico como el periodo, frecuencia, elongación y amplitud. Presenta las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Además, introduce la ley de Hooke y explica cómo se relaciona la fuerza restauradora con la deformación de un muelle.
Este documento describe el movimiento vibratorio armónico simple (MAS). Define las características del MAS como la amplitud, periodo, frecuencia y pulsación. Explica las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de un MAS. Además, analiza la energía de un oscilador armónico simple y cómo se conserva la energía mecánica total en un MAS.
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple, incluyendo sus elementos como periodo, frecuencia y amplitud, así como las ecuaciones que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También explica la ley de Hooke, el periodo de oscilación, y los conceptos de energía cinética y potencial asociados con este tipo de movimiento.
Este documento trata sobre la cinemática de una partícula y describe conceptos fundamentales como sistemas de referencia, vectores de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Explica el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento rectilíneo uniformemente variado y el movimiento con aceleración constante. Define las componentes intrínsecas de la aceleración y describe el movimiento en caída libre.
Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
Este documento describe el movimiento armónico simple de un oscilador armónico. Explica que un oscilador armónico experimenta una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento de la posición de equilibrio. El movimiento resultante es una oscilación periódica cuya ecuación es una función armónica. También describe cómo medir el período de oscilación para diferentes masas y usar los datos para calcular la constante elástica del resorte.
Este documento presenta información sobre dinámica rotacional, elasticidad y movimiento oscilatorio. Cubre temas como movimiento de rotación, movimiento armónico simple, cinemática y dinámica de un MAS, sistema masa-resorte, péndulo simple, oscilación, hidrostática, principio de Pascal y principio de Arquímedes. El documento está dividido en secciones y proporciona definiciones, ecuaciones y diagramas para explicar estos conceptos físicos fundamentales.
Este documento presenta la resolución de problemas relacionados con el movimiento oscilatorio armónico simple. Incluye la teoría fundamental sobre este tipo de movimiento, así como ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de una partícula en función del tiempo. También contiene seis problemas resueltos sobre osciladores armónicos simples, incluyendo péndulos y partículas unidas a resortes. Finalmente, presenta gráficos y tablas como verificación de las soluciones.
Este documento describe los conceptos básicos de la cinemática del movimiento rectilíneo y curvilíneo. Explica elementos como posición, velocidad, aceleración y sus componentes para movimiento en línea recta y curva. También presenta ecuaciones para calcular estas cantidades en diferentes situaciones y gráficas que representan el movimiento rectilíneo.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus elementos clave. Explica que el movimiento armónico simple ocurre cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento y siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Define términos como amplitud, período, frecuencia y posición de equilibrio. También deriva las ecuaciones para la elongación, velocidad, aceleración y período para un sistema masa-resorte.
Este documento describe conceptos fundamentales de movimientos oscilatorios como masa-resorte, péndulos y oscilaciones forzadas y amortiguadas. Explica que cuando un sistema se separa de su posición de equilibrio, tiende a regresar a ella debido a una fuerza restauradora, lo que causa un movimiento periódico alrededor de dicha posición. También cubre temas como la fuerza restauradora, la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple, la superposición de oscilaciones, y que la amplitud máxim
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de dinámica rotacional, elasticidad y movimiento oscilatorio. Incluye las definiciones de movimiento de rotación, movimiento armónico simple, cinemática y dinámica de un MAS, así como explicaciones sobre sistemas masa-resorte, péndulo simple, oscilación, hidrostática, principio de Pascal y principio de Arquímedes. El documento fue elaborado por los integrantes Edward Alvarado, Yessimar Rodriguez y Claudia Chavez.
Este documento describe el movimiento oscilatorio armónico simple. Explica que este movimiento es periódico y puede representarse mediante funciones seno o coseno. También define las características de este movimiento como la amplitud, frecuencia, periodo y fase. Finalmente, analiza las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve de forma armónica simple.
El documento describe los conceptos fundamentales de los movimientos armónicos simples. Explica tres situaciones que ilustran este tipo de movimiento: un péndulo simple, un péndulo compuesto y una masa unida a un resorte. También define parámetros como la amplitud, la frecuencia y la fase inicial que caracterizan estos movimientos.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus características clave. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico en el que la posición de un objeto en función del tiempo sigue una función senoidal. La posición está determinada por la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial. La velocidad y aceleración también siguen funciones senoidales y la fuerza que causa el movimiento es proporcional a la desviación de la posición de equilibrio.
El documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples como péndulos y masas unidas a resortes. Explica que estos movimientos son periódicos y oscilan alrededor de una posición de equilibrio debido a fuerzas o torques restauradores. También describe cómo la superposición de dos movimientos armónicos simples puede dar lugar a nuevos patrones de movimiento.
Este documento describe diferentes tipos de movimientos armónicos simples, incluyendo péndulos, masas unidas a resortes y osciladores amortiguados. Explica las ecuaciones matemáticas que rigen estos movimientos y cómo se relacionan con el movimiento circular uniforme. También analiza la superposición de movimientos armónicos simples y el fenómeno de resonancia en osciladores forzados.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple. Explica que las fuerzas restauradoras proporcionan las fuerzas necesarias para que los objetos oscilen con movimiento armónico simple, como en un trampolín. También describe las ecuaciones para calcular la frecuencia, periodo, velocidad y aceleración en términos del desplazamiento y tiempo, y cómo aplicar la conservación de energía en sistemas que oscilan.
Este documento describe el movimiento armónico simple de un sistema masa-resorte. Explica que la fuerza aplicada a un resorte es directamente proporcional a su elongación según la ley de Hooke. Luego analiza el caso de una masa suspendida de un resorte, derivando las ecuaciones que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo como funciones senoidales. Finalmente, introduce conceptos como periodo, frecuencia y transformada de Fourier.
El documento describe el movimiento armónico simple. Explica que es un movimiento periódico y oscilatorio alrededor de una posición de equilibrio. Define los elementos del movimiento armónico como el periodo, frecuencia, elongación y amplitud. Presenta las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Además, introduce la ley de Hooke y explica cómo se relaciona la fuerza restauradora con la deformación de un muelle.
Este documento describe el movimiento vibratorio armónico simple (MAS). Define las características del MAS como la amplitud, periodo, frecuencia y pulsación. Explica las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de un MAS. Además, analiza la energía de un oscilador armónico simple y cómo se conserva la energía mecánica total en un MAS.
El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple, incluyendo sus elementos como periodo, frecuencia y amplitud, así como las ecuaciones que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También explica la ley de Hooke, el periodo de oscilación, y los conceptos de energía cinética y potencial asociados con este tipo de movimiento.
Este documento trata sobre la cinemática de una partícula y describe conceptos fundamentales como sistemas de referencia, vectores de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Explica el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento rectilíneo uniformemente variado y el movimiento con aceleración constante. Define las componentes intrínsecas de la aceleración y describe el movimiento en caída libre.
Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
Este documento describe el movimiento armónico simple de un oscilador armónico. Explica que un oscilador armónico experimenta una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento de la posición de equilibrio. El movimiento resultante es una oscilación periódica cuya ecuación es una función armónica. También describe cómo medir el período de oscilación para diferentes masas y usar los datos para calcular la constante elástica del resorte.
Este documento presenta información sobre dinámica rotacional, elasticidad y movimiento oscilatorio. Cubre temas como movimiento de rotación, movimiento armónico simple, cinemática y dinámica de un MAS, sistema masa-resorte, péndulo simple, oscilación, hidrostática, principio de Pascal y principio de Arquímedes. El documento está dividido en secciones y proporciona definiciones, ecuaciones y diagramas para explicar estos conceptos físicos fundamentales.
Este documento presenta la resolución de problemas relacionados con el movimiento oscilatorio armónico simple. Incluye la teoría fundamental sobre este tipo de movimiento, así como ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de una partícula en función del tiempo. También contiene seis problemas resueltos sobre osciladores armónicos simples, incluyendo péndulos y partículas unidas a resortes. Finalmente, presenta gráficos y tablas como verificación de las soluciones.
Este documento describe los conceptos básicos de la cinemática del movimiento rectilíneo y curvilíneo. Explica elementos como posición, velocidad, aceleración y sus componentes para movimiento en línea recta y curva. También presenta ecuaciones para calcular estas cantidades en diferentes situaciones y gráficas que representan el movimiento rectilíneo.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus elementos clave. Explica que el movimiento armónico simple ocurre cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento y siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Define términos como amplitud, período, frecuencia y posición de equilibrio. También deriva las ecuaciones para la elongación, velocidad, aceleración y período para un sistema masa-resorte.
Este documento describe conceptos fundamentales de movimientos oscilatorios como masa-resorte, péndulos y oscilaciones forzadas y amortiguadas. Explica que cuando un sistema se separa de su posición de equilibrio, tiende a regresar a ella debido a una fuerza restauradora, lo que causa un movimiento periódico alrededor de dicha posición. También cubre temas como la fuerza restauradora, la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple, la superposición de oscilaciones, y que la amplitud máxim
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de dinámica rotacional, elasticidad y movimiento oscilatorio. Incluye las definiciones de movimiento de rotación, movimiento armónico simple, cinemática y dinámica de un MAS, así como explicaciones sobre sistemas masa-resorte, péndulo simple, oscilación, hidrostática, principio de Pascal y principio de Arquímedes. El documento fue elaborado por los integrantes Edward Alvarado, Yessimar Rodriguez y Claudia Chavez.
Este documento describe el movimiento oscilatorio armónico simple. Explica que este movimiento es periódico y puede representarse mediante funciones seno o coseno. También define las características de este movimiento como la amplitud, frecuencia, periodo y fase. Finalmente, analiza las ecuaciones que describen la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve de forma armónica simple.
Similar a ses 11_4f6e175de1bb4d4f73b6c7549904e518.pptx (20)
2. MOVIMIENTO OSCILATORIO
1. MOVIMIENTO OSCILATORIO es el movimiento de vaivén que realiza un móvil bajo
la acción de una fuerza que siempre está dirigida hacia su posición de equilibrio.
Ejemplo 1. En la Fig.1(a) el resorte de constante elástica k se mantiene
en equilibrio estático bajo la acción de la fuerza deformadora F = mg
aplicada en su extremo inferior y la fuerza recuperadora F´ del resorte.
Este sistema se denomina OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.
En (b), jalamos la masa m hacia abajo deforma-
mando el resorte hasta B´ en una longitud (-s),
generando la fuerza recuperadora del resorte F´ = -
ks que acelera la masa hacia la posición de
equilibrio “O”. La energía cinética adquirida por la
masa en este trayecto se transforma en trabajo
para comprimir el resorte la longitud s hasta B.
F´
k
(a)
mg
k
(b)
B´
O
-s
F´
B
k
(c)
+s
-F´´
En (c), el resorte ejerce la fuerza recuperadora F´´ = - k s
que nuevamente acelera la masa hacia la posición de
equilibrio “O”.
3. MOVIMIENTO OSCILATORIO
La fuerza recuperadora F´, dirigida hacia la posición de equilibrio es la res-ponsable de las
oscilaciones de la masa entre las posiciones extremas B, B´ y la posición de equilibrio O.
Ejemplo 2. El movimiento de una
pequeña masa atada al extremo
de un hilo inextensible constituye
el péndulo simple de la Fig. 2.
-
Ejemplo 3. El movimiento de una
barra suspendida de un punto lejos
de su Centro de Gravedad constitu-
ye el péndulo físico de la Fig.3.
A
A´
Figura 3
A´ A
O
Figura 2
Posición
extrema
Posición
extrema
Posición
extrema
Posición
extrema
4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 4. El movimiento de
rotación parcial de un disco
suspendido de un hilo o varilla
delgada de metal (péndulo de
torsión) Fig.4.
Ejemplo 5. El movimiento de los
puntos de una cuerda templada
respecto a la posición de equi-
librio, Fig.5.
Figura 5.
Figura 4
5. MOVIMIENTO OSCILATORIO
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Oscilación o vibración. Es el recorrido de ida y vuelta que realiza
el móvil oscilante pasando por las dos posiciones extremas.
Período ( T ). Es el tiempo que demora el móvil oscilante en
realizar una oscilación completa. Se mide en segundos.
Frecuencia ( f ). Es el el número de oscilaciones que realiza el
móvil oscilante en la unidad de tiempo. Se mide en Oscil/s,
Vibrac/s, Ciclos/s o Hertz: Hz .
La frecuencia y el período se relacionan en forma inversa.
f = 1 / T (1)
6. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Elongación (lineal o angular). Es el desplazamiento del móvil oscilante respecto
a la posición de equilibrio en cualquier instante.
Amplitud (lineal o angular). Es la máxima elongación lineal (xm =
± A) o máxima elongación angular (± m ) que se desplaza el
móvil oscilante a uno y otro lado de la posición de equilibrio.
Elongación
angular
(t)
O
m
B´ B
Figura 7.
O A
- A
X
Elongación
lineal
Figura 6.
x (t)
El desplazamiento lineal se representa por x(t), (Fig.6), se mide en
[m] y el desplazamiento angular por θ(t), (Fig.7), se mide en [rad].
7. MOVIMIENTO OSCILATORIO
2. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
El estudio dinámico del MAS se hace
utilizando un OSCILADOR ARMÓNICO
SIMPLE, consistente de una masa m
atada al extremo libre de un resorte de
constante elástica k como en la Fig.8
El MAS es el modelo más adecuado para el estudio y descripción
matemática de las diversas oscilaciones periódicas que existen
en la naturaleza.
Las oscilaciones se inician cuando el resorte es estirado o
comprimido una distancia x = ± A, mediante una fuerza externa F
aplicada sobre m.
Al cesar la fuerza externa F queda la fuerza recuperadora F´ del
resorte que mueve la masa hacia la posición de equilibrio x = 0.
Figura 8.
- A + A
o
m
k
-F´ F
8. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por la ley de Hooke, la fuerza deformadora F es directamente proporcional a la
deformación x
F = k x (2)
Y como la fuerza recuperadora
F´ es de igual módulo pero de
sentido opuesto a la fuerza
deformadora (Fig.9) entonces:
F´ = – k x (3)
La fuerza recuperadora acelera la masa hacia la posición de
equilibrio, incrementando su velocidad desde cero en x = ± A,
hasta alcanzar un valor máximo en la posición de equilibrio x = 0.
x
F
Según esta ecuación, la fuerza recuperadora es máxima en los
extremos (x = ± A) y es cero en la posición de equilibrio (x = 0)
Figura 9.
k m
o
F´
9. MOVIMIENTO OSCILATORIO
3. DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
La ecuación dinámica básica del MAS se obtiene aplicando las
leyes de Newton al Oscilador Armónico Simple (OAS).
F´ = m a = – k x
m = – k x
d2x
d t2
que puede escribirse en la forma:
Como ya indicamos, en el OAS, la fuerza recuperadora F´ = - k x
es la responsable del movimiento de la masa hacia la posición de
equilibrio. Entonces aplicando la segunda ley de Newton, a la
Fig.10, se tiene:
k m
x
F´
Figura 10
o
= – x
d2x
d t2 (4)
k
m
10. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la función matemática x(t) que satisface la ecuación diferencial del
MAS deben ser del tipo SENO ó COSENO, que en su forma más simple seria:
x = sen t, ó, x = cos t.
x = A sen (o t + ) x = A cos (o t + )
o
En el desarrollo de la presente unidad analizaremos el
Movimiento Armónico Simple (MAS) de una partícula a lo largo
de una recta como por ejemplo el eje X,X´, entre las posiciones
extremas A y (-A), como en la Fig.11.
Como demostraremos más adelante, estas funciones no cambian su
naturaleza oscilante si las escribimos en la forma:
(5)
x = A sen (o t + )
La posición x de la partícula en
función del tiempo t está definida
por la ecuación
Figura 11. MAS de una partícula sobre el eje X-X´
-A A
X
X´
11. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Donde: A , es la amplitud del MAS
(o t + ), es la fase del MAS y se expresa en [rad]
o , es la frecuencia angular del MAS y se mide en [rad/s]
, es la fase inicial del MAS y se mide en [rad]
La fase inicial es la cantidad que nos permite medir las osla-
ciones desde cualquier posición e instante iniciales en la trayec-
toria de la partícula.
La frecuencia angular se define como
o = 2 f =
2
T
(6)
xo = A sen (o (0) + )
Si en to = 0 la posición inicial de la partícula oscilante es xo, podemos usar
estos valores iniciales en la Ec.(5) y obtener:
xo = A sen
De donde la fase inicial es:
= sen-1(xo/A) (7)
12. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la fase inicial nos permite contar las oscilaciones desde una posición
diferente a las posiciones triviales: xo = 0 y xo = ± A.
También se demuestra que la solución es la combinación lineal:
x = A sen (o t + ) ± A cos (o t + )
VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN.
Verifiquemos que la función (5) efectivamente satisface la ecuación
diferencial del MAS, (4).
Derivando la función x(t) respecto al tiempo dos veces se tiene:
= o A cos (o t + )
d x
d t
= – (o)2 A sen (o t + )
d2 x
d t2
y
= – x
d2x
d t2
k
m
13. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Remplazando en la ecuación diferencial obtenemos:
– (o)2 A sen (o t + ) = – A sen (o t + )
k
m
Esta igualdad se cumple siempre que
(o)2 =
k
m
(8)
De donde la frecuencia angular del MAS de un Oscilador
Armónico simple es
(9)
o =
k
m
La frecuencia lineal es
(10)
f = =
o
2
1
2
k
m
El período es
(11)
T = = 2
2
o
m
k
14. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Es importante resaltar que, según estas ecuaciones en el MAS la frecuencia angular,
la frecuencia lineal y el período no dependen de la amplitud de las oscilaciones.
Usando la Ec.(8) podemos escribir la ecuación diferencial del
MAS en la forma
= - x
d2x
d t2
(o)2
(12)
Velocidad del MAS. La velocidad instantánea del MAS se define
como la derivada de la posición respecto al tiempo.
V = d x
d t
V = o A cos (o t + ) (13)
Esta forma de la ecuación dinámica del MAS nos será muy útil más
adelante cuando tengamos que definir la frecuencia angular de otros
sistemas oscilantes.
15. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima
velocidad del MAS
Vm = o A (14)
De la identidad trigonométrica : sen2 + cos2 = 1, obtenemos:
cos = 1 – sen2
Aplicando esta relación en la Ec.(12) de la velocidad se tiene:
v = o A2 – x2
V = o A 1 – sen2 (o t + ) = o A2 – A2 sen2 (o t + )
(15)
Según esta ecuación la velocidad depende de la posición del
móvil oscilante. Por lo tanto:
v = ± o A = ± vm
En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:
16. MOVIMIENTO OSCILATORIO
En x = ± A ( posición extrema) v = o A2 – A2 v = 0
v = 0
v = 0
-A +A
o
x
Figura 12.
En la Fig. 12 se muestran las posiciones donde la velocidad es
máxima y donde es cero.
- vm
+ vm
Aceleración del MAS. La aceleración instantánea del MAS se
define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
d v
d t
a =
a = – (o)2 A sen (o t + ) (16)
am = (o)2 A (17)
Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima
aceleración del MAS
17. MOVIMIENTO OSCILATORIO
x = A sen (o t + )
Estos resultados nos indican que la aceleración del MAS es cero en la
posición de equilibrio y es máxima en las posiciones extremas.
En la Ec.(15) podemos usar la función
En esta ecuación, el signo menos ( - ) indica que la aceleración
siempre es opuesta al desplazamiento y depende de éste.
En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:
a = – ( o )2 (0) = 0
En x = ± A ( posición extrema)
a = – ( o )2 A
a = – ( o )2 x (18)
y entonces:
18. MOVIMIENTO OSCILATORIO
a = 0
–A +A
o
x
Figura 13.
En la Fig. 13 se muestra las posiciones donde la aceleración es
cero y es máxima.
+am – am
Es importante resaltar que, los vectores desplazamiento x(t) velocidad v(t)
y aceleración a(t) pueden graficarse en el mismo instante a fin de saber
que dirección tienen y como se mueve la partícula oscilante(Fig. 14).
-A
+A
o
x
v
– a
Figura 14. Para esta partícula que se mueve hacia
el extremo +A, los vectores posición x(t) y velocidad
v(t) tienen la misma dirección pero son opuestos al
vector aceleración a(t)
19. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 8. El oscilador armónico de la Fig. 15 consiste de una masa de 1.6
[kg] y un resorte de constante elástica 3.2x103 [N/m]. La masa es
separada de su posición de equilibrio una distancia xo = 9 [cm] y luego es
dejada libre para que oscile sobre una su- perficie sin fricción. Hallar: a) la
ecuación que permita calcular la posición de la masa en cualquier instante,
b) el período, c) la fre-cuencia en [osc/s]. Luego en t = 0.1 [s] calcular, d) la
posición, e) la velocidad.
Datos:
m = 1.6 [kg], k = 3.2x103
[N/m], xo = 0.09 [m] que
es la posición inicial y a
su vez la amplitud del
MAS, A = 0.09 [m].
m
k
xo = A
F
Figura 15.
20. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Solución:
a) La ecuación de la posición es: x = A sen (o t + )
o =
k
m
Donde la frecuencia angular se obtiene de
=
o = 44.7 [rad/s]
y usando las condiciones iniciales t = 0, x0 = 0.09 [m] en la
ecuación de la posición se tiene:
0.09 = 0.09 sen [44.7(0) + ]]
Sen = 1 = /2 [rad]
Finalmente:
x = 0.09 sen (44.7 t + /2 ) [m] ó x = 0.09 cos (44.7 t ) [m]
21. MOVIMIENTO OSCILATORIO
b) El período se obtiene con
T = =
2
o
2
44.7 T = 0.14 [s]
c) La frecuencia es
f = =
1
T
1
0.14
f = 7.14 [osci/s]
Ahora en t = 0.1 [s]
d) La posición lo calculamos con la ecuación obtenida en (a)
x = 0.09 cos [44.7 (0.1)]
x = - 0.022 [m]
e) La velocidad se obtiene con
v = dx/dt = - 4.023 sen (44.7 t) [m/s]
22. MOVIMIENTO OSCILATORIO
4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Considerando que el oscilador armónico es un sistema
conservativo la energía mecánica total es constante y esta dada
por la suma de la energía la energía cinética y la energía
potencial.
E = Ek + Ep = constante (19)
Donde la Energía Cinética del MAS es
ó Ek = ½ m (o)2 (A2 – x2) = ½ k (A2 – x2) (21)
Ek = ½ m v2 = ½ m (o)2 A2 cos2 (ot + ) (20)
y la Energía Potencial del MAS es
Ep = ½ k x2 = ½ m (o)2 A2 sen2 (ot + ) (22)
(23)
Ep = ½ m (o)2 x2
ó
23. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto la energía mecánica total se puede expresar en la
forma
E = ½ k (A2 – x2 ) + ½ k x2
Esto significa que durante una oscilación la partícula intercambia
continuamente energía cinética y energía potencial, de forma tal que la
suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante, tal como se
ilustra en las Fig.16 y Fig.17.
E = ½ k A2 = ½ m (o)2 A2 = constante (24)
E = Ek + Ep = constante
E k
E p
x
Ep(t)
Ek(t)
E
X
+A
- A
Figura 16.
E
½ k A2
t
Figura 17.
T/2 T
24. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 10. Una partícula de masa 90 [g] oscila con MAS de
frecuencia 4 [vib/s] y amplitud 10.0 [cm]. En t = 0, la partícula está
en x = 4.0 [cm]. Calcular en t = 15.2 [s]: a) la posición, b) la
velocidad, c) la aceleración, d) la energía potencial, e) la energía
cinética y f) la energía total de la masa oscilante.
Datos: m = 0.090 [kg], f = 4 [vib/s], A = 0.10 [m] y las condiciones iniciales
son en t = 0, x = 0.04 [m].
Solución:
a) La posición está definida por: x = A sen (o t + α)
) Donde: o = 2f = 2(4) o = 8 [rad/s]
Reemplazando en la ecuación de la posición los datos
calculados y las condiciones iníciales se tiene
0.04 = 0.10 sen [8(0) + ]
sen = 0.40 = 0.412 [rad]
25. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la ecuación de la posición completamente
definida es
x = 0.10 sen (8 t + 0.412) [m]
Ahora en t = 15.2 [s]
x = 0.10 sen[8 (15.2) + 0.412] x = - 0.075 [m] = - 7.5 [cm]
b) La velocidad esta definida por: v = dx/dt
v = 0.80 cos (8 t + 0.412) ] [m/s]]
En t = 15.2 [s]
v = 0.80 cos[8 (15.2) + 0.412] v = 1.67 [m/s]
c) La aceleración está definida por: a = d2x/dt2
a = - 6.40 2 sen (8 t + 0.412) [m/s2]
En t = 15.2 [s]
a = 47.23 [m/s2]
a = - 6.40 2 sen [8 (15.2) + 0.412]
26. MOVIMIENTO OSCILATORIO
d) La energía potencial está definida por: Ep = ½ m (o)2 x2
Según (a), en t = 15.2 [s], x = - 0.075 [m], entonces
Ep = ½ (0.090)(8)2(- 0.075)2 Ep = 0.16 [J]
e) La energía cinética está definida por: Ek = ½ mv2
Según (b), en t = 15.2 [s], v = 1.67 [m/s], entonces
Ek = ½ (0.090)(1.67)2
Ek = 0.13 [J]
f) La energía total está definida por: E = Ep + Ek
E = 0.16 + 0.13 = 0.29 [J]
Entonces