Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Rotación Sistema Masa-Resorte Péndulo Simple y Oscilaciones Hidrostática

1. Movimiento Armónico Simple
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy
importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la
naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.
Definición
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se
mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t
por la ecuación
Donde
 A es la amplitud.
 la frecuencia angular o pulsación.
 la fase.
 o o la fase inicial.

2. Características de un M.A.S. son:
 Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -
A.
 La función seno es periódica y se
movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se
T tal que
.
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la
velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la
expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada
por la ecuación
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del
móvil
a = - 2 - 2x
Condiciones iniciales
Conociendo la pulsación , la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el
instante t=0).
x0=A·sen
v0 cos

3. Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ
Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza
necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es
proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
F = m a = - 2 x
En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento
armónico simple es una fuerza del tipo:
F = -K x
Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la
elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de
elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está
relacionada con la pulsación:
2
Teniendo en cuenta que podemos deducir el periodo del
movimiento armónico simple:
Como se origina un m.a.s.
Siempre que sobre una partícula,
desplazada una longitud x de su
posición de equilibrio, actúe una
fuerza que es proporcional al
desplazamiento x, y de sentido
contrario a éste, tal como se
muestra en el ejemplo de la figura

4. Energía de un M.A.S.
En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y
viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en
el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la
energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su
energía potencial más su energía cinética.
Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía
mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la
partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento
armónico es producido por una fuerza conservativa).
Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética
Ec = 1/2 m v2
Y el valor de la velocidad del m.a.s.
v = dx / dt = A cos ( t + o)
Sustituyendo obtenemos
Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 2cos2 ( t + o)
Ec = 1/2 k A2 cos 2( t + o)
A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2 + cos2 = 1
Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2( t + o)]
Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2( t + o)]
De donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda
Ec = 1/2 k [ A2 - x2]
Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando
la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor
mínimo en el extremo de la trayectoria.

5. La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario
para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de
elongación y.
Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la
expresión
Ep = 1/2 k x2
Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial
más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una
partícula que describe un m.a.s. será:
Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2
E = 1/2 k A2
En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento,
por ello su amplitud permanece también constante.
Descripción del M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular
uniforme.
En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico
Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.
En la figura, se observa la interpretación
de un M.A.S. como proyección sobre el eje
X, del extremo de un vector rotatorio de
longitud igual a la amplitud A, que gira
con velocidad angular igual a la
frecuencia angular del M.A.S, en el sentido
contrario a las agujas del reloj. Dicha
proyección vale

6. El ángulo que forma el vector rotatorio con el eje de las X se
denomina fase del movimiento. El ángulo que forma en el instante t=0, se
denomina fase inicial.
Trabajo de rotación
El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando ésta describe
circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girado se le
representa con la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de
rotación o velocidad angular se representa con ω y se mide en
radianes/segundo.
La relación entre las magnitudes
angulares y las del movimiento lineal son
sencillas si recordamos la expresión de la
longitud de la circunferencia (l = 2 · π · r)
distancia = ángulo · radio
d = θ · r
v = ω · r
Con estas expresiones, la energía cinética de rotación de una partícula se
expresa como:
Cuando se trata de un sólido con
muchas partículas, la energía de
rotación del sólido es la suma de todas
las energías de cada una de las
partículas o trozos que lo componen:

7. La expresión Σ(mi·ri²) se denomina momento de inercia, y de forma análoga
a la masa (o masa de inercia), mide la dificultad que tiene un objeto a
ponerse en movimiento de rotación respecto a un eje de giro. Pulsando aquí
hay algunos momentos de inercia básicos.
Con ésto, la energía de rotación viene dada por la siguiente expresión:
Al igual que una fuerza realiza trabajo cuando produce un desplazamiento,
en la mecánica de rotación se realiza un trabajo cuando se produce un giro
por efecto de una fuerza.
El trabajo de la fuerza F viene dado por
la expresión: W = F · d
y, como la distancia recorrida es: d = θ ·
r
Se obtiene como trabajo de rotación:
W = F · θ · r
Y, por fin, al producto de la fuerza por la distancia del punto de aplicación de
ésta al eje de giro mide la capacidad de producir un giro de esa fuerza, y se
denomina par o momento de la fuerza, con lo cual, la expresión del trabajo
de rotación queda como:
y la potencia de rotación es la velocidad con que se produce un trabajo de

8. rotación, ésto es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:
Con todo ésto, la equivalencia entre magnitudes del movimiento lineal y del
movimiento de rotación es la siguiente:
Movimiento lineal Movimiento giratorio Relación
Desplazamiento Distancia (d) Ángulo (θ) d = θ · r
Velocidad Velocidad lineal (v) Velocidad angular (ω) v = ω · r
Inercia Masa (m)
Momento de inercia
(I)
Causa del
movimiento
Fuerza (F)
Par o Momento (M o
C)
M = F · r
Energía
Energía cinética (EC
= 1/2·m·v²)
Energía de rotación
(EROT=1/2·I·ω²)
Trabajo
Trabajo de una
fuerza (W = F·d )
Trabajo de un
momento (W = M·θ)
Potencia
Velocidad de
desplazar una
fuerza (P = F·v)
Velocidad de girar un
momento (P = M·ω)

9. SISTEMA MASA-RESORTE
Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-
resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se
halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento
sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud
normal, en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se
deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada
“deformación”. : Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que
es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La
fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada
(si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora
elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a:

10. En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de
equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo
dibujo), hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo
empezará a moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de
equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica
que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición
de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este
caso la deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La
fuerza será máxima pero positiva, tratando de volver al cuerpo a su
posición de equilibrio.
A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante
(recuperadora) con la aceleración a(t).

12. Pendulo simple

14. Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile
libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el
nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando
pulsamos la cuerda de una guitarra.
FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases
de ataque y caída
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en
oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza
existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que
es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la
consecuente transformación de determinadas cantidades de energía
en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema
oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga.
Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

15. FIGURA 02: Oscilación amortiguada
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el
tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más
pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el
péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su
posición de reposo.
La representación matemática es , donde
es el coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud
es también una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo),
mientras que a y son constantes que dependen de las condiciones
de inicio del movimiento.
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de
propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del
sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el
proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy
grande.)
Oscilación autosostenida
Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo
la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama
una oscilación auto sostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en
un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos
sostenidamente una flauta.

16. FIGURA 03: Oscilación auto sostenida. La envolvente dinámica
presenta una fase casi estacionaria (FCE), además de las fases de
ataque y caída
La acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido
a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria.
Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario,
como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en
condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que
se introduce al sistema sea exactamente igual a la que se pierde
producto de la amortiguación. En consecuencia, la amplitud durante
la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre
pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra
habilidad para compensar la energía perdida.
Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la
que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con
amortiguación menor, cuyas características dependen de la relación
existente entre la energía perdida y la que se continúa
introduciendo. También en este caso el sistema termina por
detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos
decrescendo.)
Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor
que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la
oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la
energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo
llamaríamos crescendo.)

17. Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y
de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema
oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que
el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su
frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del
sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto
es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos
que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza
periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La
generación de una oscilación forzada dependerá de las
características de amortiguación del sistema generador y de las del
resonador, en particular su relación.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA
Habrás oído muchas veces que la presión puede matar a un submarinista o
romper un submarino, pero ¿por qué ocurre esto? Cuando un cuerpo se
encuentra en el interior de un fluido (sea este líquido o gas) experimenta
fuerzas en toda su superficie, estas fuerzas son siempre perpendiculares a la
superficie del cuerpo. Como sobre el cuerpo sumergido actúa una fuerza por
superficie entonces está actuando una presión.
Esto lo puedes comprobar muy fácilmente si haces un agujero en una botella
de plástico llena de agua, observarás que el chorro sale perpendicular a la
superficie donde hiciste el agujero.

18. La presión en el interior de un fluido se denomina presión hidrostática y
depende de la densidad del fluido y de la profundidad a la que estemos, esto
se conoce como principio fundamental de la hidrostática y matemáticamente
se expresa mediante la ecuación:
Esta expresión es muy importante pues permite calcular la presión dentro
de un fluido si sabemos la densidad de éste (d) y la profundidad (h), la
profundidad debe ir en unidades del sistema internacional, es decir, en
metros y la densidad debe ir obligatoriamente en kg/m3, es frecuente que te
den la densidad en otras unidades típicas como g/mL, g/L, g/cm3 en estos
casos antes de nada debes pasarla a kg/m3, la presión se obtendrá, por tanto,
en unidades del S.I. (Pascales).
Como puedes observar la presión dentro de un mismo fluido sólo depende
de la profundidad y no de la forma ni tamaño del recipiente y entonces
habrá la misma presión a un metro de profundidad en un río que a un metro
de profundidad en un "vaso" de un metro lleno de agua aunque parezca
extraño.

19. LEY DE PASCAL
Aunque los dos sean fluidos hay una diferencia importante entre los gases y
los líquidos, mientras que los líquidos no se pueden comprimir en los gases
sí es posible. Esto lo puedes comprobar fácilmente con una jeringuilla,
llénala de aire, empuja el émbolo y verás cómo se comprime el aire que está
en su interior, a continuación llénala de agua (sin que quede ninguna
burbuja de aire) observarás que por mucho esfuerzo que hagas no hay
manera de mover
en émbolo, los
líquidos son
incompresibles.
Esta incompresibilidad de los líquidos tiene como consecuencia el principio
de Pascal (s. XVII), que dice que si se hace presión en un punto de una
masa de líquido esta presión se transmite a toda la masa del líquido.
Como puedes ver en esta experiencia si se hace presión con la jeringuilla en
un punto del líquido que contiene la esfera, esta presión se transmite y hace
salir el líquido a presión por todos los orificios.

20. La aplicación mas importante de este principio es la prensa hidráulica, ésta
consta de dos émbolos de diferente superficie unidos mediante un líquido,
de tal manera que toda presión aplicada en uno de ellos será transmitida al
otro. Se utiliza para obtener grandes fuerzas en el émbolo mayor al hacer
fuerzas pequeñas en el menor.
La presión ejercida en el émbolo 1 se transmitirá al émbolo 2, así pues p1 =
p2 y por tanto
𝑓1
𝑠
=
𝑓2
𝑠
que constituye la fórmula de la prensa hidráulica, siendo F y S fuerza y
superficie respectivamente. Como S2 es grande, la fuerza obtenida en ese
émbolo F2 también lo será.
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Por experiencia sabemos que los cuerpos pesan menos cuando están
sumergidos en un líquido, esto se debe a que el fluido (con los gases también
ocurre) ejerce sobre el cuerpo una fuerza hacia arriba que llamamos empuje,
esta fuerza hacia arriba.
Sobre la cara inferior actúa más presión que en la superior, por estar a
mayor profundidad y, por tanto, la fuerza F2 es mayor que la F1, las dos
fuerzas laterales serán iguales y se anulan una con la otra, así pues sobre el
cuerpo sumergido actúa una fuerza hidrostática resultante hacia arriba, el
empuje (E).

21. Arquímedes (s. III a.C.) fue el primero en darse cuenta de este empuje y
además calculó a cuánto equivalía éste, el principio de Arquímedes dice
que cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido
experimenta una fuerza hacia arriba, llamada empuje, igual al peso del
fluido que ha desalojado.
Calculemos el peso del fluido desalojado, éste será igual a la masa desalojada
multiplicada por la aceleración de la gravedad y a su vez esta masa será igual
al volumen de fluido desalojado (volumen del cuerpo que está sumergido)
por la densidad de éste:
E = Peso desalojado = m des· g = d fluido · V sumergido · g
Esta expresión permite calcular el empuje que sufre un cuerpo sumergido en
un fluido, la densidad del fluido (dF) debe estar en unidades del S.I. (kg/m3),
el volumen sumergido en m3 y el empuje como es una fuerza saldrá en
Newtons.
Sobre un cuerpo sumergido tenemos actuando por tanto dos fuerzas, una es
el empuje como acabamos de ver y la otra, lógicamente, es el peso del propio
cuerpo. Si se introduce un cuerpo en el interior de un fluido puede ocurrir
que el peso sea mayor que el empuje y entonces el cuerpo se irá al fondo (la
resta de peso menos empuje se denomina "peso aparente"), o bien el empuje
será mayor que el peso y entonces flotará y emergerá en parte hasta que el
empuje disminuya hasta igualar el peso y se quede en equilibrio a flote.

22. LEYES APLICADAS A LOS GASES
Hasta ahora hemos hablado de fluidos en general, pero en el caso de los
gases hay que hacer alguna apreciación debido a su compresibilidad, veamos
qué cambia de lo dicho hasta ahora en caso de aplicarlo a gases.
Principio fundamental de la hidrostática: Sigue siendo cierto que la presión
aumenta con la profundidad pero la expresión que nos permite calcular ésta
( p = d · g · h) sólo sirve en caso de que la densidad del fluido sea constante,
en el caso de líquidos no hay problema pues su densidad es constante pero
los gases son compresibles y por ejemplo en el caso de la atmósfera la
densidad cambia mucho con la altitud. Cuanto mas cerca del suelo más
densidad ya que más comprimido está, por tanto no tenemos manera de
calcular la presión mediante este principio.
Ley de Pascal: Sigue siendo válida pero hay que tener en cuenta que no toda
la presión aplicada se transmitirá por completo a toda la masa de gas, sino
sólo parte ya que el gas se comprime. Esto hace que no se puedan usar gases
para construir prensas hidráulicas.
Principio de Arquímedes: Sigue siendo aplicable tal y como hicimos en los
líquidos, aunque los empujes que sufren los cuerpos sumergidos en gases
son muy pequeños debido a la baja densidad de éstos.