Este documento describe conceptos fundamentales de movimientos oscilatorios como masa-resorte, péndulos y oscilaciones forzadas y amortiguadas. Explica que cuando un sistema se separa de su posición de equilibrio, tiende a regresar a ella debido a una fuerza restauradora, lo que causa un movimiento periódico alrededor de dicha posición. También cubre temas como la fuerza restauradora, la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple, la superposición de oscilaciones, y que la amplitud máxim

1. Temas
Física II
Edwin Santiago Laguna Murillo
Codigo:14 Grado:11.01
Jornada Mañana
Francisco Góngora Tafur
Ins. Edu. Tecnica Alberto Santofimio Caicedo
Universidad Del Tolima
2017

2. FÍSICA II
En estaunidadnos ocuparemosprincipalmente de movimientosperiódicosmasa-resorte,
péndulos,de superposiciónde oscilaciones,de oscilacionesforzadasyamortiguadas.Cuando
un sistemase separade su posiciónde equilibrioestable,el sistematiende a regresara esa
posicióndebidoalaacciónde unafuerzarecuperadora,yllegaa esaposiciónoriginal con
ciertavelocidad(yporconsiguienteciertaenergíacinética) lacual hace que el sistema
sobrepase dichaposición.Comoestafuerzaactúasiempre hacialaposiciónde equilibrio,hay
un movimientoalrededorde estaposición,se dice que se tratade una vibraciónlibre,ycomo
se repite unay otra vez,se llamamovimientoperiódico.Cuandose tieneencuentael
rozamiento,suamplituddisminuye hastaque cesael movimiento,yse llamamovimientou
oscilaciónamortiguada.Si al movimientooscilatoriole aplicamosunafuerzaperiódica,se dice
que se tiene unaoscilaciónforzada.El movimientoperiódicoesdescritoporunaecuación
diferencialde segundo ordenycomolasoluciónde laecuaciónresultante contiene funciones
senosy cosenos,aestosmovimientosse lesllamaarmónicos.
Los conceptosque facilitanel aprendizajede estaUnidadson:laaceleraciónque esel más
general de lacinemática,lavelocidad,laposiciónyademáslosmodelosde partículas,el de
partícula libre yel de partícula uniformementeacelerada.Estassontemáticasque se han
trabajadoencursos anteriores,yporlo tanto,se debentenerpresentes,puesel conceptode
MÁS esaprendidosignificativamente si el estudiante haadquiridopreviamentelossignificados
de losconceptosanteriores.
Si es el vectorposiciónde unapartícula con respectoaun origende coordenadas,la
aceleraciónestádefinidacomo
La velocidad ,estádadapor
Y por consiguiente,
Un procesode integraciónde lasanterioresexpresionesnospermite obtenerlavelocidadyla
posiciónde lapartícula enfuncióndel tiempo.
El modelode partículalibre se refiere aobjetosfísicossobre loscualesnoactúaningunafuerza
o la fuerzanetaescero,

3. Lo que significaque el movimientoesenlínearectacon velocidadconstante ose tiene un
estadode reposo.
El modelode partículauniformementeaceleradose refiere aobjetosfísicossujetosauna
fuerzaconstante
= constante
Y por lo tanto moviéndose conaceleraciónconstante enunatrayectorialineal oparabólica.
El modeloque se estudiaráaquíseráel de una partícula oscilandoarmónicamente yse refiere
a objetosfísicossometidosauna fuerzanetaque esproporcional asu desplazamiento:
En las figuras (1.1a), (1.1b),(1.1c), se tienen varias situaciones típicas ilustrativas de
Movimientos Armónicos Simples:
a. Un péndulo simple
b. Un péndulo compuesto o físico
c. Una masa m unida a un resorte
Figura (1.1a)
Péndulo Simple: En este caso se tiene una partícula de masa m suspendida de una cuerda inextensible.
Cuando se le aleja de su posición de equilibrio y se suelta, la partícula oscila alrededor de esta posición
debido a la acción de una fuerza restauradora.
La fuerza restauradora la proporciona la fuerza tangencial, θ
Figura (1.1b)
Péndulo compuesto: En esta situación, se
tiene un cuerpo rígido suspendido de un eje
que oscila alrededor de la posición de
equilibrio debido a la acción de un torque
restaurador.
El torque restaurador está dado por:

4. Figura (1.1c)
Masa m unida a un resorte: Aquí se presenta
una masa unida a un resorte que se mueve
en una superficie horizontal sin fricción
también debido a la acción de una fuerza
restauradora, dada por la ley de Hooke, F=-
kx.
Estos movimientos bajo ciertas condiciones iniciales, son periódicos (se repiten después de cierto tiempo)
y las masas oscilan alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza o a un torque
restauradores (son proporcionales al desplazamiento longitudinal o angular, , y siempre
están dirigidos hacia la posición de equilibrio.
Parámetros característicos
En un MÁS, cualquier punto de su trayectoria se repite en un ciclo completo del movimiento.
Por eso su descripción matemática es una función armónica de la forma:
Donde,
X: es la elongación y alejamiento, en cualquier instante, desde la posición de equilibrio.
A : es la amplitud o el valor de la máxima elongación,
: es la frecuencia angular del movimiento, es decir, nos dice cuántas veces por segundo se
repite el ángulo , y está relacionada con la frecuencia f por ,
: es La fase inicial del movimiento. Nos dice donde estaba el oscilador en t =0, es decir,
cuando el observador lo mira por primera vez.
CÓMO ENTENDER LA FASE INICIAL
El parámetro α, indica en forma angular, el punto del ciclo en que se inicia el MÁS. A
continuación se ilustran los valores que toma el parámetro en la
expresión para diferentes posiciones iniciales (t=0) de un oscilador,
estudiado por el mismo observador o por observadores diferentes.

5. Figura (1.2a)
Note que en ésta figura para t=0, la posición del oscilador contemplada por el observador es
Por lo tanto, , y
Figura (1.2b)
En ésta figura, para t =0, la posición del oscilador es
Por lo tanto, , y
Figura (1.2c)
En ésta, para t=0, x =-A.
Es decir,
Por lo tanto , y
Figura (1.2d)
Aquí, en t=0, el oscilador se encuentra en X = A/2.
Entonces,
. Por lo tanto , y,
La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m para que oscila con MAS es,
, (1.2)
y por consiguiente, la ecuación que describe su movimiento es:
, (1.3)
,
o sea,

6. (1.4)
Esta es la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple en una dimensión donde se
define la frecuencia angular w como:
(1.5)
La cual se puede deducir a partir de la solución de la ecuación. Como la frecuencia angular se
expresa como , el período de un oscilador será
Figura (1.3) Ilustración de una fuerza
restauradora.
La fuerza F= -kX es una fuerza restauradora
(es proporcional al desplazamiento y siempre
está dirigida hacia la posición de equilibrio),
como se ilustra en las figuras.
Como la fuerza es conservativa, la energía cinética (Ek) más la energía potencial (Ep), es una constante
(Ek+Ep=Constante). Lo anterior quiere decir que en un ciclo completo del movimiento la energía cinética
se transforma en energía potencial y viceversa. En las siguientes figuras, se ilustran distintas posiciones
de un oscilador y los correspondientes valores de la energía cinética y potencial.
En general,
(1.7)
y para dos puntos cualesquiera, P1 y P2 de abscisas X1 y X2,
Figura (1.5)

7. En la figura se presentan las gráficas de las energías Ek y Ep en función del desplazamiento, para un
período. Como se observa, la energía potencial Ep es una parábola centrada en X=0, y la suma Ek mas
Ep, es una recta constante e igual a .
La superposición de Movimiento armónico simple se puede entender mejor al estudiar su
relación con el Movimiento circular uniforme (MCU).
De acuerdo con la ecuación
Podemos definir un MAS como la proyección de un Movimiento Circular Uniforme
(MCU)sobre un eje. En la primera figura (1.6a) se tiene un vector rotante de magnitud A,
que gira con velocidad angular w (describe un MCU) igual a la frecuencia angular del MAS, y
donde las proyecciones x se han tomado sobre el eje vertical.
Fig.1.6a Fig.1.6b
Observe como la posición inicial, X0, ocurre para una fase inicial , y que cualquier otra
posición, X, se presenta para una fase diferente, ( ). En la figura (1.7) se ilustra la
relación entre el MAS y el MCU para un sistema bloque-resorte, a la vez que se presenta la
curva desplazamiento versus tiempo en un episodio, con las condiciones iniciales, t = 0, X0 =
0, = 0 , y t =0 , X0 0, 0. Note como el movimiento de la masa m, corresponde a la
proyección sobre el eje vertical (tomado como X) del vector rotante A.
Figura (1.7)
La velocidad y la aceleración también pueden considerarse como proyecciones de vectores

8. rotantes, estando la velocidad en el MÁS determinada por otro vector , 90º adelante del
vector , y la aceleración por el vector , 90º adelante del vector y 180º adelante del
vector .( En la figura (1.8) se puede observar los vectores rotantes los cuales giran a un
ritmo ). El desplazamiento y la velocidad representan oscilaciones con una diferencia de fase
de 90º. Esto quiere decir que cuando la velocidad toma valores máximos, , el
desplazamiento es cero y cuando el desplazamiento toma sus valores máximos , la velocidad
es cero. Entre la velocidad y la aceleración existe una diferencia de fase de 90º, ocurriendo lo
mismo que en el caso anterior. Entre la aceleración y el desplazamiento se presenta una
diferencia de fase de 180º. Esto quiere decir que son oscilaciones en oposición, es decir, cuando
el desplazamiento es máximo positivo (+ ), la aceleración es máxima negativa (- ) y
viceversa.
Figura (1.8)
Usaremos esta relación entre el MCU y el MÁS, para estudiar la superposición de dos MÁS en los
casos siguientes.
PRIMERO: DOS MÁS CON IGUAL DIRECCIÓN E IGUAL FRECUENCIA
En forma general podemos suponer estos dos movimientos dados por
Y

9. En la figura (1.9) se muestra la relación de estos dos movimientos armónicos con el MCU.
figura (1.9)
Se observa que el vector rotante A describe un MCU de frecuencia , es decir, X, que es la
proyección de A, es otro MÁS. Podemos entonces escribir para X,
y por propiedades geométricas se puede demostrar que ,
Por consiguiente,
y por propiedades trigonométricas,
Sacando factor común e igualando términos correspondientes nos da que,

10. e igualando los coeficientes de y resulta que,
(1.9)
(1.10)
Dividiendo la ecuación (1.10), por la (1.9), obtenemos
(1.11)
y utilizando la regla del coseno, figura (1.10),
Figura (1.10)
se llega a
con,
A continuación se presentan ejemplos de superposición de Movimientos Armónicos Simples
obtenidos con la ayuda del programa Simulink, que permite hacer simulaciones gráficas en la
plataforma Matlab. Esta plataforma se estudia en los niveles superiores de los programas de

11. ingeniería y física.
En la figura (1.11), se describe un programa que suma dos MÁS, generados por los bloques Sine
Wave .Los dos movimientos MÁS tienen igual dirección, x, e igual frecuencia, w. Observe que se
tiene una diferencia de fase de 90 grados entre los dos movimientos, por lo que en t=0, un
movimiento inicia con amplitud A=0 y el otro con amplitud A=1. Con la ayuda del bloque Scope 1
se puede visualizar tanto el resultado de la operación suma así como las señales individuales,
resultas que se observan en la gráfica de la figura (1.12).
Figura (1.11)
Ejemplo ilustrativo de superposición de dos MÁS, de igual dirección e igual frecuencia
Figura (1.12)

12. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y DISTINTA FRECUENCIA.
En este caso como el vector rotante A no tiene magnitud constante, y el movimiento
resultante no es MÁS.
La amplitud del movimiento es
(1.12)
Su valor máximo es A1+A2, y su valor mínimo es | A1-A2|. en este caso su amplitud es
modulada.
SUPERPOSICIÓN DE DOS MÁS DE DIRECCIONES PERPENDICULARES.
En este caso los resultados dependen de la diferencia de fase y de las frecuencias. Pueden
ser movimientos de la forma
Y
Donde las amplitudes son AX y AY, las frecuencias angulares y , y es la diferencia de
fase entre ambas. En general se obtienen las figuras de Lissajous, y se ilustra un caso figuras
(1.13) y figura (1.14) con sus respectivos programas (cuando las relaciones de frecuencias es
). El estudiante puede obtener la figuras con sus respectivos programas cuando las
relaciones de frecuencias son y respectivamente.
Figura (1.13)
Ejemplo ilustrativo de superposición de dos MÁS

13. OSCILACIONESFORZADAS.RESONANCIA Unosciladoramortiguadoalcanzaráfinalmente estadode
reposo,a menosque le proporcionamosunaenergíaconunafuerzaexterna.Si ademásde lafuerza
restauradora– ��, y lafuerzaamortiguadora−λ dx dt, le aplicamosal osciladorarmónico
amortiguadounafuerza, �� = �0����0 , que varía periódicamenteconunafrecuenciaangular�0
, el movimientoresultante se llamaoscilaciónforzada.Eneste casolaecuacióndiferencial del
movimientoes �= � � 2� ��2 = −�� − λ dx dt + �0����0 , donde �0 es el máximovalorde la
fuerzaexternaaplicadalacual oscilacon unafrecuenciaangular �0 . Existentécnicaspararesolverla
anteriorecuaciónyal hacerlose encuentraque laamplitud �de la oscilaciónforzadadepende de la
frecuenciaexterna�0y estádada por � = �0 � (�0 2 − �2) 2 + 4� 2�0 2 Una gráfica cualitativade �
enfunciónde �0 , figura(1.18), nos muestraque se presentaunaamplitudmáximacuandola
frecuenciaangular�0de lafuerzaaplicadaescercana a lafrecuencianatural �,esdecir�0 ≈ �, y se
dice que hay resonancia
Problemas
Un resorte de constante elástica k se suspende verticalmente y se estira una longitud y 0,
cuando una masa m se cuelga de él. La masa se desplaza una distancia adicional y, y se
suelta.
a. Demostrar que la masa realiza un MAS
b. Para una masa de 0.32kg. El resorte se estira 0.1m. Si después se desplaza hacia abajo
otros 0.05m, hallar, la constante elástica del resorte, la amplitud, el periodo y la frecuencia.
c. Escribir las expresiones de la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo

14. y de la velocidad y la aceleración en términos del desplazamiento.
SOLUCIÓN
La figura ilustra las posiciones del resorte para cada una de las situaciones.
Los diagramas de cuerpo libre nos dan:
Se obtiene entonces que
Que es la ecuaciónde un MÁS.
b)del diagrama de cuerpo libre (2) se obtiene que,
c) Para t = 0,
Entonces,

15. Un objeto de masa m se mueve sin fricción sobre un plano inclinado con un ángulo respecto
a la horizontal y bajo la influencia de un resorte.
Cuando el resorte está en equilibrio se halla estirado x1. A continuación la masa es
desplazada hacia abajo una distancia x2 y se le da una velocidad inicial v0 hacia la posición
de equilibrio. Halle la amplitud, la frecuencia y la fase inicial del movimiento.
SOLUCIÓN
En la figura inferior se muestran las tres situaciones correspondientes al resorte sin masa,
con masa y estirado una distancia x1, y finalmente desplazado una distancia x2.
Cuando el resorte se alarga x, y se impulsa, no estará en equilibrio. En este caso,
La amplitud se puede obtener por conservación de la energía:

16. El valor de la fase inicial se obtiene de x y v para t=0, lo que nos da
Problema 3
Una partícula de 2 Kg. Oscilaa lolargo del eje x segúnlaecuación
,
endonde x se mide enmetrosyt ensegundos,
a) ¿Cuál esla fuerzaque actúa sobre la partículapara t= 1 s.?
b) ¿Cuál esla energíacinéticaparat = 0.5 s?
c) ¿Cuál esla energíapotencial parat = 1.0 s?
d) ¿Cuánto vale lafuerzamáximaque se ejerce sobre lapartícula?
Ayudaspara solución
a) La ecuacióndel movimientoes
,
la fuerzaestádada por
,
y con el valorde x para t =0.5 s.,
y,

17. y
,
la fuerzase obtendráde
b) La energíacinéticapara t = 0.5s. se obtiene de
,esdecir,
c)
d) Como,