El documento describe los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple, incluyendo sus elementos como periodo, frecuencia y amplitud, así como las ecuaciones que describen su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También explica la ley de Hooke, el periodo de oscilación, y los conceptos de energía cinética y potencial asociados con este tipo de movimiento.

1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Lic. Fis. Carlos Lévano Huamacto FISICA I

2. - Introducción -La proyección de un movimiento armónico simple -Elementos del Movimiento Armónico Simple -Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple -Ley de Hooke -Periodo de Oscilación -Energía del Oscilador CONTENIDOS TEMÁTICOS

3. INTRODUCCIÓN Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo. Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.

4. Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto del espacio siempre con las mismas características de posición velocidad y aceleración.

5. LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR SOBRE UN EJE RADIO VECTOR Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar sobre el eje Y.

6. ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa. Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones f = 1/T completas efectuadas en la unidad de tiempo. Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio. Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación. Frecuencia angular(  ):  = 2  ƒ

7. Movimiento Armónico Simple

8. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS ω t +  :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN   : es la fase inicial (t = 0) x = A cos(  t +  ) x = A sin(  t +  )

9. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS Si x = A sin ω t v = dx/dt = A ω cos ωt a = dv/dt= -A ω 2 sin ωt a = -  2 x

10. Para x>0 , F =-k x Para x<0 , F =k x LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico. La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación. F m = -k x

11. Periodo de las Oscilaciones Tomando a= -    x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y PERIODO son respectivamente:  El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones. En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle: F m = m a - k x = m a T = 2  m / k

12. Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento. ENERGIA CINETICA Ec = 1/2 mv 2 Ec = 1/2 k (A 2 –x 2 )

13. La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido. FUERZAS CONSERVATIVAS

14. Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema. En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica ; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía. ENERGIA POTENCIAL E p elástica = ½ K x 2

15. ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR ARMONICO

16. REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL Se toma como referencia, energía potencial cero aquella donde x = 0

17. ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

19. M.A.S. angular La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por: Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio.  = -K Θ El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)

20. Movimiento Periódico Movimiento Armónico

21. POSICIÓN VERSUS TIEMPO

22. VELOCIDAD VERSUS TIEMPO

23. ACELERACION VS TIEMPO

24. Posición, velocidad y aceleración vs tiempo

25. Descripción del Movimiento Armónico Simple

26. M.A.S. vertical Colgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio. Fuerza recuperadora -> F=kl En el equilibrio se cumple -> mg=k Δ l k=mg/l -> f= 1/2  k/m

27. Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple x = A cos (  t + φ) = A cos (2  ƒt + φ) x = A sen(  t + β) = A sen (2  ƒt + β) Periodo del péndulo: T = 2  L / |g|

28.  (grados)  (radianes) Sen  Diferencia (%) 0 0,0000 0,0000 0,00 2 0,0349 0,0349 0,00 5 0,0873 0,0872 0,11 10 0,1745 0,1736 0,52 15 0,2618 0,2588 1,15 20 0,3490 0,3420 2,01 25 0,4363 0,4226 3,14

29. EJERCICIOS 1. Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima. Datos Fórmulas r = 0.15 m F = 1/T T = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F t b) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°. c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2 F 2 Y máx d) a máx = ¿

30. Sustitución y resultados: F = ¼ s = 0.25 ciclos/s a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65 radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°. cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073 Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros. b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86° sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901. V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/s c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/s d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s 2 .

31. 2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm, Datos Fórmulas Sustitución l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/ 9.8 m/s2 T = 1.27 s F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/s g = 9.8 m/seg2. T = ¿ F = ¿

32. GRACIAS