Codificación en FOTRAN de los problemas del Capitulo 12 del libro Alonso Finn

10-11-2018
ALONSO FINN
Resolución del Capítulo 12
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA
ESCUELA PROFESIONAL DE FISICA
CURSO
Métodos Computacionales de la Física
PEREZ GUTIERREZ DIEGO ORLANDO

CAPITULO 12 ALONSO FINN
1 
ALONSO FYNN. TOMO 1 - CAPITULO 12
MOVIMIENTO OSCILATORIO
**RESOLUCIÓN Y CODIFICACIÓN EN FORTRAN**
➢ ESTUDIANTE
PEREZ GUTIERREZ DIEGO ORLANDO
➢ CODIGO
1429115139
Tabla de contenido
FUNDAMENTO TEORICA ...................................................................................................2
INTRODUCCION ............................................................................................................... 2
PROBLEMAS.................................................................................................................. 7
ESQUEMA Y PROGRAMACION ....................................................................................... 13
DIAGRAMA DE FLUJOS...................................................................................................13
CODIFICACIONES.......................................................................................................28
EJECUCIÓN DEL PROGRAMA........................................................................................ 60
VERIFICACIONES ...........................................................................................................60
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................84
ALONSO FINN

2 
MOVIMIENTO OSCILATORIO
Introducción
Uno de los movimientos mas importantes en la naturaleza es el movimiento
oscilatorio (o vibratorio). Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con
respeto a la posición de equilibrio. El movimiento de un péndulo es oscilatorio. Un
cuerpo en el extremo se un resorte estirado, una vez que se suelta, comienza a
oscilar. Los átomos de un sólido están vibrando. Similarmente, los átomos en una
molécula vibran unos respecto a otros. Los electrones de una antena radiante o
receptora oscilan rápidamente.
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico
simple (MAS), debido a que, además de ser el movimiento más simple de describir
matemáticamente, constituye una aproximación muy cercana de muchas
oscilaciones encontradas en la naturaleza.
Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico
de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su
posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en
intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un
cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El
objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se
le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el
cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los
puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en
vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de
la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los
puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de
la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del
movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la
cuerda.
Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a
lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de
equilibrio, esta fuerza es tal que F x = − k x donde k es una
constante positiva y x es la elongación. El signo negativo
indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la
partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es,
en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la
posición de equilibrio).
Péndulo simple
en movimiento
armónico simple
con oscilaciones
pequeñas.

3 
Aplicando la segunda ley de Newton, el
movimiento armónico simple se define entonces
en una dimensión mediante la ecuación
diferencial:
m d2
x = − k x
Siendo m la masa del cuerpo en desplazamiento.
Escribiendo ω2
= k /m se obtiene la siguiente
ecuación donde ω es la frecuencia angular del
movimiento:
d2
x = a(t) = −ω2
x
La solución de la ecuación diferencial. (2) puede
escribirse en la forma x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ )
donde:
x es la elongación o desplazamiento respecto al
punto de equilibrio.
A es la amplitud del movimiento (elongación
máxima).
ω es la frecuencia angular
t es el tiempo.
ϕ es la fase inicial e indica el estado de
oscilación o vibración (o fase) en el instante
t=0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
f = ω = 1 , y por lo tanto el periodo como T = 1 = 2 π = 2 π
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del
tiempo la expresión x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ )
Velocidad
La oscilación instantánea de un punto
material que ejecuta un movimiento
armónico simple se obtiene por lo tanto
derivando la posición respecto al tiempo:
V ( t ) = d x = −ω A sen ( ω t + ϕ )
Evolución en el tiempo del
desplazamiento, la
velocidad y la aceleración
en un movimiento circular
uniforme.
Posición (negro), velocidad (verde) y
aceleración (rojo) de un oscilador
armónico simple.
ωf2 π2 π
d t2
d t2
d t

4 
Aceleración Máxima
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de
espera y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al
tiempo de encuentro:
a ( t ) = d v ( t ) = − ω2
A cos ( ω t + ϕ ) = − ω2
x ( t )
Amplitud y Fases Iniciales
La amplitud A y la fase inicial ϕ se pueden calcular a partir de las condiciones
iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad
v0 iniciales.
x0 = A cos ϕ ⇒ x2
0 = A2
cos2
ϕ
v0 = − ω A sen ϕ ⇒ v2
0 = ω2
A2
sen2
ϕ ⇒ v2
0 = A2
sen2
ϕ
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (α) y (β) obtenemos
x2
0 + v2
0 = A2
( cos2
ϕ + sin2
ϕ ) = A2
⇒ A = x2
0 + v2
0
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (α) y (β) obtenemos
v0 = − ω A sen ϕ = ω tan ϕ ⇒ ϕ = arctan ( − v0 )
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es
directamente proporcional al desplazamiento: F = − k x
Un ejemplo, sería el que realiza un objeto unido al extremo de un muelle. En ese
caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de
newton tendríamos: F = − k x = m a ⇒ a =
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración se deduce: ω2
= k
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico
simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza
que actúa sobre ella:
T = 2 π m
m
A cos ϕ
ω2
ω2
d t
ω2
x0 ω x0
k
….. ( α )
….. ( β )

5 
Energía del movimiento armónico simple
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por
tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado
energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía
potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las
fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose: Ep = 1 k x2
La energía potencial alcanza su máximo en
los extremos de la trayectoria y tiene valor
nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el
punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de
las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
Ec = m v2
La energía cinética es nula en -A o +A
(v=0) y el valor máximo se alcanza en el
punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
Emax
= m ω2
A2
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía
cinética y potencial) permanece constante. Ep + Ec = Em
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente
considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la
energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene
entonces que,
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula,
en el punto de equilibrio x = 0
Péndulo simple
Un ejemplo de movimiento armónico simple es el movimiento de un péndulo. Un
péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por
una cuerda de longitud l y de masa despreciable (Fig. 1). Si la partícula se lleva a la
posición B de modo que la cuerda haga un ángulo θ0 con la vertical OC, y luego se
suelta, el péndulo oscilará entre B y la posición simétrica B’.
Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y
mecánica (Em) en el movimiento
armónico en función de la elongación.
c
2

6 
Para determinar la naturaleza de las
oscilaciones, debemos escribir la ecuación
de movimiento de la partícula. La
partícula se mueve en un arco de círculo
de radio l=OA. Las fuerzas que actúan
sobre la partícula son su peso mg y la
tensión T a lo largo de la cuerda. De la
figura, se ve que la componente
tangencial de la fuerza es FT = − m g sen
θ , donde el signo menos se debe a que se
opone al desplazamiento s = CA. La
ecuación del movimiento tangencial es FT
= m aT y, como la partícula se mueve a lo
largo de un círculo de radio L, podemos
reemplazando R por l en la ecuación para
poder expresar la aceleración tangencial.
Esto es:
Esta es la ecuación diferencial si reemplazamos x por θ, esta vez refiriéndonos al
movimiento angular y no al movimiento lineal, Por ello podemos llegar a la
conclusión que, adentro de nuestra aproximación, el movimiento angular del
péndulo es armónico simple con El ángulo θ puede así expresarse en la
forma θ = θ0 sen (ω t + α). Entonces, P = 2 π / ω, el periodo de
oscilación esta dado por la expresión.
Nótese que el periodo es independiente de la
masa del péndulo. Para mayores amplitudes, la
aproximación sen θ ~ θ no es válida. En tal caso,
la fórmula del periodo depende de la amplitud θ0.
Si deseamos obtener la fórmula general del
periodo, primero expresamos la energía potencial
del péndulo como una función del ángulo y la
sustituimos luego en la expresión de P. Omitiendo
los detalles matemáticos, pero indicaremos que el
resultado puede expresarse por la serie
La variación con la amplitud θ0 del periodo P,
expresado en función del periodo correspondiente a oscilaciones muy pequeñas, se
ilustra en la Fig. 2. Nótese que el periodo P difiere apreciablemente de P0 solamente
para amplitudes muy grandes. Para pequeñas amplitudes es suficiente tomar el
primer término correctivo, y aun sustituir por el obteniéndose:
Fig. 1 Movimiento oscilatorio de un
péndulo.
Fig. 2 Variación del periodo de
un péndulo en función de la
amplitud.

7 
12.1 Una rueda de 30 cm de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0.5 rev
s-1 con su eje en posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan
verticalmente sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento
armónico simple. Encontrar (a) el periodo de oscilación de la sombra, (b) su frecuencia
y (c) su amplitud. (d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en
función del tiempo. Suponer la fase inicial cero.
12.2 Una partícula se mueve con movimiento armónico simple de amplitud 0.10 m; y
periodo 2 s. Hacer una tabla indicando los valores de la elongación, la velocidad y la
aceleración para los tiempos siguientes: t=0, P/8, 3P/8, P/2, 5P/8, 3P/4, 7P/8 y P.
Representar las curvas de elongación, velocidad y aceleración, en función del tiempo.
12.3 Un oscilador armónico simple es descrito por la ecuación x = 4 sen (0.1t + 0.5) donde
todas las cantidades se expresan en unidades MKS. Encontrar (a) la amplitud, el
periodo, la frecuencia, y la fase inicial del movimiento, (c) las condiciones iniciales, (d)
la posición, velocidad y aceleración para t = 5 s. Hacer un gráfico de la posición,
velocidad, y aceleración en función del tiempo.
12.4 Una partícula está situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posición de
equilibrio con una velocidad de 2 m s-1. La amplitud es de 10-3 m. ¿Cuál es la frecuencia
y el periodo del vibrador? Escribir la ecuación que exprese su desplazamiento en
función del tiempo.
12.5 Una partícula cuya masa es de 1 g vibra con movimiento armónico simple de 2 mm de
amplitud. Su aceleración en el extremo de su recorrido es de 8.0*103 m s-2. Calcular la
frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de
equilibrio y cuando la elongación es de 1.2 mm. Escribir la ecuación que expresa la
fuerza que la posición y del tiempo.
12.6 Una partícula oscila con una frecuencia de 100 Hz y una amplitud de 3 mm. Calcular su
velocidad y aceleración en el centro y los extremos de su recorrido. Escribir la ecuación
que expresa la elongación como una función del tiempo. Suponer que la fase inicial es
cero.
12.7 Una partícula se mueve con movimiento armónico simple con amplitud de 1.5 m y
frecuencia de 100 ciclos por segundo. ¿Cuál es su frecuencia angular? Calcular (a) su
velocidad, (b) su aceleración, y (c) su fase, cuando su desplazamiento es de 0.75 m.
12.8 El movimiento de una aguja de una máquina de coser es prácticamente armónico. Si su
amplitud es de 0.3 cm y su frecuencia es de 600 vib min-1, ¿Cuál será la elongación, la
velocidad, y la aceleración un treintavo de segundo después que pase por el centro de la
trayectoria (a) en un sentido positivo o hacia arriba, (b) en un sentido negativo o hacia
abajo?
PROBLEMAS

8 
12.9 Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 8 cm y un periodo de 4 s.
Calcular la velocidad y la aceleración 0.5 s después que la partícula pase por el extremo
de su trayectoria.
12.10 En el Problema 12.2, calcular las energías cinéticas, potencial y total en cada instante,
suponiendo que la partícula tiene una masa de 0.5 kg. Observar que la energía total
permanece constante. Graficar las curvas de las energías cinéticas, potencial (a) en
función del tiempo, (b) en función de la posición. ¿A qué conclusión llega?
12.11 Una partícula cuya masa es de 0.5 kg se mueve con movimiento armónico simple. Su
periodo es de 0.15 s y la amplitud de su movimiento es de 10 cm. Calcular la
aceleración, la fuerza, la energía potencial y la energía cinética cuando la partícula
esta a 5 cm de la posición de equilibrio.
12.12 Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de la fuerza F = -
kx. Cuando t = 2 s, la partícula pasa a través del origen, y cuando t = 4 s su velocidad
es de 4 m s-1. Encontrar la ecuación de la elongación y demostrar que la amplitud del
movimiento será 32√2/π m si el periodo de oscilación es de 16 s.
12.13 Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple con una amplitud de
1.5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mínimo del
coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha o resbale
cuando la plancha se mueve.
12.14 Cuando un hombre de 60 kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto
baja 0.3 cm. ¿Cuál es la constante elástica de los muelles del auto? Suponiendo que la
masa del auto es de 500 kg. ¿Cuál es su periodo de vibración cuando está vacío y
cuando el hombre está dentro?
12.15 Un bloque de madera cuya densidad ρ con respecto al agua es tiene dimensiones a, b
y c. Mientras esta flotando en el agua con el lado a en la posición vertical, se empuja
hacia abajo y se suelta. Encontrar el periodo de la oscilación resultante.
12.16 Una partícula se mueve de modo que sus coordenadas en función del tiempo están
dadas por x = υot, y = y0Sen ωt. (a) Representar x e y en función del tiempo t (b)
Representar la trayectoria de la partícula. (c) ¿Qué fuerza es necesaria para producir
este movimiento? (d) Encontrar las magnitudes de la velocidad y la aceleración en
función del tiempo.
12.17 Encontrar, para un movimiento armónico simple, los valores de (x) y (x2), donde los
promedios se refieren al tiempo.
12.18 Encontrar los valores promedio de las energías cinética y potencial en un movimiento
armónico simple con relación (a) al tiempo, (b) a la posición.

9 
12.19 El periodo de un péndulo es de 3 s. ¿Cuál será su periodo si su longitud (a) aumenta,
(b) disminuye en un 60%?
12.20 El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2 s cuando g = 9.75 m s-2. Si la longitud se
aumenta en 1 mm. ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?
12.21 ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj del problema anterior después de 24 horas si se le
coloca en un lugar donde g = 9.75 m s-2 sin cambiar la longitud del péndulo? ¿Cuál
debe ser la longitud correcta del péndulo a fin de mantener el tiempo correcto en la
nueva posición?
12.22 ¿Cuál debía ser el porcentaje de cambio en la longitud de un péndulo a fin de que
tenga el mismo periodo cuando se le desplaza de un lugar en el cual g = 9.8 m s-2 a un
lugar donde g = 9.81 m s-2?
12.23 Encontrar el valor de la amplitud de un péndulo simple de modo que la ec. (12.15) del
periodo sea correcta en un 2%.
12.24 Un péndulo cuya longitud es 2 m está situada está situado en un lugar en el cual g =
9.75 m s-2. El péndulo oscila con una amplitud de 2°. Expresar, en función del tiempo,
(a) su desplazamiento angular, (b) su velocidad angular, (c) su aceleración angular,
(d) su velocidad lineal, (e) su aceleración centrípeta, y (f) la tensión en la cuerda si la
masa en su extremo es de 1 kg.
12.25 Un péndulo de 1.00 m de largo y cuya masa es de 0.6 kg se separa de modo que está
situada a 4 cm sobre la altura de equilibrio. Expresar, en función de la altura del
péndulo, la fuerza tangencial, su velocidad, y su desplazamiento angular cuando se le
permite oscilar. Encontrar los valores numéricos correspondientes al punto de su
amplitud máxima y al punto más bajo de la trayectoria del péndulo. Encontrar su
amplitud angular.
12.26 El péndulo del problema anterior se coloca de modo que forma un ángulo de 30º con
la vertical y luego se suelta. ¿Puede su movimiento considere armónico simple?
Calcular (a) la aceleración, (b) la velocidad, y (c) la tensión en la cuerda cuando su
desplazamiento angular es de 15º y cuando pasa por el punto de equilibrio.
12.27 Estimar el orden relativo de magnitud de los dos primeros términos correctivos en la
serie del periodo de un péndulo simple si la amplitud es (a) 10º (b) 30º.
12.28 Refiriéndose al péndulo del ejemplo 12.7, encontrar el máximo valor de R/l de modo
que el término correctivo en la expresión del péndulo no represente más que el 1%.
12.29 Una varilla de 1 m de largo está suspendida de uno de sus extremos de tal manera que
constituye un péndulo compuesto. Encontrar el periodo y la longitud del péndulo

10 
simple equivalente. Encontrar el periodo de oscilación si la varilla se cuelga de un eje
situado a una distancia de uno de sus extremos igual a la longitud del péndulo
equivalente previamente encontrada.
12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su
centro. (a) Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente. (b) Encontrar la
posición del eje para el cual el periodo es un mínimo. (c) Representar el periodo en
función de h.
12.31 Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por un
extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla está situada sobre la varilla a una
distancia h del eje. (a) Obtener el periodo del sistema en función de h y de L. (b) ¿Hay
algún valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
12.32 Un cubo sólido, de lado a, puede oscilar alrededor de un eje horizontal coincidente
con un borde. Encontrar su periodo.
12.33 Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de 8 cm × 12 cm
× 3 cm con una masa de 0.3 kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a
través de su centro y de tal modo que el lado más corto es vertical. El periodo de
oscilación es de 2.4 s. ¿Cuál es la constante de torsión k del alambre?
12.34 Refiriéndonos a la Fig. 12-11, demostrar que siKc es el radio de giro con respecto a un
eje paralelo que pasa por el centro de masa de un péndulo compuesto, la longitud del
péndulo simple equivalente es l = (K2
c/b) + b. [ Sugerencia: Utilizar el teorema de
Steiner para relacionar el radio de giro con el centro de masa.]
12.35 Usando el resultado del problema precedente, demostrar que la longitud del péndulo
simple equivalente a un péndulo compuesto (sección 12.6) es la misma que la
distancia entre el centro de percusión (Problema 10.28) y el punto de suspensión si el
golpe se aplica en el punto C.
12.36 Demostrar que si el péndulo compuesto oscila alrededor de O’ (Fig. 12-11) en lugar de
O, su periodo es el mismo y la longitud del péndulo equivalente permanece
inalterable.
12.37 Encontrar la ecuación del movimiento resultante de la superposición de dos
movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son x1 = 6 Sen 2t y x2 = 8
Sen (2t +α), si α = 0, π/2 y π. Hacer un gráfico de cada movimiento y del
movimiento resultante en cada caso.
12.38 Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos
simples paralelos cuyas ecuaciones son: x1 = 2 Sen (ωt + α) y x2 = 3 Sen (ωt + α) .

11 
Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus
respectivos vectores rotantes.
12.39 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación
de dos movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4
Sen ωt , e y = 3 Sen (ωt + α), cuando α = 0, π/2 y π. Hacer un gráfico de la
trayectoria de la partícula para cada caso y señalar el sentido en el cual viaja la
partícula.
12.40 Eliminando la dependencia del tiempo entre las ecuaciones (12.30) y (12.31)
demostrar que la ecuación de la ecuación de la trayectoria es x2/A2 + y2/B2 – 2xy Cos
δ/AB = Sen2 δ. Demostrar que ésta es la ecuación de una elipse, con ejes haciendo un
ángulo con respecto a los ejes X – Y. [ Sugerencia: Cualquier ecuación de la forma ax2
+ bxy + cy2 = k es una elipse si b2 – 4ac < 0. Ver G. B., Cálculo infinitesimal y
geometría analítica, sec. 9-10.]
12.41 Demostrar que la elipse del problema 12.40 es recorrida en el sentido de las agujas del
reloj o en el sentido contrario dependiendo de si 0 < δ < π ó π < δ < 2 π.
12.42 Encontrar la ecuación de la trayectoria resultante de una partícula sometida a dos
movimientos armónicos simples perpendiculares, si ω1/ω2 = ½ y α = 0, π/3 y π/2.
En cada caso representar la trayectoria y mostrar el sentido en el cual es recorrida.
12.43 Demostrar por sustitución directa en la ecuación de movimiento (12.37) que las
expresiones (12.38) son las oscilaciones normales, siempre que ω = √k1/m1 .
Demostrar lo mismo para las oscilaciones normales (12.40) si ω = √(2k1 + k)/m1.
12.44 La energía poencial de interacción entre dos átomos en una molécula diatómica puede
expresarse con buena aproximación por el potencial de Morse E(r) = D[1 – е-a(r – ro)]2,
siendo D, a, y ro constantes características de la molécula. (a) Hacer un gráfico del
potencial y encontrar la posición de equilibrio. (b) Hacer un desarrollo en serie de
potencias de r – ro y determinar la relación del primer término anarmónico al primer
término armónico. (c) Encontrar, en función de D y a, la frecuencia de la vibración
relativa de dos átomos a baja energía. [ Sugerencia: Usar la ec. (M.23) para
desarrollar el exponente.]
12.45 Determinar el valor de A y α en función de x0 y v0 para un oscilador amortiguado.
Aplicar la solución para el caso cuando v0 = 0.
12.46 Verificar por sustitución directa, que cuando γ > ω0, la solución de la ec.(12.52) para
un oscilador amortiguado es x = A е-(γ + β)t + B е–(γ - β)t , donde β = √γ2 – ω2
0.
Encontrar los valores de A y B si t = 0, x = x0 y v = 0. Graficar en función de t.

12 
12.47 ¿Qué sucede a la solución de la ec.(12.54) cuando γ = ω0? Verificar, por sustitución
directa, que en este caso la solución general de la ec.(12.52) es x = (A + Bt) е-γt . Se
dice entonces que el oscilador está amortiguado críticamente. Entonces A y B si,
cuando t = 0, x = x0 y v = 0. Representar x en función de t. ¿Qué diferencia encuentra
Ud. entre este problema y el precedente?
12.48 Demostrar que en el movimiento oscilatorio amortiguado la velocidad está dada por v
= A’ е-γt Sen (ωt + α + δ), donde A’ = A ω0 y tg δ = - ω/γ.
12.49 Un péndulo simple tiene un periodo de s y una amplitud de 2°. Después de 10
oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1.5°. Encontrar la constante de
amortiguamiento γ.
12.50 Encontrar Los valores limites de la amplitud y la fase de un oscilador forzado con
amortiguamiento cuando (a) ωf es mucho menor que ω0 y (b) ωf es mucho mayor que
ω0. Determinar los factores dominantes en cada caso.
12.51 Demostrar que, en el oscilador amónico forzado con amortiguamiento, la potencia
promedio de la fuerza aplicada es igual a la potencia promedio disipa por la fuerza de
amortiguamiento.

13 
K=1
K=3 K=4
K=51
NINGUN
O
SI
K=2
DIAGRAMA DE FLUJO PRINCIPAL
……
……
K
PROB_1
PROB_2 PROB_3 PROB_4 PROB_51
2
INGRESE
VALOR (1-51)
K
FIN
NO
K
INICIO
RPTA=NO

14 
CONSTANTES
PROBLEMA 12.1
PROBLEMA 12.2
r, w
T, f, A
RETURN
w=2*PI/T
X=Amp*Sen(w*ti)
V=-w*Amp*Cos(w*ti)
ac=-w*Amp*Sen(w*ti)
Amp, T, ti
X, V, ac
PROB_02
RETURN
PROB_01
CONSTANTES
RETURN
PI=3.14
grav=9.8
T=2*PI/w*2*PI
r=1/T , A=r

15 
PROBLEMA 12.3
PROBLEMA 12.4
T=2*PI/w , f=1/T
X=Amp*Sen(0.1*ti +0.5)
V=0.4*Cos(0.1*ti +0.5)
a=-0.04*Sen(0.1*ti +0.5)
A, w, fi, ti
A, w, fi, T,
f, X, V, a
PROB_03
RETURN
w=V/A-X
T=2*PI/w
f=1/T
V, A, X
PROB_04
RETURN
T, f

16 
PROBLEMA 12.5
PROBLEMA 12.6
w=√a/(2*PI)2*Amp
Veq=2*PI*f*Amp
Velon=2*PI*f √Amp2-X2
Amp, m, a, X
PROB_05
RETURN
f, Veq, Velon
w=2*PI*f
Vc=2*PI*f*Amp
ac=-w2X , Vext=w*0.0
aextp=-(2*PI*f)2Amp
aextn=-(2*PI*f)2(-Amp)
f, Amp, X
PROB_06
RETURN
Vc, ac, Vext,
aextp, aextn

17 
PROBLEMA 12.7
PROBLEMA 12.8
w=2*PI*f
V=w √Amp2- X2
a=-w2X
fi=ArcSen(X/Amp)
Amp, f, X
PROB_07
RETURN
w, V, a, fi
w=2*PI*f
X=Amp*Sen(w*t+fi)
V=-w √Amp2- X2
a=-w2X , Xneg=-X
Vneg=-V , aneg=-a
Amp, f, t, fi
RETURN
PROB_08
X, V, a, Xneg,
Vneg, aneg

18 
PROBLEMA 12.9
PROBLEMA 12.10
NO REQUIERE DIAGRAMA DE FLUJO
PROBLEMA 12.11
w=2*PI/Tp
V=Amp*w*Cos(2.357)
a=-Amp*w2Sen(2.357)
((Amp*w*Cos(2.357)
Amp, Tp
RETURN
PROB_09
w, V, a
f=1/Tp , w=2*PI*f , a=Xw2
Ep=0.5*m*w2(Amp2-X2)
Ec=0.5*m*w2*X2
((Amp*w*Cos(2.357)
m, Tp, Amp, X
RETURN
PROB_11
a, Ep, Ec

19 
PROBLEMA 12.12
PROBLEMA 12.13
PROBLEMA 12.14
w=2*PI*(f/60)
mu=Amp*w2/grav
Amp, f
RETURN
PROB_13
mu
k=mh*grav/X
w_av=√k/ma
P_av=2*PI/( w_av)
w_ah=√k/(ma+mh)
P_ah=2*PI/( w_ah)
mh, ma, X
RETURN
PROB_14
k, P_av, P_ah

20 
PROBLEMA 12.15
PROBLEMA 12.16
PROBLEMA 12.17
PROBLEMA 12.18
PROBLEMA 12.19
T_aum =T*√1.6
T_dism =T*√0.4
T
RETURN
PROB_19
T_aum, T_dism

21 
PROBLEMA 12.20
PROBLEMA 12.21
T2 =T1*√1.001
DELTA=T2-T1
CONV=HORA*3600/1
ATRASO=CONV*DELTA
T1, HORA
RETURN
PROB_20
ATRASO
T1 =2*PI*√L/grav
T2=2*PI*√L/gravnue
DELTA=T2-T1
ATRASO=DELTA*1440/T2
L_corr=(gravnue*T2)/(4*PI2)
T, gravnue, L
RETURN
PROB_21
ATRASO,
L_corr

22 
PROBLEMA 12.22
PROBLEMA 12.23
PROBLEMA 12.24
L_nuev= gravseg /gravprim
DELTA=L_nuev-L
X=DELTA *100/L
gravprim,
gravseg
RETURN
PROB_22
X
TETA = √16*0.02
TETA_grados=TETA*180/PI
RETURN
PROB_23
TETA_grados

23 
PROBLEMA 12.25
PROBLEMA 12.26
Ft=-5.88*Y*√(2/Y)-1
Vt=4.42*√4*10-2-Y
teta=ArcCos(1-Y) ,
at=-Ft/m , Feq=0.0
Veq=-4.42*√4*10-2-Y_eq
tetaeq= ArcCos(1-Y_eq)
aeq=-Feq/m
m, Y, Y_eq
RETURN
PROB_25
Ft, at, Vt, teta,
Feq, aeq, Veq,
tetaeq
Y=1-Cos(0.26) , Y0=1-Cos(0.52)
V=√2*grav * √Y0-Y
at=grav*Y*√ (2-Y)-1
an=V2/L , a=√at2+an2
T=m*grav*Cos(0.26)
Veq=√2*grav * √Y0 , Teq=m*grav
aneq=V2/L , aeq=√at2+an2
m, L
RETURN
PROB_26
a, V, T, aeq, Veq, Teq

24 
PROBLEMA 12.27
PROBLEMA 12.28
PROBLEMA 12.29
teta=tetaa/2
a=Sen(teta*180/3.14)
P11=0.25*a2
P12=0.1406*a4
tet=tetab/2
b=Sen(tet*180/3.14)
P21=0.25*a2
P22=0.1406*a4
tetaa, tetab
RETURN
PROB_27
P11, P12,
P21, P22
A=√ (1.01-1.0)/0.2
RETURN
PROB_28
A

25 
PROBLEMA 12.30
PROBLEMA 12.31
PROBLEMA 12.32
PROBLEMA 12.33
PROBLEMA 12.34
PROBLEMA 12.35
PROBLEMA 12.36
k=(2*PI)2*(m*((a2+b2)/12)/T2)
m, a, b, T
PROB_33
RETURN
k

26 
PROBLEMA 12.37
PROBLEMA 12.38
PROBLEMA 12.39
PROBLEMA 12.40
PROBLEMA 12.41
PROBLEMA 12.42
PROBLEMA 12.43
PROBLEMA 12.44
PROBLEMA 12.45

27 
PROBLEMA 12.46
PROBLEMA 12.47
PROBLEMA 12.48
PROBLEMA 12.49
PROBLEMA 12.50
PROBLEMA 12.51
Y=1/t*Ln(teta / tetar)
t, teta, tetar
PROB_49
RETURN
Y

28 
CODIFICACIÓN DEL PROGRAMA PRINCIPAL
PROGRAM CAPITULO_12_ALONSO_FINN
USE CONSTANTES
USE PROB_01
USE PROB_02
USE PROB_03
USE PROB_04
USE PROB_05
USE PROB_06
USE PROB_07
USE PROB_08
USE PROB_09
USE PROB_10
USE PROB_11
USE PROB_12
USE PROB_13
USE PROB_14
USE PROB_15
USE PROB_16
USE PROB_17
USE PROB_18
USE PROB_19
USE PROB_20
USE PROB_21
USE PROB_22
USE PROB_23
USE PROB_24
USE PROB_25
USE PROB_26
USE PROB_27
USE PROB_28
USE PROB_29
USE PROB_30
USE PROB_31
USE PROB_32
USE PROB_33
USE PROB_34
USE PROB_35
USE PROB_36
USE PROB_37
USE PROB_38
USE PROB_39
USE PROB_40
USE PROB_41
USE PROB_42
USE PROB_43
USE PROB_44
USE PROB_45
USE PROB_46
USE PROB_47
USE PROB_48
USE PROB_49

29 
USE PROB_50
USE PROB_51
DO
PRINT*,'************************ ALONSO FINN ***************************'
PRINT*,'********************** FISICA VOLUMEN I ************************'
PRINT*,''
PRINT*,'************************* CAPITULO 12 **************************'
PRINT*,''
PRINT*,'******************** MOVIMIENTO OSCILATORIO ********************'
PRINT*,' 1. PROBLEMA 12.1 '

30 
PRINT*,'================'
PRINT*,' (0).SALIR '
PRINT*,'================'
20 PRINT*,'SELECCIONE EL NUMERO DE PROBLEMA [1-51]'
READ*,RP
SELECT CASE(RP)
CASE('1')
CALL PROBLEMA_1
CASE('2')
CALL PROBLEMA_2
CASE('3')
CALL PROBLEMA_3
CASE('4')
CALL PROBLEMA_4
CASE('5')
CALL PROBLEMA_5
CASE('6')
CALL PROBLEMA_6
CASE('7')
CALL PROBLEMA_7
CASE('8')
CALL PROBLEMA_8
CASE('9')
CALL PROBLEMA_9
CASE('10')
CALL PROBLEMA_10
CASE('11')
CALL PROBLEMA_11
CASE('12')
CALL PROBLEMA_12
CASE('13')
CALL PROBLEMA_13
CASE('14')
CALL PROBLEMA_14
CASE('15')
CALL PROBLEMA_15
CASE('16')
CALL PROBLEMA_16
CASE('17')
CALL PROBLEMA_17
CASE('18')
CALL PROBLEMA_18
CASE('19')
CALL PROBLEMA_19

31 
CASE('20')
CALL PROBLEMA_20
CASE('21')
CALL PROBLEMA_21
CASE('22')
CALL PROBLEMA_22
CASE('23')
CALL PROBLEMA_23
CASE('24')
CALL PROBLEMA_24
CASE('25')
CALL PROBLEMA_25
CASE('26')
CALL PROBLEMA_26
CASE('27')
CALL PROBLEMA_27
CASE('28')
CALL PROBLEMA_28
CASE('29')
CALL PROBLEMA_29
CASE('30')
CALL PROBLEMA_30
CASE('31')
CALL PROBLEMA_31
CASE('32')
CALL PROBLEMA_32
CASE('33')
CALL PROBLEMA_33
CASE('34')
CALL PROBLEMA_34
CASE('35')
CALL PROBLEMA_35
CASE('36')
CALL PROBLEMA_36
CASE('37')
CALL PROBLEMA_37
CASE('38')
CALL PROBLEMA_38
CASE('39')
CALL PROBLEMA_39
CASE('40')
CALL PROBLEMA_40
CASE('41')
CALL PROBLEMA_41
CASE('42')
CALL PROBLEMA_42
CASE('43')
CALL PROBLEMA_43
CASE('44')
CALL PROBLEMA_44
CASE('45')
CALL PROBLEMA_45
CASE('46')
CALL PROBLEMA_46

32 
CASE('47')
CALL PROBLEMA_47
CASE('48')
CALL PROBLEMA_48
CASE('49')
CALL PROBLEMA_49
CASE('50')
CALL PROBLEMA_50
CASE('51')
CALL PROBLEMA_51
CASE('0')
PRINT*,'EL PROGRAMA HA FINALIZADO'
CASE DEFAULT
GOTO 20
END SELECT
PRINT*,''
PRINT*,'DESEA CONTINUAR SI/NO'
READ*,RPTA
IF(RPTA=="NO")EXIT
END DO
END PROGRAM CAPITULO_12_ALONSO_FINN
CODIFICACIÓN DE LAS CONSTANTES
MODULE CONSTANTES
SAVE
REAL,PARAMETER::PI=3.14159,grav=9.807
CHARACTER(2)::RPTA
CHARACTER(2)::RP
END MODULE CONSTANTES
CODIFICACIÓN DEL PROBLEMA 12.1
MODULE PROB_01
USE CONSTANTES
CONTAINS
SUBROUTINE PROBLEMA_1
IMPLICIT NONE
REAL::r,w,T,f,A
PRINT*,'SOLUCION DEL PROBLEMA 1'
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESE EL RADIO'
READ*,r

33 
PRINT*,'INGRESE LA VELOCIDAD ANGULAR'
READ*,w
T=(2*PI)/(w*2*PI)
f=1/T
A=r
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' A) EL PERIODO ES: ',T,' seg'
PRINT*,' B) LA FRECUENCIA ES: ',f,' Hz'
PRINT*,' C) LA AMPLITUD ES:',A,' cm'
END SUBROUTINE PROBLEMA_1
END MODULE PROB_01
MODULE PROB_02
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,T,w,X,V,ac,Ti
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR LA AMPLITUD'
READ*,Amp
PRINT*,'INGRESAR EL PERIODO'
READ*,T
w=(2*PI)/T
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,'- LOS VALORES PARA EL TIEMPO IGUAL A CERO SON:'
PRINT*,' INGRESAR EL TIEMPO'
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,' LA POSICION ES: ',X,' m'
PRINT*,' LA VELOCIDAD ES: ',V,' m/s'
PRINT*,' LA ACELERACION ES: ',ac,' m/s*2'
PRINT*,''
PRINT*,'- LOS VALORES PARA EL TIEMPO IGUAL A 1/8 SON:'
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)

34 
PRINT*,''
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,''
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,''
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,''
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,''
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)

35 
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
PRINT*,''
PRINT*,'- LOS VALORES PARA EL TIEMPO IGUAL A 1 SON:'
READ*,ti
X=Amp*SIN(w*ti)
V=w*Amp*COS(w*ti)
ac=-w*Amp*SIN(w*ti)
END MODULE PROB_02
MODULE PROB_03
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::A,w,fi,T,f,Ti,X_0,V_0,a_0,X_5,V_5,a_5
PRINT*,''
PRINT*,'A) INGRESE LA AMPLITUD, FRECUENCIA ANGULAR Y FASE
INICIAL'
!LOS VALORES PARA LA PREGUNTA A
READ*,A,w,fi
T=(2*PI)/w
f=1/T
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' LA AMPLITUD ES: ',A,' m'
PRINT*,' LA FRECUENCIA ANGULAR ES: ',W,' rad/seg'
PRINT*,' LA FASE INICIAL ES:',fi,' rad'
PRINT*,' EL PERIODO ES:',T,' seg'
PRINT*,' LA FRECUENCIA ES:',f,' Hz'
PRINT*,''
!LOS VALORES PARA LA PREGUNTA C
PRINT*,'C) INGRESE LAS CONDICIONES INICIALES, TIEMPO INICIAL:'
READ*,ti
X_0=A*SIN(0.1*ti+0.5)
V_0=0.4*COS(0.1*ti+0.5)

36 
a_0=-0.04*SIN(0.1*ti+0.5)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' LA POSICION INICIAL ES: ', 'X_0=',X_0,' m'
PRINT*,' LA VELOCIDAD INICIAL ES: ', 'V_0=',V_0,' m/s'
PRINT*,' LA ACELERACION INICIAL ES: ', 'a_0=',a_0,' m/s*2'
PRINT*,''
!LOS VALORES PARA LA PREGUNTA D
PRINT*,'D) INGRESE EL TIEMPO IGUAL A:'
READ*,ti
X_5=A*SIN(0.1*ti+0.5)
V_5=0.4*COS(0.1*ti+0.5)
a_5=-0.04*SIN(0.1*ti+0.5)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' LA POSICION EN TIEMPO IGUAL 5 ES: ', 'X_5=',X_5,' m'
PRINT*,' LA VELOCIDAD EN TIEMPO IGUAL 5 ES: ', 'V_5=',V_5,' m/s'
PRINT*,' LA ACELERACION EN TIEMPO IGUAL 5 ES: ', 'a_5=',a_5,' m/s*2'
END MODULE PROB_03
MODULE PROB_04
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::V,A,X,w,T,f
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR LA VELOCIDAD'
READ*,V
READ*,A
PRINT*,'INGRESAR LA POSICION'
READ*,X
w=V/(A-X)
T=(2*PI)/w
f=1/T
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' EL PERIODO ES:',T,' seg'
PRINT*,' LA FRECUENCIA ES:',f,' seg'
END MODULE PROB_04

37 
MODULE PROB_05
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,m,a,X,f,Veq,Velon
PRINT*,''
READ*,Amp
PRINT*,'INGRESAR LA MASA'
READ*,m
PRINT*,'INGRESAR LA ACELERACION'
READ*,a
READ*,X
f=SQRT(a/(((2*PI)**2)*Amp))
Veq=2*PI*f*Amp
Velon=2*PI*f*SQRT(Amp**2-X**2)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA FRECUENCIA ES:',f,' Hz'
PRINT*,''
PRINT*,' LA VELOCIDAD QUE PASA POR LA POSICION DE EQUILIBRIO'
PRINT*,' - LA VELOCIDAD DE EQUILIBRIO ES:',Veq,' m/s'
PRINT*,''
PRINT*,' LA VELOCIDAD QUE PASA POR LA ELONGACION DE 1,2mm'
PRINT*,' - LA VELOCIDAD DE ELONGACION ES:',Velon,' m/s'
END MODULE PROB_05
MODULE PROB_06
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::f,Amp,w,X,Vc,ac,Vext,aextp,aextn
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR LA FRECUENCIA'
READ*,f

38 
READ*,Amp
w=2*PI*f
Vc=2*PI*f*Amp
ac=(-w**2)*X
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,''
PRINT*,'* EN EL CENTRO:'
PRINT*,'INGRESAR LA POSCION EN EL CENTRO:'
READ*,X
PRINT*,' - LA VELOCIDAD EN EL CENTRO ES:',Vc,' m/s'
PRINT*,' - LA ACELERACION EN EL CENTRO ES:',ac,' m/s*2'
Vext=w*0.0 !SQRT(Amp**2-(X**2))=SQRT(Amp**2-(Amp**2))=0.0
aextp=(-((2*PI*f)**2)*Amp)
aextn=(-((2*PI*f)**2)*(-Amp))
PRINT*,''
PRINT*,'* EN LOS EXTREMOS:'
PRINT*,' EL EXTREMOS LA POSICION ES IGUAL AMPLITUD'
PRINT*,' - LA VELOCIDAD EN LOS EXTREMOS ES:',Vext,' m/s'
PRINT*,''
PRINT*,' EL EXTREMO POSITIVO: LA POSICION ES IGUAL AMPLITUD POSITIVO'
PRINT*,' - LA ACELERACION EN EL EXTREMO POSITIVO ES:',aextp,' m/s*2'
PRINT*,''
PRINT*,' EL EXTREMO NEGATIVO: LA POSICION ES IGUAL AMPLITUD
NEGATIVO'
PRINT*,' - LA ACELERACION EN EL EXTREMO NEGATIVO ES:',aextn,' m/s*2'
END MODULE PROB_06
MODULE PROB_07
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,f,X,w,V,a,fi
PRINT*,''
READ*,Amp
READ*,f
READ*,X

39 
w=2*PI*f
V=w*SQRT(Amp**2-X**2)
a=(w**2)*X
fi=Asin(X/Amp)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA FRECUENCIA ANGULAR ES:',w,' Hz'
PRINT*,''
PRINT*,' LA VELOCIDAD CUANDO SE DESPALZA 0.75m'
PRINT*,' - LA VELOCIDAD ES:',V,' m/s'
PRINT*,''
PRINT*,' - LA ACELERACION ES:',a,' m/s*2'
PRINT*,' - LA FASE INICIAL ES:',fi,' radianes = 30 grados'
END MODULE PROB_07
MODULE PROB_08
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,f,t,w,fi,X,V,a,Xneg,Vneg,aneg
PRINT*,''
READ*,Amp
READ*,f
PRINT*,'INGRESAR El TIEMPO:'
READ*,t
w=2*PI*f
X=Amp*SIN(w*t+fi)
V=-w*SQRT(Amp**2-X**2)
a=-(w**2)*X
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,''
PRINT*,'* EL SENTIDO POSITIVO:'
PRINT*,'INGRESAR LA FASE INICIAL:'
READ*,fi
PRINT*,' - LA POSICION ES:',X,' m'

40 
Xneg=-X
Vneg=-V
aneg=-a
PRINT*,''
PRINT*,'* EL SENTIDO NEGATIVO:'
PRINT*,' - LA POSICION ES:',Xneg,' m'
PRINT*,' - LA VELOCIDAD ES:',Vneg,' m/s'
PRINT*,' - LA ACELERACION ES:',aneg,' m/s*2'
END MODULE PROB_08
MODULE PROB_09
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,Tp,w,V,a
PRINT*,''
READ*,Amp
READ*,Tp
w=2*PI/Tp
V=ABS(Amp*w*COS(2.357)) !V=Amp*w*COS(alfa) , alfa=w*t+fi=2.357
a=ABS(-Amp*(w**2)*SIN(2.357)) !a=-Amp*(w**2)*SIN(alfa)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA FRECUENCIA ANGULAR ES:',w,' rad/seg'
END MODULE PROB_09
MODULE PROB_10
CONTAINS

41 
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE LAS ENERGIAS QUE QUEDAN'
PRINT*,' EN FUNCION DEL TIEMPO Y GRAFICOS'
END MODULE PROB_10
MODULE PROB_11
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::m,Tp,Amp,f,w,X,a,Ep,Ec
PRINT*,''
READ*,m
READ*,Tp
READ*,Amp
READ*,X
f=1/Tp
w=2*PI*f
a=X*w**2
Ep=0.5*m*(w**2)*(Amp**2-X**2)
Ec=0.5*m*(w**2)*(X**2)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA ENERGIA POTENCIAL ES:',Ep,' N'
PRINT*,' - LA ENERGIA CINETICA ES:',Ec,' N'
END MODULE PROB_11
MODULE PROB_12

42 
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE LA ECUACION DEL MOVIMIENTO'
PRINT*,' QUE QUEDA EN FUNCION DEL TIEMPO Y HAY DEMOSTRACION'
END MODULE PROB_12
MODULE PROB_13
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::Amp,f,w,mu
PRINT*,''
READ*,Amp
READ*,f
w=2*PI*(f/60)
mu=Amp*(w**2)/grav
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,' - EL VALOR MINIMO DEL COEFICIENTE DE FRICION ES:',mu
END MODULE PROB_13
MODULE PROB_14
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::mh,ma,X,k,w_av,P_av,w_ah,P_ah

43 
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR LA MASA DEL HOMBRE'
READ*,mh
PRINT*,'INGRESAR LA MASA DEL AUTO'
READ*,ma
READ*,X
k=mh*grav/X
w_av=SQRT(k/ma)
P_av=2*PI/(w_av)
w_ah=SQRT(k/(ma+mh))
P_ah=2*PI/(w_ah)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD (k) ES:',k,' N/m'
PRINT*,' - EL PERIODO DE VIBRACION DEL AUTO VACIO ES:',P_av,' s'
PRINT*,' - EL PERIODO DE VIBRACION DEL AUTO CON EL HOMBRE
ADENTRO ES:',P_ah,' s'
END MODULE PROB_14
MODULE PROB_15
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE CONSTANTES PARA PODER'
PRINT*,' HALLAR EL PERIODO'
END MODULE PROB_15
MODULE PROB_16
CONTAINS

44 
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE LAS ECUACIONES QUE QUEDAN'
PRINT*,' EN FUNCION DEL TIEMPO Y OTRAS VARIABLES'
END MODULE PROB_16
MODULE PROB_17
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' EN FUNCION DEL TIEMPO'
END MODULE PROB_17
MODULE PROB_18
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' EN FUNCION DEL TIEMPO Y LA POSICION'
END MODULE PROB_18
MODULE PROB_19
USE CONSTANTES

45 
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::T,T_aum,T_dism
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR EL PERIODO INICIAL'
READ*,T
!T=2*PI*SQRT(L/g)
!L_aum=L+0.6*L
T_aum=T*SQRT(1.6)
!L_aum=L-0.6*L
T_dism=T*SQRT(0.4)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - SI SU LONGITUD AMUNETA EN UN 60%,'
PRINT*,' SU NUEVA LONGITUD:',T_aum,' s'
PRINT*,''
PRINT*,' - SI SU LONGITUD DISMINUYE EN UN 60%,'
PRINT*,' SU NUEVA LONGITUD:',T_dism,' s'
END MODULE PROB_19
MODULE PROB_20
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::T1,T2,HORA,DELTA,CONV,ATRASO
PRINT*,''
READ*,T1
PRINT*,'INGRESAR LAS HORAS DE ATRASO'
READ*,HORA
T2=T1*SQRT(1.001)
DELTA=T2-T1
!¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24 horas?
CONV=HORA*3600/1
!En 24 horas el reloj se atraso
ATRASO=CONV*DELTA
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'

46 
PRINT*,' - EN 24 HORAS EL RELOJ SE ATRASO:',ATRASO,' s'
END MODULE PROB_20
MODULE PROB_21
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::T,gravnue,L,T1,T2,DELTA,ATRASO,L_corr
PRINT*,''
READ*,T
PRINT*,'INGRESAR LA NUEVA GRAVEDAD'
READ*,gravnue
PRINT*,'INGRESAR LA LONGITUD DEL PENDULO'
READ*,L
T1=2*PI*SQRT(L/grav)
T2=2*PI*SQRT(L/gravnue)
DELTA=T2-T1
ATRASO=DELTA*1440/T2
L_corr=(gravnue*T**2)/(4*PI**2)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - EN 24 HORAS EL RELOJ SE ATRASA:',ATRASO,' min'
PRINT*,''
PRINT*,' - LA LONGITUD CORRECTA DEL PENDULO A FIN'
PRINT*,' DE MANTENER EL TIEMPO CORRECTO ES:',L_corr,' m'
END MODULE PROB_21
MODULE PROB_22
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::gravprim,gravseg,L_nuev,DELTA,X
REAL,PARAMETER::L=1

47 
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR LA PRIMERA GRAVEDAD'
READ*,gravprim
PRINT*,'INGRESAR LA SEGUNDA GRAVEDAD'
READ*,gravseg
L_nuev=gravseg/gravprim
DELTA=L_nuev-L
X=DELTA*100/L
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - LA LONGITUD QUE DEBE VARIAR EN UN:',X,' %'
END MODULE PROB_22
MODULE PROB_23
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::TETA,TETA_grados
!DELTA=T*2%/100%=0.02T , T'/T=1.02
TETA=SQRT(16*0.02)
TETA_grados=TETA*180/PI
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' - EL VALOR DE LA AMPLITUD DE UN PENDULO ES:',TETA_grados,'
grados'
END MODULE PROB_23
MODULE PROB_24
CONTAINS

48 
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' EN FUNCION DEL TIEMPO'
END MODULE PROB_24
MODULE PROB_25
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::m,Y,Ft,at,Vt,teta,Y_eq,Feq,aeq,Veq,tetaeq
PRINT*,''
READ*,m
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,'- INGRESAR LA AMPLITUD MAXIMA'
READ*,Y
Ft=-5.88*Y*SQRT((2/Y)-1)
at=-Ft/m
Vt=4.42*SQRT(4E-02-Y)
teta=ACOS(1-Y)
PRINT*,' LA FUERZA TANGENCIAL ES:',Ft,' N'
PRINT*,' LA ACELERACION TANGENCIAL ES:',at,' m/s*2'
PRINT*,' LA VELOCIDAD TANGENCIAL ES:',Vt,' m/s'
PRINT*,' EL ANGULO TANGENCIAL ES:',teta,' Rad'
PRINT*,''
PRINT*,'- INGRESAR LA POSICION DE EQUILIBRIO'
READ*,Y_eq
Feq=0.0 !Feq=-5.88*Y*SQRT((2/Y_eq)-1)
aeq=-Feq/m
Veq=4.42*SQRT(4E-02-Y_eq)
tetaeq=ACOS(1-Y_eq)
PRINT*,' LA FUERZA DE EQUILIBRIO ES:',Feq,' N'
PRINT*,' LA ACELERACION DE EQUILIBRIO ES:',aeq,' m/s*2'
PRINT*,' LA VELOCIDAD DE EQUILIBRIO ES:',Veq,' m/s'
PRINT*,' EL ANGULO DE EQUILIBRIO ES:',tetaeq,' Rad'

49 
END MODULE PROB_25
MODULE PROB_26
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::m,L,Y,Yo,a,at,an,V,T,aeq,ateq,aneq,Veq,Teq
PRINT*,''
READ*,m
PRINT*,'INGRESAR LA LONGITUD'
READ*,L
Y=1-cos(0.26) !15grados*PI/180=0.26rad
Yo=1-cos(0.52) !30grados*PI/180=0.52rad
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
V=SQRT(2*grav)*SQRT(Yo-Y)
at=grav*Y*SQRT((2/Y)-1)
an=V**2/L
a=SQRT(at**2+an**2)
T=m*grav*cos(0.26)
PRINT*,' - LA CUANDO SE DESPALZAMIENTO ANGULAR DE LA CUERDA ES 15
GRADOS'
PRINT*,' LA ACELERACION ES:',a,' m/s*2'
PRINT*,' LA VELOCIDAD ES:',V,' m/s'
PRINT*,' LA TENSION ES:',T,' N'
Veq=SQRT(2*grav)*SQRT(Yo)
ateq=grav*0*SQRT((2/Yo)-1)
aneq=Veq**2/L
aeq=SQRT(ateq**2+aneq**2)
Teq=m*grav
PRINT*,''
PRINT*,' - LA CUANDO SE DESPALZAMIENTO ANGULAR DE LA CUERDA,'
PRINT*,' PASA EL PUNTO DE EQUILIBRIO ES 0 GRADOS'
PRINT*,' LA ACELERACION DE EQUILIBRIO ES:',aeq,' m/s*2'
PRINT*,' LA VELOCIDAD DE EQUILIBRIO ES:',Veq,' m/s'
PRINT*,' LA TENSION DE EQUILIBRIO ES:',Teq,' N'
END MODULE PROB_26

50 
MODULE PROB_27
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::tetaa,tetab,P11,P12,P21,P22,a,b,teta,tet
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,'- INGRESAR LA PRIMERA AMPLITUD'
READ*,tetaa
teta=tetaa/2
a=SIN(teta*180/3.14)
P11=0.25*a**2
P12=0.1406*a**4
PRINT*,' EL PERIODO PARA LA AMPLITUD DE 10 GRADOS:'
PRINT*,' A) EL PRIMER TERMINO CORRECTIVO ES:',P11,' seg'
PRINT*,' B) EL SEGUNDO TERMINO CORRECTIVO ES:',P12,' seg'
PRINT*,''
PRINT*,'- INGRESAR LA SEGUNDA AMPLITUD'
READ*,tetab
tet=tetab/2
b=SIN(tet*180/3.14)
P21=0.25*b**2
P22=0.1406*b**4
PRINT*,' EL PERIODO PARA LA AMPLITUD DE 10 GRADOS:'
PRINT*,' A) EL PRIMER TERMINO CORRECTIVO ES:',P21,' seg'
PRINT*,' B) EL SEGUNDO TERMINO CORRECTIVO ES:',P22,' seg'
END MODULE PROB_27
MODULE PROB_28
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::A

51 
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
A=SQRT((1.01-1.0)/0.2)
PRINT*,' EL MAXIMO VALOR DE R/T:'
PRINT*,' - EL TERMINO CORRECTIVO EN LA EXPRESION DEL PENDULO'
PRINT*,' QUE NO REPRESENTE MAS QUE EL 1% ES:',A
END MODULE PROB_28
MODULE PROB_29
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE PERIODO QUE QUEDAN'
PRINT*,' EN FUNCION DE OTRAS VARIABLES'
END MODULE PROB_29
MODULE PROB_30
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' HALLAR EL PERIODO Y QUEDA EN FUNCION DE H'
END MODULE PROB_30

52 
MODULE PROB_31
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE EL PERIODO QUE QUEDAN'
PRINT*,' EN FUNCION DE H, L Y OTRAS VARIABLES'
END MODULE PROB_31
MODULE PROB_32
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE PERIODO QUE QUEDAN'
PRINT*,' EN FUNCION DE OTRAS VARIABLES'
END MODULE PROB_32
MODULE PROB_33
USE CONSTANTES
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::m,a,b,T,k
PRINT*,''
READ*,m
PRINT*,'INGRESAR LA DIMENSION HORIZONTAL DEL OBJETO'

53 
READ*,a
PRINT*,'INGRESAR LA PROFUNDIDAD DEL OBJETO'
READ*,b
READ*,T
k=(2*PI)**2*(m*((a**2+b**2)/12)/T**2)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' LA CONSTANTE DE TORSION k ES:',k,' N*m'
END MODULE PROB_33
MODULE PROB_34
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA ES DEMOSTRATIVO'
END MODULE PROB_34
MODULE PROB_35
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_35

54 
MODULE PROB_36
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_36
MODULE PROB_37
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' QUE QUEDA EN FUNCION DEL TIEMPO Y HAY GRAFICOS'
END MODULE PROB_37
MODULE PROB_38
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_38

55 
MODULE PROB_39
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE LA ECUACION DE LA TRAYECTORIA'
END MODULE PROB_39
MODULE PROB_40
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_40
MODULE PROB_41
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_41

56 
MODULE PROB_42
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' ESTE PROBLEMA CONTIENE LA ECUACION DE LA TRAYECTORIA'
END MODULE PROB_42
MODULE PROB_43
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_43
MODULE PROB_44
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' EN FUNCION DE CONSTANTES Y HAY GRAFICOS'
END MODULE PROB_44

57 
MODULE PROB_45
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' HALLAR EL VALOR DE A Y HAY GRAFICOS'
END MODULE PROB_45
MODULE PROB_46
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' HALLAR LOS VALORES DE A, B Y HAY GRAFICOS'
END MODULE PROB_46
MODULE PROB_47
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' HALLAR LOS VALORES DE A Y B '
END MODULE PROB_47

58 
MODULE PROB_48
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_48
MODULE PROB_49
CONTAINS
IMPLICIT NONE
REAL::t,teta,tetar,Y
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR EL TIEMPO'
READ*,t
READ*,teta
PRINT*,'INGRESAR LA AMPLITUD REDUCIDA'
READ*,tetar
Y=1/t*ALOG(teta/tetar)
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTAS'
PRINT*,' LA CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO Y ES:',Y,' s*-1'
END MODULE PROB_49
MODULE PROB_50
CONTAINS

59 
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
PRINT*,' HALLAR LA AMPLITUD Y LA FASE INICIAL'
END MODULE PROB_50
MODULE PROB_51
CONTAINS
PRINT*,''
PRINT*,'RESPUESTA'
PRINT*,''
END MODULE PROB_51

60 
PROGRAMA PRINCIPAL
EJECUCIÓN Y VERIFICACIÓN

61 
PROBLEMA 12.1
PROBLEMA 12.2

62 

63 
PROBLEMA 12.3
PROBLEMA 12.4

64 
PROBLEMA 12.5
PROBLEMA 12.6

65 
PROBLEMA 12.7

66 
PROBLEMA 12.8
PROBLEMA 12.9

67 
PROBLEMA 12.10
PROBLEMA 12.11

68 
PROBLEMA 12.12
PROBLEMA 12.13

69 
PROBLEMA 12.14
PROBLEMA 12.15

70 
PROBLEMA 12.16
PROBLEMA 12.17
PROBLEMA 12.18

71 
PROBLEMA 12.19
PROBLEMA 12.20

72 
PROBLEMA 12.21
PROBLEMA 12.22

73 
PROBLEMA 12.23
PROBLEMA 12.24
PROBLEMA 12.25

74 
PROBLEMA 12.26
PROBLEMA 12.27

75 
PROBLEMA 12.28
PROBLEMA 12.29

76 
PROBLEMA 12.30
PROBLEMA 12.31
PROBLEMA 12.32

77 
PROBLEMA 12.33
PROBLEMA 12.34
PROBLEMA 12.35

78 
PROBLEMA 12.36
PROBLEMA 12.37
PROBLEMA 12.38

79 
PROBLEMA 12.39
PROBLEMA 12.40
PROBLEMA 12.41

80 
PROBLEMA 12.42
PROBLEMA 12.43
PROBLEMA 12.44

81 
PROBLEMA 12.45
PROBLEMA 12.46
PROBLEMA 12.47

82 
PROBLEMA 12.48
PROBLEMA 12.49

83 
PROBLEMA 12.50
PROBLEMA 12.51

84 
BIOBLIOGRAFÍA
Física Vol. 1 - Alonso & Finn
Movimiento Armónico Simple, cuya página se
encuentra:
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3
%B3nico_simple
Félix García Mercayo – Lenguaje de
Programación FORTRAN 90

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