Sistemas numéricos

Matemáticas discretas
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UNIDAD 1
SISTEMAS NUMÉRICOS
1.1 SISTEMAS NUMERICOS (BINARIO, OCTAL, DECIMAL, HEXADECIMAL)
Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán
los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad.
Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos.
Sistema de Numeración: Es un conjunto de dígitos que sirven para representar una cantidad contable.
Factor:
Desde tiempos remotos el hombre comenzó a desarrollar diferentes sistemas matemáticos con su
correspondiente base numérica para satisfacer sus necesidades de cálculo. Los sistemas numéricos más antiguos
son:
 El sistema numérico babilónico tenía base 60 y en la actualidad de éste sólo quedan en uso los
grados, horas, minutos y segundos.
 El romano, por su parte, era el más atrasado de todos. De ese sistema actualmente sólo se utilizan
sus números (I, V, X, L, C, D y M) para señalar las horas en las esferas de algunos relojes, indicar los capítulos
en los libros y, en otros casos para hacer referencia a un determinado año.
 El sistema numérico hindú y árabe sí han llegado hasta nuestros días; es lo que conocemos como
sistema numérico decimal (de base 10), siendo el de uso más extendido en todo el mundo. Tal como indica su
prefijo (deci), este sistema utiliza 10 dígitos, del 0 al 9, con los cuales podemos realizar cualquier tipo de
operación matemática.
Desde el comienzo de nuestra instrucción primaria en la escuela nos enseñan las matemáticas
correspondientes al sistema numérico decimal, que continuamos utilizando durante el resto de nuestras vidas
para realizar lo mismo cálculos simples que complejos. Debido al extendido uso del sistema decimal muchas
personas desconocen la existencia de otros sistemas numéricos como, por ejemplo, el binario (de base 2), el octal
(de base 8) y el hexadecimal (de base 16), entre otros.
Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs), los ingenieros informáticos se
vieron en la necesidad de adoptar un sistema numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable.
Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear un código apropiado, adoptaron el uso
del sistema numérico binario (de base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y “1”.
Con el sistema binario los ingenieros crearon un lenguaje de bajo nivel o “código máquina”, que permite
a los ordenadores entender y ejecutar las órdenes sin mayores complicaciones, pues el circuito electrónico de la
máquina sólo tiene que distinguir entre dos dígitos para realizar las operaciones matemáticas y no entre diez,
como hubiera sucedido de haberse adoptado el sistema numérico decimal para el funcionamiento de los
ordenadores o computadoras.
Base de un sistema numérico
La base de un sistema numérico radica en la cantidad de dígitos diferentes que son necesarios para
representar las cifras. A continuación se puede apreciar la cantidad de dígitos diferentes que emplea un sistema
numérico en particular, de acuerdo con su correspondiente base numérica:

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BASE NUMÉRICA DÍGITOS EMPLEADOS
CANTIDAD TOTAL DE
DÍGITOS
Binaria(2) 0 y 1 2
Octal(8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 8
Decimal(10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 10
Hexadecimal(16)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,
E y F
16
Como se podrá observar, el dígito de mayor valor en el sistema numérico binario es el 1, en el octal el 7,
en el decimal el 9 y en el hexadecimal la letra F, cuyo valor numérico es igual a 15.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES
Descomposición de un número entero de base 10.
Para recordar cómo se realiza la descomposición en factores de un número entero perteneciente al
sistema numérico decimal (de base 10), veamos un ejemplo con el número 235. Este número está formado por la
centena 200, la decena 30 y la unidad 5, tal como se representa a continuación:
235 = 200 + 30 + 5
Para descomponer este número será necesario relacionar cada dígito con el factor 10 de la base numérica
y con los exponentes de las potencias que corresponden al lugar específico que ocupa cada uno en la cifra, es
decir, 100 para la unidad, 101 para la decena, 102 para la centena y así sucesivamente, tal como se puede ver a
continuación:
Descomposición de la centena: 200 = 2 . 102
Descomposición de la decena: 30 = 3 . 101
Descomposición de la unidad: 5 = 5 . 100
Por tanto, matemáticamente la descomposición del número 235 podemos representarla de la siguiente
forma:
23510 (base) = (2 . 102) + (3 . 101) + (5 . 100) = (200) + (30) + (5)
Por acuerdo internacional, no es necesario identificar la base de los números pertenecientes al sistema
decimal como se ha hecho en este ejemplo, porque se sobreentiende que es 10. Sin embargo, cualquier otro
sistema numérico es necesario identificarlo escribiendo al final de la cifra el número correspondiente a su base
con el fin de evitar confusiones.
¿Cuál es el significado numérico de la representación acostumbrada para los números? Es decir, por
ejemplo ¿qué significa la representación del número N=1998?

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Como es sabido, el número anterior significa 1 millar, más 9 centenas, más 9 decenas, más 8 unidades, es
decir, N puede escribirse como
N= 1*103 + 9 * 102+ 9*101 + 8*100
1.2 CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO
Matemáticamente, existe la posibilidad de convertir un número de un sistema numérico a otro.
Descomposición en factores de un número base 2 (binario) y su conversión a un número equivalente
en el sistema numérico decimal.
Veamos ahora cómo llevamos el número binario 101111012 a su equivalente en el sistema numérico
decimal. Para descomponerlo en factores será necesario utilizar el 2, correspondiente a su base numérica y
elevarlo a la potencia que le corresponde a cada dígito, de acuerdo con el lugar que ocupa dentro de la serie
numérica. Como exponentes utilizaremos el “0”, “1”, “2”, "3" y así sucesivamente, hasta llegar al "7",
completando así la cantidad total de exponentes que tenemos que utilizar con ese número binario. La
descomposición en factores la comenzamos a hacer de izquierda a derecha empezando por el mayor exponente,
como podrás ver a continuación en el siguiente ejemplo:
101111012 = (1 . 27) + (0 . 26) + (1 . 25) + (1 . 24) + (1 . 23) + (1 . 22) + (0 . 21) + (1 . 20)
= (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1)
= 18910
En el resultado obtenido podemos ver que el número binario 101111012 se corresponde con el número
entero 189 en el sistema numérico decimal.
Ejemplo. Convertir (11011)2, a base 10. En forma similar al ejemplo anterior
(11011)2= 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20
=16 + 8 + 0 + 2 + 1
= (27)10
Descomposición en factores de un número base 16 (hexadecimal) y su conversión a un número
equivalente en el sistema numérico decimal.
Ejemplo. Convertir (B2A)16 a base 10. Expresando el número en notación polinomial usando base 10
para representar cada cantidad involucrada en dicha notación:
(B2A)16= (1*162 + 2*161 + 10*160)10
= (11*256 + 2*16 + 10)10
= (2858)10
(En este caso y en los sucesivos se han obviado los paréntesis y el subíndice 10 para indicar decimal,
excepto hasta el resultado final).
CONVERSION DE UN SISTEMA BASE 10 A UN SISTEMA BASE r
El método para realizar esto que se presenta aquí y que se denomina método de divisiones sucesivas por
la base r
Conversión de un número entero del sistema numérico decimal al sistema de binario.
Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema
numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Utilizamos primero el mismo número 189 como

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dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A
continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y
así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible
continuar dividiendo. Veamos el ejemplo:
Una vez terminada la operación, escribimos los números correspondientes a los residuos de cada división
en orden inverso, o sea, haciéndolo de abajo hacia arriba. De esa forma obtendremos el número binario, cuyo
valor equivale a 189, que en este caso será: 101111012 .
De igual manera podemos realizar las conversiones para los sistemas de base 16 y base 8, las cuales a
diferencia de los sistemas binarios las divisiones se realizaran entre 16 y 8 respectivamente.
Ejemplo: Realizar la conversión de 10316 a base 10,
103/16= 6 y obtenemos de residuo 7
6/16= 0 y obtenemos de residuo 6 10316 = 6710
Ejemplo: Realizar la conversión de 1038 a base 10,
1/8=0 y obtenemos de residuo 1 1038 = 14710
Conversión entre bases rk y r
Cuando una de las bases involucradas en la conversión es una potencia entera de la otra la conversión se
vuelve muy sencilla, ya que se puede realizar en un sólo paso expresando cada dígito del número en base rk
usando k dígitos de base r. Además, este procedimiento no requiere aritmética de ningún tipo.
Ejemplo Convertir N=(10111011110)2 a base 8 y a base 16
Para base 8: Como 8 = 23, bastará con representar cada 3 dígitos del número binario en octal como se
muestra a continuación
N = 10, 111, 011, 110
2 7 3 6
Es decir, N= (2736)8
Para base 16: como 16=24, en forma similar al caso anterior
N = 101, 1101,1110
5 D E

5
Es decir, N= (5DE)16
1.3 OPERACIONES BASICAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION)
OPERACIONES EN SISTEMA BINARIO
Suma
Tabla de sumar de números binarios
Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10
Sean los números binarios 00102 y 01102
Primer paso
De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta
operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los
últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:
En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0
Segundo paso
Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se
acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a
derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.
Tercer paso
Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 =
10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del
sumando.
Cuarto paso
El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del
sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.
El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.

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Resta
Veamos cómo se hace en decimal, por ejemplo tienes 100-19, obviamente a 0 no le puedes quitar 9, así
que debemos tomar prestado 1 para volverlo un 10 (en decimal la base es 10), y así si 10-9=1.
En binarios pasa lo mismo, no le puedes quitar 1 a 0, debes de tomar 1 prestado al de un lado, pero
cuidado aquí viene lo complicado tu número no se va a volver 10, recuerda que en binario la base es 2 y por lo
tanto se volverá 2 en binario, y ahora sí a 2 le quitas 1, 2-1=1, y continuas restando pero recuerda que llevas 1,
porque pediste prestado.
Te voy a poner un ejemplo para que le entiendas mejor, vamos a restar 201 - 67, ya sabemos que es 134,
vamos a hacerlo en binario :
1 1 0 0 1 0 0 1.......................201
- 0 1 0 0 0 0 1 1.......................67
Tomamos los dos últimos números, 1-1 es igual a 0, y no llevamos nada (no pedimos prestado)
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
0
Ahora la siguiente columna 0-1, ya dijimos que no se puede, así que va a tomar 1 prestado al de la
columna del lado izquierdo, sé que vas a decir "es un cero, no nos puede prestar 1", lo que pasa es que ese cero le
pide a su vez al de lado, y así hasta que encuentres un 1, pero no te fijes en eso, vamos a seguir restando y no nos
vamos a preocupar por eso ahora, entonces ahora nos prestaron 1 (no importa quién) y tenemos un 1 0 (este
número es 2 en binario no 10 en decimal, no te vayas a confundir), entonces en binario tienes 10-1, que en
decimal es 2-1=1, y llevamos 1 (porque pedimos 1 prestado)
1 1 0 0 1 0 0 1 arriba
- 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo
------------------------
1 0
Para la siguiente columna tenemos 0 - 0, pero recuerda que tomamos 1 prestado así que en realidad
tenemos 0 - 1 (le sumamos el 1 al de abajo), de nuevo tenemos que pedir prestado y entonces tenemos en binaria
1 0 -1 que en decimal es 2-1=1, y de nuevo llevamos 1
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
1 1 0
Continuamos con 1 - 0 , pero como llevamos 1 tenemos ahora 1 - 1, esto si lo podemos resolver 1 - 1 = 1
(en binario y decimal).

7
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
0 1 1 0
Lo demás es muy fácil:
0 - 0=0
1 - 1=0
1 - 0=1
1 1 0 0 1 0 0 1
- 0 1 0 0 0 0 1 1
------------------------
1 0 0 0 0 1 1 0 que en decimal es 134.
Es lo mismo que la resta en decimal, pides prestado y llevas, nada más debes de ser cuidadoso y recordar
que tu base es 2.
NOTA: Ten cuidado con los números negativos porque esos son mucho más complicados y requieren de
otras reglas.
OPERACIONES EN SISTEMA HEXADECIMAL
En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas
operaciones matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se
puede hacer con el método de complemento a 15 o también utilizando el complemento a 16.
Suma
9 + 7 = 16 (16 - 16 nos llevamos 1 y es = 10) En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el
15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal).
A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)
Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.
A + A = 20 (20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)
La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la
respuesta obtenida será 14 (sistema hexadecimal).
Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números
puede crear confusiones.
F + E = 29 (29 – 16 =D y nos llevamos 1)
La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la
respuesta obtenida será 1D (sistema hexadecimal). Ahora haremos una operación más complicada:
A + 2 = 12 (12 corresponde a C)
Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica.

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Resta
Complemento C15
Podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15. Para ello
tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de
overflow (bit que se desborda).
Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos
que resolver:
A4FC9
- DE8
——————
¿?¿?¿?¿?
Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para
ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.
A4FC9
- 00DE8
——————
¿?¿?¿?¿?
Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como
en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que
escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.
FFFFF
- 00DE8
——————
FF217
La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el
complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.
Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema
hexadecimal, mencionada anteriormente.
A4FC9
+ FF217
——————
1A41E0
Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que
este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el
número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.
A41E0
+ 1
—————
A41E1
La respuesta es A41E1.

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Complemento C16
También podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 16,
siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a 15. Para resolver la resta, tendremos que sumar
al minuendo el complemento a dieciséis del sustraendo.
Para entender la resta en complemento a 16 lo analizaremos con el ejemplo anterior. Ésta es la resta que
tenemos que resolver:
A4FC9
- DE8
——————
¿?¿?¿?¿?
Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números, al
igual que ocurre en el proceso del complemento a 15. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean
suficientes.
A4FC9
- 00DE8
——————
¿?¿?¿?¿?
Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo.
Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F,
tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.
FFFFF
- 00DE8
——————
FF217
La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. Ahora tenemos que sumarle 1 a la
diferencia obtenida. Este paso es muy importante, ya que es la diferencia entre hacer la resta en complemento a
15 ó 16, y se suele olvidar fácilmente. Además, recuerda que estás sumando en sistema hexadecimal, siguiendo
el mismo proceso explicado anteriormente.
FF217
+ 1
—————
FF218
A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16. Ahora tendremos que
sumar el minuendo y el complemento a 16
A4FC9
+ FF218
——————
1A41E1
Con la suma obtenemos el resultado 1A41E1.
Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos
que restas, cosa imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que el minuendo y el sustraendo). Por eso, y

10
estando en complemento a 16, tendremos que despreciar (eliminar) el número de la izquierda. En este caso es el
1.
La respuesta, por lo tanto, es A41E1.
En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos resuelto la misma resta en
sistema hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar que hemos operado bien comparando las respuestas
obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta.
1.4 ALGORITMOS DE BOOTH PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN BINARIO.
¿Qué es el algoritmo de Booth?
El algoritmo de Booth es una aproximación más elegante para multiplicar números signados. Comienza
haciendo la observación de que con la posibilidad de sumar y restar hay múltiples formas de calcular un
producto. Suponer que queremos multiplicar:
Booth observo que una ALU que pudiera sumar o restar podía obtener el mismo resultado de más de una
manera. Por ejemplo, cómo podemos sustituir una cadena de "unos" del multiplicador por una resta inicial
cuando veamos primero un uno y más tarde sumamos el bit después del último uno. Por ejemplo:
La clave de la idea de Booth, está en sus grupos de clasificación de bits al comienzo, en medio o al final
de una ejecución de unos. Por supuesto, una cadena de ceros evita ya aritmética, así que podemos dejar estos
solos.
El algoritmo en sí tiene dos pasos:
1- Dependiendo de los bits actuales y anteriores hacer :
00 Ninguna operación aritmética.
01 Suma el multiplicando a la mitad izquierda del producto.
10 Resta el multiplicando de la mitad izquierda del producto.
11 Ninguna operación aritmética.
2- Desplaza el producto a la derecha.
Si se adapta este algoritmo al circuito de sumas y restas sucesivas, hay que introducir la corrección A*2n
cuando Bn-1=1, es decir, para multiplicandos negativos. Por tanto, eliminando el último paso del algoritmo de
sumas y restas, se obtiene un algoritmo adecuado para trabajar en complemento a dos.
Adaptación al circuito de la figura 2:

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Inicializar: A<-0 , el contador de fases I<-N, el multiplicador B<-Multiplicador, y el multiplicando MQ<-
Multiplicando
Comparar el bit MQ0 con el MQ-1.
Si es principio de cadena de "unos", restar A<-A-B
Si es final de cadena de "unos" (esto es, es el primer 0 después de uno o varios 1), sumar A<-A+B
Decrementar: I<-I-1
Desplazar aritméticamente a la derecha el conjunto concatenado A||MQ0||MQ-1.
Observar el contador I.
Si es menor que 0, volver al segundo paso.
Si es igual a 0, terminar.
1.5 APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS EN LA COMPUTACIÓN.
Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una computadora, únicamente
existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16).
Detallaremos el uso de cada uno de ellos por la computadora.
Sistema Binario
El Sistema Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de manera nativa por
una computadora, es el sistema en el que está escrita toda instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos
dígitos que 1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa
todos los datos con los que trabaja la computadora, desde su más bajo nivel: el hardware. Estos dígitos son
llamados bits

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Sistema Octal
Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales se denomina byte y es esta
la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el
sistema octal como tal, sino que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal
Sistema Hexadecimal
El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al
contener más dígitos es posible usar menos números para representar números más grandes, haciendo posible
que un byte, conformado por 8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo
que es un ahorro de información. Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal como
tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para
cada término hexadecimal. Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que
10101001
Sistema Decimal
Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el usuario, debido a que un usuario
común no está acostumbrado a tratar con diferentes sistemas numéricos.

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