Conversión Entre Sistemas de Numeración

SISTEMA DIGITAL Trabajo 6 Conversión Entre Sistemas de Numeración Por: Sábado, 12 Junio 2010 EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos y reglas que permiten construir todos los números válidos en el sistema; dichos números son usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal. Puede representarse como: P = (M, N) Donde: P, es el sistema de numeración considerado (binario, decimal, octal, etc.) M, es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7}; en el hexadecimal son {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. N, son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Definición El sistema de numeración decimal es el que utilizamos habitualmente; el cual, se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra Descripción El principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades; llamada decena, el agrupamiento de diez decenas forma una centena, la cual se ubica a la izquierda de las decenas, y así sucesivamente. Características Principales Se compone de diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10; por ejemplo 528, significa: 5*102 + 2*101 + 8*100. En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como: 8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2. Las posiciones que puede ocupar un dígito en una cifra son: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. En el caso de números con decimales, las posiciones de un dígito, después de la coma decimal son: décimos, centésimos, milésimos, etc. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL Definición Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24 Descripción Un número en el sistema hexadecimal se divide en cifras con diferente peso: 1, 16, 256, 4096, 65536,.... etc. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. Por ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16 en el sistema decimal es: 1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719 1A3F(16) = 6719(10) Características Principales Se compone de dieciséis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Sus símbolos se componen por 10 números y 6 letras. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación dígitos EL SISTEMA DE NUMERACION OCTAL Definición Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 8, por tanto, utiliza 8 símbolos diferentes para la representación de cantidades. Estos símbolos son: 0 1 2 3 4 5 6 7 En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal Descripción Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal >> binario >> octal. Características Principales Se compone de ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Una ventaja es que sólo utiliza dígitos y no letras u otro tipo de caracteres. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Los dígitos del sistema octal tienen el mismo valor que los del sistema decimal dígitos. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA Definición El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0) Descripción Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente, que se escribe a la izquierda de la unidad de orden anterior. Características Principales Se compone sólo de dos símbolos (0, 1). El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 2. El sistema binario también es denominado lenguaje de bajo nivel. La adyacencia es una característica que consiste en que de una combinación binaria a la siguiente, sólo varía un bit (distancia igual a uno). Esta propiedad es aplicable únicamente a las combinaciones binarias de un código, no al código en sí mismo. La distancia entre dos combinaciones es el número de bits que cambian de una a otra. La continuidad es una característica de los códigos binarios que cumplen que todas las posibles combinaciones del código son adyacentes, es decir, que de cualquier combinación del código a la siguiente cambia un sólo bit. TECNICAS RAPIDAS DE CONVERSION ENTRE SISTEMAS DE NUMERACION CONVERSION DE NUMEROS ENTEROS Decimal – Hexadecimal La división sucesiva por 16 de un numero decimal generara el numero hexadecimal equivalente formado por los restos de la división. El primer resto que se genera es el digito menos significativo. Cada división sucesiva por 16 dará un resto que el digito del número hexadecimal equivalente. Ejemplo: Convertir a hexadecimal el numero decimal 650 por el método de divisiones sucesiva por 16 1616650 10 40 8 2 650 = 28A (16) Hexadecimal – Decimal En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. Un método para encontrar el equivalente decimal de un numero hexadecimal es, primero, convertir el numero hexadecimal a binario y después es binario a decimal. Ejemplo: Convertir 1C(16) a decimal. 1 C 0001 1100= 24 + 23 + 22 = 16 + 8 +4 = 28(10) Otro método para convertir un numero hexadecimal a su equivalente decimal es multiplicar el valor decimal de cada digito hexadecimal por su peso, y luego realizar la suma de estos productos. Los pesos de un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de derecha a izquierda). Para un número hexadecimal de 4 dígitos. 163162161160 4096246161 Ejemplo: Convertir E5(16) a decimal E5(16) = (E x 16)+(5 x 1) = (14 x 16)+(5 x 1) = 224+5 = 229(10) Decimal – Octal Un método para convertir un número decimal en un número octal es el método de la división sucesiva por 8. Ejemplo: Convertir 359 a base 8 88359 7 44 4 5359(10) = 547(8) Octal – Decimal Ya que el sistema de numeración octal es un sistema de base ocho, cada posición sucesiva de dígitos es una potencia superior de ocho, empezando por el digito situado más a la derecha con 80. La evaluación de un número octal en términos de su equivalente decimal se consigue multiplicando cada digito por su peso y sumando los productos. Ejemplo: Convertir 2374(8) a decimal Peso: 83 82 81 80 Numero Octal: 2 3 7 4 2374(8) = (2 x 83) + (3 x 82) + (7 x 81) + (4 x 80) = (2 x 512) + (3 x 64) + (7 x 8) + (4 x 1) = 1024 + 192 + 56 + 4 = 1276(10) Decimal – Binario Método de la suma de pesos Una forma de calcular el número binario equivalente a un número decimal dado es determinar el conjunto de pesos binarios, cuya suma es igual al número decimal. Una forma fácil de recordar los pesos binarios es que el pero más bajo es 1, es decir 20, y que duplicando cualquier peso, se obtiene el siguiente pero superior; por tanto, la lista de los siete primeros peros binarios seria: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; como se aprenderá es la última sección. El numero decimal 9, por ejemplo, puede expresarse como la suma de los pesos binarios siguientes: 9 = 8 + 1 ó 9 = 23 + 20 Colocando los unos en las posiciones de pesos adecuadas, 23 y 20; y los ceros en las posiciones 22 y 21, se determina el número binario correspondiente al decimal 9: 23 22 21 20 1 0 0 1 Nueve Binario Método de las divisiones sucesivas Un método sistemático para convertir a binario números enteros decimales es el proceso de la división sucesiva por 2. Por ejemplo, para convertir a binario el numero decimal 12, comenzamos dividiendo 12 entre 2. Luego cada cociente resultante se divide por 2 hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es 0. Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo del número binario, y el último resto es el bit más significativo. Este procedimiento, se muestra en los pasos siguientes para convertir el número 12 en decimal. 2212 0 6 0 321 1 12 = 1100(2) Binario – Decimal El valor decimal de cualquier número binario se puede determinar sumando los pesos de todos los bits que son 1, y descartando los pesos de todos los bits que son 0. Ejemplo: Convertir el numero entero binario 1101101 a decimal Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se obtiene la suma de los pesos para obtener el número decimal . Peso: 26 25 24 23 22 21 20 Numero Binario: 1 1 0 1 1 0 1 1101101 = 26 + 25 + 23 + 22 + 20 = 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109 Octal – Binario Ya que cada digito octal se puede representar mediante un numero binario de 3 dígitos, es fácil convertir a binario un numero octal. Para convertir un número octal en un número binario, simplemente se reemplaza cada digito octal por el correspondiente grupo de tres bits. Ejemplo 1: Convertir 13(8) a binario. 1 3001 011 Ejemplo 2: Convertir 7508 a binario: 78 = 1112 58 = 1012 08 = 0002 Y, por tanto: 750(8) = 111101000(2) Binario – Octal La conversión de un numero binario a un numero octal es el inverso de la conversión de octal a binario. Para convertir a binario se comienza por el grupo de tres bits más a la derecha y moviéndose de derecha a izquierda, se convierte cada grupo de 3 bits en el digito octal equivalente. Si para el grupo más a la izquierda no hay disponibles tres bits, se añade uno o dos ceros para completar el grupo, estos ceros no afectan al valor del numero binario Ejemplo: Convertir 110101(2) a octal 110 101 6 5110101(2) = 65(8) Ejemplo: Convertir 101001011(2) a octal 1012 = 58 0012 = 18 0112 = 38 Y, de ese modo: 101001011(2) = 513(8) Hexadecimal – Binario Para convertir un número hexadecimal en un número binario se realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo hexadecimal por el grupo de cuatro bits adecuados. Ejemplo: Convertir 10A4 (16) a número binario. 1 0A4 1 0000 1010 0100 Binario – Hexadecimal La conversión de un binario en hexadecimal es un procedimiento muy sencillo. Simplemente se parte el número binario en grupos de 4 bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente. Ejemplo: Convertir a hexadecimal el siguiente numero binario 1100101001010111(2) 1100 1010 0101 0111 C A 5 7 = CA51(16) 101001110011(2) 10102 = A16 01112 = 716 00112 = 316 Y, por tanto: 1010011100112 = A7316 En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo: 1011102 = 001011102 = 2E16 Hexadecimal – Octal Para realizar la conversión de Hexadecimal a Octal, se realiza lo siguiente: Primero se convierte la cantidad hexadecimal a binario. (Se debe reemplazar el dígito hexadecimal por los cuatro dígitos binarios correspondientes). Después se convierte de binario a octal. (Se debe agrupar la cantidad binaria en grupos de 3 en 3, iniciando por el lado derecho, si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda). Por último se sustituye el valor octal correspondiente por los 3 dígitos binarios Ejemplo: 6BD Proceso: Tomamos los números en ese orden y cada uno lo convertimos a binario por separado: 6 B D 0110 1011 1101 Ahora agrupa de 3 en 3 (comienza de izquierda a derecha), convierte de binario a octal. 011 010 111 101 3 2 7 5 Por tanto: 6BD=3275 CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES Decimal – Hexadecimal A la fracción decimal se multiplica por 16, obteniendo en la parte entera del resultado el primer dígito de la fracción hexadecimal buscada, y se repite el proceso con la parte fraccionaria de este resultado. El proceso se acaba cuando la parte fraccionaria desaparece o hemos obtenido un número de dígitos que nos permita no sobrepasar el máximo error que deseemos obtener. Ejemplo: Pasar a hexadecimal la fracción decimal 0.06640625 0.06640625*16=1.0625 0.0625*16 = 1.0 Luego 0.06640625(10)=0.11(16) Hexadecimal – Decimal Los números hexadecimales son convertidos a su equivalente decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente decimal del dígito de cada posición y sumando los productos. Entonces: A21,116=2593,0.062510 10*162+2*161+1*1+1*16-1 10*256+2*16+1*1+1/16 2560+32+1+0.0625 2593,0.062510 Decimal – Octal Se toma la fracción decimal y se multiplica por 8, obteniendo en la parte entera del resultado el primer dígito de la fracción octal resultante y se repite el proceso con la parte decimal del resultado para obtener el segundo dígito y sucesivos. El proceso termina cuando desaparece la parte fraccionaria del resultado o dicha parte fraccionaria es inferior al error máximo que deseamos obtener. Ejemplo: 0.140625*8=1.125 0.125*8=1.0 0.140625(10)=0.11(8) Octal – Decimal Si la conversión es de octal a decimal se procederá como en el siguiente ejemplo. Ejemplo: 740,238=480,296875 7*82+4*81+0*80+2*8-1+3*8-2 7*64+4*8+0+2/8+3/64 448+32+0+0,25+0,046875 480,296875 Decimal – Binario Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario: Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que 1 en binario será 1, y en caso contrario es 0). En caso de ser 1, en la siguiente multiplicación se utilizan sólo los decimales. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1. Ejemplo: 0,3125 (decimal) 0,0101 (binario). Proceso: 0,3125 x 2 = 0,625 0 0,625 x 2 = 1,25 1 0,25 x 2 = 0,5 0 0,5 x 2 = 1 1 En orden: 0101 0,0101 (binario) Ejemplo: del 0,1. 0,1 x 2 = 0,2 0 0,2 x 2 = 0,4 0 0,4 x 2 = 0,8 0 0,8 x 2 = 1,6 1 0,6 x 2 = 1,2 1 0,2 x 2 = 0,4 0 se repiten las cuatro cifras, periódicamente 0,4 x 2 = 0,8 0 0,8 x 2 = 1,6 1 0,6 x 2 = 1,2 1 ... En orden: 0, 0011 0011... Binario – Decimal Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1). Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Ejemplo: 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (-1)=0,5 0*(2) elevado a (-2)=0 1*(2) elevado a (-3)=0,125 0*(2) elevado a (-4)=0 0*(2) elevado a (-5)=0 1*(2) elevado a (-6)=0,015625 La suma es: 0,640625 Octal – Binario Al ser la base del octal (8) potencia de la base binaria (23), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito octal será reemplazado por 3 dígitos binarios (3 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación. OctalBinario00001001201030114100510161107111 Ejemplo: Convertir a binario el número 276,5348 2 7 6, 5 3 4 010 111 110, 101 011 100 276,5348 = 10111110,1010111 Como se puede ver los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido). Binario – Octal Para esta conversión cada tres símbolos binarios corresponde uno octal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 3 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número. Ejemplo: Convertir el binario 10101011,0011 a octal. 010101011,001100253,14 0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión. 10101011,00112 = 253,148 Hexadecimal – Binario La transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito hexadecimal será reemplazado por 4 dígitos binarios (4 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación. HexadecimalBinarioHexadecimalBinario0000081000100019100120010A101030011B101140100C110050101D110160110E111070111F1111 Ejemplo: Convertir a binario el número 5A8,39C16 5 A 8, 3 9 C 0101 1010 1000, 0011 1001 1100 5A8,39C16 = 10110101000,00111001112 Como se puede ver otra vez los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido) Binario – Hexadecimal Esta conversión es similar a la conversión a octal, pero en lugar de tres, serán cuatro símbolos binarios los que corresponde a un hexadecimal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 4 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número. Ejemplo: Convertir el binario 1010101011,00111 a hexadecimal. 0010 1010 1011, 0011 1000 2 A B, 3 8 0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión. 1010101011,00111 2 = 2AB,38816 Hexadecimal – Octal Para realizar la conversión de Hexadecimal a Octal, se realiza de la misma manera que la de la conversión normal de números enteros, teniendo en cuenta que después de la coma el resultado también debe ir separado con coma. Ejemplo: 5BE,9A Proceso: Tomamos los números en ese orden y cada uno lo convertimos a binario por separado: 5 B E, 9 A 0101 1011 1110, 1011 1010 Ahora agrupa de 3 en 3 (comienza de izquierda a derecha), convierte de binario a octal. 010 110 111 110, 101 110 100 2 6 7 6, 5 6 4 Por tanto: 5BE,9A=2676,564 CONVERSION DE NUMEROS ENTEROS Y DECIMALES Decimal – Hexadecimal Se puede realizar empleando dos procesos: Divisiones sucesivas por 16, cuando el número es entero, o multiplicaciones sucesivas por 16, cuando el número es fraccionario. Siguiendo los mismos lineamientos empleados con los otros sistemas numéricos. Ejemplo 1: 650(10) 650 / 16 = 40 y resta 10 = A (dígito más próximo al punto hexadecimal) 40 / 16 = 2 y resta 8 (dígito a la izquierda del anterior) No se puede continuar dividiendo, por lo que el 2 queda como símbolo más significativo a la izquierda del anterior. Resultado 650(10) = 28A(16) Ejemplo 2: 2588(10) 2588 / 16 = 161 y resta 12 = C (dígito más próximo al punto hexadecimal) 161 / 16 = 10 y resta 1 (Dígito siguiente a la izquierda del obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el diez (la A) queda como símbolo más significativo a la izquierda del obtenido arriba Resultado 2588(10) = A1C(16) Ejemplo 3: 0.642(10) 0.642 x 16 = 10.272 (dígito más próximo al punto hexadecimal) 1010=A16 0.272 x 16 = 4.352 (dígito siguiente a la derecha del anterior) 0.352 x 16 = 5.632 (dígito siguiente a la derecha del anterior) 0.632 x 16 = 10.112 (Dígito siguiente a la derecha del anterior) 1010=A16 Resultado 0.642(10) = 0.A45A (16) OBSERVACION: Note que la conversión no fue exacta Hexadecimal – Decimal Los números hexadecimales son convertidos a su equivalente decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente decimal del dígito de cada posición y sumando los productos. Entonces: 121(16) = 1 x 162 + 2 x 161 + 1 x 160 = 1 x 256 + 2 x 16 + 1 x 1 = 256 + 32 + 1 = 28910 A1C(16) = A x 162 + 1 x 161 + C x 160 = 10 x 256 + 1 x 16 + 12 x 1 = 2560 + 16 + 12 = 258810 OBSERVACION: Los valores que sustituyen a las letras se obtienen de la tabla dada arriba. Decimal – Octal En este caso basta usar el mismo método de conversión con los números binarios. Pero en vez de hacer divisiones sucesivas por 2 hay que efectuarlas por 8. Nótese que el divisor corresponde a la base del sistema al cual se va a convertir. Ejemplo 1: Convertir 245(10) 245 / 8 = 30 y resta 5 (dígito más próximo al punto octal) 30 / 8 = 3 y resta 6 (dígito a la izquierda del 5 obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el 3 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 6 obtenido arriba. Resultado: 245(10) = 365(8) Ejemplo 2: Convertir 175(10) 175 / 8 = 21 y resta 7 (dígito más próximo al punto octal) 21 / 8 = 2 y resta 5 (dígito a la izquierda del 7 obtenido arriba) No se puede seguir dividiendo, por lo que el 2 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 7 obtenido arriba. Resultado: 175(10) = 257(8) Se emplea el método de multiplicaciones sucesivas, pero en este caso por 8. Necesarias para convertir números fraccionarios. Ejemplo 3: Convertir 0.432(10) 0.432 x 8 = 3.456 (dígito más próximo al punto octal) 0.456 x 8 = 3.648 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba) 0.648 x 8 = 5.184 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba) 0.184 x 8 = 1.472 (dígito a la derecha del 5 obtenido arriba) Resultado: 0.432(10) = 0.3351(8) OBSERVACION: Note que la conversión no exacta. Octal – Decimal Para ara realizar la conversión de un número en base octal a decimal, se debe proceder de la siguiente manera: Iniciar por el lado derecho del número octal, cada número debe ser multiplicado por 8, el cual, antes debe ser elevado a la potencia consecutiva iniciando por la potencia cero. Después se procede a sumar el resultado de cada una de las multiplicaciones y el número resultante viene a ser el equivalente en sistema decimal. Veamos esto con un ejemplo: Convertiremos a decimal el número 4023(8) Primero multiplicamos cada número por la base elevada a la potencia consecutiva: 3(80) = 3 2(81) = 16 0(82) = 0 4(83) = 2048 Sumamos los resultados obtenidos: 3 + 16 + 0 + 2048 = 2067 que es el equivalente de 4023(8) Decimal – Binario Aquí veremos el método de divisiones y multiplicaciones sucesivas. Para convertir un número ENTERO decimal a una nueva base, el número decimal es sucesivamente dividido por la nueva base. Como en nuestro caso la nueva base es 2 el número será sucesivamente dividido por 2, o sea, el número original es dividido por 2, el resultado de ese cociente es dividido por 2 sucesivamente hasta que el cociente de 0. El resto de cada división es un número binario que conforma el número resultante de la conversión. El primer resultado producido (el primer resto obtenido) corresponde al bit más próximo al punto decimal (o lo que se conoce como bit de menor peso). Los sucesivos bits se colocan a la izquierda del anterior. Nótese que esto es como escribir en sentido contrario al empleado normalmente. Veamos esto con un ejemplo: convertir a binario 18.625(10) 1º. Convertiremos a binario el número 18(10) 18 / 2 = 9 y resta 0 (este cero es el bit más próximo al punto binario) 9 / 2 = 4 y resta 1 (este uno es el bit que le sigue a la izquierda al cero obtenido arriba) 4 / 2 = 2 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda al uno obtenido arriba) 2 / 2 = 1 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda al cero obtenido arriba) Con 1 no se puede continuar dividiendo pero se coloca éste a la izquierda del cero obtenido arriba, quedando como bit de mayor peso. Entonces, 18(10) = 10010(2). En el caso de convertir un número decimal FRACCIONARIO, la parte fraccionaria debe ser multiplicada por 2 y el número binario es formado por 0's o 1's que aparecen en la parte correspondiente al entero. Solo que en este caso el número binario se escribe de izquierda a derecha, a diferencia de lo explicado antes para los números enteros. Las multiplicaciones se efectúan SOLO sobre la parte fraccionaria del número por lo que siempre serán 0.XXX. Nunca debe multiplicar 1.XXX. El proceso de multiplicaciones sucesivas concluye cuando quedan en cero la parte entera y la fraccionaria. 2º. Convertiremos el número fraccionario 0.625(10) 0.625 x 2 = 1.250 (bit más próximo al punto binario) 0.250 x 2 = 0.500 (bit a la derecha del uno obtenido anteriormente) 0.500 x 2 = 1.000 (bit a la derecha del cero obtenido anteriormente) La operación concluye porque no queda parte fraccionaria para seguir multiplicando. 0.625(10) = 0.101(2) Luego unimos amos resultados lo cual nos da: 18.625(10) =10010.101(2) Binario – Decimal Para poder transformar números binarios en su correspondiente decimal basta multiplicar el dígito binario (que sólo puede ser 0 o 1) por 2 elevado a la potencia correspondiente a la distancia de ese símbolo al punto decimal. Luego se suman los valores obtenidos y se consigue el número final. Ejemplos: 10(2) = 1x21 + 0x20 = 1x2 + 0x1 = 2 + 0 = 210 101(2) = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 510 1001(2) = 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 8 + 0 + 0 + 1 = 910 Y para número fraccionarios: 0.011(2) = 0x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3 = 0x0.5 + 1x0.25 + 1x0.125 = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.37510 0.101(2) = 1x 2-1 + 0x 2-2 + 1 x 2-3 = 1x0.5 + 0x0.25 + 1 x0.125 = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.62510 110.010(2) = 1x22 + 1x21 + 0x20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 = 1x4 + 1x2 + 0x1 + 0x0.5 + 1x0.25 + 0x.125 = 4 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 0 =6.2510 Como se ve en los ejemplos el punto decimal aparece automáticamente en la posición correcta una vez efectuada la suma de los componentes Octal – Binario La conversión de un número octal a su equivalente en binario se logra sustituyendo cada dígito octal por sus correspondientes 3 dígitos binarios: Veamos esto con un ejemplo: Convertiremos a decimal el número 14576(8) 14576001100101111110 Por lo tanto, el número 14576(8) representado en binario es 1100101111110 Binario – Octal Para ara realizar la conversión de un número binario a octal, se debe proceder de la siguiente manera: Se agrupa la cantidad binaria en grupos de 3, iniciando por el lado derecho, si al terminar de agrupar, el último grupo (empezando de la derecha) no completa los 3 dígitos, entonces se agrega ceros a la izquierda. Luego a cada grupo formado se reemplaza por su equivalente en octal, de acuerdo a la siguiente tabla: Número000001010011100101110111Valor01234567 Finalmente la cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha Veamos un ejemplo: Convertiremos a octal el número 110111(2) El número agrupado de derecha a izquierda: 111 = 7 110 = 6 Entonces el número en octal es 678 Hexadecimal – Binario Para efectuar la conversión basta con colocar los cuatro bits correspondientes a cada símbolo del número hexadecimal respetando su posición original. Para saber el valor de cada símbolo sólo tiene que mirar la tabla de relación entre sistemas mostrada arriba. Por ejemplo: Para convertir 7A2(16) 7A2011110100010 Resultado: 7A2(16) = 011110100010(2) Otro ejemplo: Para convertir 3D4.F(16) 3D4.F001111010100.1111 Resultado: 3D4.F(16) = 001111010100.1111(2) Binario – Hexadecimal Primeramente hay que agrupar los bits de a cuatro comenzando por la derecha y siguiendo hacia la izquierda. Si bien en palabras cuya longitud sea múltiplo de cuatro esto no tiene obligatoriedad, en aquellas cuyo tamaño no sea múltiplo de cuatro si selecciona de izquierda a derecha los grupos de bits quedarán mal conformados. Esto anterior para la parte entera. Para la parte fraccionaria el orden es inverso, o sea que se agrupa de izquierda a derecha. Nótese que siempre es del punto hacia afuera. Una vez formados los grupos basta con fijarse en la tabla y reemplazar cada grupo por el símbolo Hexadecimal correspondiente. Ejemplo 1: Convertir 101011010010(2) 101011010010AD2 Resultado: 101011010010(2) = AD2(16) Ejemplo 2: Convertir 10111010110(2) 101110101105D6 Resultado: 10111010110(2) = 5D6(16) Ejemplo 3: 1101011110.101(2) 001101011110101035EA Resultado: 1101011110.101(2) = 35E.A(16) OBSERVACION: Cuando un grupo de bits de la parte entera queda formado por menos de cuatro bits sus posiciones a la izquierda deben ser asumidas como ceros, las cuales verá que no surten efecto en el valor. En tanto cuando esto ocurra en la parte fraccionaria pasa posiciones a la derecha son las que deben ser completadas con cero. Aquí si tiene efecto. En el ejemplo de arriba los ceros se colocaron resaltados para facilitar su visualización. Hexadecimal - Octal Para ara realizar la conversión de un número hexadecimal a octal, se sigue los siguientes pasos: Primero se convierte la cantidad hexadecimal a binario (reemplazando el dígito hexadecimal por los cuatro dígitos binarios que representan a cada número). Después se convierte de binario a octal (agrupando la cantidad binaria en grupos de 3 en 3, iniciando por el lado derecho, completando con ceros a la izquierda en caso no se complete los 3 dígitos) Luego se reemplaza cada grupo formado por su equivalente en octal, de acuerdo a la siguiente tabla: Número000001010011100101110111Valor01234567 Finalmente la cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha Veamos un ejemplo: Convertiremos a octal el número 6BD(16) Se convierte el número dado en binario: 6BD011010111101 Ahora se agrupa los dígitos de 3 en 3 y se reemplaza por su equivalente en octal: 0110101111013275 Entonces el número 6BD (16) en octal es 3275(8) COMENTARIOS DEL TEMA Conocer y entender lo que son los sistemas de numeración nos parece importante; puesto que no es necesario ser ingenieros para saber este tema; porque creemos que nos servirá no sólo en el ámbito profesional, sino también en el personal y sobre todo en el social ya que actualmente las personas debemos ser competitivas e íntegras. Los sistemas de numeración; es un tema que al principio nos pareció complejo y difícil; pero durante la realización del trabajo fuimos entendiendo cómo es que estos funcionan y comprendimos las operaciones que se realizan con dichos sistemas. CONCLUSIONES SOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Del sistema de numeración decimal Este sistema de numeración es el que comúnmente conocemos, y utilizamos con este sistema de numeración podemos hacer combinaciones con 10 dígitos que van desde el cero hasta el nueve. Todos los números que están a la derecha de la coma decimal, representa a todos los números menores que la unidad; sin embargo la forma de trabajar con éstos es similar a los números mayores a la unidad, la diferencia radica en que los exponentes de las potencias de diez son negativos Del sistema de numeración hexadecimal Al no contar con más dígitos en el sistema decimal (dicho sistema cuenta sólo con diez dígitos); el sistema hexadecimal toma como dígitos a seis letras del alfabeto; llegando así a tener 16 dígitos. El sistema de numeración hexadecimal comparte algunas características de los sistemas octal y binario. Este sistema es utilizado en informática y en las ciencias de la computación Del sistema de numeración octal El sistema de numeración octal cuenta con ocho dígitos (desde el cero hasta el siete), el valor de las posiciones de cada dígito están determinadas por la potencia de ocho. Para pasar un número que está en sistema decimal a octal; primero debemos pasarlo a la base dos y luego al sistema octal. Es utilizado en algunos casos en informática; en vez del sistema hexadecimal Del sistema de numeración binaria Este sistema es el más utilizado en informática y en ciencias de la computación, ya que sólo tiene por dígitos al cero y al uno; los cuales representan los dos niveles de voltaje; el cero representa el ‘apagado’ y el uno representa el ‘encendido’. SOBRE LAS TÉCNICAS RÁPIDAS DE CONVERSIÓN De la conversión de números enteros En informática se trabaja no solamente con el sistema decimal sino también con otros sistemas de numeración como por ejemplo el binario; entonces para convertir fácilmente de un sistema a otro se utilizan las formas rápidas y sencillas como convertir los sistemas decimales, hexadecimales, octales y binarios a cualquiera de una de estas. Es necesario en algunas ocasiones convertir primero a otro sistema de numeración y después al que se nos pide. De la conversión de números decimales Para convertir números decimales de los sistemas de numeración: decimales, hexadecimales, octales y binarios a cualquiera de una de estas. Se tiene cuidado con las comas decimales. Si es para convertir por ejemplo del sistema binario a decimal se aumentan los ceros antes y después de la coma decimal tantos que sean necesarios De la conversión de números enteros y decimales Como podemos ver la conversión de un número en base 10 a base n se realiza a través de divisiones y multiplicaciones sucesivas por n. La conversión de un numero entero y decimal para la facilidad de su conversión se lo realizar por separado y luego se lo une. SOBRE LOS COMENTARIOS DEL TEMA Todo el desarrollo del tema no ha permitido ver las diversas formas del como es el procedimiento para la conversión en los diferentes sistemas. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Eloy L., Thomas (2000). Fundamentos de Sistemas Digitales (Sétima Edición). España: Prentice Hall Gonzales Gómez, Juan (2002). Circuitos y Sistemas Digitales. España J. Tocci, Ronald. SISTEMAS DIGITALES: principios y aplicaciones Consultado el 8 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://www.fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node111.html Consultado el 8 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html#Sistema_de_numeraci%F3n_decimal: Consultado el 10 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://www.scribd.com/doc/3290086/Sistema-de-numeracion 10 d junio del 2008

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