Soluc libro mate 2009

CpechPreuniversitario,Edición2009CpechPreuniversitario,Edición2009

CpechPreuniversitario,Edición2009
3
SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 1
Conjuntos Numéricos
1. La alternativa correcta es C
1
3
3
6
1
5
6
15
2
6
3
6
3
15
6
15
5
6
9
15
5
6
15
9
5
6
5
3
25
18
+
+
+
+
⋅
⋅
, amplificamos para igualar denominador
, sumamos
, ordenamos la fracción compuesta
, simplificamos y multiplicamos.
3
4
1
8
5
8
1
4
6
8
1
8
5
8
2
8
7
8
7
8
1
1
8
8
+
+
+
+
=
=
, amplificamos para igualar denominadores
, sumamos
, adecuando a la alternativa

4
3. La alternativa correcta es A
2
1
3
4
1
3
6
1
4
2
1
4
7
3
13
3
25
4
9
4
6
3
16
4
6
3
4
16
2
4
−
−
−
−
−
− ⋅
−
−
44
8
, transformamos los números mixtos a fracciones
, restamos
, desarrollamos la fracción compuesta
, simplificamos
, amplificamos para adecuarnos a la alternativa
Reemplazamos los valores
( )
2
3
1
9
1
7
3
7
9
3
7
1
3
+ ⋅
⋅
, sumamos y ordenamos
, simplificamos
Transformamos los decimales periódicos a fracciones
0 62
62
99
0 62 0 62
62
99
62
99
124
99
,
, ,
=
+
+ , sumamos

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5
capítulo 1 Solucionario Matemática
15
30
14
26
4
7
1
21
1
2
7
13
13
21
1
2
1
3
3 2
6
1
6
− ⋅ +
− ⋅
−
−
=
( )
( )
, simpliﬁcamos y sumamos en el interior del paréntesis
, simpliﬁcamos
, restamos
7. La alternativa correcta es E
Transformamos los decimales a fracción
0 5
5
9
0 25
25 2
90
23
90
5
9
23
90
73
90
,
,
=
=
−
=
+
, entonces
, sumamos
Del enunciado
b c
b
c
= ⋅
=
3
3
, despejamos el número 3
, 3 es un número primo
9. La alternativa correcta es D
I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo.
II. De lo anterior P es un elemento de IN
III.Falso

6
Se trabaja desde abajo hacia arriba
1) 1
1
2
3
2
1
1
3
2
1
2
3
5
3
1
1
5
3
1
3
5
8
5
1
1
8
5
1
5
8
+ =
+ = + =
+ = + =
+ = + ==
13
8
2)
3)
4)
Reemplazando los valores
1
3
11
18
2
3
5
2
1
3
11
18
11
6
1
3
1
3
2
3
2
3
6
9
0 6
−
−
−
−
+
= =
[ ]
( )
,
, desarrollando el paréntesis
, ordenando y simplificando
, sumamos
, amplificamos y transformamos a decimal
Del enunciado se tiene
1
5
1
2
15
4
3
2
⋅ ⋅ ⋅ , simplificamos y el resultado es:

7
2 2 2 1
2
1
1
2
2
3
2
2
2
3
4
3
+ − ⋅
−
⋅
( )
, realizamos las operaciones
, ordenamos
, multiplicamos
Del enunciando se tiene:
2
1
3
5
1
2
18
5 6
30
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
, simplificando
, multiplicando
Por definición, la fracción es la W-ava parte de V
Primero se determina el valor de a, b y c
a
b
c
= ⋅ =
= ⋅ =
=
−
−
2
9
5
9
10
81
1
10
9
9
1
10
102 10
90
25 2
90
( )
( ))
c
c
= ⋅
=
92
90
90
23
4
, simplificamos
Por lo tanto:
4
10
81
1
10
〉 〉
〉 〉c a b

8
Tenemos que
1
3
0 3
1
2
0 5
13
27
0 48= = =, , ,
Por lo tanto:
0 4
13
27
, y están entre
1
3
1
2
y
I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellos
II. Verdadero, por deﬁnición
III.Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.
I. Falso
II. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero.
III.Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2
20.La alternativa correcta es D
Del enunciado
( )
( )
[(
a
a
a
b
b
b
a
+ + =
+ =
=
− − =
− =
=
⋅
3 1 14
4 14
10
5 1 6
6 6
12
2 ++ +
⋅ + +
⋅
b) ]
[( ) ]
[ ]
1
2 10 12 1
2 23
46
, despejemos a
, despejemos b
, reemplazando los valores
, sumando
, multiplicando

9
Potencias y Raíces
Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos:
a
a
n
n
+
+
=
1
1
1
2. La alternativa correcta es B
Simpliﬁcando y utilizando propiedad de división de potencia:
3
3
3 1 5 2 2 3
2 7 1
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
− − − −
−
a b c
a b c
( ) [ ( )] ( )
Distribuyendo los términos de la expresión:
15
5
5
5
3 1
−
−
, por división de raíces de igual índice.
Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis:
( )
( )
2 3
1
1
2
2
−
−
CAPÍTULO 1

10
La expresión se puede escribir de la siguiente manera:
6 6 3 3 2
6 3 6 3 2
18 6 6
1
2 2 2
2 2
2 2
n n
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
−
( ) ( )
88n
, por multiplicación de potencias de
igual exponente.
, por multiplicación de potencias de
igual base.
Utilizando potencia de 10 y simpliﬁcando:
16 10 8
32 10
4 10
10
4 10
4 10
3
5
3
5
3 5
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
− − −[ ( ))
22
, Simpliﬁcando
, por división de potencias de igual base
Tenemos:
4 8
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
1
6 3
8
2 6 3 3
8
12 9
8
12
8
9
8
4
+
+
+
+
+
( ) ( )
66 2
18
+
, realizando cambio de base
, aplicando potencia de potencia
, distribuyendo
, por división de potencia de igual base
,desarrollando la potencia
Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponen-
te es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.
tenemos que:
x
x
= −
=
1
2
1
4
2
x
x
3
4
1
8
1
16
= −
=
entonces: − 〈− 〈 〈
1
2
1
8
1
16
1
4
x x x x〈 〈 〈3 4 2

11
La potencia ( )ax
1
2
se puede escribir como una raíz de la forma:
ax
x
a
x
ax
a x ax
x
ax ax
=
⋅ =
⋅ =
1 3
, entonces
I. , verdadero
II. , verdadero
III. , verdadero
Reemplazando X por 2, tenemos
=
⋅
+
=
=
=
2 2
2 2
2
4
2
2
2
3
4
4
2
2
, por multiplicación de potencia de igual base
, realizamos cambio de base
, por división de potencias de igual base.
3 12 1
3 12 1
36 1
6 1 7
4 2
2
⋅ +
⋅ +
+
+ =
( ) , por propiedad de raíces
, multiplicamos raíces de igual índice
, desarrollamos
La ﬁnalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente
es 45
podemos racionalizar por 445
4 4 4 45 5
4
55
⋅ = = , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base 4 25 25
=
, lo que permite racionalizar por 235
.
2 2 225 35
⋅ = , 235
, no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia
tenemos que: 2 835 5
=

12
Si factorizamos por 511
5 5 1 5 24 6 4 511 2 11 11
( )− = ⋅ = ⋅ ⋅
entonces, la expresión es divisible por 6 y 511
I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales.
II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales
muchos no cumplen con dicha proposición.
III.Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.
Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista.
54 2 27 3 233 33 3
µ µ µ= ⋅ ⋅ =
Reemplazando los valores en la ecuación
π ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ =R2
2
2 4
3 3 3 3 3 3 3 cm2
Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tene-
mos que
1) 3 horas = 5 ∙ 2
2) 6 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2
3) 9 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
4) 12 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 23
n
en este caso
5 2 5 2 5 16 80
12
3 4
⋅ = ⋅ = ⋅ = Bacterias

13
De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que:
a0
= 1 ; con a ≠ 0
a0
= indeﬁnido con a = 0
Con (1) por sí sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposi-
ción (2) podemos contestar satisfactoriamente.
De la proposición (1) podemos inferir que (a-1)4
será un par positivo salvo en el caso que a = 1.
La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1)4
siempre toma el valor
de un par positivo.
Igualamos las bases de todas las identidades subradicales
5
3
3
3 3 3
3
23
23
43 3
3
=
I
II
III
Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas
5
3
3
3
5 3
3
5 3
3 3
5
3
3 3
3 3
15 3
23
23
23
23
43
23
3
23
3
3
3
⋅ = =
⋅ =
33 3
15 3
3 3
5
3
3
3
5 3
3
33
3
23
3
3
3
=
⋅
⋅ =
, no se racionaliza
, sí se racionaliza
, sí se racionaliza

14

15
CAPÍTULO 2
Álgebra
1. La alternativa correcta es B)
Aplicamos la deﬁnición del enunciado
[ ] [ ]
[ ]
1
3
1
3
1
1 2
3 9
1
3
1 2
1 2
3
2 2
2
2
+ − +
+ + − + +
+ +
b
b
b b
b b
b bb
b
b
b b
b
2 2
2 2
2
9
1
3
2
3 3
1
1
3 9 3
2
3
2
9
− − −
− + −
−
, desarrollamos los cuadrados de binomios
, multiplicamos
, operamos con términos semejantes
2. La alternativa correcta es A)
Si A es un cuadrado perfecto tenemos que:
A = + 60xy + 25y2
a2
2ab b2
a) b) c)
b y
b y
b y
2 2
2 2
25
5
5
=
=
=
( )
2 60
2 5 60
6
ab xy
a y xy
a x
=
⋅ =
=
a x
a x
2 2
2 2
6
36
=
=
( )
Por lo tanto, el término que falta es 36x2
3. La alternativa correcta es C)
Si Z = 1 se tiene que
( ) ( )x x x ax
x x x ax
x
+ ⋅ − = − −
− − = − −
−
12 13 156
156 156
2
2 2
== −
=
ax
a 1
, multiplicamos los binomios
, despejando a

16
El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces:
A a b
x x x b
ctánguloRe
( )
= ⋅
− + = − ⋅2
11 18 2
b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11)
y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual.
b = (x - 9)
Debemos recordar el producto notable
a b a b a ab b
x x
a x
3 3 2 2
3 3 3
8 27 2 3
2
+ = + ⋅ − +
+ = +
=
( ) ( )
( ) ( )
bb
x x x
x x x
=
+ ⋅ − ⋅ +
+ ⋅ − +
3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 6 9
2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
, entonces
, sustituyendo
− + + − + +
− + + − + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b a b a b
a b a b a ab
2 2 2
2 2 2
2 bb
a b a b a ab b
a b a a ab b b
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
− − + − + + +
− − + + + + −
−− − + +
− − + +( )
− − + ⋅ +
a b a ab
a b a ab
a b a a b
2 2
2 2
2
2
2
2
( ) ( )
aa a b a b( )+ − −
, desarrollamos el cuadrado de binomio
, juntamos términos semejantes
, asociamos términos
, factorizamos
, ordenamos
− + ⋅ − − − −
− + − − − +
−
{ ( ) ( ( ))}
{ ( )}
a b a c bc ab
a ba bc bc ab
{{ }a
a−
, desarrollamos desde dentro hacia fuera
, eliminamos términos semejantes

17
x x x a x b
x x x a x
2
23 112
7 16
− + = − ⋅ +
− ⋅ − = − ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ++
− = −
=
− = +
= −
b
x x a
a
x x b
b
)
( ) ( )
( ) ( )
7
7
16
16
, factorizamos
, comparamos
, despeamos a
, despejamos b
7 3 2 8 2 7 23 35
21 14 16 56 2
( ) ( )y x x y x y
y x x y
+ − − + + −
+ + − + 33 35
14 16 23 21 56 35
53 70
x y
x x x y y y
x y
−
+ + + − −
−
, multiplicamos
, términos semejantes
10. La alternativa correcta es E)
( ) ( )a b a b ab
a b
a ab b a b ab
a b
+ − − −
+
+ + − + −
+
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
22 2
b
a b+
, desarrollamos el cuadrado de binomio
, eliminamos términos semejantes
11. La alternativa correcta es D)
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
a b a b
a b
a b
a b a b
a b
a
+ ⋅ −
+
−
+ ⋅ − ⋅
−
+
2
2 2
2
2 2
bb
a b a b a b
a b a b
a b
a b
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
+ ⋅ + ⋅ − ⋅
+ ⋅ −
+
+ ⋅(( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
a b a b a b
a b a b
a b
− ⋅ + ⋅ −
− ⋅ −
−
2 2 2 2
2 2 2
, ordenamos la fracción compuesta
, factorizamos
, simpliﬁcamos
, aplicamos suma por su diferencia
, ﬁnalmente

18
A a
x x a
x x a
x
cuadrado =
− + =
− ⋅ − =
2
2 2
2
4 12 9
2 3 2 3
2
( ) ( )
( −− =
− =
− +
−
− = − +
3
2 3
2 3 2
2 1
2 1 4 4 1
2 2
2 2
)
( )
( )
a
x a
x
x
x x x
, si conocemos el área podemos determinar el lado
, factoricemos
, si aumentamos el lado en 2 unidades
, determinemos la nueva área
Realicemos la diferencia de las áreas
4 4 1 4 12 9
4 4 1 4 12 9
8 8
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x
− + − − +
− + − + −
−
( )
Por lo tanto, la superﬁcie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.
x xy y
x y x y
x xy y
x y x xy y
2 2
3 3
2 2
2 2
1− +
+ +
− +
+ ⋅ − +
:
( )
( ) ( ))
:
( )
( )
:
( )
1
1 1
1
x y
x y x y
+
+ +
=
, factorizamos x3
+ y3
, simpliﬁcamos
Recordemos que:
Volumen de un cubo = a3 x x x a
x a
x a
x
x
x
3 2 3
3 3
3 3 1
1
1
1 2
3
3
− + − =
− =
− =
− −
−
−
( )
( )
( )33 3 2
9 27 27= − + −x x x
, factorizamos
, el lado del cubo es
, disminuimos el lado en 2 unidades
, Determinamos el nuevo volumen
Realizamos la diferencia de los volúmenes
x x x x x x
x x x x
3 2 3 2
3 2 3
3 3 1 9 27 27
3 3 1 9
− + − − − + −
− + − − +
( )
xx x
x x
2
2
27 27
6 24 26
− +
− +

19
[( ) : ( )]
[( ) : ( )]
[(
1 1
1 1
2
2 1
2 2
2
1
a
b
a
b
a b
a
ab
a
− +
− +
−
−
11
1
1 1
1
2 2
2
1
2
−
⋅
+
− +
⋅
+
−a b
a
a
ab
ab ab
a
a
ab
) ( )]
[
( )( )
( ))]
[ ]
−
−−
−
1
11
1
ab
a
a
ab
, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis
, ordenamos la división
, factorizamos la suma por su diferencia
, simplificamos
, por propiedad de potencia ( )
a
b
b
a
−
=1
( )
:
( ) ( )
( ) ( )
:
(
a b
a b a b
a b a b
a b a b a
+
− −
+ ⋅ +
+ ⋅ − −
2
2 2
1
1
bb
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
)
( )
( )
:
( )
( )
( )
( )
( )
+
− −
+
−
⋅ −
+
1
, factorizamos
, simplificamos
, ordenamos la división
, simplificamos
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b
a
+
−
⋅ −
+
−
⋅ + ⋅ −
+
2 2
bb a b
a b
) ( )
( )
⋅ +
+ 2
, factorizamos
, simplificamos
, finalmente

20
x
x
4
2
4
2
−
+
= (Primero factorizamos el numerador con suma por su dife-
rencia)
x x
x
2 2
2
2 2
2
−( ) +( )
+
= (Simpliﬁcando)
x2
2−
x x x
x x
2
2
4 4 2
4 2
+ +( ) −( )
−( ) +( )
=
(Factorizando la expresión x2
+ 4x + 4 con cuadrado de
binomio y la expresión x2
- 4 con suma por su diferencia)
x x x
x x x
+( ) +( ) −( )
−( ) +( ) +( )
=
2 2 2
2 2 2
(Simpliﬁcando, se observa que se “eliminan” todos los bino-
mios, con lo que el resultado es 1)
1
El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con
cuadrado de binomio el área x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1).
Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es:
(x + 1) + 2 = (Sumando)
x + 3
Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado
(x + 3)2
= x2
+ 6x + 9

21
CAPÍTULO 2
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales
3 2
3
3
3 2
2
x x x
x
−
=
−
+
; multiplicando cruzado
3 2 3 2 3 3
9 4 9 3
4
3
2
2 2
x x x x
x x x
x
+( ) −( )= −( )
− = −
=
; desarrollando la suma por su diferencia y
multiplicando el 3 por el binomio
; reduciendo términos semejantes y despejando
1
2
1
3
1
6
1
3 2 1
6
1
2
6
1
2
6
1
3
x x x
x
x
x
x
− + =
− +
=
=
=
=
; sacando el m.c.m. entre las fracciones
; resolviendo el numerador
; despejando la incógnita “x”
; simpliﬁcando
a x a x a a
ax a x a a
ax x a
x a
( ) ( )
(
+ − = + +
+ − = + +
− = +
−
1 1
1
1
2 2
11 1
1
1
) ( )= +
=
+
−
a
x
a
a
; multiplicando “a” por cada paréntesis
; reduciendo términos semejantes
; factorizando por “x” en un lado de la igualdad
; despejando la incógnita

22
P
h
h
P h h
P Ph h
P h Ph
P h P
P
P
h
=
−
− =
− =
= +
= +
+
=
1
1
1
1
( )
( )
; para despejar “h” multiplicamos cruzado
; multiplicamos “P” por el binomio
; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad
; factorizando por “h” y despejando
a
x
a
b
b
a
a
x
a b
ab
a b x a b
a b
a b
x
= −
=
−
= −( )
−
=
2 2
2 2 2
2
2 2
( )
; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones
; multiplicando cruzado en la igualdad
; despejando “x”
a b c
c a b
b a a b
b a
b a
b
+ + =
= − −
− + − − =
− =
− =
−
0
3 5
2 2 5
2 5
( )
( )
aa =
5
2
; en la primera igualdad despejamos “c”
; reemplazamos este término en la segunda igualdad
; reduciendo términos semejantes y factorizando
; despejando el término pedido
x y
x y
+ =
− =
1
0
; resolvemos por reducción
2 1
1
2
x
x
=
=
; despejamos “x”
, reemplazamos este valor en la primera ecuación
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
+ =
= −
=
∴ − =
y
y
y
; despejando “y”
; realizando la diferencia entre las variables
En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está plantea-
da en el enunciado x - y = 0

23
2
3
3
9
6
3
9
2
3
7
x y
x y
+ =
+ =
; escribimos el sistema en forma fraccionaria
; simpliﬁcando
2
3 3
6
3
2
3
7
x y
x y
+ =
+ =
; multiplicando por el denominador común
2 18
2 21
x y
x y
+ =
+ = ; ampliﬁcamos la segunda ecuación para resolver por
reducción
( )
( )
a x y
b x y
2 18
2 4 42
+ =
− − = −
; sumando
− = −
=
+ =
=
=
3 24
8
2 8 18
2 10
5
y
y
x
x
x
, despejando “y”
; reemplazamos este valor en la ecuación (a)
, despejamos “x”
( )
( )
( )
a x y
b x z
c y z
+ =
+ =
+ =
16
22
28
; ordenamos el sistema
; despejamos “y” de la ecuación (c)
y z
a x z
x z
d x z
x z
= −
+ − =
− = −
− = −
+ =
28
28 16
16 28
12
( ) ( )
( )
222
12x z− = −
, reemplazamos esto en la ecuación (a)
; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva
ecuación
; armamos un sistema entre (b) y (d)
2 10
5
5 22
17
17 28
11
5 11 17
x
x
z
z
y
y
x y z
=
=
+ =
=
+ =
=
∴ + + = + + == 33
; despejamos “x” y reemplazamos en (b)
; despejamos “z” y reemplazamos en (c)
; despejamos “y”
; sumamos x, y, z

24
2 6
0
+ + =
− =
y z
y z
; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la pri-
mera ecuación y despejamos las variables de los factores
numéricos
( )
( )
a y z
b y z
+ =
− =
4
0
; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción
2 4
2
2 4
2
y
y
z
z
=
=
+ =
=
; despejamos el valor de “y”
; reemplazamos este valor en (a)
; despejamos z
Sea x = cantidad de gallinas ; 2x = total de patas de gallinas
y = cantidad de conejos ; 4y = total de patas de conejos
al escribir el sistema de ecuaciones nos queda
( )
( )
a x y
b x y
+ =
+ =
50
2 4 134
; ampliﬁcamos la ecuación (a) para resolver por reduc-
ción
− − = −
+ =
2 2 100
2 4 134
x y
x y
; sumamos y despejamos “y”
2 34
17
17 50
33
y
y
x
x
=
=
+ =
=
; reemplazamos este valor en (a)
12 . La alternativa correcta es B)
x = número central
(x - 1) = el antecesor de x
(x + 1) = el sucesor de x
así la suma de tres números consecutivos será:
( ) ( )
( )
x x x
x
x
− + + + =
=
=
=
1 1 45
3 45
15
15 2252
; elevando al cuadrado el valor de “x”

25
Sea: w y x
z y x
= +
= −
( )
( ) ; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w”
y “z”
( )
( )
a w z
b w z
2 3 3
5 3 18
− =
+ =
; resolvemos el sistema por reducción
7 21
3
2 3 3 3
6 3 3
1
3
1
2
2
w
w
z
z
z
y x
y x
=
=
− =
− =
=
= + ( )
= − ( )
( )
; despejando “w”
, reemplazamos este valor en (a)
;despejando “z”
;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la deﬁnición
de las variables y elevamos al cuadrado
( )
( )
c y x
d y x
9
1
= +
= −
10 2
5
9 5
4
=
=
= +
=
y
y
x
x
; reemplazamos este valor en (c)
Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación:
( )
( )
a k y
b y k
y
k
k
k
k
k
k k
+ =
=
=
+





 =
+ =
+
2 0
4
4
2
4
0
2
0
2
22
0
3 0
0
=
=
=
k
k
; despejamos “y” en la ecuación (b)
; reemplazamos “y” en la ecuación (a)
; multiplicamos y simpliﬁcamos
; sacamos m.c.m
; sumamos y despejamos

26
Deﬁniremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros
y = cantidad del tipo B en litros
200 = cantidad de la mezcla en litros
1.500x = valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla
900y = valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla
200(1.140) = valor de la mezcla obtenida
( ) . ( )
( )
.
a x y
b x y
x
1 500 900 200 1140
200
1 500 90
+ =
+ =
+ 00 228 000
200
200
1 500 200 900
y
x y
x y
y y
=
+ =
= −
− + =
.
. ( ) 2228 000
300 000 1 500 900 228 000
300 000
.
. . .
.
− + =
−
y y
2228 000 600
72 000 600
120
120 200
80
.
.
=
=
=
+ =
=
y
y
y
x
x
; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla
; despejamos “x” de la ecuación (b)
; reemplazamos “x” en la ecuación (a)
; multiplicamos y reducimos términos semejantes
; remplazamos el valor de “y” en (b)
; despejamos
Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos:
Pablo x = 3 y ; armamos una ecuación con la información de Pablo
Angélica y +1 = x -1 ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el
análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la
relación planteada
y y
y
y
x
x
+ = −
=
=
=
=
1 3 1
2 2
1
3 1
3
( )
; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica
; buscamos el valor de “x”
La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3

27
Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida.
Sea x = cantidad de horas que demora el automóvil
(x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia
80 x = distancia recorrida por el automóvil
120(x-2)= distancia recorrida por la moto
La ecuación nos queda:
80 120 2
80 120 240
240 120 80
240 40
x x
x x
x x
x
= −
= −
= −
=
( )
66 = x
; multiplicando el paréntesis
; ordenando la ecuación
; despejando
Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió
2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo
cual son las 9 de la noche cuando se encuentran.
Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema.
Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecua-
ciones que si se puede resolver:
( )
( )
( )
( )
a x y
b x y
y y
y y
y
x
=
− =
− =
− =
=
=
2
2 3 4
2 2 3 4
4 3 4
4
2 4
xx = 8
; planteamos el sistema
; reemplazamos (a) en (b)
reducimos términos semejantes
; reemplazamos “y” en (a)
Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:
( )
( )
( )
a x y
b x y
x
x
y
y
2 3 28
2 3 4
4 32
8
2 8 3 4
16 3
+ =
− =
=
=
− =
− ==
=
=
4
12 3
4
y
y
; planteamos el sistema
; reemplazamos en (b)
; reunimos términos semejantes
; despejamos

28
Sea Z = cuenta por pagar
Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea
x = cobro del consumo en m3
3500 = cobro por el uso del alcantarillado Z x y= + +3500
y = arriendo del medidor
Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad;
3500
2
1000
=
=
x
y
Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la
segunda:
Z
Z
= + +
=
7000 3500 1000
11500

29
CAPÍTULO 2
Razones y proporciones, porcentaje e interés
La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual
2
8
16
16
4
2 2
2
x
MP
MP
x
x MP
x MP
x MP
=
=
=
=
( )
; escribimos la proporción con el término repetido
; multiplicamos cruzado
; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la in-
cógnita
; obtenemos el valor buscado
Sean x e y los números buscados;
;escribiendo la información se tiene
;despejando “x” en la segunda ecuación
x y
x
y
x
y
y
y
y y
y
y
− =
=
=
− =
−
=
=
=
48
9
5
9
5
9
5
48
9 5
5
48
4
5
48
4 2440
60
60 48
108
y
x
x
=
− =
=
; reemplazando en la primera ecuación
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes
; reemplazamos este valor en la primera ecuación

30
Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así
x y
x y
+ =
=
2500
2 3: :
; al escribir la información como ecuación nos queda
; por propiedades de proporción
x y k
k
k
k
x y
+ = +
=
=
=
= ∧ =
( )
( )
2 3
2500 5
2500
5
500
2
500
3
5000
1000 1500
1500 1000 500
x y= ∧ =
− =
; remplazando de la primera igualdad
; despejando k
; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igual-
dades iniciales
; haciendo la diferencia entre los números
Sea : x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres x + y = 500
Escribiendo la proporción entre las variables
35
15
35 15
500
50
10
35
10 350
= =
+
+
=
=
=
= → =
x
y
k
x y
k
k
k
x
x
y
115
10 150
200
= → =
− =
y
x y
; escribimos la proporción
, por propiedades
; reemplazamos la cantidad total de personas
; dividimos y obtenemos el valor de la constante k
; reemplazamos la constante en cada razón
; obtenemos “x” e “y”
; buscamos la diferencia entre varones y mujeres
Por deﬁnición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una propor-
ción ; así
x
x
x
24
14
56
24 14
56
12
2
6
=
=
( )( )
= =
; resolviendo

31
a% de b se escribe : ab
100
23=
b% de a se escribe :
ba
100
= ?
; de la primera igualdad
ab =
=
2300
2300
100
23
; reemplazamos en la segunda
; simplificamos y obtenemos el resultado
Definamos: X = edad de Juan
Y = edad de hermano
X
X Y
Y
y
Y
=
=
=
⋅
=
=
24
3 4
24 3
4
24 4
3
32
: :
; escribimos la información del problema
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda
; multiplicamos cruzado y simplificamos
Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.
5
8
75
100
5
8
3
4
20 4 24
4 4
1
5 100
1
1
+
=
+
=
+ =
=
=
=
=
x
x
x
x
x
%
?%
000
5
20= %
; simplificando
; despejamos el valor de “x”
; escribimos la relación de porcentajes
; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”

32
Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple :
C = 1.050.000
K= 350.000
r = 10%
; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores
C K nr
n
n
= +
= +
= +
( )
. . . ( %)
1
1 050 000 350 000 1 10
3 1
10
1000
2
10
100
200 10
20
=
=
=
n
n
n
; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción
Por fórmula la MP geométrica es :
5
4
0 20
5
4
20
100
10
40
1
2
( , ) =
⋅ =
=
=
MP
MP
MP
MP
; reemplazando los valores en la fórmula
; transformando el decimal a fracción
; sacamos la raíz cuadrada
Sea x = edad de Ricardo
y = edad de Mónica
; escribimos la información entregadax y
x y
y y
y
y
= +
+ =
+ + =
+ =
+ =
6
2 60
2 6 60
2 2 6 60
4 12 60
( )
( )
( )
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación
; reducción de términos semejantes
; multiplicamos
4 48
12
12 6
18
18
12
3
2
y
y
x
x
x
y
=
=
= +
=
= =
; reemplazamos este valor en la primera igualdad
; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontra-
dos

33
Sea x = dinero que lleva e y = valor del artículo
68
32 48 000
68
100
32
100
48 000
4
%
% .
.
⋅ =
⋅ =
=
=
=
x y
x
x
y
x
x
.. .
.
( . )
800 000
32
150 000
17
25
17 150 000
25
1
x
x
y
y
=
=
=
77 6 000
102 000
( . )
.
=
=
y
y
; escribimos la información
; pasamos el porcentaje a fracción
; despejamos x de la segunda ecuación
; dividimos
;tomamos la primera ecuación y la simplificamos
, reemplazamos el valor de “x” en la ecuación
Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:
3
8
24 000
3 24 000 8
3 192 000
64 000
x
x
x
x
=
=
=
=
.
( . )( )
.
.
; de la primera información se obtiene
; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para
el entero; es decir 5/8, así los 4
5
del resto de la deuda es:
4
5
5
8
4
8
1
2
1
2
64 000 32 000
x x
x



 =
⋅ =. .
; simplificamos
; reemplazamos el valor de “x”
Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar
$64.000 - $56.000 = $8.000.

34
A de B
A B
a A B
A B A
x
b A B x
=
=
=
+
=
+ =
25
25
100
1
4
100
%
( )
( ) ( ) 1100
1
4
100
1
4
5
4
25
25 4
5
2
A
B B x B
B x B
x
x
( ) ( )
( )
( )
+ =
=
=
= 00
; escribimos la información como fracción
; simplificamos
; buscamos que % es A de (A+b)
; reemplazamos (a) en (b)
; sumamos y simplificamos
; simplificamos y despejamos “x”
Y kX
k
k
X
X
X
=
=
=
=
=
=
3
5
3
4
4
5
20
4
5
100 4
25
; escribimos la proporcionalidad directa
; reemplazamos los valores de X y de Y
; despejamos la constante de proporcionalidad k
; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de
Y
, despejando obtenemos el nuevo valor de X
1
150 750
750
150
5
=
=
=
x
x
x
; escribimos la proporcionalidad entre los valores
; despejamos
5 obreros 2 horas ; escribimos la relación que nos dan
(5-3 ) obreros x horas
; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado
5 2
2
5
⋅
=
=
x
x
; simplificamos

35
El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;
2
3
6
9
2
3 6
4
3
2
6
1
=
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
x
; escribimos la primera proporción posible y despejamos el
primer valor de x
; escribimos la segunda proporción y despejamos x
; escribimos la tercera proporción y despejamos x
Luego, la respuesta correcta es: I, II y III.
a b
I
a b a b
k
II
b a b a
k
III
a
: :
.
.
.
=
= →
+
=
= →
−
=
=
2 3
2 3 5
3 2 1
2
bb
a b
a b
3
3 2
6 4
→ =
=
; por las propiedades de proporciones, escribimos
; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple
siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción
; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre
por la misma explicación anterior
; la amplificación de una proporción la mantiene siempre
igual
Luego, la respuesta correcta es: Sólo III.
Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces:
x x x x V
x x x x V
x x
− + − =
− + − =
−
25 20 25
1
4
1
5
1
4
4 1
4
% %( % )
( )
++ − =
+
−
=
+ =
+
=
1
5
1
20
3
4
4
20
3
4
3
20
15 3
20
x x V
x x x
V
x x
V
x x
VV
x
V
x
V
de x V
18
20
9
10
90
=
=
=%
; escribimos el planteamiento del precio de venta
; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y
sacamos m.c.m.
; sumamos
; sacamos m.c.m
; simplificamos

36

37
CAPÍTULO 2
Desigualdades e Inecuaciones lineales
Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:
-6 0 5 10
La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]
-6 0-2 3
La solución final es ] –2 , 3 ]
-3 0 4 6 8 12
La solución final es [ -3 , +∞ [
2 1
8
3 4
3
3 2 1 8 3 4
6 3 24 32
3 32 1
x x
x x
x x
+
<
−
+ < −
+ < −
+ <
( ) ( )
88
35
18
35
18
x
x ó x< >
; distribuimos cada factor en el binomio respectivo
; despejamos la incógnita

38
6 11
2
6 9 3
6 11 12
2
9 3
6 23 18 6
23 18
x
x
x
x
x x
+
+ > +
+ +
> +
+ > +
>
; sacamos común denominador
; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina
; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se
cumple para todos los reales
1
5
9
9
9 5
9
9
9 5 81 9
14 81 10
−
−
< +
− −
< +
− + < +
− <
−
x
x
x
x
x x
x
( )
667 10
67
10
<
− <
x
x
; graficamos la solución y la afirmación x < 5
0 5-67
10
La solución final es ]
-67
10
, 5[
Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor
que cero.
3 12
3 12 0
3 12
4
4
x
x
x
x
−
− <
<
<
; despejamos la incógnita “x”
Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero
−
− ≥ −
≤
x
x
x
0 1
0
/ ( ) ; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incóg-
nita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-
dad

39
Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad
sub-radical mayor que cero
7
3
3 0
3 3
−
− >
> <
x
x
x ó x
; escribimos la desigualdad
I. a > c ; se cumple, por propiedades
II.
1
a
<
1
c
; se cumple, por propiedades
III. -3ab > - 3bc ; no se cumple, por propiedades
x x x
x x x x
x x
−( ) ≤ − +
− + ≤ − +
− + ≤ − +
−
1 4 8
2 1 4 8
2 1 4 8
2
2
2 2
( )
xx x
x
x
+ ≤ −
≤
≤
−∞






4 8 1
2 7
7
2
7
2
,
; desarrollamos el cuadrado de binomio
; eliminamos el término “ x2
”
; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo
0 7
2
a x
x
b x x
)
)
3 1
2
3
2 5 3 1
− ≥ +
+ < −
; resolvemos cada desigualdad por separado
a x
x
x x
x
x
)
,
3 1
6
2
6 2 6
5 8
8
5
8
5
− ≥
+
− ≥ +
≥
≥
+∞






; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado
; escribimos la solución como intervalo

40
b x x
x
x
)
/ ( )
,
2 3 1 5
6 1
6
6
− < − −
− < − −
>
+∞



; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la
incógnita, invirtiendo así la desigualdad
; escribimos la solución como intervalo
La solución ﬁnal es la intersección de ambas soluciones 8
5
6, ,+∞





 ∩  +∞ 
Gráﬁcamente tenemos:
0 68
5
Entonces, el resultado es ]6, +∞[
a x
b x
).
).
2 3 3
2 4
+ <
− >
; se resuelve cada desigualdad por separado
a x
x
x
b x
x
)
)
2 3 3
2 0
0
4 2
6
< −
<
<
> +
>
0 6
La intersección de las desigualdades es −∞


∩ +∞


 = ∅, ,0 6
Sea X = número buscado
2X = doble del número buscado
planteamos la desigualdad
2 1 1
2 1 1
2
x x
x x
x
− < +
− < +
<
Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1
Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm,
quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:
4 50
50
4
12 5
x
x
x cm
≥
≥
≥ ,
; dividimos

41
Sea (2n + 1) = número impar
(2n + 3) = impar consecutivo
2 1 2 3 60
2 1 2 3 60
4 4 60
4 60 4
4
n n
n n
n
n
+( )+ +( )<
+ + + <
+ <
< −
nn
n
n
n
<
<
<
∴ =
⋅ + =
56
56
4
14
13
2 13 3 29( )
;eliminamos paréntesis
; despejamos n
; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14
; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado
ﬁnal
Sea X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo
X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo
2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos
2 5 35
2 35 5
30
2
15
x
x
x
x
+ ≥
≥ −
≥
≥
; despejamos y reunimos términos semejantes
; dividimos
Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo
planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor
( )
( )
1 1
2
P J
M P
= +
≥
, con esta única información no podemos saber quién es
mayor
, con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener
la misma edad de Pablo o ser mayor.
Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es
mayor que Pablo; se requiere información adicional.

42
Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living
C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina
X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa
(1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3
tarros, pero no nos informa sobre X
(2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor
mínimo de X.
(1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X
X
X
X
≥ +
≥
≥
3 3 1 5
3 4 5
13 5
( , )
( , )
,
Sea X = cantidad de pares de zapatos
(1) de la primera información podemos escribir:
X
X
X
X
X X
X
X
− >
− >
−
>
>
>
40
2
2
40
2
2
40
2
40
80
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes.
; multiplicamos cruzado.
Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que
hizo
(2) de la segunda información podemos escribir:
X
X
− <
<
35 47
82
Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos
(1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81

43
CAPÍTULO 3
Relaciones y funciones
Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al
escribir todas las relaciones a R b tenemos:
(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6)
Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedi-
da.
En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x =
y
2
Comprobamos cada par ordenado:
a) 2 =
4
2
; se cumple la condición
b) 8 =
16
2
c) 6 =
12
2
, se cumple la condición
d) 4 =
8
2
e) 10 ≠
5
2
; no se cumple la condición
En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en
a) 6 = 3 · 2
En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto
de llegada, lo que signiﬁca que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llega-
da, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos
del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación.
Por lo tanto, las opciones I y III cumplen la deﬁnición de función.

44
f u x u
f x
f x
f f x
( )
( )
( )
( ) ( ) (
= +
= +
= +
− = + −
3
3 3 3
0 3 0
3 0 3 3 33 0
3 0 3 3 3 0
3 0 3
x
f f x x
f f
+
− = + − −
− =
)
( ) ( )
( ) ( )
; reemplazamos en la función la variable “u” por el número
; hacemos lo mismo con el 0
; finalmente restamos
; cambiamos signos dentro de paréntesis
; resolvemos
f x x
x
x
x
x
( ) = −
− =
= +
=
=
3 5
3 5 6
3 6 5
3 11
11
3
; igualamos la función dada al valor que se indica
; reducimos términos
f
f
g
f f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 4
3 2 3 6
5 2 5 10
2 3
= =
= =
= =
− ++ = − + =g( )5 4 6 10 8
; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las
funciones respectivas
; finalmente realizamos la operación indicada
La función g[f(x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f(-2) se reemplaza en la función
g(x) para obtener el resultado final así:
g f g g[ ( )] [ ] [ ] ( )− = − + = = + =2 2 3 1 5 1 7 12
Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin
importar que sea el mismo; es función
Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en
el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada
Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no
es función ya que debe tener uno sólo
Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de
llegada
Luego, la respuesta correcta es I y IV.

45
En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo
un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función
Gráfico I: Y
X
En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es
función
Gráfico II: Y
X
En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica
una recta que siempre es función.
Gráfico III:
Y
X
Evaluamos en la función f x x x( ) = − +2
3 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se
cumple
a f verdadera
b f
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
0 0 3 0 1 1
5 5
2
2
= − + =
− = − − 33 5 1 25 15 1 41
2 2 3 22
( )
) ( ) ( ) (
− + = + + =
= −
verdadera
c f ))
) ( ) ( ) ( )
+ = − + = −
− = − − − +
1 4 6 1 1
1 1 3 1 12
verdadera
d f == + + =
= − + = − + = −
1 3 1 5
1 1 3 1 1 1 3 1 12
falsa
e f ve) ( ) ( ) ( ) rrdadera
En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3
en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos
el valor –1 en el eje y; es decir f(-3) = -1
Entonces, f f f( ) ( ) ( ) ( )0 3 3 0 5 1 6+ − − = + − − =

46
Analizamos cada alternativa
a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera
b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido,
así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es
verdadera
c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera.
d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es
falsa
e) f g f f( ( )) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 5= + = = + = ; verdadera
Si f x x( ) = − 3 y g x x( ) = −1 al buscar g f x( ( )) buscamos la función compuesta, para ello tomamos
f(x) y la reemplazamos en g(x), así:
g f x g x x x x( ( )) ( ) ( )= − = − − = − − = −3 3 1 3 1 4
Si la función es f u u x( ) = + 2 en “u” reemplazamos los valores entregados; así:
f x x x x
f x x x x
f x f x x x
( )
( )
( ) ( )
= + =
= + =
+ = + =
2 3
2 2 2 4
2 3 4 77xentonces,
Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en
la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado repre-
senta x y el segundo y, así:
Par x y( , ) ;
( )
− − → = − = −
− = − −
− = −
− = −
1 3 1 3
3 1 4
3 1 4
3 3
2
; definimos el valor de x e y
; reemplazamos estos valores en la función recordando que
f(x)=y
; verificamos la igualdad
; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
− → = − =
= − −
= −
=
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
; definimos los valores de x e y
; reemplazamos en la función
; verdadera

47
Par x y( , ) ;
( )
− → = − =
= − −
= −
=
3 5 3 5
5 3 4
5 9 4
5 5
2
; reemplazamos en la función
; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
0 4 0 4
4 0 4
4 4
2
→ = =
= −
≠ −
; reemplazamos y verificamos la igualdad
; falsa
Par x y( , ) ;
( )
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
→ = =
= −
= −
=
, reemplazamos en la función
; verdadera
En la función f x x( ) = +2 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igual-
dad respectiva
En el gráfico a) tenemos que si:
x y
x y
x y
= = → = +
= = → = +
= = → =
1 3 3 2 1 1
2 5 5 2 2 1
0 1 1 2
; ( )
; ( )
; (( )0 1+
; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo
cual el gráfico buscado es el primero
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica;
entonces:
f a b a a b a b a
f a b a ab a
( ) ( ) ( )
( )
+ = + − + +
+ = + − −
2 5 5
2 2 5 52
bb a
f a b a ab b
f a a a a a
f a
+
+ = + −
= − +
5
2 2 5
2 5 5
2
( )
( ) ( ) ( )
( ))
( )
( ) ( )
= − +
=
+ −
=
+ −
2 5 5
2
2
2 2 5
2
2
2
a a a
f a a
f a b f a
b
a ab bb a
b
f a b f a
b
ab b
b
b a
b
f a
−
+ −
=
−
=
−
2
2
2
2 5
2
2 5
2
2
( ) ( ) ( )
( ++ −
=
−b f a
b
a) ( )
2
2 5
2
; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente
; multiplicamos los factores por cada binomio
; escribimos la expresión que nos piden
; factorizamos y simplificamos

48
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para ﬁnalmente realizar la diferencia entre estos dos
resultados
f a b a b a a b
f a b a b a ab
f b b a
( ) ( ) ( )
( )
( )
+ = + − +
+ = + − −
= −
2
(( )
( )
( ) ( ) ( )
(
b
f b b ab
f a b f b a b a ab b ab
f
= −
+ − = + − − − −2
aa b f b a b a ab b ab
f a b f b a a a
+ − = + − − − +
+ − = − =
) ( )
( ) ( )
2
2
(( )1− a
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden
; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del pa-
réntesis y reducimos términos semejantes
; factorizamos por “a”
Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor
de “a”, es decir:
f x
x
a
f a
a
a
a a
a a
( )
( )
( )
=
+
=
+
=
+ =
+ =
=
3 2
2
3 2
2
2
3 2 2 2
3 2 4
3 44 2
3 2
3
2
a a
a
a
−
=
=
; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2”
;multiplicamos cruzado
; resolvemos y reunimos términos semejantes
; despejamos “a”
capítulo 3

49
Funciones de Variable Real
Sea n = número positivo y (n+1) su consecutivo, así:
n n
n n
n n
n n
n
( )
( )( )
+ =
+ =
+ − =
+ − =
1 272
272
272 0
17 16 0
2
2
++ = − =
= − =
17 0 16 0
17 161 2
ó
y
n
n n
; multiplicamos cada término
; formamos la ecuación de segundo grado
; resolvemos por factorización
; encontramos los números que deben ser positivos
Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17.
Por tanto, los números buscados son: 16 y 17.
x x
x x
x x x
x x
+ = −
+ = −
+ = − +
= − +
7 5
7 5
7 10 25
0 10
2
2
2
2
/ ( )
( )
225 7
0 11 18
0 2 9
2 0 9 0
2
1
− −
= − +
= − −
− = − =
x
x x
x x
x x
x
( )( )
ó
== =
∴ =
2 9
9
2
y
sólo es solución
x
x
; elevamos al cuadrado toda la expresión
; desarrollamos el cuadrado de binomio
;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los
reducimos
; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización
; encontramos los resultados de la ecuación
, ya que al comrpobar en la ecuación original,
√9 + 7 = 9 - 5
√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal.
Si yx x x x
x x x x x x
x
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
4 3
0
4
+ = − ⋅ =
− + + ⋅ =
− −
( )
( ))x
x x
+ =
+ + =
3 0
4 3 02
; por deﬁnición de propiedades
; reemplazando los valores dados
; ordenando encontramos la ecuación cuadrática
CAPÍTULO 3

50
5 10 2 6 0 5
2
2 6
5
0
2 6
5
2
2
x x k
x x
k
k
− + + =
− +
+




 =
+

/ :



 = ⋅
+




 = ⋅
+ =
= −
= −
x x
k
x
k
k
k
1 2
1
2 6
5
0
2 6 0
2 6
3
; dividimos por 5
; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación
cuadrática
; igualamos por propiedades de las raíces
; reemplazamos el valor de la raíz nula
; despejamos k en la igualdad
Sean
según laecuación representa el c
x y x
m
1 2
2 3= − =
ooeficiente y
representa el coeficiente
b
m c( )− −7
aa)
b)
− + =
−
→ =
−
= −
− ⋅ = → − =
− +
→ −
2 3 1
1
1
2 3 6
7
1
b
a
m
m
c
a
m( )
66 7
1
+ = −
= −
m
m
; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces
; comprobamos utilizando las dos propiedades
x x
c
a
k
k
k
k
1 2
48
48
7 1
1
48
7 1 48
7 49
7
⋅ =
=
−
=
− =
=
=
; utilizando la propiedad de las raíces
; reemplazamos el coeﬁciente c y a en la propiedad

51
Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:
c c c
c c c c c
c c
2 2 2
2 2 2
2
8 1
16 64 2 1
0
= −( ) + −( )
= − + + − +
= − + 22 2
2
16 64 2 1
0 18 65
0 5 13
− + + − +
= − +
= − −
−
c c c
c c
c c
c
( )( )
55 0 13 0
5 13
= − =
= =
ó
y
c
c c
; planteamos el teorema de Pitágoras
; resolvemos cada cuadrado de binomio
; igualamos a cero la ecuación cuadrática
; despejamos los posibles valores de c
; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud
negativa
(c-8)
c
(c-1)
a
b
; Si a y b son los lados del rectángulo
(ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro
; escribimos el sistema de ecuaciones
; dividimos por 2 en la segunda ecuación
a b
a b
⋅ =
+ =
61
2 60( )
a b
a b
⋅ =
+ =
61
30 ; despejamos a en la primera ecuación
; reemplazamos esto es la segunda ecuación
a
b
b
b
b
b
b b
b b
=
+ =
+
=
+ =
− + =
61
61
30
61
30
61 30
30 61 0
2
2
2
; multiplicamos por b la igualdad
; escribimos la ecuación cuadrática
( )( )b b
b b
b b
− − =
− = − =
= =
7 23 0
7 0 23 0
7 23
ó
y
; despejamos la variable b
; nos quedamos con el menor valor que es 7

52
Veriﬁcamos cada aﬁrmación
I. log ,
log ,
, ,
9 0 31808
1
3
9 0 31808
1
3
0 95424 0 31
3
=
=
( )= 8808
0 31808 0 31808
900 2 95424
, ,
log ,
= →
=
verdadera
llog( ) ,
log log ,
,
9 100 2 95424
9 100 2 95424
0 954
⋅ =
+ =
224 2 2 95424
81 1 90848
9 9
+ = →
=
⋅
,
log ,
log(
verdadera
)) ,
log log ,
( , ) ,
=
+ =
=
1 90848
9 9 1 90848
2 0 95424 1 908448 → verdadera
; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo
; reemplazamos el valor de log 9
; resolvemos
; comprobamos la igualdad
II. ; escribimos el log como producto
; aplicamos la propiedad del producto
; reemplazamos y resolvemos
III. ; escribimos como producto el logaritmo
;aplicamos la propiedad del producto
; reemplazamos y resolvemos
; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logarit-
mo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción
x y
x y
+ =
− =
27 5
1
,
log log
x y
x
y
+ =
=
275
10
10log log ; resolvemos la ecuación logarítmica
x
y
x y= → =10 10 ; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera
ecuación
; reunimos términos semejantes10
55
2
11
55
2
55
22
5
2
10
55
22
550
22
27
y y
y
y
x
x
+ =
=
= =
=
= =
55
11
275
11
5
2
62 5





⋅





 = ,
; despejamos el valor de y
; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica
; resolvemos y encontramos el valor de x
; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución

53
Partimos de un logaritmo conocido que es log 10
log log( )
log log log
, log
10 5 2
10 5 2
1 0 69897 2
= ⋅
= +
= +
11 0 69897 2− =, log
; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto
; reemplazamos y despejamos lo que se busca
En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice
hacia la izquierda.
El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y
5; por lo tanto el punto que se busca será 1 5
2
3
+
=
∴ +∞


3, es el intervalo buscado
El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto
medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola.
eje simetría =
−
= − + −
−
−
= →
b
a
si f x x x
2
4 3
4
2 1
2 2
2
( )
( )
,++∞



; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de
simetría
U
U
=
=
(log )(log )(log ).....(log )
log
2 3 4 15
1
3 4 5 16
00
10
10
10
10
10
3
2
4
3
5
4log
log
log
log
log
......
l
⋅ ⋅ ⋅
oog
log
log
log
log
log
10
10
10
10
2
2
16
15
16
2
16
U
U
U
=
=
= 22
4 2
4
4
2
U
U
=
=
log
; cambiamos base de cada logaritmo
; simpliﬁcamos los logaritmos
; cambiamos base
; escribimos como potencia
; aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-
cia
; resolvemos

54
En la ecuación f x
x
q
x q q( ) ;=
−
+ − <
2
4 3 0 encontramos que si
a
q
b c q=
−
= = −
1
4 3, y
a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q
b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero
c) la parábola tiene como eje de simetría
−
−
=
4
2
2
q
q , como q < 0,
entonces 2q es negativo.
Según esto no existe ningún gráﬁco que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como
eje de simetría el valor 2q.
Si f x x( ) = − −3 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:
y
y
y
y
= − −
= − −
= −
=
0 3 1
3 1
3 1
2
; aplicamos la deﬁnición de valor absoluto
; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igual-
dad, es decir y=2
Luego, el punto buscado es (0,2)
En la función R(x) = -0,15x2
+ 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es
decir:
pto.máximo y como y tendremos:: , ,
−
= = −
b
a
b a
2
4 5 0 15
ppto.máximo =
−
−
= =
4 5
2 0 15
4 5
0 3
15
,
( , )
,
,

55
Comprobaremos cada afirmación:
I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona
pagará $2000 por cada artículo, entonces
5000($1800) = $9000000
2300(2000) = $4600000 c/p $9200000 en total verdadera
II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800
por cada artículo, entonces:
6000($1700) = $10200000
5800($1800) = $10440000 verdadera
III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma
Afirmación falsa
Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello
tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones:
(1) Esta información nos da x1
= -2 y x2
= 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x.
(2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas
juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva
(1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá
5000(25
) = 160000 bacterias
donde (25
)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas
(2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial
Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta

56

57
Combinatoria y Probabilidad.
Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repe-
tir; es decir:
3 x 3 = 9
Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden
repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210
Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que
se escojan, así:
4
10
C
Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede
repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan
y así sucesivamente...así
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8
Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que
el orden no es importante, entonces nos queda:
3
7
C representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7
2
5
C representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5
CAPÍTULO 4

58
Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinaci-
nes y tendremos la combinación total
3
7
2
5
7
7 3 3
5
5 2 2
7
4 3
5
3
C C⋅
− ⋅
⋅
− ⋅
⋅
⋅
⋅
!
( )! !
!
( )! !
!
! !
!
! 22
7 6 5 4
4 3
5 4 3
3 2
7 6 5
3 2 1
5 4
2
!
!
! !
!
! !
⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
1
35 10
350
(Desarrollando el factorial de un número)
(Simpliﬁcando)
(Multiplicando y simpliﬁcando)
(Multiplicando)
Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo.
Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el
producto de entradas por platos de fondo
5 x 6 =30
Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición,
entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por:
2 2
6 6
2 2
6 5 4 3 2 1
2 1 2 1
180,
!
! !P =
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
Una ordenación de elementos es una permutación, entonces:
P5
= 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación
con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5.
3 4
7 7
3 4
7 6 5 4
3 2 1 4
35,
!
! !
!
!P =
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=

59
Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para
formar los grupos posibles
Sea PA
igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está deﬁnida por:
P A
casos favorables
casos posibles
n
n
A
( ) = =
a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello
1
3
C combinaciones totales para obtener una cara d= ee tres en total
2
2
C combinaciones totales para obtener dos sello= ss de dos que quedan
( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total)
1
3
2
2 3
3 1 1
2
2 2 2
3C C⋅ =
− ⋅
⋅
− ⋅
=
!
( )! !
!
( )! !
b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas
Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8
P A( ) =
3
8
Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos
da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual
P azul
bolas azules
bolas totales
( ) = =
5
15a)
b) P blanca
bolas blancas
bolas totales
( ) = =
7
15
P azul oblanca( ) = + = =
5
15
7
15
12
15
4
5

60
La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es
1
5
, se tienen 20 preguntas en total,
entonces para lograr acertar a todas se tiene
1
5
20




Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y
luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados
a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones
1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir
3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso
contrario. Así tenemos 8 casos favorables
b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36
Finalmente la probabilidad del evento será P = =
8
36
2
9
La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja)
a) P blanca
bolitas blancas
bolitas totales
( ) = =
2
7
b) P roja
bolitas rojas
bolitas totales que quedan
( ) =
aal sacar y no poner
=
5
6
P = ⋅ =
2
7
5
6
5
21
La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que
no ocurra es 1, así
1
5
4
5
1+ = , por lo tanto, si
1
5
= probabilidad de ocurrencia
y
4
5
= probabilidad que no ocurra
si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será
P = ⋅ =
4
5
4
5
16
25

61
Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número;
como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 1
20
y
la probabilidad de acertar al número será
1
10
, así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número
será P = ⋅ = =
1
20
1
10
1
200
0 005,
La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabili-
dades ya que son eventos mutuamente excluyentes
Así P = + =
+
=
1
5
1
6
6 5
30
11
30
Si el alumno tiene probabilidad
1
6
de egresar, tendrá
5
6
de no hacerlo.
de la misma forma si tiene probabilidad
2
5
de casarse, tiene
3
5
de no hacerlo.
La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ =
1
6
3
5
1
10
Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese ﬁnalizado sería la suma de
las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos.
a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% =
1
5
⋅
1
4
=
1
20
b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% =
1
4
⋅
1
4
=
1
16
c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% =
1
2
⋅
3
20
=
3
40
P = + + = =
1
20
1
16
3
40
15
80
3
16

62

63
CAPÍTULO 4
Estadística Descriptiva
La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:
X = =
6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6
= 5
La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.
La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero
que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3
el término central corresponde al promedio de los dos números centrales Me =
6 + 5
2
= 5,5.
La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:
σ
σ
=
=
∑
− ⋅ + − + − + −
( - )
=1
2
x x
i
n
n
i
( ) ( ) ( ) (6 5 3 5 5 4 5 3
2 2 2
55
2
)
6
8
6
4
3
= =

64
En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las
ordenadas, es decir:
2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32
La moda del gráﬁco es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.
Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.
La media es el promedio, entonces tenemos
X
a a a a a a
=
+ + + +
=
3 6 7 2
5
19
5
La relación que tendremos que resolver es X = 15, 25 =
x1
+ x2
+ x3
+ x4
4
donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25
61= x1
+ x2
+ x3
+ x4
con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad
es el 21 ya que el resto debería sumar 40.
Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.
Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las
frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos
es 20, el porcentaje será
17•100%
20
=85%

65
Por definición
El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda
18=
20 + 15 +X3
3
18•3= 35 + X3
54 - 35= X3
19= X3
El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia
del intervalo entre 4 y 7
Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde
a
1
6
del gráfico, luego,
1
6
de los elementos son:
elementos =
600
6
= 100
Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces
como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III
Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda:
4,0 =
21,3 + X
6
24 - 21,3 = X
2,7 = X

66
x = 197
197 ⋅ 5 = suma de estaturas
Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente
calculamos el nuevo promedio
X cm= =
197 5-170+205
5
204
⋅
Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos,
en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas.
De las afirmaciones
I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa
II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar
la marca de clase de cada intervalo, así:
Nota Frecuencia Marca de clase
[1-2,5]
(2,5-4]
(4-5,5]
(5,5-7]
250
150
100
20
1,75
3,25
4,75
6,25
(1,75)(250) + (3,25)(150) + (4,75)(100) + (6,25)(20)
520
X = =
6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6
= 5
X = =
6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6
= 5437,5 + 487,5 + 475 + 125
520
= 2,93
La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera
III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera

67
Verificaremos las afirmaciones
I. La media de los datos es X = =
1 + 3 + 5 + 7 + 9
5
25
5
= 5 al sumar 12 a cada término la suma de
25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X = =
25 +60
5
17 Afirmación verdadera
II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-.
Afirmación falsa
IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene
σ =
(13 - 17) + (15 - 17) (17 - 17) (19 - 17) (21 - 1
2 2 2 2
+ + + 77)
5
40
5
8
2
σ = =
Afirmación verdadera

68

69
CAPÍTULO 5
Ángulos
El complemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:
αc
= (90º - α)
El suplemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:
αs
= (180º - α)
Recordemos que: ángulo recto 90° ; ángulo extendido 180° , por lo cual del enunciado se obtiene:
(90° - 90°) + (180°-180°)
0° + 0°
0°
Como L1
//L2
, se cumple que:
β
L1
L2
x
L4
L3
60º
80º100º
β = 80º, luego, x = 80º + 60º
x = 140º
Como L1
//L2
se cumple que:
α = 180º + 75º
45º 60º 120º
75º
L1
L2
120º
135º
α
α = 255º

70
capítulo 5
Como L1
//L2
podemos utilizar ángulos alternos externos y nos queda:
x + β = 180º
x = 180º - β
L1
L2
x
α
β
Del enunciado y utilizando ángulo alterno interno se tiene que:
x + 30º = 180º
L1
L2
L4
L3
120º
x
x = 180º - 30º
x = 150º
Tenemos que:
α + β + 60º = 180º
α + β = 120º, como α : β = 1 : 2
Tenemos que:
k k
k
k
k
+ = °
= °
=
°
= °
2 120
3 120
120
3
40
L1
L2
60º
α
β
60º
Luego, α = 40º
Como L1
//L2
L1
L2
x
L4
L3
α
β
180º -x
α = β + (180º - x), despejando x
x = 180º - α + β
β
30º
30º

71
capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 5
Como L1
//L3
α + β = 90º
L1
L2
L3
β
α
α = 90º - β
α = 20º
Como L1
//L2
, por propiedad de paralelas y ángulos adyacentes se tiene que:
1 105
2 180
135 180
180 135
)
)
z y
z x
y
y
y
+ = °
+ = °
+ ° = °
= ° − °
== °
+ ° = °
= ° − °
= °
°+ = °
=
45
45 105
105 45
60
60 180
1
z
z
z
x
x 880 60
120
120 45 60 105
° − °
= °
+ − = °+ ° − ° = °
x
x y z
L1
L2
105º
z
135ºy
x, además
, por lo cual
, reemplazando en (1)
, reemplazando en (2)
, por lo tanto
Como L1
//L2
100º = 30º + x L1
L2
x
100º
30º
L3
L4
70º = x
Como L1
//L2
, tenemos que
2x + 15º + x = 180º
L1
L2
2x + 15º x
2x + 15º
3x = 165º
x = 55º
αβ
x
75º
zx
x

72
Recordemos que un pentágono regular tiene 5 lados y todos sus ángulos interiores son iguales.
Ángulo interior =
180 2
180 5 2
5
36 3
108
°⋅ −
°⋅ −
°⋅
°
( )
( )
n
n
, reemplazando n por 5
, simpliﬁcando
, multiplicando
Por lo tanto, el suplemento es:
180º - 108º = 72º
El número de diagonales que se puede trazar a partir de un vértice de un polígono se determina a través
de
d = (n - 3)
Con “n” números de lados del polígono y d = número de diagonales (12)
12 = n - 3
15 = n
Del pentágono regular se desprende que
36º + α + 36º = 108º
α = 108º - 72º
α
108º
36º 36º
36º
36º 108º
α = 36º
Del enunciado tenemos que:
25º + 2y + 2x = 180º
y
y x
x25º
A
B
C
D
E
F
O
2y + 2x = 155º ; dividiendo todo por 2
y + x = 77,5º
Por lo tanto, el ángulo BOD es igual a 77,5º
capítulo 5

73
Recordemos que los ángulos recorridos por el horario (H) y el minutero (m) están en la razón 1 : 12,
ya que en una hora el horario avanza 30º y el minutero 360º.
H : m = 1 : 12, luego a las 10 horas el ángulo formado por los punteros es 60°
60º ; a las 10 horas 5 minutos, el minutero(m) ha recorrido 30°.
Si el horario no se mueve los punteros forman un ángulo de
90°
H
H
30
1
12
30
12
2 5
=
= = °,
; determinamos los ángulos recorridos por el horario
Por lo tanto, el menor ángulo formado por los punteros a las 10 horas 5 minutos es:
90º - 2,5º = 87,5º
Primero determinaremos el número de lados del polígono ya que se conoce la suma de sus ángulos
interiores.
900 180 2
7
3
2
7 7 3
2
14
º º ( )
( )
( )
= ⋅ −
=
=
⋅ −
=
⋅ −
=
n
n
D
n n
D
D
; despejando n y simpliﬁcando
; como conocemos el número de lados del polígono
podemos determinar el número total de diagonales que se
pueden trazar en su interior
; reemplazando en n
I. Falso, ya que en cualquier polígono la suma de sus ángulos exteriores es de 360°.
II. Falso, ya que además debe tener todo sus ángulos interiores iguales.
III.Verdadero, por deﬁnición.

74
Con la proposición (1) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramo.
Con la proposición (2) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramos.
20.La alternativa correcta es C
Para poder contestar satisfactoriamente este ejercicio se necesita de ambas proposiciones ya que, por
sí solas no se podría determinar el valor del ∠ACB
capítulo 5

75
CAPÍTULO 5
Triángulos
El complemento de un ángulo es lo que le falta a éste para formar un ángulo recto.
En gradianes un ángulo recto corresponde a 100g
, por lo tanto:
100g
- 50g
= 50g
; 50g
es el complemento.
A partir de la información y del análisis de los triángulos RQT y SQT se tiene que:
2β β
S RQ
T
120º
βα
a
b
)
)
2 120 180
2 120
β
β α
+ ° = °
+ = °
Despejamos β de a) β=30°
Reemplazamos en b) y despejamos α
2 30 120
120 60
60
⋅ ° + = °
= ° − °
= °
( ) α
α
α

76
El área de un triángulo se determina como:
A
b h
∆ =
⋅
2
Como el área del triángulo isósceles del problema es conocida (S) y la base también (b), reemplazamos
en la ecuación.
S
b h
S
b
h
h
S
b
=
⋅
⋅
=
=
⋅
2
2
2
, despejamos h
Del dibujo se desprende que:
α
α
α α
α
= ∠ +∠
= ∠ +∠
∠ +∠ +∠ +∠
+
1 2
3 4
1 2 3 4
2
, y
, entonces
Por lo tanto: ∠ +∠ +∠ +∠ =1 2 3 4 2α
Analizando la información y los triángulos del dibujo tenemos que:
B
A D
E
C
x
60º 60º
β
α α
β
α β
α
α
α
= °
+ = °
= ° − °
= °
+ = °
= °
60
110
110 60
50
2 180
180
x
x −− ⋅ °
= °
2 50
80
( )
x
, como
, reemplazando β y despejamos α
, ﬁnalmente
, despejando x y reemplazando α
Por lo tanto: x = 80º
capítulo 5

77
C
A D
E
B40º
x
De la información tenemos que el ∆ ABC es isósceles de base AC , por lo cual:
∠ACB = ∠BAC = 70º, como EA es bisectriz del ∠BAC.
* = 35º
El ∠DAC = 90º 90 70
20
° = ° + ∠
° = ∠
DAB
DAB
, despejando
En el ∆ ADE se tiene : ∠ + ∠ + ∠ = °
° + ° + = °
= °
DAE EDA AED
x
x
180
55 90 180
35
, reemplazando los valores correspondientes.
Por lo tanto:
El ángulo AED es igual a 35°
40º
A B
D C
x
Como AB//DC, utilizando ángulos alternos internos:
x = 40º
capítulo 5
*
*

78
z
25º
25º
25º15º
y
x
L1 L3
L4
L5
L2
x
Utilizando triángulos:
a
b
c
)
)
)
z
y
x
+ ° + ° = °
+ ° + ° = °
+ ° + °
75 90 180
50 90 180
25 90 == °180
Despejamos z de a):
z
z
= ° − °
= °
180 165
15
Despejamos y de b):
y
y
= ° − °
= °
180 140
40
Despejamos x de c)
x
x
= ° − °
= °
180 115
65
x+y+z = 65°+40°+15°
x+y+z = 120°
β
α
L2
L1
x x
Utilizando las paralelas para “desplazar” x tenemos que:
α β+ + = °
+ + = °
= °
=
°⋅
=
x
x x
x
x
x
x
180
4 4
180
6
4
180
180 2
3
1200°
capítulo 5

79
El perímetro de un triángulo equilátero es igual a:
P a
a cm
a cm
∆ =
=
=
3
3 16 3
16
3
3
[ ]
[ ]
, por lo tanto
, despejando “a”
Como se conoce el lado del triángulo podemos determinar su área.
A
a
A
A
A
∆
∆
∆
∆
=
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
2
2
2
3
4
16
3
3 3
4
16 16 3 3
3 3 4
4
( )
116 3 3
3 3
64
3
3 2
⋅
⋅
=A cm∆ [ ]
, reemplazando “a”
, simpliﬁcando
, simpliﬁcando y multiplicando
α
20º
20º
CA D
B ∠BCA = 20º + 20º (Teo. ángulo exterior)
Del triángulo BAD se tiene:
90 20 20 180
180 130
50
°+ + °+ ° = °
= ° − °
= °
α
α
α
El área de un triángulo equilátero se determina por:
A
a
a
a
a
∆ =
=
=
=
2
2
2
3
4
16 3
3
4
64
8
, como se conoce el área despejamos
, aplicamos √vv
Por lo tanto, el perímetro es 3 3 8 24a cm= ⋅ = [ ]
capítulo 5

80
El área achurada se determina por la diferencia entre área del cuadrado y del triángulo equilátero
Área cuadrado ABED – Área triángulo equilátero.
a
a2
2
3
4
−
p q
C
DA B
√10
h=3
Utilizando Pitágoras en el triángulo CDB, podemos determinar DB
h DB BC
q
q
q
2
2 2
2
10 9
10 9
1
+ =
= −
= −
=
( )
, reemplazando los valores y despejando q
En el ∆ ACB tenemos que:
Utilizando Euclides
a) h p q
p
p
c p q
c
2
9 1
9
10
= ⋅
= ⋅
=
= +
=
, reemplazando los valores y despejando p
b) , reemplazando los valores de p y q
Utilizando Pitágoras
c) AC CB AB
AC
AC
AC
AC
2 2 2
2 2
2
2
10 10
10 100
90
9
+ =
+ =
+ =
=
=
( )
⋅⋅
= ⋅
10
3 10AC
, despejando AC
, descomponiendo
capítulo 5

81
BA D
C
4 cm4 cm
2k
G
x
k
√97
a) Como CD es bisectriz del ángulo distinto del triángulo ABC (isósceles), es coincidente con todas
las rectas notables, es decir: altura, transversal de gravedad y simetral.
b) Si G es centro de gravedad, la recta CD se divide en la proporción 2:1
CG : GD = 2 : 1
c) Además CD es altura por lo que el ∆ ADC y ∆ GDB son rectángulos.
Apliquemos Pitágoras en el ∆ ADC
4 97
97 16
81
9
2
2
2
+ =
= −
=
=
DC
DC
DC
DC cm
( )
[ ]
, despejamos DC
Del punto b) se tiene que:
CG GD
CG GD
k k
k
k
GD cm
: :
[ ]
=
+ =
+ =
=
=
=
2 1
9
2 9
3 9
3
3
, como
, se obtiene que
, por lo cual
Utilizando una serie Pitagórica en el ∆ GDB se tiene que:
x = 5[cm]

82
1 cm
C
A B2 cm
x y
Este triángulo rectángulo es semejante al triángulo siguiente.
30º
60º
a
a
2
a
2
3
Entonces por semejanza de triángulos:
Ángulo BAC = 60°
Ángulo CBA = 30° , por ángulos adyacentes suplementarios.
x = 120°
y = 150°
Por lo tanto, la razón entre los ángulos x e y es:
x
y
x
y
=
°
°
=
120
150
4
5
, simpliﬁcando
Por propiedad de las transversales de gravedad se tiene que:
C
D
A B
G
E
F
DG GB
DG GB
k k
k
k
GB k cm
: :
[ ]
=
+ =
+ =
=
=
= =
1 2
3
2 3
3 3
1
2 2
, como DB =3[cm]
, entonces
, por lo tanto
CF es altura y además transversal de gravedad en el triángulo ACB. Utilizaremos el teorema de Pitá-
goras en el triángulo BFG
capítulo 5

83
FG FB BG
FG
FG
2 2 2
2
2 2
1 2
3
+ =
+ =
=
, reemplazando los valores correspondientes
, despejando FG
Como FG : GC = 1 : 2, se tiene que la medida de CG = 2√3 , por lo que CF es igual a 3√3 . Calcula-
mos el área del triángulo ABC
A
b h
A
A cm
∆
∆
∆
=
⋅
=
⋅
=
2
2 3 3
2
3 3 2
[ ]
Del dibujo se tiene que:
x y
x y
+ °+ = °
= ° −
90 180
90
, despejamos x
a) si x tomase el mínimo valor
28 90
62
° = ° −
= °
y
y
, el máximo valor de y sería
b) si x tomase el máximo valor
56 90
34
° = ° −
= °
y
y
, el mínimo valor de y sería
Con la proposición 1) es suﬁciente ya que conocida el área del triángulo equilátero (a2
√3
4
) se puede
determinar las medidas de sus lados y con esta información se determina la altura
h
a
=
⋅ 3
2
La proposición 2), también es suﬁciente.
capítulo 5

84
Para responder satisfactoriamente la pregunta se deben utilizar ambas proposiciones juntas.
Se obtiene que el ∠DCB mide 25º puesto que por A, B y C pasa una circunferencia y la condición
AD = DB dice que DB = radio = DC y ΔDBC es isósceles de base BC .
A BD
C
25ºα
90º
25º
Si el triángulo ABC es rectángulo y D punto medio de la hipotenusa, se tiene que:
α
α
+ ° = °
= °
25 90
65
capítulo 5

85
CAPÍTULO 5
Trigonometría
Si asociamos los valores con un triángulo rectángulo tenemos:
12
5
13
α
Un cateto mide 5 y la hipotenusa 13, el otro cateto mide 12, esto se demuestra utilizando el teorema
de Pitágoras.
Por deﬁnición de cotangente.
Ctg
cateto adyacente
cateto opuesto
Ctg
α
α
=
=
5
112
Sen Cos
Tg Sec
Sen Cos
Sen
2 2
2 2
α β
α β
α β
α
−
⋅
−
CCos Cosα β
⋅







 −






1
2
2
1
2
2
2
2 2
22
2
1
1
2
2
4
1
4
1 2
1
4
2
1
8












⋅






−
⋅
=
, por deﬁnición.
; como:
Sen Sen
Cos Cos
Cos Cos
α
α
β
= ° =
= ° =
=
45
2
2
45
2
2
600
1
2
° =
, Reemplazamos
, Desarrollamos

86
Del enunciado
P x y
x y
x y
∆ = + +
= + +
= +
20
48 20
28
; reemplazando
; por lo cual
Además por definición de tangente
Tg
cateto opuesto
cateto adyacente
Tg
x
y
α
α
=
=
0,,75
3
4
3
4
28
28 3 4
28 7
4
=
=
=
=
= +
= +
=
=
x
y
x
y
x k
y k
x y
k k
k
k
x == ⋅ =3 4 12 m
; reemplazando
; transformando el decimal a fracción
; es decir
; reemplazando
; despejando k
; por lo tanto
Por definición de Cos α
Cos
cateto adyacente
hipotenusa
Cos
AB
Dia
α
α
=
=
mmetro
Cos α =
5
13
; reemplazando los valores
i. Como α y β son ángulos complementarios se cumple que Sen α = Cos β. Verdadero.
ii. Por identidad trigonométrica. Verdadero.
iii. ComoαyβsonánguloscomplementariossecumplequeSenα=Cosβ,porlotanto Tg
Sen
Cos
β
β
β
=
, por definición. Verdadero.

87
Si llevamos los valores a un triángulo rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos
que:
4
3
5
α
Reemplazando los valores en:
Sen Sen Cos
Sen
Sen
( )
( )
( )
2 2
2 2
4
5
3
5
2
2
α α α
α
α
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
44
25
Sen Tg Sec
Cos Co
Sen
Sen
Cos Cos
α α α
α α
α
α
α
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
sec
3
1
αα
α
α
α
α
α
α
α
Cos
Sen
Sen
Cos
Sen
Cos
Tg
⋅
=
1
3
3
3
3
; por deﬁnición
; operando
; por propiedad de raíces
4
2
α
2 √3
Este triángulo es semejante con
a
a
2
30º
a
2
√3
60º
Por lo tanto, α es igual a 30°

88
De la información y de la semejanza de este triángulo con el del ejercicio anterior, tenemos que:
h
D F
E BA
C
30º
30º
60º
60º
h
h
10 cm
10 √3cm
h √3De la ﬁgura
h h
h
h
3 10 3
3 1 10 3
10 3
3 1
3 1
+ =
+


 =
=
+



⋅
−



−



=
−
−
=
−
= −
3 1
30 10 3
3 1
30 10 3
2
15 5 3
h
h
h
; factorizando
; despejando “h”
; racionalizando
; simpliﬁcando
Para determinar el área achurada se debe realizar la siguiente operación.
Área cuadrado Área círculo
a R
h
h
-
2 2
2
2
− ⋅
−



π
π

−
−






−



⋅ −





2
2
2
2
2
4
1
4
15 5 3 1
4
h
h
h
π
π
π

; dejando todo en función de “h”
; factorizando
; reemplazando por el valor de “h”
cm2
En ΔAED, ctg α =
5 20
40
10
y
y
=
=En ΔABC, ctg α =
5 20
40
10
y
y
=
=41,8 mx
15 m
20 m
1,8
40 m
15 m
y
5 m Igualando:
5 20
40
10
y
y
=
=
; despejando “y”
Como
x y
x
x m
= +
= +
=
1 8
1 8 10
11 8
,
,
,
A
D
C
BE
α

89
11. la alternativa correcta es D
Utilizando las características de un triángulo rectángulo 30°,60° y 90°, tenemos que:
h
BA
C
30º
h √3
h
BA
D
60º
C
9
(h + 9) √3
3
De las figuras se desprende que:
h
h
h h
h
h m
3
9 3
3
3 9
2 9
4 5
=
+( )⋅
= +
=
= ,
; simplificando
; despejando “h”
; por tanto la altura del acantilado es:
12.La alternativa correcta es B
La distancia del bote con respecto al acantilado es:
h
m
3
4 5 3,
; reemplazando
Utilizando el teorema de Pitágoras y analizando la información se tiene que:
B 15 cm
10 cm
C
D A
20 cm
y
x (20 - x)
15 cm
En Δ EDC, cos α =
x
15
En Δ FCB, cos α =
20 - x
10
Igualando.
x x
x x
x x
x
x cm
15
20
10
3
20
2
2 60 3
5 60
12
=
−
=
−
= −
=
=
; simplificando
En Δ EDC, ctg α =
x
y
En Δ EAF, ctg α =
20
15
Igualando.
x
y
y
y cm
=
=
=
20
15
12 20
15
9
; reemplazando el valor de “x”
; simplificando y despejando “y”
Por lo tanto, el área del rectángulo ABCD es:
Área Rectángulo = 9 · 8 = 72 cm2
α
α
E
F

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