Rm (parte iii)

19 20COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3ro. Año
Secundaria
OPERADORES
OP. CONVENCIONALES OP. NO CONVENCIONALES
∆∅log+ × ÷ ∫( )n
d'_
% * # ∑. . . . .
OPERADOR MATEMÁTICO: Es un símbolo
determinado que sirve para representar a una
determinada operación matemática.
Las operaciones no convencionales se definen en
función a las operaciones convencionales,
relacionando un par de valores (variables)
mediante una ley de formación, que se obtienen
combinando, según requiera el caso las
operaciones convencionales.
Ejemplo:
01.Dado: b3aba
3
−=∗ . Hallar 5*3
En este ejemplo se define el operador “ * ”
mediante la ley “ b3a
3
− ”, donde se
relacionan los valores a y b, mediante las
operaciones convencionales:
( ) ×− y;
n
.
3*5; es lo que se tiene que calcular:
02.Si: ab3aba
2
−+=∫ .
Hallar: ∫35
De la definición:
ab3aba
2
−+=∫ , se calcula:
( ) ( ) 533535
2
−+=∫ ; operando
2935 =∴ ∫
03.Se define:
a* = 3a; si “a” es número par
a* = 2a; si “a” es número impar
Calcular:
( ) *3**5*2A ++=
Resolución:
* Importante, así como las operaciones
combinadas con operadores convencionales
tiene su regla de operación (tiene un orden de
operación), esta regla también se aplica a los
operadores no convencionales.
Entonces se desarrollará siguiendo el orden
señalado por los números romanos.
( ) *3**5*2A ++=
I II III
IV
V
Ojo 1: El operador “*” tiene dos leyes de
formación que dependen del valor a operar.
Resolvemos:
I : 2*, como “2” es par, aplicamos:
2* = 3 ( 2 ) => 2* = 6 1
II : 5* = como “5” es impar, aplicamos:
5* = 2 ( 5 ) => 5* = 10 2
III: 3*, como “3” es impar, aplicamos:
3* = 2 ( 3 ) => 3* = 6 3
Reemplazamos valores en A:
( ) 6*106A ++=
6*16A += ; como “16” es par,
aplicamos
( ) 6163A +=
54A =∴
Ojo 2: Como hemos visto, en los operadores no
convencionales se utilizan cualquier símbolo, las
figuras geométricas también se emplean para
representar operadores.
04.Dado:
A
B
C
=
A
B
B
C
+
Hallar:
2
3
4
Resolución: Identificando el valor de cada letra
según la figura:
A= 3 ; B= 3 y C= 4
Estos valores reemplazamos en la ley de
formación:
2
3
4
=
2
3
3
4
17
12
5
12
+ = = 1
05.Si:
( )
ba
ba
b#a
baba
bab*a
2
22
−
+
=
−=∆
−=
Calcular “x” en:
1
3
1
#
2
1
3
1
2
1
x*
2
1
=












∆
Resolución: Calcular por partes
1) ( ) 22
2
x
4
1
x
2
1
x*
2
1
−=−





=
2)
36
1
6
1
3
1
2
1
3
1
2
1
22
=





=





−=∆
3) 5
6
1
6
5
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
#
2
1
==
−
+
=
Reemplazamos éstos valores en la ecuación:
S3RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM32B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
OPERADORES
MATEMÁTI

Secundaria
( )
1
5
36
1
x
4
1 2
=






−
1
36
5
x
4
1 2
=
−
Despejando :
36
5
x
4
1 2
=−
2
x
36
5
36
9
=−
9
1
xx
36
4 22
=→=
3
1+
−
∴
Ojo 3: Algunas operaciones tiene sus propias
leyes y propiedades.
En la multiplicación por ejemplo:
- Es Clausurativa.
- Es Conmutativa.
- Es Asociativa.
- Tiene elemento neutro (es el 1 )
. 0 x 1 = 0
. 1 x 1 = 1
. 2 x 1 = 2
. 3 x 1 = 3
. .
. .
. .
. n x 1 = n∴
Elemento Elemento
IdentidadIdentidad
- Tiene elemento inverso para cada número:
. 1 x 1 = 1
. 2 x 2 = 1
. 3 x 3 = 1
. .
. .
. .
. n x n = 1∴
Elemento Elemento
-1
-1
-1
-1
Inverso Neutro
06.Se define el operado #, en A={1; 2; 3; 4};
según la tabla.
# 1
11
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4 4
4
4
4
4
De las afirmaciones:
a) #, es un operador abierto
b) #, es un operador conmutativo
c) #, es un operador asociado
d) #, tiene como elemento neutro al 2
e) Según la tabla 2 # 2-1
= 2
Son ciertas: .....................................
Resolución:
a) Cierto; porque los valores que representan
a los resultados pertenece al conjunto en
donde se define el operador.
b) Cierto; comprobando:
. 1 # 2 = 2 # 1
1 1
. 3 # 4 = 4 # 3
1 1
c) cierto; comprobando:
( 2 # 3 ) # 1 = 2 # ( 3 # 1 )
3 # 1 = 2 # 2
2 = 2
De la tabla
d) Cierto; observemos la tabla:
# 1
11
2 2
2
3 3
3
4 4
4
Concluimos que el elemento neutro o
elemento Identidad. Es el “2”
e) cierto; de “d)”, el elemento neutro es 2
Entonces: 2 # 2 = 2
De la tabla: 2 # 2 = 2
∴ 2 = 2
-1
-1
PRACTICA DE CLASE
01.Si:
a*b = 2a + 5b 1
a%b = 5p - 2b 2
x * y = 16
x * y = 11
I
II
Hallar ( x + y ).
02.Dado:
a # b c =
( a % b ) * c
a * c
Además:
a % b = a + ab2
p * q = p - q2 2
Calcular:
2 # 8 8
03.Sea la operación “∆” definida mediante la
siguiente tabla:
1
1
2
2
3
3
4
4 5 6
5
6
-2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8

Secundaria
y las afirmaciones:
1. 3 ∆ 5 = 4
2. (3 ∆ 3) ∆ 5 = 2
3. (4 ∆ 2) ∆ (5 ∆ 4) = 3
4. El elemento neutro es el “3”
5. Es un operador cerrado:
Son ciertas:
a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 5
d) 1 y 3 e) 2 y 5
04.Se define al operador “θ”, para el R, mediante
la tabla siguiente:
θ 2
82
4 12
4
5 14
5
13
15
10
12
6 9
Calcular: 0,5 θ 3
05.Se tiene la tabla:
θ 1
81
2 14
2
11
5
“x” está definida por a * b = Ma2
+ Nb.
Calcular: 3 * 4
06.Sea “a” un entero, si x > -2
Si:
x = x + 13
x = x + 3x2
Además:
a = -7
Calcular:
E = a + 5
07.Definimos las operaciones, mediante:
a b
b * a ; b a≤
a * b ; a < b
a * b = a - b2
Hallar “x” en:
( ) ( ) 443x*2 −=∆∆
08.Sea :
x + 1 = x - 1
2
Hallar:
E = 3
3
09. Se define una operación cuyo operador es
* , de acuerdo a la sgte. Tabla:
*
2
4
6
1
2
3
4
8
1 2 3 4
6
10
14
8
12
16
10
1412
0
4
8
12
6
10
80 0
2
4
6
108
Halla el resultado de 1204 * 1413 y da como
respuesta la suma de sus cifras.
10.Sabiendo que:
3 x + 1 =
( x + 1 ) - 1
3
; x - 3 =
x - 1
7
2
Calcular:
68
11. Si:
n * m= m # n = 2 ( n # m ) + m + n
Calcular:
( 10 * 10 ) + ( 10 # 10 )
12.Si:
x = ( x - 1 ) + n
2
Efectuar:
M =
x - x + 2
x
13.Si:
1
m;
2
ab5
ba
−
=∆ es el elemento
inverso de m.
Calcular:
111
25
4
50
1
25
1
−−−






∆














∆





14.Si:
n = ( n + 1). n
-1
, calcular:
Log + Log + ........... + Logb
1 2 99
b b ;
donde: 7
4
10b =
15.Se define la operación “ * ” en
A = { a; b; c }, mediante la tabla:
*
d
a
b
b
c
d c
b c d
b
dc
ad
a
a
c
ba c
d
a
b
Hallar “x” en:
( ) a*c*xb*a
11
=
−−
EJERCICIOS PROPUESTOS 03
01.Si:
a
b = 4a - 3b
Calcular el valor del producto:
3
2
5
x
1
3
4
; es:
a) 31 b) 62 c) 27
d) 33 e) 360
02.Si:
;abbab*a ++= ∀ Rb,a ∈ ,
además:
( ) 73*x*2 = , entonces el valor de
“x” es:
a) 3 b)
2
1
c)
3
1−
d) -3 e)
3
1

Secundaria
03.Si:
a = K a - K a + 11
2
2 ;y
a = 2 b = 6y
El valor de
3
es:
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) N.a.
04.Si tenemos que:
x = 2x - x + 1
2
, y además:
( ) ( )65
abc324 = ; entonces el valor de:
a + b + c es:
a) 280 b) 145 c) 154
c) 208 e) N.a.
05.Si:
a
b
= 4a - 3b
Hallar:
1
3
4
3
2
5
x
06.Si:
a =
2a, si "a" es par
0, si "a" es impar
Si “a” es par: ( )∑
=
∆
5
1a
a =
a) 30 b) 15 c) 6
d) 12 e) N.a.
07.Si:
P * =
p - 1; si p 3
3p - 5; si p > 3
2
≤
Hallar:
( )**32
a) 19 b) 164 c) 38
d) 15 e) 30
08. representa un número tal que:
+ + = 9
Entonces:
. = ?.
a) 9 b) 3 c) 12
d) 18 e) 27
09.Defina:
3
yx
2
yx
y*x
−
−
+
=
Si:
6
7
x*2 =
Hallar el valor de: (-1 * x ).
a)
6
1
b)
3
2
c)
6
1−
d)
2
3
e) N.a.
10.Si: a * b = 2a - b a
a b =
a + b
2
Entonces:
( 2 * 3 ) ( 3 * 2 )
Es igual a:
a)
2
5−
b)
2
5
c) 1
d) 0 e) N.a.
11.Si:
π
=
=
3
1i
B*A y
( )∑ ∑
= =
=
3
1j
3
1i
j.iB@A
Entonces el valor de :
B@A
B*A
es:
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
12.Si a y b son dos números reales para los
cuales se define la operación:
ab
ab
b*a
+
=
Entonces el valor numérico de:
( )4*4*4 es:
a) 2,333..... b) 1,333.... c) 3,444....
d) 1,666..... e) N.a.
13.En el conjunto de los números reales, al definir
la operación ∆. Mediante :
;abb3aba +−=∆
Afirmamos que:
1. ∆ es conmutativa
2. “0” es el elemento neutro para la operación
∆.
3. a ∆ a = a
4. ∆ es asociativa.
Son ciertas:
a) 1 y 4 b) 2 y 3 c) 3 y 4
d) 1 y 2 e) N.a.
14.En el conjunto { a; b; c }, se define la
operación %, mediante la siguiente tabla:
%
a
b
c
b
c
b c
c
b
a
aa a
a
a
De las siguientes afirmaciones:
1. x % x = b; ∀ x ∈ { a; b; c }
2. x % x = x, ∀ x ∈ { a; b; c }
3. % es conmutativa.
4 a % ( b % c ) = ( a % b ) % c
Son ciertas, solamente:
a) 1 y 2 b) 1; 2 y 4 c) 3 y 4
d) 1 y 4 e) 2; 3 y 4
15.Se define Z en la operación:
a + b
a - b = ab
El valor de la siguiente expresión:
12
8
8
12+
; es:
a) 20 b) 64 c) 0
d) 10 e) 6
16.Si “∆” es una operación definida en R por:
2
nm
nm
2
+
=∆

Secundaria
El valor que satisface la ecuación:
( ) 9X3X52 +−=∆ ; es:
a) -3 b) 5 c) 7
d) 1e) 4
17.Se define la operación “∆”, mediante la
siguiente tabla:
b
c
b
b
c
b c
b
c
a
aa c
b
a
De las afirmaciones:
1. x ∆ x = c, ∀ x ∈ {a; b; c }
2. ∆ es conmutativo.
3. a ∆ ( b ∆ c ) = ( a ∆ b ) ∆ c
4. a ∆ ( c ∆ b ) = ( a ∆ b ) ∆ b
Son ciertas:
a) Sólo 1 b) Sólo 2 y 3
c) Sólo 1; 2 y 3 d) Sólo 1 y 3
e) T.a.
18.Si:
( ) 1111
3.zyxz*y*x
−−−−
++=
Entonces el valor de:
( ) ( )
1
5,0*1,0*
3
1
*
5
1
*
2
1
E
−
























=
Es:
a)
10
81
b)
10
3
c)
41
10
d)
3
10
e) N.a.
19.Si en el conjunto de los números reales
definimos una operación mediante:
ba2b*a += , entonces:
1. * , es cerrado
2. * , es asociativo
3. * , es conmutativo
Son ciertas:
a) Sólo 1 b) Sólo 2 c) 1 y 2
d) 2 y 3 e) N.a.
20.Si:
x = 3x + 6
Además:
x + 1 = 3x - 6
Calcular:
10
a) 31 b) 30 c) 29
d)28 e) N.a.
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04
01. B E B
02. A C C
03. E C C
04. C B C
05. B A E
06. D E D
07. C E C
08. D B E
09. A E B
10. D C A
11. D B B
12. B B B
13. D D E
14. D E C
15. C
16. D
17. E
18. C
19. A
20. D

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