Ejercicios actividad 8

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO AERONÁUTICO
Introducción a las Matemáticas
Actividad 8 – Cristian Javier Bayón
Resolución de Actividades de Proceso
AP 31 C: Resolver en forma sistemática la siguiente ecuación:
𝟏
√𝒙 + 𝟓
= 𝟐
Restricciones:
Para que esta ecuación tenga solución, como involucra una raíz par, el radicando debe ser mayor o igual a 0,
caso contrario, la raíz par no devuelve un número real. Pero como la raíz integra un denominador no puede
ser igual a 0, por lo que concluimos que el radicando debe ser positivo mayor a 0
𝑥 + 5 > 0 ⇒ 𝑥 > −5
Despejando la ecuación resulta el siguiente valor de x.
1
√𝑥 + 5
= 2 ⇒ 1 = 2√𝑥 + 5 ⇒
1
2
= √𝑥 + 5
Ahora despejamos la raíz
(
1
2
)
2
= 𝑥 + 5 ⇒
1
4
− 5 = 𝑥 ⇒
1 − 20
4
= 𝑥 ⇒ −
19
4
= 𝑥
Verificamos el resultado
1
√(−
19
4
) + 5
= 2 ⇒
1
√−19 + 20
4
= 2 ⇒
1
√1
4
= 2 ⇒
1
1
2
= 2

2. Podemos concluir que el valor de x que verifica el resultado
1
√𝑥 + 5
= 2
y cumple con la restricción 𝑥 > −5 es el siguiente: 𝑥 = −
19
4
AP 37 C: Resolver la ecuación utilizando información del apartado 3: factorización
𝟗𝒑 𝟐
+ 𝟕𝒑 = 𝟐
Lo primero que hacemos es igualar la ecuación a 0 de tal manera de trabajar con un con un trinomio de la
forma 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 <> 1
9𝑝2
+ 7𝑝 = 2 ⇒ 9𝑝2
+ 7𝑝 − 2 = 0
Para poder factorizar, multiplicamos la ecuación con un numero neutro de la forma
𝐴
𝐴
, donde A=9
(9𝑝2
+ 7𝑝 − 2).
9
9
=
81𝑝2
+ 7(9𝑝) − 18
9
= 0
El segundo término optamos por dejarlo expresado con B(Ax) para poder utilizar el término Ax para
factorizar.
La primer parte del termino estará formada por √81𝑝2 = 9𝑝
Para la segunda parte del termino buscamos dos números a y b, que cumplan las
las siguientes condiciones
a.b=AC En nuestro ejemplo a.b=18
a+b=B En nuestro ejemplo a+b=7

3. 81𝑝2
+ 7(9𝑝) − 18
9
=
(9𝑝 + 9)(9𝑝 − 2)
9
= 0
Factorizamos cada termino
(9p + 9)(9p − 2)
9
=
9(p + 1). 1(9p − 2)
9
= 0
Simplificamos
9( 𝑝 + 1). 1(9𝑝 − 2)
9
= ( 𝑝 + 1)(9𝑝 − 2) = 0
Para que esta igualdad sea posible:
( 𝑝 + 1) = 0 ⇒ 𝑝 = −1
O
9𝑝 − 2 = 0 ⇒ 𝑝 =
2
9
Verificamos el resultado
𝑝 = −1
9(−1)2
+ 7(−1) = 2 ⇒ 9.1 − 7 = 2
𝑝 =
2
9
9 (
2
9
)
2
+ 7 (
2
9
) = 2 ⇒ 9.
4
81
+
14
9
= 2 ⇒
4
9
−
14
9
= 2 ⇒
18
9
= 2
Podemos concluir que los valores de p que verifican el resultado
𝟗𝒑 𝟐
+ 𝟕𝒑 = 𝟐
Son los siguientes:
𝑝 = −1
𝑝 =
2
9

4. AP 39 C: A partir del producto, construir la forma general de la ecuación cuadrática
( 𝒙 − 𝟐)( 𝒙 − 𝟑) = 𝟎
Aplicamos propiedad distributiva
( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥2
− 3x − 2x + 6 = 0 ⇒ 𝑥2
− 5𝑥 + 6=0
Los resultados de esta ecuación son los siguientes
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2
𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3
Verificamos el resultado
Para verificar, factorizamos el trinomio de la forma 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
En donde la primer parte de cada termino esta dada por √𝑥2 = 𝑥
Para la segunda parte de cada termino buscamos dos números a y b, que cumplan las
las siguientes condiciones
a.b=C En nuestro ejemplo a.b=6
a+b=B En nuestro ejemplo a+b=5
Concluimos que ambas ecuaciones son equivalentes
AP 46 B: Determinar el valor de la incognita que hace verdadera la igualdad
𝟓𝒕−𝟐
− 𝟗𝒕−𝟏
− 𝟐 = 𝟎
Lo primero que hacemos es llevar la ecuación a la forma lineal, rescribiendo la misma de la siguiente
manera
𝟓𝒕(−𝟏).𝟐
− 𝟗𝒕−𝟏
− 𝟐 = 𝟎 = 𝒖 𝟐
− 𝟗𝒖 − 𝟐

5. De esta manera puedo reemplar y cambiar la incognita que llamaremos u con el siguiente valor
𝒖 = 𝒕−𝟏
=
𝟏
𝒕
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 <> 0 por ser denominador de una fraccion
Ahora tenemos una función cuadrática para la cual podemos aplicar la formula
𝑢 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Donde
a = 5; b = −9 y c = −2
Resolvemos
𝑢 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−9) ± √(−9)2 − 4. (5). (−2)
2.5
=
9 ± √121
10
𝑢 =
9 + 11
10
=
20
10
= 2 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑢 =
9 − 11
10
=
−2
10
= −
1
5
Verificamos
Con 𝑢 = 2
𝑢 = 2 =
1
𝑡
⇒ 2𝑡 = 1 ⇒ 𝑡 =
1
2
Satisface la ecuación
5𝑡−2
− 9𝑡−1
− 2 = 0 = 5.
1
2
−2
− 9. (
1
2
)
−1
− 2 = 5. 22
− 9. 21
− 2 = 20 − 18 − 2 = 0
Con 𝑢 = −
1
5
𝑢 = −
1
5
=
1
𝑡
⇒ −
1
5
𝑡 = 1 ⇒ 𝑡 = 1. (−5) ⇒ 𝑡 = −5
Satisface la ecuación
5𝑡−2
− 9𝑡−1
− 2 = 0 = 5. (−5)−2
− 9. (−5)−1
− 2 = 5. (
1
−5
)
2
− 9. (−
1
5
) − 2 =
1
5
+
9
5
− 2 =
1 + 9 − 10
5
= 0

6. Concluimos que ambas valores de t verifican la ecuación de partida