1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales. 2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero. 3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.

1. 1
EEccuauaccionionees y Desigualdadess y Desigualdades concon ValValoror
AbsolutAbsolutoo

2. 2
Objetivos:
1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.
2. Resolver desigualdades con valor
absoluto.

3. 3
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a un número positivo a, entonces la
expresión es igual a a ó -a. Por lo tanto,
EEccuauaccionioneess concon ValValoror AbsolutAbsolutoo
Teorema 1:Teorema 1:

4. 4
2 3 11 ó 2 3 11x x− = − = −
Resuelv
Ejemplo
a: 2 1
1:
13− =x
2 11 3x = +
2 14x =
7x =
2 11 3x = − +
2 8x = −
4x = −
{ }. . 4,7= −C S

5. 5
31053 −=−x
3 5 7 ó 3 5 7x x− = − = −
123 =x
4=x
23 −=x
3
2
−=x
Resuelva:
Ejempl
3 3
o 2:
5 10+ − =x
2
4
3
. . ,C S
 
= − 
 
3 5 7x − =

6. 6
2 2 8 12 4x − = −
2 8 4 ó 2 8 4− = − = −x x
Resuelva: 4
Ejempl
2 2
o 3:
8 12+ − =x
8
2 8
2
x − =
2 2 8 8x − =
2 8 4x − =

7. 7
2 12x =
6x =
2 4x =
2x =
{ }2 6. . ,C S =
2 8 4 ó 2 8 4− = − = −x x

8. 8
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a un número negativo -a, entonces el
conjunto solución de la ecuación es el
conjunto vacío.
EEccuauaccionioneess concon ValValoror AbsolutAbsolutoo
{ }
su solución es el conjunto
vacío = .
Si u a= −
∅
Teorema 2:Teorema 2:

9. 9
2 5 10 4x− − = +
Conjunto Solución = { }
Resuelve:
Ejemplo
4
1:
2 5 10− − − =x
2 5 14x− − =
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
= ∅
14
5
2
x − =
−
5 7x − = −

10. 10
301054 −=−x
Conjunto Solución = { }
Resuelve: 3
Ejempl
0 4
o 2:
5 10+ − =x
2054 −=−x
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
= ∅

11. 11
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a cero entonces la expresión es igual
a cero.
0 entonces 0.Si u u= =
Teorema 3:Teorema 3:

12. 12
Resuelve:
Ejemplo 1
4 2
:
5 0x − =
2 5 0x − =
2 5 0x − =
2 5x =
5
2
x =
5
. .
2
C S
 
=  
 

13. 13
Si a un número positivo entonces,
Las desigualdades con valor absolutoLas desigualdades con valor absoluto
0 a-a
u
}
Teorema 1:Teorema 1:
En otras palabras, |u| < a es equivalente a
-a < u y u < a.

14. 14
− < − <5 3 1 5x
− < <4 3 6x
− < <
4
3
2x
C. S. =
-2 -1 0 1 2 3
( )
Resuelva
Ejemplo
5
:
3
1
1− <x
4
2
3
x R x
 
∈ − < < = 
 
4
, 2
3
 
− ÷
 
4
3
−

15. 15
12 2 4 12x− < − <
Resuelva
Ejempl
2 2 4
2:
1
o
0− + − <x
2 4 10 2− < +x
2 4 12− <x
12 4 2 12 4x− + < < +
8 2 16x− < <
8 2 16
2 2 2
x−
< <

16. 16
C. S. =
( )
{ }4 8∈ − < < =x R x ( )4, 8−
8 2 16
2 2 2
x−
< <
4 8x− < <
-4 8

17. 17
Ejemplo 3:
4 2 3 6 6+ − <x
2 3 6 6− <x 4−
2 3 6 2− <x
2 3 6 2
2 2
−
<
x
3 6 1− <x

18. 18
3 6 1− <x
1 3 6 1− < − <x
1 6 3 1 6− + < < +x
5 3 7< <x
5 3 7
3 3 3
< <
x
5 7
3 3
< <x

19. 19
5/3 7/3
( )
5 7
. . ,
3 3
 
=  ÷
 
C S
5 7
3 3
< <x

20. 20
Si a es un número positivo, entonces
0 a-a
uu
}}
Teorema 2:Teorema 2:

21. 21
ó
4 18x ≤ −
x ≤ −
9
2
4 12x ≥
x ≥ 3
C.S.=
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
] [
Resuelva:
Ejemplo 1
4
:
53 1+ ≥x
9
/ 3
2
x R x ó x
 
∈ ≤ − ≥ 
 
= [ )
9
, 3,
2
− 
−∞ ∞  
U

22. 22
124 −≤x
3−≤x
84 ≥x
2≥x
C.S.=
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
] [
Resuelv
Ejemplo
a: 4 1
2:
02+ ≥x
4 2 10 4 2 10x ó x+ ≤ − + ≥
( ] [ ), 3 2,−∞ − ∞U

23. 23
Si -a es un número negativo entonces,
Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor
que un número negativo, la desigualdad es inconsistente.
Teorema 3:Teorema 3:

24. 24
Ejemplos:
462.1 −<−x
−<+
2. 7 2 3 6 4x+ − <
Siempre es falso
{ } φ==..SC
2 3 6 4x − < 7−

25. 25
2 3 6 4 7x − < −
2 3 6 3x − < −
−<+ Siempre es falso
{ } φ==..SC
3
3 6
2
x
−
− <

26. 26
Si -a es un número negativo, entonces
Teorema 4:Teorema 4:

27. 27
Ejemplos:
1. 2 8 4x − > −
+>−
2. 8 5 3 6 4x+ − ≥
Siempre es cierto
. .C S R=
5 3 6 4x − ≥ 8−
5 3 6 4x − ≥ −

28. 28
+ ≥ − Siempre es Cierto
. .C S R=
5 3 6 4x − ≥ −
5 3 6 4
5 5
x − −
≥
4
3 6
5
x
−
− ≥

29. 29
Teorema 5:Teorema 5:
Si 0 entonces 0 ó 0 . El conjunto
solución es todos los números reales excepto el 0.
Si 0 entonces el conjunto solución es R.
u u u
u
> > <
≥
Ejemplo 1: 3 6 0x − ≥
. .C S R=
Ejemplo 2 : 3 6 0x − >
{ }. . 0C S R= −

30. 30Ejercicios: Resuelva la ecuación o la desigualdad.
1. 5 10 15
2. 15 10 25
3. 4 3 10 15
4. 20 4 1 15
5. 5 20 15
6. 8 2 5 10 15
7. 10 4 2 10 20
8. 25 100 125
x
x
x
x
x
x
x
x
− =
− =
+ − =
+ − =
− ≤
− − <
− − − ≥
− − >
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

31. 31Ejercicios resueltos:
15105.1 =−x
5 10 15 5 10 15x ó x− = − = −
5 15 10x = +
5 25x =
5 25
5 5
x
=
5x =
5 15 10x = − +
5 5x = −
5 5
5 5
x
= − 1x = −
{ }. . 5, 1C S = −
Ejercicios

32. 32
2. 15 10 25x − =
15 10 25 15 10 25x ó x− = − = −
15 25 10x = +
15 35x =
15 35
15 15
x
=
7
3
x =
15 25 10x = − +
15 15x = −
15 15
15 15
x
= − 1x = −
7
. . , 1
3
C S
 
= − 
 
Ejercicios

33. 33
3. 4 3 10 15x+ − =
3 10 11 3 10 11x ó x− = − = −
3 1011x = +
3 21x =
3 1 101x = − +
3 1x = −
43 10 15x − = −
3 10 11x − =
Ejercicios

34. 34
3 21
3 3
x
=
7x =
3 1
3 3
x
= −
1
3
x = −
1
. . 7,
3
C S
 
= − 
 
Ejercicios

35. 35
4. 20 4 1 15x+ − =
{ }. .C S φ= =
4 1 1 205x − = −
4 1 5x − = − Es siempre falso, la ecuación
es inconsistente.
Ejercicios

36. 36
5. 5 20 15x − ≤
1520515 ≤−≤− x
15 5 120 5 20x− ≤ ≤+ +
5 5 35x≤ ≤
5 5
5 5 35
5
x
≤ ≤
1 7x≤ ≤
1 7
[ ]
[ ]7,1.. =SC
Ejercicios

37. 37
6. 8 2 5 10 15x− − <
2 5 10 5 81x− − < −
2 5 10 7x− − <
2 5 10
2 2
7x−
−
−
>
−
7
5 10
2
x − > −
Es cierto siempre.
RSC =..
Ejercicios

38. 38
7. 10 4 2 10 20x− − − ≥
4 2 10 2 00 1x− − ≥ +
4 2 10 30x− − ≥
4 4
4 2 10 30x
−
−
≤
−
−
15
2 10
2
x − ≤ −
Es falso siempre.
{ } φ==..SC
Ejercicios

39. 39
8. 25 100 125x− − >
25 100 125 25 100 125x ó x− − > − − < −
25 12 1005x− > +
25 225x− >
2
25 225
5 25
x
<
−
−
−
9x < −
25 125 100x− < − +
25 25x− < −
25 25
25 25x
>
−
−
−
−
1x >

40. 40
9x < − 1x >
1 9
()
( ) ( ). . , 9 1,C S = −∞ − ∪ ∞
Ejercicios