Este documento describe los números reales, incluyendo números racionales como números irracionales. Explica que los números racionales incluyen números naturales y enteros, mientras que los números irracionales tienen decimales infinitos no periódicos. También presenta ejemplos de números irracionales como π y e, y define conceptos como axiomas y desigualdades que son importantes para los números reales.

1. Números Reales

2. Incluyen a los números racionales ℚ como a los números irracionales 𝕀.
ℝ
Los números racionales incluyen a los números naturales ℕ y a los
números enteros ℤ.
Los números naturales ℕ son todos los números positivos excluyendo al
cero (por que se utilizan para contar).
Lo números enteros ℤ son todos los números positivos y negativos
incluyendo al cero.
Los números irracionales 𝕀 son los elementos de la recta real que no
pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se
caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas.

3. Recta Real
Representación geométrica de los números reales
Una propiedad importante es: entre dos números reales cualquiera
existen siempre números racionales e irracionales.

4. Así se define un número racional
ℚ = 𝑥: 𝑥 =
𝑝
𝑞
, 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0
5 = {𝑥: 𝑥 =
5
1
, 5,1 ∈ ℤ, 1 ≠ 0}
−7 = {𝑥: 𝑥 =
−7
1
, −7,1 ∈ ℤ, 1 ≠ 0}
5
3
= {𝑥: 𝑥 =
5
3
, 5,3 ∈ ℤ, 3 ≠ 0}

5. Números Irracionales mas conocidos
𝜋 (Numero “pi” 3,14159…): Razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
𝑒 (Numero “e” 2,7182…): lim
𝑛→+∞
1 +
1
𝑛
𝑛
Φ (Numero “áureo” 1,6180…):
1+ 5
2

6. Axiomas

7. Es una afirmación que se acepta como
verdadera debido a su trivialidad, pudiendo en
ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

8. Resolvamos algunos problemas

9. Problema 1
Usando los axiomas de cuerpo de los números reales y los
teoremas de unicidad demuestre la siguiente propiedad:
Para todo 𝑥, 𝑦 reales, −𝑥 + (−𝑦) es opuesto (inverso aditivo) de
𝑥 + 𝑦

10. Respuesta:
Debemos demostrar
−𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 0
Se utilizan axiomas de la suma de números reales:
−𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = −𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦
= −𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦
= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦
= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦
= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦
= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦
= 0 + 0
= 0
(asociatividad)
(conmutatividad)
(inverso)
(neutro)
(asociatividad)
(asociatividad)
(asociatividad)
(asociatividad)

11. Problema 2
Usando los axiomas de cuerpo de los números reales y los
teoremas de unicidad demuestre la siguiente propiedad:
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 son reales que verifican la relación 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 = 0
entonces
𝑎 + 𝑏 𝑑 + − 𝑐 + 𝑑 𝑏 = 0

12. Respuesta:
Se utilizan axiomas de cuerpo de los números reales:
𝑎 + 𝑏 𝑑 + − 𝑐 + 𝑑 𝑏
=
= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏
= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑏𝑑
= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 0
= 0 + 0
= 0
(distributividad)
(problema1)
(asociatividad +)
(asociatividad +)
(asociatividad +)
(asociatividad +)
(conmutatividad +)
(conmutatividad ∙)
(inverso +)
(hipótesis)
(neutro +)

13. Desigualdades
Es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos.
Las propiedades: transitividad, adición, sustracción, multiplicación y
división también se mantienen si los símbolos de desigualdad estricta
(< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
En ℝ existe un subconjunto llamado conjunto de reales (estrictamente)
positivos ℝ+∗ , el cual satisface los siguientes axiomas o reglas.
Tricotomia
∀𝑥 ∈ ℝ, una y solo una de las siguientes proposiciones es
verdadera:
1. x ∈ ℝ+∗
2. −𝑥 ∈ ℝ+∗
3. 𝑥 = 0

14. Clausura
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+∗ , se cumple que:
1. 𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ+∗
2. 𝑥 ∙ 𝑦 ∈ ℝ+∗
Es decir, ℝ+∗ es cerrado para la suma y el producto.
Relaciones de orden
Ahora que conocemos el conjunto ℝ+∗, estamos en condiciones de
incorporar las definiciones de los símbolos <, >, ≤, ≥.
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ se define las relaciones <, >, ≤, ≥ por:
1. 𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ ℝ+∗
2. 𝑥 > 𝑦 ⟺ y < 𝑥 ⟺ 𝑥 − 𝑦 ∈ ℝ+∗
3. 𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦
4. 𝑥 ≥ 𝑦 ⟺ 𝑥 > 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦

15. Propiedades de la desigualdad
Propiedad 1. 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ
Propiedad 2. 𝑥 es negativo ⟺ 𝑥 < 0
Propiedad 3. Tricotomía: Para cualquier par de números reales 𝑥 e 𝑦, una y solo una de las
siguientes proposiciones es verdadera:
1. 𝑥 < 𝑦
2. 𝑥 > 𝑦
3. 𝑥 = 𝑦
Propiedad 4. 𝑥 < 𝑦 y 𝑎 ∈ ℝ ⟹ 𝑥 + 𝑎 < 𝑦 + 𝑎
Propiedad 5.
1. 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑎 > 0 ⟹ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦
2. 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑎 < 0 ⟹ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦
Propiedad 6. ∀𝑥 ∈ ℝ ⟹ 𝑥2≥ 0
Propiedad 7. Si 𝑥 < 𝑦 y 𝑢 < 𝑣 ⟹ 𝑥 + 𝑢 < 𝑦 + 𝑣
Propiedad 8. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 y 0 < 𝑢 < 𝑣 ⟹ 𝑥𝑢 < 𝑦𝑣
Propiedad 9.
1. 𝑥 < 0 ∧ 𝑦 > 0 ⟹ 𝑥𝑦 < 0
2. 𝑥 < 0 ∧ 𝑦 < 0 ⟹ 𝑥𝑦 > 0
Propiedad 10.
1. 𝑥 > 0 ⟹ 𝑥−1 > 0
2. 𝑥 < 0 ⟹ 𝑥−1
< 0
Propiedad 11. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 entonces 𝑥−1
> 𝑦−1

17. Problema 3
Demuestre que para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
≥ 0

18. Respuesta:
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Si 𝑥𝑦 ≥ 0 entonces es directo que
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0
Ya que se trata de la suma de tres cantidades mayores o iguales a cero.
En al caso 𝑥𝑦 < 0 notemos que −𝑥𝑦 > 0 y por lo tanto
−𝑥𝑦 ≤ 2 −𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦
Pero recordemos la propiedad
𝑥 + 𝑦 2 ≥ 0
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
≥ 0
𝑥2 + 𝑦2 ≥ −2𝑥𝑦
Luego
−𝑥𝑦 ≤ 2 −𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2
Y se deduce así que la desigualdad vale también en el caso 𝑥𝑦 < 0.

19. Problema 4
Sean 𝑎, 𝑏 números reales positivos, demuestre que
𝑎𝑏 ≥
2
1
𝑎
+
1
𝑏

20. Respuesta:
Para resolver problemas de este estilo, lo primero que recomiendo es trabajar la
desigualdad para entender los pasos que se llevaron a cabo, luego que se entendieron
se procede a escribir la demostración y eso es lo que se tomara en cuenta y lo que el
profesor evaluara.
(paso informal)
𝑎𝑏 ≥
2
1
𝑎
+
1
𝑏
Elevamos al cuadrado
𝑎𝑏 ≥
4
1
𝑎
+
1
𝑏
2 =
4
𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏
2 =
4𝑎2 𝑏2
𝑎 + 𝑏 2
𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎2 𝑏2
𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 4𝑎𝑏
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 0
𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0

21. Demostración (paso formal, es simplemente devolverse):
𝑎 − 𝑏 2
≥ 0 ⟺ 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
≥ 0
Sumando 4𝑎𝑏 a ambos lados
𝑎2
+2𝑎𝑏 + 𝑏2
≥ 4𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏
Dividiendo por 𝑎𝑏 que es positivo
𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏
≥
2 𝑎𝑏
𝑎𝑏
1
𝑎
+
1
𝑏
≥
2
𝑎𝑏
Por lo tanto
𝑎𝑏 ≥
2
1
𝑎
+
1
𝑏
∎

22. Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad de números reales en la que intervienen una o
mas cantidades genéricas. Resolver una inecuación consiste en determinar para que
valores reales de las incógnitas genéricas se satisface la desigualdad.
Dependiendo del numero de cantidades genéricas hay inecuaciones de 1, 2 o mas
incógnitas y entre las de una incógnita las hay de primer, segundo, tercer o mayor
grado.
Al resolver una inecuación de 1 incógnita suele buscarse el mayor subconjunto de
ℝ donde la desigualdad se cumpla. Este conjunto se llama conjunto solución de
la inecuación.
Antes de continuar con las inecuaciones de primer grado, definamos el concepto de
intervalo.

24. Inecuaciones de primer grado
Son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales
constantes y 𝑎 ≠ 0.
Donde el signo < puede ser también >, ≤ o ≥.
Problema 5
Resuelva
5 𝑥 − 1 > 2 − 17 − 3𝑥

25. Respuesta:
5 𝑥 − 1 > 2 − 17 − 3𝑥
5𝑥 − 5 > 2 − 17 + 3𝑥
5𝑥 − 3𝑥 > −15 + 5
2𝑥 > −10
𝑥 > −5
Por lo tanto, el conjunto solución es:
(−5, +∞)

26. Problema 6
Encuentre los números enteros positivos tales que su quinta parte
mas 3 sea mayor que la mitad de su triple
Respuesta:
Sea x los números enteros positivos.
Planteamos la inecuación:
𝑥
5
+ 3 >
3𝑥
2
/∙ 10 > 0
2𝑥 + 30 > 15𝑥
𝑥 <
30
13
≈ 2.3
Por lo tanto los números enteros positivos serian 1 y 2.

27. Inecuaciones Simultáneas
Se llaman inecuaciones simultáneas aquellas que se satisfacen
simultáneamente. Se considera como solución de ellas aquel intervalo
para el cual se satisfacen todas.
Problema 7
Resuelva
3𝑥 − 1 > 𝑥 + 2
𝑥
2
≤
𝑥
4
+ 3

28. Respuesta:
Resolviendo la primera inecuación
3𝑥 − 1 > 𝑥 + 2
2𝑥 > 3
𝑥 >
3
2
Resolviendo la segunda inecuación
𝑥
2
≤
𝑥
4
+ 3 /∙ 4
2𝑥 ≤ 𝑥 + 12
𝑥 ≤ 12
Comparando ambas soluciones en la recta numérica, se observa que solo se satisfacen
ambas inecuaciones en la intersección de ellas, es decir, para
3
2
< 𝑥 ≤ 12, luego la
solución es el conjunto:
(3
2 , 12]

29. Módulo o Valor Absoluto
Ejemplos:
1. 8 = 8
2. −8 = − −8 = 8
3. 𝑥 + 3 =
𝑥 + 3 , 𝑥 + 3 ≥ 0
− 𝑥 + 3 , 𝑥 + 3 < 0
=
𝑥 + 3, 𝑥 ≥ −3
− 𝑥 + 3 , 𝑥 < −3

31. Resolvamos primero una simple
ecuación con valor absoluto
para entender como se aplica la
definición de valor absoluto y lo
importante que es comprobar
las soluciones.

32. Problema 7
Resuelva
𝑥 + 3 = 5𝑥 −
2
3

33. Respuesta:
Usando la definición de modulo o valor absoluto:
𝑥 + 3 =
𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 + 3 ≥ 0
− 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 + 3 < 0
=
𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −3
− 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −3
Ahora, debemos analizar los casos.
Si 𝑥 ≥ −3 o [−3, +∞):
𝑥 + 3 = 5𝑥 −
2
3
𝑥 + 3 = 5𝑥 −
2
3
4𝑥 =
11
3
𝑥 =
11
12
Comprobamos:
11
12
+ 3 = 5 ∙
11
12
−
2
3
47
12
=
55
12
−
2
3
47
12
=
47
12
Entonces esta solución es correcta.

34. Si 𝑥 < −3 o (−∞, −3):
𝑥 + 3 = 5𝑥 −
2
3
−(𝑥 + 3) = 5𝑥 −
2
3
6𝑥 = −
7
3
𝑥 = −
7
18
Comprobamos:
−
7
18
+ 3 = 5 ∙
−7
18
−
2
3
47
18
= −
35
18
−
2
3
47
12
= −
47
12
Entonces esta solución es incorrecta.
Por lo tanto la solución que satisface la ecuación es:
𝑥 =
11
12

35. El tema: Ecuaciones, lo trataremos
mas adelante y explicaremos todos
los tipos y técnicas para
resolverlas.

36. ¿Y como resolvemos inecuaciones con
valor absoluto?
R: Por el momento debemos recordar dos propiedades
del valor absoluto:
1. 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎
2. 𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
A medida que se avance aprenderemos otras bastante
simples que no son difíciles de deducir.

37. Problema 8
Resuelva
𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −
2
3

38. Respuesta:
La inecuación tiene la forma: 𝑥 ≥ 𝑎
Entonces nos queda
𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −
2
3
⟺ 𝑥 + 3 ≤ − 5𝑥 −
2
3
∨ 𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −
2
3
⟺ 𝑥 + 3 ≤
2
3
− 5𝑥 ∨ −4𝑥 ≥ −
2
3
− 3
⟺ 𝑥 ≤ −
7
18
= −0.38 ∨ 𝑥 ≤
11
12
= 0.916
La solución que buscamos debe ser la unión (el conectivo lógico de disyunción: ∨,
debiera guiarnos en esta parte)de ambas soluciones, para que así satisfaga por
completo la inecuación de lo contrario nuestra repuesta seria incorrecta ya que
podríamos omitir soluciones y eso no es bueno.

39. Inecuaciones de segundo grado
Inecuaciones que pueden ser expresadas en la forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
(también las desigualdades pueden ser estrictas: >, <)
Usaremos la siguiente propiedad de los números reales:
𝑎 ∙ 𝑏 > 0 ↔ 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 > 0 ∨ 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0
𝑎 ∙ 𝑏 < 0 ↔ 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 < 0 ∨ 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0
Es decir, un producto de dos factores es positivo si ambos tienen el mismo signo y es
negativo si ambos tienen distinto signo.
Entonces para resolver una inecuación cuadrática, la factorizamos y luego aplicamos la
propiedad señalada.

40. Problema 9
Resuelva
𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

41. Respuesta:
Factorizándola
𝑥 − 2 𝑥 − 3 > 0
Aplicando la propiedad
𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 − 3 > 0 ∨ 𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 − 3 < 0
𝑥 > 2 ∧ 𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 2 ∧ 𝑥 < 3
𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 2
La solución final es la unión:
−∞, 2 ∪ 3, +∞
En forma grafica

42. Inecuaciones del tipo:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0
donde el signo < puede ser también
>, ≤ 𝑜 ≥

43. Analicemos los casos cuando 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son productos de factores de
primer orden del tipo 𝑎𝑥 + 𝑏. Comencemos por observar que este tipo
de factores cambia de signo en el punto 𝑥 = −
𝑏
𝑎
. Denominaremos
puntos críticos a estos valores.
El método para resolver estas inecuaciones es en consecuencia el
siguiente:
1. Determinar todos los puntos críticos mediante la ecuación 𝑥 = −
𝑏
𝑎
2. Ordenar los puntos críticos de menor a mayor y formar los intervalos
abiertos encerrados entre ellos mas los dos intervalos no acotados
correspondientes.
3. Analizar el signo de la expresión
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
en los intervalos encontrados en
(2) y escoger aquellos que resuelvan de buen modo la inecuación.
4. En los caso en que los signos de la inecuación sean ≤ o ≥ deben
agregarse a la solución los puntos críticos del numerador, ya que en esos
puntos se anula la fracción.

44. Problema 10
Resuelva
𝑥 + 1
𝑥
≤
𝑥 + 1
𝑥 − 1
−
3
𝑥

47. Con lo visto hasta el momento, espero que hayas
comprendido todos los problemas presentados ahora solo
debes continuar resolviendo mas ejercicios para aumentar tu
confianza y seguridad en la resolución de problemas, esta
diapositiva es solo una muestra una introducción, con
problemas “pedagógicos” solo con el fin de iniciación, en las
guías, problemas resueltos, controles y pruebas de este curso
podrás encontrar problemas tipo, los cuales suelen
preguntarse en evaluaciones de calculo y por lo tanto
demandan estudio diario.