Ecuaciones en una variable para principiantes

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Introducción.
Definición de ecuación.
Definición de ecuación
lineal.
Definición de ecuación
cuadrática.

3. INTRODUCCIÓN

4. Una ecuación es una relación de igualdad en la que
intervienen símbolos de números y letras y
operaciones entre ellas.
Ejemplos:
𝑥+7=3
𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0
𝑥
=2
𝑥−5

5. 𝑤 = 12 + 𝑧
25 = 𝑥 2 + 𝑦 2
15 = 𝑥𝑦 + 𝑧

6. Una ecuación lineal de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Donde 𝑎, 𝑏 son números reales cualesquiera, 𝑎 ≠
0 es una ecuación lineal en la variable 𝑥.
Observación: También se conoce como ecuación
de primer grado.

7. Solucionar o resolver una ecuación lineal consiste
en encontrar el valor de la incógnita o variable que
hace verdadera la igualdad; para algunos autores
será simplemente despejar el valor de la incógnita,
es decir, dejar la variable aislada en un lado de la
ecuación.
Ejemplo 1: Resolver 𝑥 + 7 = 3

8. Paso 1: Sume a ambos lados de la igualdad el
inverso aditivo 𝑥 + 7 + (−7) = 3 + (−7)
Paso 2: Use la propiedad del módulo de la suma
𝑥 + 𝑂 = −4
𝑥 = −4
Prueba: Reemplace el valor obtenido para 𝑥 en la
ecuación original y realice las operaciones
𝑥+7=3
−4 + 7 = 3
3=3
Lo cual es verdad

9. Solución:
Paso 1: Sume a ambos lados de la igualdad el
inverso aditivo 4𝑥 − 1 + 1 = 5 + (1)
Paso 2: Use la propiedad del módulo de la suma
4𝑥 + 𝑂 = 6
4𝑥 = 6
Paso 3: Use la propiedad del recíproco o inverso
multiplicativo
1
1
4𝑥 = 6
4
4

10. Paso 4: Use la propiedad del módulo de la
6
multiplicación 1𝑥 =
y simplifique su respuesta
4
3
𝑥=
2
Prueba: Reemplace el valor obtenido para 𝑥 en la
ecuación original y realice las operaciones
3
4
−1=5
2
6−1=5
5=5

11. Solución:
Paso 1: Sume a ambos lados de la igualdad
inversos aditivos
𝟓𝑥 + 4 + (3) = 8𝑥 − 3 + (3)
𝟓𝑥 + 7 = 8𝑥
𝟓𝑥 + −5𝑥 + 7 = 8𝑥 + −5𝑥
7 = 3𝑥
Paso 2: Use la propiedad del recíproco o inverso
1
1
multiplicativo
7 = 3𝑥
3
3
7
= 1𝑥
3
7
Paso3: Use el módulo de la suma
𝑥=
3

12. Una ecuación de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números reales cualesquiera, 𝑎 ≠ 0 es
una ecuación cuadrática en la variable 𝑥.
Observación: También se conoce como ecuación de
segundo grado.

13. Para solucionar o resolver una ecuación cuadrática
utilizaremos la nombrada fórmula de la cuadrática
que proporciona las raíces de cualquier ecuación
de segundo grado, y es:
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
Observación: otro proceso utilizado es la
factorización.

14. Resolver: 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0
Solución: Determine los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑎 = 1, 𝑏 = 6, 𝑐 = 9
Use la fórmula de la cuadrática y reemplace
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −6 ± 62 − 4(1)(9)
𝑥=
=
2𝑎
2(1)
−6 ± 36 − 36 −6 ± 0
𝑥=
=
= −3
2
2

15. Reemplace el valor obtenido para 𝑥 en la ecuación
original y realice las operaciones
(−3)2 +6 −3 + 9 = 0
9 − 18 + 9 = 0
0=0

16. Resolver: 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Solución: Determine los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = −10
Use la fórmula de la cuadrática y reemplace
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 −(−3) (−3)2 −4(1)(−10)
𝑥=
=
2𝑎
2(1)
3 ± 9 + 40 3 ± 7
𝑥=
=
2
2
3+7
3−7
Luego 𝑥1 =
= 5 o 𝑥2 =
= −2
Pruebe!
2
2

17. Resolver: 𝑥 2 + 2𝑥 + 7 = 0
Solución: Determine los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 7
Use la fórmula de la cuadrática y reemplace
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −2 ± 22 − 4(1)(7)
𝑥=
=
2𝑎
2(1)
−2 ± 4 − 28 −2 ± −24
𝑥=
=
2
2
La raíz negativa indica que las soluciones son
imaginarias, por lo tanto, la ecuación no tiene
soluciones reales.

18. 


http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didactico
s/Limites_de_funciones/introduc.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/mat
eriales_didacticos/Ecuaciones_primer_grado_reso
lucion_problemas/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/mat
eriales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/i
ndex.htm

19. 
HAEUSSLER, Ernest F. jr. Paul RICHARDS. (2012). Matemáticas para
Administración y Economía. Edición 12. Prentice Hall.

ARYA, Jagdish C. y. LARDNER Robin W. (2011). Matemáticas Aplicadas a la
Administración y a la Economía. Cuarta Edición. Prentice Hall.
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ALLENDOERFER Carl B, OAKLEY, Cletus O. (2010). Matemáticas Universitarias.
Cuarta edición revisada. Mc Graw- Hill.
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GOBRAN, Alfonse. Algebra Elemental, (1990) Grupo Editorial Iberoamérica.
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GÓMEZ, Pedro. Matebásica.(1993) Editorial Una Empresa Docente.
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TAN, S. T. (2012) Matemáticas para Administración y Economía. Segunda
edición. Thomson Learning.
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HOFFMAN, Laurence. (1999) Cálculo Aplicado a la Administración. Editorial Mc
Graw Hill.