Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas utilizando el método clásico y el software Derive 6.10. Introduce el concepto de ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo transformarlas en ecuaciones de variable separable. Luego resuelve un ejemplo a mano y con Derive. Finalmente, propone cuatro problemas adicionales para resolver con Derive.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz
SOLUCIÓN DE UNA Ecuación DIFERENCIAL ORDINARIA
homogénea
UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.10
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado que se denotan en
general como:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 ………………….( )
Se llaman homogéneas si My N son funciones Homogéneas del mismo grado en x e y.
Solución clásica de una ecuación diferencial ordinaria
Homogénea
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0............( )
Entonces M ( x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas y como tal son funciones
homogéneas del mismo grado el cual podemos suponer que es k, y de ello se sigue que:
k
M ( x, y) M ( x, y)
k
N ( x, y) N ( x, y)..................( )
1
 Si hacemos y remplazamos en estas dos ecuaciones dicho valor
x
obtenemos
y 1 y
M (1, ) ( )k M (x , y ) M (x , y ) xk M (1, )
x x x
y 1 y
N (1, ) ( )k N ( x, y) N ( x, y) xk N (1, )
x x x
 Si en la primera ecuación hacemos y/x=u entonces
y
M ( x, y) xk M (1, ) xk M (1, u) xk (u)
x
k
Así obtenemos: M ( x, y) x (u) , y/x=u
 Si en la segunda ecuación también hacemos y/x=u entonces
y
N ( x, y) xk N (1, ) xk N (1, u) xk (u)
x
Obteniendo así N ( x, y) xk (u); y/x=u
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Ahora de y/x=u se sigue que y=ux dy=udx+xdu y con los resultados
anteriores obtenidos, la ecuación se transforma en:
xk (u)dx xk (u)(udx xdu) 0
Factorizando xk y agrupando convenientemente tenemos
(u) u (u) dx x (u)du 0
dx (u)
De donde obtenemos du 0 ecuación que corresponde a
x (u) u (u)
las ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable.
1
 Si hacemos y reemplazamos dicho valor en las ecuaciones se obtiene
y
x
M ( x, y) yk (u); u
y
x
N ( x, y) yk (u); u
y
x
De u se sigue que x=yu de donde dx=udy+ydu, conjugando estos
y
k k
resultados tenemos y (u)(udy ydu) y (u)dy 0 de donde
k
factorizando y , y agrupando convenientemente obtenemos
dy (u)
du 0
y u (u) (u)
La que corresponde nuevamente a una ecuación diferencial ordinaria de variable
separable. Veamos un ejemplo de aplicación
 Resolver la ecuación diferencial ( y x2 y2 )dx xdy 0; sujeta a y( 3) 1
Solución
Haciendo el cambio de variable apropiado (y=ux), y siguiendo la teoría
descrita anteriormente se tiene:
(ux x2 (ux)2 )dx x(udx xdu) 0
De esto simplificando y agrupando convenientemente obtenemos:
dx du
0
x u2 1
Integrando esta ecuación de variable separable obtenemos como solución la
familia
y y 2 x2 k; k R
Además como y( 3) 1de la familia anterior se obtiene la solución particular
2
siguiente x 9 6 y , x>0.
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Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación
diferencial ordinaria homogénea usando la función
DSOLVE1 (m, n, x, y, x0 , y0 )
Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para
ello consideramos m y x2 y2 , n x , x0 3 y0 1
En seguida sustituimos estos valores en la función: DSOLVE1 (m, n, x, y, x0 , y0 )
e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación
Fig. 01
Finalmente haciendo clic en el icono de derive, obtenemos la primitiva de la
ecuación como se puede apreciar en la figura adjunta
Fig. 02
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Es posible observar gracias a derive la curva que representa la primitiva para ello
simplemente buscamos el icono bidimensional en derive y hacemos clic dos veces
en el obteniendo
Fig. 03
 Resuelva con derive las ecuaciones diferenciales que se indican a continuación:
dy y2 2xy x2 dy 2xy y2
1.- 0 ; y(1) 1 2.- ; y(1) 2
dx y2 2xy x2 dx 2xy x2
dy xy
3.- ( x3 y2 x2 y2 )dx xy x2 y2 dy 0 4.- 2
dx x xy y2
BIBLIOGRAFÍA
HOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.
IMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.
GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y
Control. Editorial Alhambra.1975.
Texto de Aplicaciones
ESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.
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