Este documento explica el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales. Primero, se separa la solución general en una parte complementaria y otra particular. Luego, se deriva ambas partes y se igualan los coeficientes obtenidos con los de la ecuación original. Finalmente, se resuelve el sistema resultante para hallar los coeficientes indeterminados de la solución. Se incluye un ejemplo completo para una ecuación diferencial de segundo orden.

1. Ecuaciones Diferenciales
Método: Coeficientes Indeterminados
Por: Jorge A. Frías Hernández.
Prof. Martínez Padilla Cesar Octavio.

2. Coeficientes Indeterminados
Que para resolver un sistema de ecuaciones por el método de coeficientes
Indeterminados.
DEBES DE SABER
)
(x
f
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
( '
0
1
1 x
f
y
x
a
y
x
a
y
x
a
y
x
a n
n
n
n 



 

Donde Puede ser
Polinomial
Exponencial
Trigonométrica
Combinado
Donde

3. Coeficientes Indeterminados
• Lo primero que debemos saber es lo siguiente.
F(x) yp
8 A
1

x
5
2

 x
x
1
3

x
x
e5
x
sen3
x
3
cos
x
e
x
x 4
2
)
9
( 
B
Ax 
C
Bx
Ax 

2
D
Cx
Bx
Ax 

 2
3
x
Ae5
x
B
x
Asen 3
cos
3 
x
B
x
Asen 3
cos
3 
x
e
C
Bx
Ax 4
2
)
( 

x
sen
e x
2
5
x
F
Ex
Dx
x
sen
C
Bx
Ax 2
cos
)
(
2
)
( 2
2




x
Be
x
sen
e x
x
2
cos
2 5
5

x
sen
x 5
3 2

4. Coeficientes Indeterminados
Resolución de un problema de Coeficientes Indeterminados en una
ecuación de segundo orden
x
e
x
y
y
y 3
2
'
'
'
12
2
6
9
6 




Sea
Segundo Orden
No Homogénea
Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación.
0
9
6 '
'
'



 y
y
y
yc
Y se resuelve por el método de coeficientes
Constantes,

5. Coeficientes Indeterminados
3
2
1 

 

0
9
6
2


 
 2
)
3
( 

x
x
c xe
C
e
C
y 3
2
3
1 

Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma
Paso 2: Ahora trabajaremos con el termino f(x).
x
e
x
y
y
y 3
2
'
'
'
12
2
6
9
6 




C
Bx
Ax
x
yp 



 2
2
2
6
x
x
p De
e
y 3
3
12
1


Polinomial
Exponencial
x
p De
C
Bx
Ax
y 3
2



 Nota: el termino exponencial es igual yc por lo tanto
Pertenece a su solución.

6. Coeficientes Indeterminados
Paso 3: Ya que tenemos nuestros términos vamos a derivar según el orden de
La ecuación Original en nuestro caso es de segundo orden por lo tato se derivara
Dos veces.
x
p De
C
Bx
Ax
y 3
2




x
p e
Dx
B
Ax
y 3
2
3
2
' 


x
p Dxe
A
y 3
2
2
'
' 

Recordemos que es parte de la solución
yc por lo tanto se expresa como
x
e3
x
e
Dx 3
2
x
x
e
x
C
Bx
Ax
B
Ax
De
A 3
2
2
3
12
2
6
9
9
9
6
12
2
2 









7. Coeficientes Indeterminados
x
x
e
x
C
Bx
Ax
B
Ax
De
A 3
2
2
3
12
2
6
9
9
9
6
12
2
2 








Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación
Original y resolvemos
3
2
9
6
6
9 


 A
A
8
9
3
2
0
9
8
0
9
)
(
12
0
9
12 








 B
B
B
B
A
3
2
9
48
9
12
2
9
4
2
9
2
9
6
2 











 C
C
C
C
B
A
6
12
2 2
12





 

D
D

8. Coeficientes Indeterminados
Paso 5: Respuesta. De acuerdo a la tabla escrita al principio de esta presentación
Tenemos que p
c
G y
y
y 

Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de segundo
Orden por el método de Coeficientes Indeterminados.
3
2
8
9
3
2
3
2
3
3
2
3
1 





 x
x
x
G e
x
C
xe
C
e
C
y

9. Coeficientes Constante
Gracias por su atención.