Capitulo I

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden Prof. José Luís Álvarez Quispe
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Una ecuación diferencial es una relación de la forma 0),...,'',',,( )(
n
yyyyxF .
Una solución es una función )(xfy  que la verifica.
El orden de la ecuación es el de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
El grado de la ecuación es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor
orden.
TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS
Son de la forma dyyfdxxf )()( 21  . La solución es   dyyfCdxxf )()( 21
2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Son de la forma dyygxgdxyfxf )().()().( 2121  . Se transforma en el caso anterior
dividiendo por )().( 12 xgyf y quedaría:
dy
yf
yg
dx
xg
xf
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
 , que ya se puede integrar.
2.1. EDO REDUCIBLE A VARIABLES SEPARABLE
La ecuación diferencial de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son
constantes de integración, se reduce a una ecuación con variables separables
haciendo la sustitución 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Son de la forma 0),(),(  dyyxQdxyxP , donde P y Q son funciones homogéneas
del mismo grado.
Se resuelven haciendo el cambio uxy   x d uu d xdy  Al sustituir se
transforma en una ecuación de variables separables.
4. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
4.1. Son de la forma 0)()( 222111  dycybxadxcybxa . Se resuelve el
sistema:





0
0
222
111
cybxa
cybxa
Solución ( 00 , yx ).
Se hace el cambio





0
0
yyY
xxX
,  dxdX  , dydY  y se transforma en
homogénea

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden Prof. José Luís Álvarez Quispe
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4.2. Si el sistema





0
0
222
111
cybxa
cybxa
no tiene solución (son paralelas), y
2
1
2
1
b
b
a
a
 Se hace el cambio zybxa  11  dzdybdxa  11
Al sustituir se transforma en homogénea
4.3. En la ecuación de la forma 0),(),(  dyyxQdxyxP donde P y Q no son
homogéneas y no son lineales, se puede sustituir 
zy   dzzdy 1
 
 ,
donde  se determinará por la homogeneidad de las funciones; de esta
manera la ecuación será homogénea.
5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS O TOTALES
Sea 0),(),(  dyyxNdxyxM es diferencial exacta si
x
N
y
M





.
Se resuelve con la fórmula  
y
y o
x
x oo
dyyxNdxyxMCyxu ),(),(),(
O también:
6. ECUACIONES REDUCIBLES A EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE.
Hay ecuaciones diferenciales que no son exactas, pero multiplicadas por un factor
se convierten en tales. Dicho factor se llama factor integrante; los más importantes
son:
 Dependen de “ x ”. Se calculan por
N
x
N
y
M
u
u 





'
 Dependen de “ y”. Se calculan por
M
y
M
x
N
u
u 





'
 Dependen de “ yx  ”. Se calculan por
NM
y
M
x
N
u
u







'
Si 𝑑𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑦, haciendo 𝑑𝑢 = 0 y 𝑀 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
… (1) y 𝑵 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
… (2),
entonces utilizando (1): 𝑢 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) …….(3)
Luego derivando (3) con respecto a y.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔′( 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)
Donde. 𝑔′( 𝑦) = 𝑁( 𝑥, 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥…….. (4)
Integrando (4) con respecto a y: 𝑔( 𝑦) = ∫ [𝑁( 𝑥, 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦,
Reemplazando en (3): 𝑢 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ [𝑁( 𝑥, 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦, la
solución general será de la forma:
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ [𝑁( 𝑥, 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = 𝑐

3. Ecuaciones diferenciales de primer orden Prof. José Luís Álvarez Quispe
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 Dependen de “ yx. ”. Se calculan por
yNxM
y
M
x
N
u
u







'
 Dependen de “ 22
yx  ”. Se calculan por
yMxN
x
N
y
M
u
u
22
'







7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Son de la forma: )().(' xQyxPy  lineales en y
)().(' yQxyPx  lineales en x
Se resuelven mediante la fórmula:



  

dx
dxxP
exQk
dxxP
ey
)(
).(
)(
8. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A LINEALES (BERNOULLI)
Son de la forma: n
yxQyxPy ).().('  , 1,0n
Se reducen a lineales dividiendo por n
y
)(
)('
1
xQ
y
xP
y
y
nn
 
Se hace el cambio zny 1
Derivando '')1( zynyn  
n
z
y
y
n 

1
''
Sustituyendo )().(
1
'
xQzxP
n
z


que es lineal
9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCATI
Son de la forma
2
21 ).().()(' yxPyxPxPy  ……………… (1)
La solución es de la forma 1yzy  donde 1y es la solución particular que se
debe conocer. Al sustituir se transforma en una ecuación de Bernoulli; que se
resuelve mediante el cambio
u
z
1
 
u
yy
1
1  ; luego 21
'
''
u
u
yy  .
Sustituyendo en (1) quedaría:   0)().(2)(' 2121  xPuyxPxPu , que es lineal.
10.ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y’
Tiene la forma: 0'),(......'),('),(),( )(2
21  n
no yyxPyyxPyyxPyxP .
Resolviendo la ecuación se despejaría 'y en tantas ecuaciones como raíces tenga,
es decir, ),(' 1 yxfy  ; ),(' 2 yxfy  ; . . . . . . ; ),(' yxfy n ; luego se integra cada
una, dando lugar a “n” funciones de la forma ),(1 Cxgy

4. Ecuaciones diferenciales de primer orden Prof. José Luís Álvarez Quispe
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11.ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y O EN x
Es una ecuación no resoluble en 'y pero si en y , es decir, )',( yxfy  . Para
resolverlas se hace py ' y queda ),( pxfy  .
Derivando ),( pxfy  
dx
dp
fpfxy ' , como py ' 
dx
dp
fpfxp 
Despejando
fp
fxp
dx
dp 
 y se integra dando como solución: 0),,( Cpxg que
junto con ),( pxfy  da la solución en forma paramétrica de parámetro p .
Análogamente si es resoluble en x o sea )',( yyfx  hacemos py ' y
derivando ),( pyfx   p
dy
dp
fpyfy  '.1 , de donde despejando
fpp
pfy
dy
dp
.
.1

que integrando da 0),,( Cpyg , que con ),( pyfx  da la solución en forma
paramétrica.
12.ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE
Son lineales en “x” e “y”, es decir tienen la forma )'()'(. ygyfxy  . Haciendo
py '  )()(. pgpfxy  . Derivando respecto a “x” y como py '
dx
dp
pgpfxpf
dx
dp
pg
dx
dp
pfxpfp )](')('.[)().(').('.)(  , que se puede
poner como )(')('.)]([ pgpfx
dp
dx
pfp  que es lineal en “x” donde p es la
variable independiente.
13.ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT
Es una variedad de la anterior, en la que ')'( yyf  , es decir, )'('. ygyxy  .
Haciendo py '  )(. pgpxy  ……….. (1);
Derivando respecto a “x”:
dx
dp
pgp
dx
dp
xp )('  0)]('[ 
dx
dp
pgx donde
0
dx
dp
 0)('  pgx
 Si 0
dx
dp
 Cp  que restituido en (1) )(. CgCxy  familia de rectas
 Si 0)('  pgx , se calcula p en función de “ x ” y en (1) quedaría
)]([)(. xpgxpxy  . Esta solución se le llama singular se obtiene eliminando
el parámetro p de las ecuaciones:





0)('
)(.
pgx
pgpxy
o lo que es lo mismo
eliminando C de las ecuaciones:





0)('
)(
Cgx
CgCxy
c