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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden



B – ECUACIONES LINEALES

Estas ecuaciones son de la forma

                                       y’ = f(x, y)           (1)
                                                                                                            14
donde f es una función dada de dos variables. Concretamente la ecuación es de la forma

                                      y’ + p(x) y = g(x)       (2)

donde p y q son funciones continuas dadas sobre algún intervalo α < x < β.

Resolver una ecuación diferencial de primer orden equivale a encontrar una función y = φ(x) que,
junto con su derivada y’, la satisfagan.

Para hallar la solución de la ecuación procederemos a utilizar un proceso de tres pasos:

Paso 1. Comenzaremos con una forma simple de (2), tomado g(x) = 0, y p(x) = a, donde a es una
constante real, así:

                                       y’ + ay = 0            (2)

La solución se hallará por separación de variables, así:


                                                               y’ = – ay               (3)
                                                                dy
                                                                    ay
                                                                dx
                                                              1
                                                             y dy   adx
                                                              ln y  ax + c


              Figura 1: y = Ce–1x

Aplicando exponencial en ambos lados, obtenemos la función y que es la solución general de (3):

                                       y = Ce–ax              (4)

La función que tiene una derivada que es múltiplo de la función original es y = e–ax y ésta satisface a
(3), y la cual representa un conjunto infinito de soluciones de (3) y donde C es una constante arbitraria
o de integración. Esta familia de soluciones representa a su vez una familia de curvas integrales de
(3).
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


La familia de curvas si a = 1, se representa así (dibujamos solo las curvas para C = –4, –3, –2, –1. 0, 1,
2, 3, 4) (Figura 1).

Paso 2. Para desarrollar un método sistemático que nos permita resolver ecuaciones lineales de
primer orden, reescribimos la solución (4)

                                                  yeax = C                                                   15
Diferenciando solo el miembro izquierdo

                                  (yeax)’ = y’eax + ayeax = eax(y’ + ay)

Este proceso se puede seguir para resolver la ecuación intermedia a la general:

                                              y’ + ay = g(x)                    (5)

Obsérvese que aún tenemos p(x) = a, constante. Multiplicando (5) en ambos lados por eax tenemos

                                         eax(y’ + ay) = eaxg(x)

                                             (yeax)’ = eaxg(x)

Integrando en ambos lados
                                                  
                                           ye ax  e ax g( x )dx  C


Donde C es una constante arbitraria. Por tanto la solución de (5) es;

                                                      
                                           y  e  ax e ax g( x )dx  Ce  ax    (6)

Paso 3. Ahora, si tomamos p(x) no constante, hallaríamos la solución a la ECUACIÓN GENERAL de
primer orden (2),
                                          y’ + p(x)y = g(x)                (2)

Para hallar esa solución, usaremos un proceso similar. Escogemos una función µ tal que

                                      µ(x)[y’ + p(x)y ] = [µ(x)y]’

Aplicamos en ambos lados las operaciones allí indicadas (producto en el primer miembro de la
ecuación y derivada en el segundo):

                                 µ(x)y ’ + p(x)yµ(x) = µ(x)y’ + µ’(x)y

Cancelamos µ(x)y’ en ambos lados y nos queda:

                                           p(x)yµ(x) = µ’(x)y

suponiendo µ(x) > 0 y dividiendo ambos lados entre yµ(x)
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


                                                    ' ( x )
                                         p( x )              ln ( x )'
                                                    ( x )
Por tanto
                                             ln ( x ) 
                                                            p( x )dx
                                            ( x )  e  p( x )dx                    (7)        16



Donde llamaremos a µ(x), factor integrante.


Regresando a la ecuación general (2) y multiplicando en ambos lados por el factor integrante,
tenemos:
                                       ( x )y'  p( x ) y  ( x )g( x )

                                            ( x ) y'  ( x )g( x )

                                                     
                                        ( x ) y  ( x )g( x )dx  C


                                                             [∫                  ]

Donde µ(x) está dada por (7).

Luego (8) es la solución de la ecuación general lineal de primer orden:

EJEMPLO 1: Encontrar la solución al problema de valores iniciales: y’ – 2xy = x, con y(0) = 1

Solución:

Se tiene que p(x) = –2x. Por tanto el factor integrante es:

                                            ( x)  e   2 xdx  e  x
                                                                             2




Multiplicamos en ambos lados de la ecuación lineal por el factor integrante:

                                           e  x  y '2 xy   e  x x
                                               2                         2




                                               e y '  xe
                                                     x2           x2



                                                            1 2
                                ye  x   xe  x dx  C   e  x  C
                                      2          2
De donde
                                                            2

                                                                   1
                                                              y    Ce x
                                                                           2
Y finalmente la solución general es:
                                                                   2
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


Como hay una condición inicial, hallamos el valor de C para determinar la solución particular.
Reemplazamos x = 0, y = 1 en la solución general:

1 = –1/2 + Ce0            y de aquí :   C = 3/2

Por tanto la solución del problema de valores iniciales dado es:
                                                                                                          17
                                                           1 3 2
                                                      y    ex
                                                           2 2

EJEMPLO 2: Encontrar la solución del problema de valores iniciales y’ – 2xy = 1; con y(0) = 1

Solución:

Como antes  ( x)  e   2 xdx  e  x
                                          2




Luego,
                                                  ye  x   e  x dx  C
                                                      2                    2




                                                               e
                                                                     x2
                                                  y  ex                   dx  Ce x
                                                           2                           2




       e
             x2
La                 dx no se puede expresar como una función elemental. Solo nos queda determinar la
solución particular tomando y(0) = 1, lo cual requiere que C = 1

La solución particular es:
                                                                    e dx  e
                                                                      x
                                                  y  ex
                                                               2           2       2
                                                                              x




Existencia y unicidad
TEOREMA

Si las funciones p y g son continuas dentro de un intervalo abierto α < x < β que contiene al punto x =
x0, entonces existe una función única y = φ(x) que satisface la ecuación diferencial

                                                    y’ + p(x)y = g(x)

para α < x < β , y que también satisface la condición inicial y(x0) = y0 , donde y0 es un valor inicial
arbitrariamente prescrito.

EJEMPLO 3: Resolver el problema de valores iniciales: xy’ + 2y = 4x2;                      y(1) = 2

Solución:

       2
y '     y  4x ,        x ≠ 0 y para el valor inicial x > 0
       x
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


                                               2
                                    ( x)  e dx  e 2 ln x  e ln x  x 2
                                                                    2


                                               x

Multiplicando en ambos miembros por el factor integrante µ(x)

                                             x2y’ + 2xy = 4x3
                                                   (x2y)’ = 4x3                                            18

                                                x y = x y  4 x dx  C
                                                   2    2           3


                                                        x2y = x4 + C
                                                          y = x2 + Cx-2
y para el valor inicial y(1) = 2, el valor de C será:

2 = 12 + C1–2 y de aquí C = 1. Por tanto la solución particular es:

                                               y = x2 + 1/x2

C – ECUACIÓN DE BERNOULLI

Algunas ecuaciones que no son lineales pueden resolverse haciendo primero una sustitución que
convierta a la ecuación dada en lineal. La ecuación de Bernoulli (en honor a Jacobo Bernoulli:
1654-1705) es un ejemplo de este tipo.

La forma de esta ecuación es



donde n es una constante pero no necesariamente entera, y p(x) y q(x) son funciones dadas.

Para resolver la ecuación lineal de primer orden de Bernoulli para n ≠ 0, 1 se sigue el siguiente
proceso:

    a. Se divide por yn obteniéndose y–ny’ + p(x)y1 – n = q(x)               (2)
                                                                 1  n  y n y ' y
                                                             du                       du 1
    b. Se hace el cambio de variables u = y1– n; de donde                                       y n y'
                                                             dx                       dx 1  n
                                                              px u  qx 
                                                    du 1
    c. Se hace la sustitución en (2) y se obtiene
                                                    dx 1  n


EJEMPLO 4: Resolver la ecuación              x2y’ + 2xy – y3 = 0                        (1)

Solución:
                                                           2 2    1
Dividiendo por x2y3 :                                   y 3 y '
                                                             y  2                      (2)
                                                           x       x
                              du                              1 du
Hacemos u = y–2     y de aquí     2 y 3 y ' y despejando        y 3 y '
                              dx                              2 dx
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


                                                1 du 2   1
Reemplazamos en (2):                                u 2
                                                2 dx x  x

                                                     4      2
O bien                                           u ' u   2
                                                     x     x
                                                        1
                                                    4  dx                                                   19
El factor integrante es x–4. De hecho  x   e
                                                                    4 ln x         4
                                                        x
                                                              e               e ln x  x 4 .   Por tanto
                                                                   2 5
                                  x 4 u  2 x 6 dx  C          x C
                                                                   5
                                            1        2
Y finalmente                                  2
                                                 u  x 1  Cx 4
                                            y        5

                            dy
EJEMPLO 5: Resolver x           y  x2 y2                                                           (1)
                            dx

 Solución
                                                      dy 2 1 1
Dividiendo por xy2                                         y  y x
                                                      dx         x
                                                              1
                                                     y 2 y ' y 1  x                               (2)
                                                              x

                                                     du                               du
Se hace el cambio de variable: u = y–1 de donde          1y 2 y ' . Y despejando      u '  y 2 y '
                                                     dx                               dx
Se hace la sustitución en (2), obteniéndose:

                                      1                      1
                                 u ' u  x      o bien u ' u   x
                                      x                      x

El factor integrante es x–1. De aquí que
                                     x 1u    1dx  C   x  C

                                           y 1  u   x 2  Cx
                                                         1
O si lo prefiere:                               y
                                                      x  Cx
                                                         2
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


                                                                      EJERCICIO 4

A. En cada uno de los problemas del 1 al 4, resuélvase la ecuación diferencial:

1. y’ + 3y = x + e–2x 2. y’ – 2y = x2 e2x                                 3. y’ + y = xe–x + 1                     4. y’ + (1/x)y = 3 cos 2x,                   x>0

B. En cada uno de los problemas, del 5 al 8, encuéntrese la solución del problema dado de valores                                                                     20

iniciales:

5. y’ – y = 2xe2x                 y(0) = 1                                          6. y’ + 2y = xe–2x,                       y(1) = 0
7. y’ + y =             1
                             ,    y(0) = 0                                          8. y’ +               2
                                                                                                              y=   cos x
                                                                                                                            , y() = 0, x > 0
                    1  x2                                                                                x         x2
                                                 dy    1
C. Encontrar la solución de:                                     .       Sugerencia: Considérese a x como variable
                                                 dx e y  x
dependiente en lugar de y.

Respuestas:
                    x 1                                           x3 2 x                                           x2  x                 c 3 cos 2 x 3
1.    y  ce3x       e 2 x             2. y  ce2 x           e               3.        y  ce x  1         e           4. y               sen 2 x
                    3 9                                           3                                                2                      x 4 x       2

5. y  3e x  2x  1e2 x        6.   y
                                            2
                                             
                                            1 2
                                                    
                                              x  1 e 2 x                7.   y  e x
                                                                                          0
                                                                                           x
                                                                                           1 t
                                                                                                et
                                                                                                     2
                                                                                                         dt        8.    y
                                                                                                                                 sen x
                                                                                                                                  x   2
                                                                                                                                             C.   y  ce y 
                                                                                                                                                                1 y
                                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                  e



D. En cada uno de los problemas del 1 al 4, encuéntrese la solución general de la ecuación
diferencial dada:

1. y’ + (1/x)y = sen x     x>0                                                      2. x2y’ + 3xy = (sen x)/x.                               x<0
3. y’ + (tan x)y = x sen 2x,   /2 < x <  /2                                       4. xy’ + 2y = ex , x > 0

E. En cada uno de los problemas, del 5 al 8, encuéntrese la solución del problema dado de valores
iniciales:

5. xy’ + 2 y = x2       – x + 1,      y(1) = ½                                      6. xy’ + y = ex, y(1) = 1
7. y’ + (cot x)y = 2 csc x,   y( /2) = 1                                           8. xy’ + 2y = sen x, y() = 1/

F. Ecuación de Bernoulli: En cada uno de los problemas del 9 al 22, encuéntrese la solución
  general de la ecuación diferencial dada:
                                                                                                                                 dy
9. xy’+ y= 2/y2                             10. y’ = y(xy3 – 1)                                                    11.      t2       y 2  ty
                                                                                                                                 dt

                                                                                                                                      y  1  2 x y 4
                                                                                                                                    1    1
12.     y'  y  xy 5                       13.      y' 2 xy  xy 4  0                                           14.       y' 
                                                                                                                                    3    3
15.     y'  y  y 2 cos x  senx         16. xdy  y  xy 3 1  ln xdx  0                                  17.       y'  y  xy 2
        dy
18.         y  y 2e x                     19.         xdy  ydx  x 3 y 6 dx                                     20.       yy'  xy 2  x  0
        dx

21.
         dx x
        2   x 3 cos y  0
         dy y
                                            22.     2xy     5
                                                                      
                                                                  y dx  2 xdy  0
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden


Respuestas:
         c senx                                c           cos x                                                                             c  x  1e x
1. y =          cos x               2. y =                                   3. y = (c – 2x cos x + 2 sen x) cos x       4. y =
         x   x                                 x   3
                                                            x   3
                                                                                                                                                    x2

5. y =
          1 2
         12 
            
                             1 
             3x  4 x  6  2  ,
                            x 
                                         x>0                                   6. y =
                                                                                         x
                                                                                          
                                                                                         1 x
                                                                                           e 1  e ,       x>0            7. y =
                                                                                                                                         2 x 1  
                                                                                                                                            senx
                                                                                                                                                    ,         0<x<

         senx  x cos x                                                                                      1                       t
8. y =                        , x>0            9 y3 = 1 + cx–3                            10    y 3  x       ce3 x      11 e         y
                                                                                                                                              ct
               x   2                                                                                         3                                                        21

                       1
12. y  4   x          Ce  4 x            13.           y 3 
                                                                      1
                                                                         Ce 3 x
                                                                                 2
                                                                                          14.    y 3  1  2 x  Ce x 15.              1
                                                                                                                                             senx  Ce x
                       4                                              2                                                                  y

      x2    2 2          
16.        x 3   ln x   C                17.
                                                             1
                                                                1  x  ce  x           18.   C  xye x  1  0         19.
                                                                                                                                         2
                                                                                                                                             Cx 5  5 x 3
      y2    3 3                                            y                                                                           y5

20.   y 2  1  Ce x
                          2
                                               21. u  x 2 ; x 2 y  cos y  y sen y  C                               22. u  y 4 ; 3x 2  4 x 3  C y 4     

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1b ecuaciones%20 lineales%20y%20bernoulli

  • 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden B – ECUACIONES LINEALES Estas ecuaciones son de la forma y’ = f(x, y) (1) 14 donde f es una función dada de dos variables. Concretamente la ecuación es de la forma y’ + p(x) y = g(x) (2) donde p y q son funciones continuas dadas sobre algún intervalo α < x < β. Resolver una ecuación diferencial de primer orden equivale a encontrar una función y = φ(x) que, junto con su derivada y’, la satisfagan. Para hallar la solución de la ecuación procederemos a utilizar un proceso de tres pasos: Paso 1. Comenzaremos con una forma simple de (2), tomado g(x) = 0, y p(x) = a, donde a es una constante real, así: y’ + ay = 0 (2) La solución se hallará por separación de variables, así: y’ = – ay (3) dy  ay dx 1  y dy   adx ln y  ax + c Figura 1: y = Ce–1x Aplicando exponencial en ambos lados, obtenemos la función y que es la solución general de (3): y = Ce–ax (4) La función que tiene una derivada que es múltiplo de la función original es y = e–ax y ésta satisface a (3), y la cual representa un conjunto infinito de soluciones de (3) y donde C es una constante arbitraria o de integración. Esta familia de soluciones representa a su vez una familia de curvas integrales de (3).
  • 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden La familia de curvas si a = 1, se representa así (dibujamos solo las curvas para C = –4, –3, –2, –1. 0, 1, 2, 3, 4) (Figura 1). Paso 2. Para desarrollar un método sistemático que nos permita resolver ecuaciones lineales de primer orden, reescribimos la solución (4) yeax = C 15 Diferenciando solo el miembro izquierdo (yeax)’ = y’eax + ayeax = eax(y’ + ay) Este proceso se puede seguir para resolver la ecuación intermedia a la general: y’ + ay = g(x) (5) Obsérvese que aún tenemos p(x) = a, constante. Multiplicando (5) en ambos lados por eax tenemos eax(y’ + ay) = eaxg(x) (yeax)’ = eaxg(x) Integrando en ambos lados  ye ax  e ax g( x )dx  C Donde C es una constante arbitraria. Por tanto la solución de (5) es;  y  e  ax e ax g( x )dx  Ce  ax (6) Paso 3. Ahora, si tomamos p(x) no constante, hallaríamos la solución a la ECUACIÓN GENERAL de primer orden (2), y’ + p(x)y = g(x) (2) Para hallar esa solución, usaremos un proceso similar. Escogemos una función µ tal que µ(x)[y’ + p(x)y ] = [µ(x)y]’ Aplicamos en ambos lados las operaciones allí indicadas (producto en el primer miembro de la ecuación y derivada en el segundo): µ(x)y ’ + p(x)yµ(x) = µ(x)y’ + µ’(x)y Cancelamos µ(x)y’ en ambos lados y nos queda: p(x)yµ(x) = µ’(x)y suponiendo µ(x) > 0 y dividiendo ambos lados entre yµ(x)
  • 3. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ' ( x ) p( x )   ln ( x )' ( x ) Por tanto ln ( x )   p( x )dx ( x )  e  p( x )dx (7) 16 Donde llamaremos a µ(x), factor integrante. Regresando a la ecuación general (2) y multiplicando en ambos lados por el factor integrante, tenemos: ( x )y'  p( x ) y  ( x )g( x ) ( x ) y'  ( x )g( x )  ( x ) y  ( x )g( x )dx  C [∫ ] Donde µ(x) está dada por (7). Luego (8) es la solución de la ecuación general lineal de primer orden: EJEMPLO 1: Encontrar la solución al problema de valores iniciales: y’ – 2xy = x, con y(0) = 1 Solución: Se tiene que p(x) = –2x. Por tanto el factor integrante es:  ( x)  e   2 xdx  e  x 2 Multiplicamos en ambos lados de la ecuación lineal por el factor integrante: e  x  y '2 xy   e  x x 2 2 e y '  xe  x2  x2 1 2 ye  x   xe  x dx  C   e  x  C 2 2 De donde 2 1 y    Ce x 2 Y finalmente la solución general es: 2
  • 4. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Como hay una condición inicial, hallamos el valor de C para determinar la solución particular. Reemplazamos x = 0, y = 1 en la solución general: 1 = –1/2 + Ce0 y de aquí : C = 3/2 Por tanto la solución del problema de valores iniciales dado es: 17 1 3 2 y    ex 2 2 EJEMPLO 2: Encontrar la solución del problema de valores iniciales y’ – 2xy = 1; con y(0) = 1 Solución: Como antes  ( x)  e   2 xdx  e  x 2 Luego, ye  x   e  x dx  C 2 2 e  x2 y  ex dx  Ce x 2 2 e  x2 La dx no se puede expresar como una función elemental. Solo nos queda determinar la solución particular tomando y(0) = 1, lo cual requiere que C = 1 La solución particular es:  e dx  e x y  ex 2 2 2 x Existencia y unicidad TEOREMA Si las funciones p y g son continuas dentro de un intervalo abierto α < x < β que contiene al punto x = x0, entonces existe una función única y = φ(x) que satisface la ecuación diferencial y’ + p(x)y = g(x) para α < x < β , y que también satisface la condición inicial y(x0) = y0 , donde y0 es un valor inicial arbitrariamente prescrito. EJEMPLO 3: Resolver el problema de valores iniciales: xy’ + 2y = 4x2; y(1) = 2 Solución: 2 y ' y  4x , x ≠ 0 y para el valor inicial x > 0 x
  • 5. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 2  ( x)  e dx  e 2 ln x  e ln x  x 2 2 x Multiplicando en ambos miembros por el factor integrante µ(x) x2y’ + 2xy = 4x3 (x2y)’ = 4x3 18 x y = x y  4 x dx  C 2 2 3 x2y = x4 + C y = x2 + Cx-2 y para el valor inicial y(1) = 2, el valor de C será: 2 = 12 + C1–2 y de aquí C = 1. Por tanto la solución particular es: y = x2 + 1/x2 C – ECUACIÓN DE BERNOULLI Algunas ecuaciones que no son lineales pueden resolverse haciendo primero una sustitución que convierta a la ecuación dada en lineal. La ecuación de Bernoulli (en honor a Jacobo Bernoulli: 1654-1705) es un ejemplo de este tipo. La forma de esta ecuación es donde n es una constante pero no necesariamente entera, y p(x) y q(x) son funciones dadas. Para resolver la ecuación lineal de primer orden de Bernoulli para n ≠ 0, 1 se sigue el siguiente proceso: a. Se divide por yn obteniéndose y–ny’ + p(x)y1 – n = q(x) (2)  1  n  y n y ' y du du 1 b. Se hace el cambio de variables u = y1– n; de donde  y n y' dx dx 1  n  px u  qx  du 1 c. Se hace la sustitución en (2) y se obtiene dx 1  n EJEMPLO 4: Resolver la ecuación x2y’ + 2xy – y3 = 0 (1) Solución: 2 2 1 Dividiendo por x2y3 : y 3 y ' y  2 (2) x x du 1 du Hacemos u = y–2 y de aquí  2 y 3 y ' y despejando   y 3 y ' dx 2 dx
  • 6. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1 du 2 1 Reemplazamos en (2):   u 2 2 dx x x 4 2 O bien u ' u   2 x x 1  4  dx 19 El factor integrante es x–4. De hecho  x   e  4 ln x 4 x e  e ln x  x 4 . Por tanto 2 5 x 4 u  2 x 6 dx  C  x C 5 1 2 Y finalmente 2  u  x 1  Cx 4 y 5 dy EJEMPLO 5: Resolver x  y  x2 y2 (1) dx Solución dy 2 1 1 Dividiendo por xy2 y  y x dx x 1 y 2 y ' y 1  x (2) x du du Se hace el cambio de variable: u = y–1 de donde  1y 2 y ' . Y despejando   u '  y 2 y ' dx dx Se hace la sustitución en (2), obteniéndose: 1 1  u ' u  x o bien u ' u   x x x El factor integrante es x–1. De aquí que x 1u    1dx  C   x  C y 1  u   x 2  Cx 1 O si lo prefiere: y  x  Cx 2
  • 7. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden EJERCICIO 4 A. En cada uno de los problemas del 1 al 4, resuélvase la ecuación diferencial: 1. y’ + 3y = x + e–2x 2. y’ – 2y = x2 e2x 3. y’ + y = xe–x + 1 4. y’ + (1/x)y = 3 cos 2x, x>0 B. En cada uno de los problemas, del 5 al 8, encuéntrese la solución del problema dado de valores 20 iniciales: 5. y’ – y = 2xe2x y(0) = 1 6. y’ + 2y = xe–2x, y(1) = 0 7. y’ + y = 1 , y(0) = 0 8. y’ + 2 y= cos x , y() = 0, x > 0 1  x2 x x2 dy 1 C. Encontrar la solución de:  . Sugerencia: Considérese a x como variable dx e y  x dependiente en lugar de y. Respuestas: x 1 x3 2 x x2  x c 3 cos 2 x 3 1. y  ce3x    e 2 x 2. y  ce2 x  e 3. y  ce x  1  e 4. y    sen 2 x 3 9 3 2 x 4 x 2 5. y  3e x  2x  1e2 x 6. y 2  1 2  x  1 e 2 x 7. y  e x 0 x  1 t et 2 dt 8. y sen x x 2 C. y  ce y  1 y 2 e D. En cada uno de los problemas del 1 al 4, encuéntrese la solución general de la ecuación diferencial dada: 1. y’ + (1/x)y = sen x x>0 2. x2y’ + 3xy = (sen x)/x. x<0 3. y’ + (tan x)y = x sen 2x,  /2 < x <  /2 4. xy’ + 2y = ex , x > 0 E. En cada uno de los problemas, del 5 al 8, encuéntrese la solución del problema dado de valores iniciales: 5. xy’ + 2 y = x2 – x + 1, y(1) = ½ 6. xy’ + y = ex, y(1) = 1 7. y’ + (cot x)y = 2 csc x, y( /2) = 1 8. xy’ + 2y = sen x, y() = 1/ F. Ecuación de Bernoulli: En cada uno de los problemas del 9 al 22, encuéntrese la solución general de la ecuación diferencial dada: dy 9. xy’+ y= 2/y2 10. y’ = y(xy3 – 1) 11. t2  y 2  ty dt y  1  2 x y 4 1 1 12. y'  y  xy 5 13. y' 2 xy  xy 4  0 14. y'  3 3 15. y'  y  y 2 cos x  senx  16. xdy  y  xy 3 1  ln xdx  0 17. y'  y  xy 2 dy 18.  y  y 2e x 19. xdy  ydx  x 3 y 6 dx 20. yy'  xy 2  x  0 dx 21. dx x 2   x 3 cos y  0 dy y 22. 2xy 5   y dx  2 xdy  0
  • 8. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Respuestas: c senx c cos x c  x  1e x 1. y =   cos x 2. y =  3. y = (c – 2x cos x + 2 sen x) cos x 4. y = x x x 3 x 3 x2 5. y = 1 2 12   1   3x  4 x  6  2  , x   x>0 6. y = x  1 x e 1  e , x>0 7. y = 2 x 1   senx , 0<x< senx  x cos x 1 t 8. y = , x>0 9 y3 = 1 + cx–3 10 y 3  x   ce3 x 11 e y  ct x 2 3 21 1 12. y  4   x   Ce  4 x 13. y 3  1  Ce 3 x 2 14. y 3  1  2 x  Ce x 15. 1   senx  Ce x 4 2 y x2 2 2  16.   x 3   ln x   C 17. 1  1  x  ce  x 18. C  xye x  1  0 19. 2  Cx 5  5 x 3 y2 3 3  y y5 20. y 2  1  Ce x 2 21. u  x 2 ; x 2 y  cos y  y sen y  C 22. u  y 4 ; 3x 2  4 x 3  C y 4  