El documento presenta 5 ejemplos de cómo modelar matemáticamente situaciones reales usando funciones. En cada ejemplo se da un problema geométrico o de volumen con datos numéricos, y se expresa la solución como una función de una variable despejando ecuaciones.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales. Primero se encuentra la solución de la ecuación homogénea y luego se determinan las funciones u1 y u2 integrando para obtener la solución particular. Finalmente, la solución general es la suma de la solución homogénea y la solución particular. El documento también presenta un ejemplo completo de aplicación del método.
Este documento describe la función compuesta y su inversa. Una función compuesta se forma aplicando sucesivamente dos funciones, de tal forma que la imagen de la primera función sea el dominio de la segunda. La composición no es conmutativa en general. La inversa de una función compuesta se obtiene invirtiendo el orden de las funciones originales.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
1) El documento trata sobre el tema de la antiderivada y la integral indefinida en cálculo. 2) Explica conceptos como la función primitiva, la interpretación geométrica de la antiderivada, y propiedades como la linealidad. 3) También presenta ejemplos de integrales inmediatas y cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante el cálculo de integrales indefinidas.
Este documento explica los conceptos básicos de la antiderivación o integración indefinida. Define la antiderivada como la función inversa de la derivada, y explica que mientras una función solo tiene una derivada, tiene muchas antiderivadas que difieren solo en una constante. También describe la notación de la integral indefinida y algunas técnicas básicas de integración como la integración por partes y el cambio de variable.
El documento habla sobre la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la pendiente de la recta tangente y representa la razón de cambio de una función. Luego, detalla 7 reglas básicas para derivar funciones como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, menciona que la segunda derivada se usa para determinar puntos de inflexión y concavidad.
Este documento lista las reglas de derivación para una variedad de funciones, incluyendo sumas, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Proporciona las fórmulas para derivar cada función con respecto a la variable independiente así como la derivada de la función.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales. Primero se encuentra la solución de la ecuación homogénea y luego se determinan las funciones u1 y u2 integrando para obtener la solución particular. Finalmente, la solución general es la suma de la solución homogénea y la solución particular. El documento también presenta un ejemplo completo de aplicación del método.
Este documento describe la función compuesta y su inversa. Una función compuesta se forma aplicando sucesivamente dos funciones, de tal forma que la imagen de la primera función sea el dominio de la segunda. La composición no es conmutativa en general. La inversa de una función compuesta se obtiene invirtiendo el orden de las funciones originales.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
1) El documento trata sobre el tema de la antiderivada y la integral indefinida en cálculo. 2) Explica conceptos como la función primitiva, la interpretación geométrica de la antiderivada, y propiedades como la linealidad. 3) También presenta ejemplos de integrales inmediatas y cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante el cálculo de integrales indefinidas.
Este documento explica los conceptos básicos de la antiderivación o integración indefinida. Define la antiderivada como la función inversa de la derivada, y explica que mientras una función solo tiene una derivada, tiene muchas antiderivadas que difieren solo en una constante. También describe la notación de la integral indefinida y algunas técnicas básicas de integración como la integración por partes y el cambio de variable.
El documento habla sobre la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada mide la pendiente de la recta tangente y representa la razón de cambio de una función. Luego, detalla 7 reglas básicas para derivar funciones como potencias, sumas, productos y cocientes. Finalmente, menciona que la segunda derivada se usa para determinar puntos de inflexión y concavidad.
Este documento lista las reglas de derivación para una variedad de funciones, incluyendo sumas, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Proporciona las fórmulas para derivar cada función con respecto a la variable independiente así como la derivada de la función.
Este documento describe dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales: la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccatti. Explica cómo transformar estas ecuaciones no lineales en ecuaciones diferenciales lineales mediante cambios de variable, lo que facilita su resolución. También incluye ejemplos resueltos de problemas típicos de estas ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios para calcular derivadas de diferentes tipos de funciones, incluyendo potencias, raíces, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas trigonométricas, funciones en cadena y derivadas implícitas. Proporciona las fórmulas necesarias y guía los pasos para derivar cada tipo de función.
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre derivadas sucesivas, la derivada enésima, diferenciales y derivadas de funciones definidas implícitamente.
La derivada de una función f(x) se define como el límite de la pendiente de la secante a medida que el cambio h tiende a cero. Muestra que la derivada representa la pendiente de la tangente en el punto x. El ejemplo calcula la derivada de la función f(x)=x^2 como f'(x)=2x.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) La definición de función de varias variables y representación gráfica; (2) El concepto de curvas de nivel y su relación con la gráfica de una función; (3) Definiciones topológicas como entornos, conjuntos abiertos y cerrados que son necesarias para definir límites; (4) La extensión del concepto de límite y continuidad para funciones de varias variables. El objetivo es familiarizar al lector con estas nociones básicas
Distintas formas de expresar un número complejoSabrina Dechima
El documento introduce el concepto de números complejos, sus principales características y formas de expresarlos. Los números complejos se componen de una parte real y otra imaginaria, representada por la unidad imaginaria i. Pueden expresarse en forma binómica, polar, exponencial o trigonométrica, y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería.
libro de calculo james stewart calculo de una variable es un libro muy comun y muy utilizado para aprender todos los principios del calculo y sus diversas variaciones y aplicaciones que llega tener esta en los problemas matematicos
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
El documento explica el método de integración por cambio de variable, donde se sustituye el integrando o parte de él por otra función para facilitar la integración. Se detalla cómo identificar la nueva variable y su diferencial, y luego aplicar el cambio de variable para resolver la integral. Se proveen 4 ejemplos resueltos usando este método.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
El documento presenta una lista de ejercicios numerados de la 1 a la 5 que el autor debe resolver. Después de cada ejercicio o grupo de ejercicios, el autor indica que pasará a resolver los siguientes ejercicios.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
Este documento presenta información sobre la derivación de funciones de más de una variable independiente. Explica el concepto de diferencial total como la suma de las diferenciales parciales de una función. También introduce la regla de la cadena para calcular la derivada total de funciones compuestas donde las variables dependen de otras variables. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular diferenciales totales y aplicar la regla de la cadena.
El documento explica las ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial relaciona una variable independiente con una variable dependiente y sus derivadas. Si los coeficientes M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado total, la ecuación es de coeficientes homogéneos y su solución se obtiene mediante sustituciones como y = vx o x = vy. El documento proporciona varios ejemplos de cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales mediante multiplicación de ambos l
Este documento describe problemas de optimización, donde se busca minimizar o maximizar una variable sujeto a restricciones. Explica que se debe expresar la variable objetivo como función de otra variable y considerar las restricciones para obtener esta función. Proporciona ejemplos resueltos de problemas que buscan maximizar el área de figuras dadas restricciones en el perímetro o volumen.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables reales. Explica que tales funciones dependen de dos o más variables y que su dominio y gráfica son importantes para comprenderlas. Además, ofrece ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de una función, representarlo gráficamente, y evaluar la función para diferentes valores de las variables.
Este documento describe dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales: la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccatti. Explica cómo transformar estas ecuaciones no lineales en ecuaciones diferenciales lineales mediante cambios de variable, lo que facilita su resolución. También incluye ejemplos resueltos de problemas típicos de estas ecuaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios para calcular derivadas de diferentes tipos de funciones, incluyendo potencias, raíces, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas trigonométricas, funciones en cadena y derivadas implícitas. Proporciona las fórmulas necesarias y guía los pasos para derivar cada tipo de función.
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre derivadas sucesivas, la derivada enésima, diferenciales y derivadas de funciones definidas implícitamente.
La derivada de una función f(x) se define como el límite de la pendiente de la secante a medida que el cambio h tiende a cero. Muestra que la derivada representa la pendiente de la tangente en el punto x. El ejemplo calcula la derivada de la función f(x)=x^2 como f'(x)=2x.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) La definición de función de varias variables y representación gráfica; (2) El concepto de curvas de nivel y su relación con la gráfica de una función; (3) Definiciones topológicas como entornos, conjuntos abiertos y cerrados que son necesarias para definir límites; (4) La extensión del concepto de límite y continuidad para funciones de varias variables. El objetivo es familiarizar al lector con estas nociones básicas
Distintas formas de expresar un número complejoSabrina Dechima
El documento introduce el concepto de números complejos, sus principales características y formas de expresarlos. Los números complejos se componen de una parte real y otra imaginaria, representada por la unidad imaginaria i. Pueden expresarse en forma binómica, polar, exponencial o trigonométrica, y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería.
libro de calculo james stewart calculo de una variable es un libro muy comun y muy utilizado para aprender todos los principios del calculo y sus diversas variaciones y aplicaciones que llega tener esta en los problemas matematicos
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
El documento explica el método de integración por cambio de variable, donde se sustituye el integrando o parte de él por otra función para facilitar la integración. Se detalla cómo identificar la nueva variable y su diferencial, y luego aplicar el cambio de variable para resolver la integral. Se proveen 4 ejemplos resueltos usando este método.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
El documento presenta una lista de ejercicios numerados de la 1 a la 5 que el autor debe resolver. Después de cada ejercicio o grupo de ejercicios, el autor indica que pasará a resolver los siguientes ejercicios.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
Este documento presenta información sobre la derivación de funciones de más de una variable independiente. Explica el concepto de diferencial total como la suma de las diferenciales parciales de una función. También introduce la regla de la cadena para calcular la derivada total de funciones compuestas donde las variables dependen de otras variables. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular diferenciales totales y aplicar la regla de la cadena.
El documento explica las ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial relaciona una variable independiente con una variable dependiente y sus derivadas. Si los coeficientes M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado total, la ecuación es de coeficientes homogéneos y su solución se obtiene mediante sustituciones como y = vx o x = vy. El documento proporciona varios ejemplos de cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales mediante multiplicación de ambos l
Este documento describe problemas de optimización, donde se busca minimizar o maximizar una variable sujeto a restricciones. Explica que se debe expresar la variable objetivo como función de otra variable y considerar las restricciones para obtener esta función. Proporciona ejemplos resueltos de problemas que buscan maximizar el área de figuras dadas restricciones en el perímetro o volumen.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables reales. Explica que tales funciones dependen de dos o más variables y que su dominio y gráfica son importantes para comprenderlas. Además, ofrece ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de una función, representarlo gráficamente, y evaluar la función para diferentes valores de las variables.
Capitulo I analisis vectorial, funciones de varias variables.Frida Villalobos
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones escalares de varias variables. Define una función como un conjunto de pares ordenados donde cada valor de x determina un valor único de y. Explica cómo representar funciones verbalmente, numéricamente, visualmente y algebraicamente. También cubre el dominio y rango de funciones, y cómo graficar funciones de dos o más variables.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas que incluye 11 preguntas sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Las preguntas cubren temas como gráficas de funciones, tablas de valores, resolución de ecuaciones y aplicaciones como el crecimiento exponencial de bacterias.
1. El documento explica conceptos básicos sobre funciones como dominio, codominio, variable independiente y dependiente.
2. Una función relaciona dos conjuntos A y B mediante una regla que asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B.
3. Para evaluar una función en un valor, se sustituye la variable independiente por el valor en la ecuación o fórmula de la función.
1. El documento explica conceptos básicos sobre funciones como dominio, codominio, variable independiente y dependiente. 2. Se definen funciones mediante ecuaciones o fórmulas y se explican métodos para evaluar funciones. 3. Se describen aplicaciones de funciones en economía como expresar costos, ingresos y utilidad en términos de demanda u otros parámetros.
1) El documento explica cómo aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en tramos y usando rectángulos.
2) Al dividir en más tramos, las aproximaciones superiores e inferiores del área convergen al área real.
3) También presenta propiedades de la integral definida y cómo usarla para calcular áreas entre funciones.
El centroide de un triángulo se calcula mediante integrales. La coordenada x del centroide es la integral de x dividida entre el área del triángulo. La coordenada y es la integral de la función que define la altura dividida entre el área. Para un triángulo rectángulo de base b y altura h, el centroide está en (b/3, h/2).
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos A y B donde a cada elemento de A se le asigna un único elemento de B. Proporciona ejemplos de funciones como la longitud de una circunferencia en función de su radio. Luego define formalmente una función y explica conceptos como el dominio, el rango y la notación funcional f(x).
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto dominio exactamente un elemento en un conjunto rango. El dominio es el conjunto de entradas y el rango es el conjunto de salidas. Las funciones pueden ser lineales, cuadráticas, exponenciales o logarítmicas dependiendo de su forma matemática.
El documento presenta información sobre funciones de varias variables en el contexto de cálculo 3. Explica cómo las curvas de nivel en gráficos topográficos pueden proporcionar información sobre la geografía del terreno. Luego define funciones de dos variables, sus dominios y rangos, y presenta ejemplos para ilustrar conceptos como álgebra y gráficas de funciones de varias variables. Finalmente, introduce curvas de nivel y cómo calcular el dominio de una función.
Este documento describe conceptos básicos de funciones y ecuaciones lineales. Explica las clasificaciones de funciones reales, operaciones entre funciones, y cómo calcular la pendiente, ecuación y posición relativa de rectas a partir de puntos y pendientes.
Este documento presenta conceptos sobre campos vectoriales en matemáticas aplicada a la ingeniería. Explica definiciones clave como gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y vectoriales. También introduce conceptos de integrales de línea y superficie de campos vectoriales y sus aplicaciones en física, como flujos de calor y campos gravitacionales.
Sesión presencial 3.1(Funciones real de varias variables).pdfAniHuamanOrtiz
El documento presenta los temas de una sesión de cálculo 2 sobre funciones de varias variables. Se introducen conceptos como el dominio y rango de funciones reales de varias variables, curvas y superficies de nivel, y derivadas parciales. El estudiante aprenderá a determinar el dominio, curvas de nivel y derivadas parciales de funciones reales de varias variables. Se incluyen ejemplos y actividades para reforzar los conceptos.
El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio y construcción. También presenta ejemplos de funciones que modelan costos en función de parámetros, y graficación de superficies tridimensionales mediante curvas de nivel.
El documento presenta un análisis de costos y utilidades para una fábrica de refrigeradores. Se calculan la función de costo lineal, ingresos e utilidad basados en datos de producción. La función de utilidad muestra una pérdida si se venden 5 refrigeradores, pero el equilibrio se alcanza si se venden 10 diarios. Finalmente, se ilustra con una gráfica.
ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y LimitesDaniel Vliegen
Un libro corto y sencillo que aborda la introducción a la álgebra superior por las funciones, racionales, irracionales, trigonometricas y exponenciales y logaritmicas. Se trata de reconocer los puntos de discontinuidad de una función.
Como tratar un problema de limite cuando hay indeterminación. Limite por la derecha y por la izquierda
El libro contiene muchos ejemplos de calculo de funciones y de limites. Limites aplicadas a la funciones exponenciales y trigonométricas.
Este documento introduce las funciones y algunos conceptos fundamentales relacionados con ellas. Explica que una función es una relación entre elementos de dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto. Luego define los conceptos de dominio, rango, gráfico de una función y diferentes tipos de funciones como las lineales, cuadráticas, exponenciales y logaritmos. Finalmente presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento trata sobre funciones y sus gráficas. Explica conceptos como dominio, recorrido, notación de funciones, evaluación de funciones, gráficas de funciones y transformaciones de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave relacionados con funciones.
1. CAPÍTULO
2
Funciones
1
2.8 Modelando con funciones
Ahora haremos uso de ejemplos concretos para mostrar la manera en que podemos utilizar a las
funciones para modelar matemáticamente situaciones y problemas reales.
Para llevar a cabo la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las preguntas
siguientes: ¿qué es lo que se pide en el problema?, así como ¿qué datos se dan en el problema?
Ejemplo 2.8.1 Una región rectangular tiene un perímetro de 200 m. Expresar el área de la región como
función de la longitud de uno de sus lados.
H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x
h Región
¿Qué es lo que se pide en este problema?
Expresar el área A del rectángulo, que es A D xh, como función (solamente) de x o bien de h.
¿Qué dato se da en el problema? Que el perímetro, que es P D 2x C 2h, es de 200 m. Esto es, se sabe
que 2x C 2h D 200 o bien que x C h D 100.
Tenemos entonces
1
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
1
2. 2 Cálculo Diferencial e Integral I
una función: A D xh
(por abuso del lenguaje en ocasiones llamamos función
a una regla de correspondencia o una fórmula);
una ecuación: x C h D 100:
Ahora de la ecuación despejamos una de las variables (la que más nos convenga) para luego susti-
tuirla en la función. En este caso es indistinto despejar cualquiera de las dos variables.
Si queremos expresar el área A como función de x, despejamos h de la ecuación.
x C h D 100 ) h D 100 x;
sustituimos el valor de h en la función y obtenemos
A D xh D x.100 x/ D 100x x2 I
(si la quisiéramos como una función de h despejaríamos x D 100 h.)
Luego la función buscada es
A.x/ D 100x x2 :
Ejemplo 2.8.2 Una región rectangular tiene un área de 160 m2 . Expresar su perímetro como función de la
longitud de uno de sus lados.
H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x
h Región
¿Qué es lo que se pide en el problema?
Expresar el perímetro P del rectángulo, que es P D 2x C 2h, como función (solamente) de x o bien
de h.
¿Qué dato se da en el problema? Que el área del rectángulo, que es A D xh, es igual a 160 m2 .
Esto es, se sabe que: xh D 160.
Tenemos entonces
una función: P D 2x C 2hI
una ecuación: xh D 160:
Si queremos expresar el perímetro P como función de h, despejamos x de la ecuación para después
sustituirla en P .
160
xh D 160 ) x D I
h
2
3. 2.8 Modelando con funciones 3
sustituyendo x en P obtenemos
160 320
P D 2x C 2h D 2 C 2h D C 2h:
h h
Luego la función buscada es
320
P .h/ D C 2h:
h
Ejemplo 2.8.3 Una caja de caras laterales rectangulares sin tapa tiene su base cuadrada y un volumen de 2
m3 . Expresar el área de la caja como función de uno de los lados de la base.
H Consideramos una caja de caras laterales rectangulares de altura h y base cuadrada de lado x
con h & x expresados en metros.
h
h
x
x
¿Qué es lo que se pide en este problema?
Expresar el área A de la caja como función de x (uno de los lados de la base) a sabiendas de que
A D área de la base C área de las caras laterales D x 2 C 4xh:
¿Qué dato se da en el problema? Que el volumen de la caja, V D x 2 h, es igual a 2 m3 ; es decir, se
sabe que x 2 h D 2.
Tenemos entonces
una función: A D x 2 C 4xhI
una ecuación: x 2 h D 2:
Ahora, dado que se quiere expresar A como función de x, despejamos h de la ecuación, para luego
sustituirla en la función.
2
x2 h D 2 ) h D 2 :
x
Sustituyendo h en la función obtenemos
2 8
A D x 2 C 4xh D x 2 C 4x D x2 C :
x2 x
3
4. 4 Cálculo Diferencial e Integral I
Luego la función buscada es
8
A.x/ D x 2 C :
x
Ejemplo 2.8.4 Una caja de caras laterales rectangulares con base y tapa cuadradas tiene un área total de 1 200
cm2 . Expresar el volumen de la caja como función de uno de los lados de la base.
H Consideramos una caja de caras rectangulares de altura h y base cuadrada de lado l, con h y l
expresados en centímetros.
h
h
l
l
¿Qué es lo que se pide en este problema? Expresar el volumen V de la caja como función de l (uno
de los lados de la base) a sabiendas de que
V D l 2 h:
¿Qué se sabe en el problema? Que el área total de la caja, que es A D l 2 C l 2 C 4lh, es igual a 1 200
cm2 . Es decir, se sabe que 2l 2 C 4lh D 1 200; o sea l 2 C 2lh D 600.
Tenemos entonces
una función: V D l 2 hI
una ecuación: l 2 C 2lh D 600:
Ahora bien, debido a que se quiere expresar a V como función de l, despejamos h de la ecuación
para luego sustituirla en la función
600 l 2
l 2 C 2lh D 600 ) 2lh D 600 l2 ) h D :
2l
Sustituyendo h en la función, obtenemos
600 l 2 l 1 3
V D l 2h D l 2 D .600 l 2 / D 300 l l :
2l 2 2
Luego la función buscada es
1 3
V .l/ D 300 l l :
2
4
5. 2.8 Modelando con funciones 5
Ejemplo 2.8.5 Se va a construir un tanque de caras laterales rectangulares, con base y tapa cuadradas con
capacidad de 8 m3 para almacenar aceite. El material para construir la base y la tapa tiene un costo de $1 000:00
por m2 y el material para construir las caras laterales tiene un costo de $500:00 por m2 .
Obtener el costo de la construcción del tanque en función de la longitud x del lado de la base cuadrada.
H La figura del tanque corresponde a:
h
h
x
x
El área de la base cuadrada es x 2 y el de la tapa también es x 2 , luego la suma de estas áreas es 2x 2 ;
entonces, el costo en pesos para construirlas, será de 2 000x 2 , estando x expresada en metros.
Una cara lateral del tanque constituye un rectángulo de base x y altura digamos h (expresada tam-
bién en metros), es decir, xh es su área.
El volumen del tanque es el área de la base multiplicada por la altura, es decir, x 2 h, pero como tiene
8
que ser 8 m3 tenemos que x 2 h D 8; luego despejando h resulta que h D 2 .
x
8 8 8 32
El área de una cara lateral es por tanto x 2 D y el área de las cuatro es 4 D .
x x x x
32 16 000
Y su costo es .500/ D .
x x
El costo total C de la construcción como función de la longitud del lado x de la base cuadrada será
16 000
C.x/ D 2 000x 2 C :
x
Ejemplo 2.8.6 Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud x de uno de sus lados.
H Usaremos la siguiente figura
h x
x
2
5
6. 6 Cálculo Diferencial e Integral I
Como la altura correspondiente a uno de sus lados es también la mediatriz tenemos, por el teorema
de Pitágoras, que
x 2 x2 4x 2 x2
hD x2 D x2 D D
2 4 4
p
3x 2 3
D D x:
4 2
Y el área será entonces p p
1 3 3 2
AD x xD x :
2 2 4
Es decir, p
3 2
A.x/ D x :
4
Ejemplo 2.8.7 El número de vibraciones .V / de una cuerda que vibra es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de la tensión T de la cuerda. Una cuerda particular vibra a 864 vibraciones por segundo sometida a
una tensión de 24 kg.
1. Exprese el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T .
2. Determine el número de vibraciones por segundo .V =seg:/ cuando la cuerda esté sometida a una tensión
de 6 kg.
H
p
1. Ya que V es directamente proporcional a T , entonces existe una constante de proporcionali-
p
dad k tal que V D k T . Para la cuerda en consideración tendremos
p
864 D k 24I
por lo tanto
p p
864 864 24 864 24 p p p
kDp Dp p D D 36 24 D 36 4 6 D 72 6I
24 24 24 24
y por último p p p
V D 72 6 T D 72 6T :
2. Si T D 6, tendremos que p
V D 72 6 6 D 72 6 D 432 :
Ejemplo 2.8.8 En un bosque un depredador se alimenta de su presa y, para las primeras 15 semanas a partir
del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de x, donde x es el número de
presas en el bosque el cual, a su vez, es una función g de t, donde t es el número de semanas que han pasado
desde el fin de la temporada de caza.
1
Si f .x/ D x 2 2x C 50 & g.t/ D 4t C 52, donde 0 Ä t Ä 15, haga lo siguiente:
48
6
7. 2.8 Modelando con funciones 7
1. Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores como función del número de
semanas a partir del fin de la temporada de caza.
2. Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.
H
1. Tenemos que:
.4t C 52/2
f Œx.t/ D f Œg.t/ D f .4t C 52/ D 2.4t C 52/ C 50 D
48
Œ4.t C 13/2 t 2 C 26t C 169
D 8t 104 C 50 D 8t 54 D
48 3
t 2 C 26t C 169 24t 162 t 2 C 2t C 7
D D ; (donde 0 Ä t Ä 15/ :
3 3
2. Valuamos:
112 C 2 11 C 7 121 C 22 C 7 150
f Œx.11/ D f Œg.11/ D D D D 50:
3 3 3
Ejemplo 2.8.9 Una pista de 400 m de longitud tiene lados paralelos y cabeceras semicirculares. Encuentre
una expresión para el área A encerrada por la pista, en función del diámetro d de los semicírculos.
H Dibujamos la pista.
b
d
d
2
Vemos que:
2
d d2
A D bd C D bd C :
2 4
Pero el perímetro es
400 d
P D 2b C d D 400 por lo que b D
2
y entonces sustituyendo en A
400 d d2 800d d2 d
A.d / D dC D D .800 d /:
2 4 4 4
7
8. 8 Cálculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 2.8.10 Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el
perímetro de la ventana es de 45 dm, exprese su área como función del ancho x de la misma.
H Primero representamos la ventana:
x
2
y
x
x
El área A es la suma del área del rectángulo más la del semicírculo que tiene radio , es decir,
2
x2 1
A D xy C D xy C x 2 :
4 2 8
Pero además el perímetro de 45 dm es igual a
x1
P D x C 2y C 2 ;
22
y así
P D 1C x C 2y D 45
2
y de aquí que
45 x
2y D 45 1C x ) yD 1C :
2 2 2 2
Luego, sustituyendo este valor, nos queda A como función de x:
x 1
A.x/ D x 22:5 1C C x 2 D 22:5x C x2 D
2 2 8 8 2 4
1
D 22:5x C x2 :
2 8
Ejemplo 2.8.11 Un cordel de 10 m de largo se corta en dos partes; con una de ellas se forma un cuadrado y
con la otra se forma un triángulo equilátero. Si x es la longitud del lado del triángulo, exprese la suma de las
áreas del cuadrado y del triángulo (área total encerrada) en función de x.
8
9. 2.8 Modelando con funciones 9
H Consideramos la figura siguiente
A C B
Si el punto C es donde cortamos el cordel AB en 2 pedazos entonces AC C CB D AB D 10.
Si con el pedazo AC formamos un triángulo equilátero con lados de longitud x entonces AC D 3x.
De lo cual se desprende que CB D 10 3x.
1
Con el pedazo CB formamos un cuadrado con lados de longitud lc D .10 3x/.
4
Las figuras correspondientes son
x h
1
lc D .10 3x/ x
4
Calculamos la altura h del triángulo equilátero, mediante el teorema de Pitágoras.
x h
x=2
Tenemos:
p
x 2 1 2 3 2 3
hD x2 D x2 x D x D x:
2 4 4 2
El área del triángulo es
p p
xh 1 3 3 2
At D D x xD x :
2 2 2 4
El área del cuadrado es
2
1 1
Ac D lc 2 D .10 3x/ D .10 3x/2 :
4 16
9
10. 10 Cálculo Diferencial e Integral I
El área total de los 2 polígonos es
p
3 2 1
A D At C Ac D x C .10 3x/2 :
4 16
Es decir, p
3 2 1
A.x/ D x C .10 3x/2 ;
4 16
que es la función deseada.
Ejemplo 2.8.12 La piscina mostrada en la figura tiene 2 m de profundidad mínima y 6 m de profundidad
máxima, 40 m de largo, 20 m de ancho y el fondo es un plano inclinado. Expresar el volumen V del agua
contenida en la piscina en función de la altura h del nivel del agua desde la parte más profunda de la piscina.
H
20 m 40 m
2m paralelepípedo
2m
4m prisma
Primero observamos que la piscina está conformada por dos secciones diferentes: en los 2 primeros
metros de profundidad se tiene un paralelepípedo recto rectangular (una caja de caras rectangulares)
y en la parte restante se tiene una forma de prisma con caras rectangulares y triangulares.
¿Qué se pide en el problema? Expresar el volumen V del agua contenida en la piscina (cuando ésta
no está necesariamente llena) en función de la altura h, medida a partir de la parte más profunda de
dicha piscina.
¿Qué datos se dan en el problema? Los que se ven en la figura.
Para resolver este problema supongamos que la piscina está inicialmente vacía y que la estamos
llenando.
1. En una primera etapa vemos lo siguiente:
20 m 40 m
2m
x
h
10
11. 2.8 Modelando con funciones 11
La sección vertical de la figura anterior es
40 m
2m
x
4m
h h
En la figura anterior vemos la porción de la piscina que está llena de agua (parte sombreada) y
que tiene un volumen V1 . Proponemos dos formas de calcular dicho volumen:
a. V1 es igual a la mitad del volumen del paralelepípedo que tiene por base el rectángulo de
20hx
lados h & 20 m y altura x, es decir, V1 D .
2
xh
b. V1 = (área del triángulo rectángulo de catetos x, h)(anchura de la piscina)= 20.
2
Es decir:
V1 D 10xh:
En la figura anterior vemos una proyección de la piscina donde, por semejanza de triángulos,
se cumple que
x 40 x
D ) D 10 ) x D 10h:
h 4 h
Entonces,
V1 D 10xh D 10.10h/h D 100h2 :
Es decir: V1 .h/ D 100h2 para 0 Ä h Ä 4.
Nótese que el volumen de todo el semiparalelepípedo es
Vp D V1 .4/ D V1 .h D 4/ D 100.4/2 D 100.16/ D 1 600 m3 :
2. En una segunda etapa, cuando el semiparalelepípedo ya fue rebasado por el agua, vemos lo
siguiente:
11
12. 12 Cálculo Diferencial e Integral I
20 m 40 m
4m h
Ahora la porción de la piscina llena de agua está conformada por el semiparalelepípedo que
tiene un volumen Vp D 1 600 m3 y por un paralelepípedo recto rectangular con una altura igual
a h 4 y un volumen Vc dado por
Vc D .largo/.ancho/.altura/ D .40/.20/.h 4/I
Vc D 800.h 4/ D 800h 3 200:
Entonces, el volumen de toda la porción de la piscina que está llena de agua es
V2 D Vp C Vc D 1 600 C .800h 3 200/ D 800h 1 600:
Es decir: V2 .h/ D 800.h 2/ para 4 < h Ä 6.
3. Por lo tanto el volumen V en función de h es
100 h2 si 0 Ä h Ä 4I
V .h/ D
800.h 2/ si 4 Ä h Ä 6:
Ejemplo 2.8.13 Una barra metálica AD de longitud ` está formada por tres porciones: AB, BC y CD, de
longitudes `1 , `2 , `3 (donde `1 C `2 C `3 D `) y con densidades lineales de masa (cantidad de masa por unidad
de longitud) 1 , 2 , 3 , respectivamente. Si AP es una porción de longitud x (variable) y masa M (variable),
expresar M en función de x.
H ¿Qué se pide en el problema? Expresar la masa de una porción cualquiera de la barra metálica
en función de la longitud de dicha porción. Es decir, dado un pedazo AP (de la barra metálica) de
longitud x, expresar la masa M de dicho pedazo en función (precisamente) de x.
Para encontrar una expresión de la masa M debemos tomar en cuenta la longitud x de la porción
considerada; ¿por qué? Porque puede suceder cualquiera de los tres casos siguientes:
0 Ä x Ä `1 o bien `1 < x Ä `1 C `2 o bien `1 C `2 < x Ä `:
Considerando que la densidad lineal de masa es la cantidad de masa por unidad de longitud, en-
tonces la masa de un pedazo de alambre (con densidad lineal constante) es igual al producto de su
densidad por su longitud; es decir la masa del pedazo de alambre está en función de su longitud.
Por esto, para un pedazo de alambre de longitud x sucede lo siguiente:
12
13. 2.8 Modelando con funciones 13
1. Si 0 Ä x Ä `1 , entonces la masa (del pedazo de alambre) es M1 .x/ D 1 x.
2. Si `1 < x Ä `1 C `2 , entonces la masa es M2 .x/ D 1 `1 C 2 .x `1 / .
3. Si `1 C `2 < x Ä ` , entonces la masa es M3 .x/ D 1 `1 C 2 `2 C 3 Œx .`1 C `2 / .
Por lo tanto, la masa M de una porción de alambre de longitud x es la función
1x
si 0 Ä x Ä `1 I
M.x/ D ` C 2 .x `1 / si `1 < x Ä `1 C `2 I
1 1
1 `1 C 2 `2 C 3 Œx .`1 C `2 / si `1 C `2 < x Ä `:
Ejercicios 2.8.1 Soluciones en la página 16
1. Las dimensiones de un rectángulo pueden variar, pero no su área que debe ser de A cm2 .
Considerando que uno de sus lados mide x cm, expresar el perímetro P del rectángulo en
función de x.
2. El perímetro de un rectángulo debe ser P cm. Expresar el área A del rectángulo en función de
la longitud y de uno de sus lados.
3. Las dimensiones de un paralelepípedo (caja con caras laterales rectangulares) pueden variar,
pero no su volumen que debe ser igual a V m3 . Considerando que la caja tiene base cuadrada
con lado de longitud igual a x m, expresar el área A de la superficie total del paralelepípedo en
función de x.
4. Una caja con base y tapa cuadradas tiene una superficie de área A cm2 . Expresar el volumen
V de la caja en función de la longitud de uno de sus lados.
5. a. Exprese el área A de un cuadrado en función de su perímetro P .
b. Exprese el perímetro P de un cuadrado en función de su área A.
6. a. Exprese el área A de un círculo en función de su perímetro C .
b. Exprese el perímetro C de un círculo en función de su área A.
7. a. Exprese el área A de un triángulo equilátero en función de la longitud s de uno de sus
lados.
b. Exprese el área A de un triángulo equilátero en función de la longitud h de la altura.
8. Exprese el volumen V de un cubo en función del área A de su base.
9. Una caja con base y tapa cuadradas de lado x tiene una superficie total de 600 m2 . Expresar el
volumen V de la caja como función de x.
13
14. 14 Cálculo Diferencial e Integral I
10. Una pecera de 1:5 pies de altura h tiene un volumen de 6 pies cúbicos. Si x es el largo de la
base, y su ancho es y:
a. Determine y como función de x. Además grafique esta función.
b. Encuentre la cantidad de material necesario, en pies cuadrados, para construir la pecera
en función de x.
11. Un envase cilíndrico tiene una altura igual al triple del radio r.
a. Determine la superficie del envase, considerando sus dos tapas, en función del radio.
b. Si se desean fabricar envases cuyos radios están entre 3 y 5 dm, ¿cuál es la respectiva
variación de volumen de los envases?
12. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos adosados a dos de sus lados
opuestos. Si el perímetro del terreno es de 800 m, hallar el área A del terreno en función de la
longitud ` de uno de los lados del rectángulo.
13. Una lata tiene capacidad de 1 dm3 y forma de un cilindro circular recto. Exprese el área de la
superficie de la lata como función de su radio.
14. Un granjero dispone de 200 m de valla para cercar dos corrales adyacentes (véase figura). Ex-
presar el área A encerrada como función de x
x x
y
15. Una caja cerrada, en forma de cubo, va a construirse con dos materiales diferentes. El material
de las caras laterales cuesta 2.5 pesos por centímetro cuadrado y el material de la base y la tapa
cuesta 3 pesos por centímetro cuadrado. Exprese el costo total C de la caja en función de la
longitud x de uno de sus lados.
16. Un avión vuela a una velocidad de 350 millas/h, a una altitud de una milla y pasa directamente
sobre una estación de radar en el instante t D 0.
a. Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión recorre como función del tiempo
t.
b. Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d .
c. Aplique la composición de funciones para expresar s como función de t.
14
15. 2.8 Modelando con funciones 15
17. Una ventana inglesa tiene la forma de rectángulo coronado con un triángulo equilátero. Si el
perímetro de la ventana es de 30 m, exprese el área de la ventana en función de su ancho.
18. Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12 000 pies3
de agua. El concreto para construir la base y las caras laterales tiene un costo de $100:00 por
pie2 y el material para construir la tapa cuesta $200:00 por pie2 .
Obtenga el costo de la construcción de la cisterna en función de la longitud x del lado de la
base.
19. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una de ellas se dobla para formar
un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambas figuras
como función del lado del cuadrado.
20. De una pieza rectangular de cartón que mide 44 cm de largo y 19 cm de ancho se va a construir
una caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de lado, como se muestra en la figura, y
luego se doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta
caja como función de x.
44 cm
x x
x x
19 cm
x x
x x
21. Considerando las escalas Celsius y Fahrenheit para medir temperaturas, se sabe que 0 ı C co-
rresponde a 32 ı F y que 100 ı C a 212 ı F. Deducir la fórmula de transición de una escala a la otra,
es decir expresar ı C en función de ı F, así como ı F en función de ı C.
22. Un viaje subsidiado por una escuela costará a cada estudiante 150 pesos si viajan no más de
150 estudiantes; sin embargo el costo a pagar por estudiante se reduciría 5 pesos por cada uno
más que se inscriba al grupo de los 150. Exprese los ingresos brutos recibidos por la escuela en
función del número de inscritos a dicho viaje.
23. El costo de un viaje en taxi es de 4:80 pesos por el primer kilómetro (o parte del primer
kilómetro) y de 30 centavos por cada 100 metros subsiguientes. Exprese el costo de un vi-
aje como función de la distancia x recorrida (en kilómetros) para 0 < x < 2; además grafique
esa función.
15