1. Se calcula la integral doble de una función en una región limitada transformando las coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Se obtienen los límites de integración y se resuelve la integral. 2. Igualmente, se transforman coordenadas cartesianas a polares para calcular otra integral doble en una región limitada por circunferencias, encontrando los límites y resolviendo la integral. 3. De manera análoga, se calcula otra integral doble transformando a coordenadas polares y resolviendo.

1. 1. Calcular
 
1
2 2 2
4D
dx dy
x y 
 , donde D es el recinto dado por 2 2
2 0x y x  
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
 
 
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
1 1
x y r
x y x
r rCos
x y x
x y

 
 

 
  
Donde los limites son:
 0 2 os
2 2
r C
 
       ; dA rdrd
 
 
 2
22 2
2
1 22 2 2
0
2 2 0
4
44
Cos
Cos
D
dA rdr
I r d
rx y
 
 


 
    
 
   
2 2
2 2
2 2
4 4 2 2 2 1I Cos d Cos d
 
 
   
 
         
    
 
2
2 2
2
2
2 2 1 2 2I Cos d Cos




    

     
 
2 2 2 2 0 0 2
2 2 2 2
I Cos Cos
   
 
     
             
     
2. Calcular
2 2
x y
D
e dxdy
 ,donde D es la región acotada por la circunferencia
2 2
1x y  y 2 2
9x y 
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
9 9 3
x y r x y r r
x y r x y r r
        
        
De donde los limites son:

2. 1 3 0 2r       ; dA rdrd
      
2 2 2 2
32 3 2
29 1 8 8
0
0 1 0 1
1 1 1
1 2 1
2 2 2
x y r r
D
I e dA e rdrd e d e e e e e e
 

    
           
 8
1I e e 
3. Calcular la integral doble
 
2 2
22 2
D
x y dx dy
x y
 , donde D es el anillo 2 2
1 4x y  
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2
2 2
2
1 4
1 4
1 2
x y r
x y
r
r
 
  
 
 
De donde los limites son:
1 2 0 2r       ; dA rdrd
 
   
 
2 2
2 2
2 2
2 20 12 2 2
D
rCos rSen rdrx y dx dy
I
x y r
          

  
   
   
  
2
2
2 2 2
2 2
0 1 0
1
1 2 1 2
2 2 2
Cos Cos r
I Cos Sen rdrd d
   
   
          
 
     
2
2 2
2
0 0
0
1 4 4 3 23 3 3 3
2
8 8 2 16 4 16 8
Cos Sen
I Sen d d

     
   
   
        
   
 
4. Calcular la integral doble
2 2
2 2
1
D
x y
dxdy
a b
  0a  , 0b  , donde D es la
región limitada por la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
 
SOLUCION:
Si transformamos a coordenadas polares:
 x raCos  ;  
   2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
 
     
De donde los limites son:

3. 0 1 0 2r       ; dA abrdrd
   2 2 2 2 2 2
2
2 2
1 1
D D
r a Cos r b Sen
I abrdrd ab r rdrd
a b
 
      
 
 
13 2 22
2
0
0
0
1 1 2
0 2
3 3 3 3
r ab ab
I ab d ab

 
  
  
       
 

5. Calcular la integral doble
D
xy dxdy , donde D es un dominio limitado por la
elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
  y situado en el primer cuadrante.
Si transformamos a coordenadas polares:
 x raCos  ;  
   2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
 
     
De donde los limites son:
0 1 0 2r       ; dA abrdrd
       
2 2
2 2 3 3
( ) 2
2D D D
a b
I raCos rbSen abrdrd a b r Sen Cos drd r Sen drd                 
       
22 2 2 2 2 212
4
0 0
0
2 2 4 0
8 16 16
a b a b a b
I r Sen d Cos Cos Cos


          
 
2 2 2 2
1 1
16 8
a b a b
I     
6. Calcular la integral doble
2 2
2 2
4
D
dxdy
x y
a b
 
 0a  , 0b  , donde D es la región
limitada por la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
 
Si transformamos a coordenadas polares:
 x raCos  ;  
   2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
 
     
De donde los limites son:

4. 0 1 0 2r       ; dA abrdrd
   2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
D D
dxdy abrdrd
I
x y r a Cos r b Sen
a b a b

 
 
   
 
   
12
2
2 02 2 2 0
4
44D D
rdrd rdrd
I ab ab ab r d
rr Cos Sen
 

 
   
   
  
    
2
0
5 2 2 5 2I ab ab

    
7. Calcular la integral doble
2 2
D
xy
dxdy
x y
 , donde D es el disco acotado por
2 2
2 2
1
x y
a b
 
Si transformamos a coordenadas polares:
 x raCos  ;  
   2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
 
     
De donde los limites son:
0 1 0 2r       ; dA abrdrd
   
   
   
   
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
D D D
xy dxdy rCos rSen abrdrd r Cos Sen drd
I ab
x y a r Cos b r Sen r a Cos b Sen
     
   
  
    
  
   
   
   
   
1
3
2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0
0
33
r Cos Sen d Cos Sen dab
I ab
a Cos b Sen a Cos b Sen
      
   
 
 
 
   
   
1
2 2 2 2 203
Cos Sen dab
I
a a Sen b Sen
  
 

 

 
 
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
0
( ) ( )
3 3
ab ab
I a b a Sen a b a Sen
b a b a



       
 
 
 
 
 
3
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
( ) ( )
3 3
ab ab
a b b a Sen a b a Sen
b a b a




     
 

5.    
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
ab ab
I a b a a a a b a
b a b a
           
    
   
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
ab ab
a b a a a a b a
b a b a
         
    
 
 
 
 
 
 
 
 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
ab ab ab ab
I b a a b b a a b
b a b a b a b a
       
   
 
    
4 4
3 3
ab b a ab
I
b a b a b a

 
  
8. Calcular 2 2 2
D
a x y dxdy  , donde D es la región limitada por la hoja de
Lemniscata    
22 2 2 2 2
x y a x y   , 0x 
Grafiquemos y transformamos a coordenadas polares:
   
22 2 2 2 2
x y a x y   ;
0 x a  ;  x rCos  ;
 y rSen  ; 2 2 2
r x y 
 2
2 24
0
4
a Cos
I a r rdrd


 

  
 
 
  
cos 23 32
4 42 2 2 2 32
4 4
0
1 1
2
3 3
a
I a r d a a Cos a d

 
 
  
 
       
 
 
  
3 3
4 2
4
1 2 1
3
a
I Cos d


 
 
    
 

4
3 3
4
2 2
3 3
a Cos
I Cos



 

  
      
  
3
16 2 20
3 3 9
a
I
 
  
 
9. Calcular
2 2
2 2
0 0
a a x
x y dydx

 
Transformamos a coordenadas polares.
2 2
y a x  ; 0 x a  ;  x rCos  ;  y rSen  ; 2 2 2
r x y 
0 0 2r a      

6. 23 3 3
2 2
2
0 0 0
0 0
3 3 6
a
a r a a
I r rdrd d

   
      