El documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli. Explica que una ecuación diferencial es exacta si se cumple una condición de derivadas parciales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo resolver ecuaciones exactas y encontrar factores integrantes. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli mediante transformaciones que las convierten en ecuaciones lineales.

1. ALEXANDRE ROSALES FLORES
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DOCUMENTO EN WORD, 3 ECUACIONES SIGUIENTES
ME Ing. CÉSAR OCTAVIO MARTINEZ PADILLA
ECUACIONES DIFERENCIALES
B:212

2. Ecuaciones diferenciales exactas
Si la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, entonces por
definición hay una función U(x, y) tal que:
(1)
Pero, del cálculo elemental (2)
y así, al comparar (1) y (2), vemos que
(3)
Diferenciando la primera de las ecuaciones (3) con respecto a y y la
segunda con respecto a x, encontramos*
(4)
Bajo condiciones apropiadas, el orden de la diferenciación es
indiferente, así que la ecuación (4) lleva a la condición
(5)
Esto es una condicion necesaria para la exactitud; esto es, si la
ecuación diferencial es exacta. El teorema recíproco establece que
si (5) se cumple, entonces M dx + Ndy es una diferencial exacta.
Para ilustrar el teorema, considere la ecuación, esto es:
(2xy + 3X2)dX + x2 dy = 0
Así, por la parte de suficiencia del teorema, se nos garantiza una
función U tal que:
(2xy + 3x2)dx + x2 dy = dU (6)

3. EJEMPLO ILUSTRATIVO ECUACIONES EXACTAS
Resuelva:
2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0.
Solución :
Aqui :
Y la ecuación es exacta. Así U existe tal que:
Integrando la primera ecuación con respecto a x da U=.x” y + f(v).
Sustituyendo en la segunda ecuación de, encontramos:
x2 + y(y) = x2 + cos y, f’(Y) = cos Y, -OY) = sen y
De donde, U= x2 y + sen y y la solución general requerida es:
x2 y + sen y = c

4. Ecuaciones diferenciales exactas por factor
integrante
Si la ecuación M dx + N dy = 0 es exacta, esto es, si:
Entonces la ecuación se puede resolver por los métodos de la
sección anterior.
En caso de que la ecuación no sea exacta, es posible que la
ecuación la podamos hacer exacta al multiplicarla por un factor
integrante apropiado u, de modo que la ecuación resultante:
será exacta, esto es:
EJEMPLO ILUSTRATIVO FACTOR INTEGRANTE
Resuelva: 3x´2ydx + ydy=0
Solución:
M(3x´2)= 3x´2
N(y)=0
Tenemos:
M distinto de N
P(y)=0-3x´2/3x´2y =-1/y
El factor integrante es:
1/y

5. Entonces:
(1/y)(3x´2ydx + ydy=0)
3x´2dx + dy=0
Al resolver tenemos que M=N
Por tanto:
F(x,y)= I3x´2dx +I(1-derivada parcial de: I(3x´2dx))dy
=x´3 + I(1-derivada parcial de: (x3))dy
=x´3 + Idy= x´3 + y + c
Ecuaciones diferenciales lineales
Forma ordinaria:
Cuando Q(x) es 0 la ecuación es homogénea y se resuelve por variables
separables.
Cuando Q(x) es distinto de 0, la ecuación no es homogénea y se puede
resolver por factor integrante o por variación de parámetros
Para obtener el factor integrante:
Con lo cual se procederá a realizar la solución general:
.

6. Ejemplo ilustrativo lineales
Resuelva:
x y´ + (3x+1) y = ´-3x
p(x)= 3+ (1/x)
Q(x)=x´-1 ´-3x
´(3+1/x)dx = ´3x + ln x = ´3x * ´ln x = ´3x *x
Aplicando la forma de la solución general, tenemos:
y= 1/(x ´3x) x ´3x (x´-1 ´-3x) dx
y= 1/(x ´3x) dx
y= 1/(x ´3x)(x + c)

7. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se caracterizan
por tener la forma:
donde P y Q son funciones de x y la potencia es una constante.
CASO GENERAL:
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la
ecuación por yα se obtiene:
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación
diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

8. Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden
calcularse utilizando la expresión:
CASO PARTICULAR: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya
solución viene dada por:
CASO PARTICULAR: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
Ejemplo ilustrativo Bernoulli
Resuelva la ecuación:
Solución:
Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y
Para resolverla primero dividamos por

9. Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , la
ecuación se transforma en:
Simplificando obtenemos la ecuación lineal:
Cuya solución es:
y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación original
Observación: en esta solución no está incluida la solución , que se
perdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una solución
singular.