El documento describe el vector tangente unitario, el vector normal principal y el plano osculador de una curva. El vector tangente unitario T apunta en la dirección de la curva en cada punto y tiene magnitud 1. El vector normal principal N es perpendicular a T. Cuando T y N se trazan en un punto, definen el plano osculador, que mejor se adapta a la curva en ese punto. El documento proporciona un ejemplo para ilustrar cómo calcular la ecuación del plano osculador para una hélice circular.

1. Vector tangente unitario, Normal principal
y plano osculador
Dada una curva f (t), el vector unitario tangente T es otra funci´n vectorial asociada a la curva, y
o
est´ definida por:
a
f (t)
T (t) = siempre que f (t) = 0.
f (t)
Observese que:
f (t) 1
T (t) = = f (t) = 1
f (t) f (t)
T es de magnitud constante, por lo tanto T · T = 0. Si la direcci´n es lineal T = 0.
o
Si T = 0 el vector unitario que tiene la misma direcci´n que T se llama Normal principal a la curva
o
y se designa por N (t). Asi pues N (t) es una nueva funci´n vectorial asociada a la curva y esta dada por
o
la ecuaci´n:
o
T (t)
N (t) = siempre que T (t) = 0
T (t)
Cuando los dos vectores unitarios T y N est´n trazados por el punto de la curva f (t), determinan un
a
plano llamado osculador de la curva.
El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva
es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
Ejemplo: Consideremos el camino f : R → R3 dado por:
s s s
f (s) = cos √ , sen √ ,√
2 2 2
el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco√ que describe una h´lice
y e
circular en R3 . Obtenga la ecuaci´n del plano osculador en el punto f ( 2 π) = (−1, 0, π).
o
Soluci´n. Tenemos que:
o
f (s) 1 s 1 s 1
T (s) = = − √ sen √ , √ cos √ ,√
f (s) 2 2 2 2 2
T (s) = 1
√ 1 1
y T ( 2 π) = (0, − √2 , √2 ), por otro lado:
T (s) 1 s 1 1 1 s
N (s) = = − √ cos √ √ , −√ √ sin √ , 0 (2) =
T (s) 2 2 2 2 2 2
s s
= − cos √ , , − sin √ ,0
2 2
1

2. √ √ √
y N ( 2 π) = (1, 0, 0). Ahora realizamos T ( 2 π) x N ( 2 π) =
ˆ
i ˆ
j ˆ
k
0 1
− √2 √1 1 1
= 2 = 0, √ , √
2 2
1 0 0
√ 1 1
al evaluar en 2 π nos queda (0, √2 , √2 ). Por lo tanto la ecuaci´n del plano osculador en
o
P = (−1, 0, π) es:
1 1
(x + 1, y − 0, z − π) · 0, √ , √ =0
2 2
1 1
⇒ √ y + √ (z − π) = 0
2 2
2