1) Se describen las ecuaciones diferenciales que representan la tensión y corriente a lo largo de una línea de transmisión y su solución. 2) Existen ondas incidentes y reflejadas de voltaje y corriente que se propagan a lo largo de la línea. 3) La constante de propagación describe la atenuación y cambio de fase de una señal al propagarse, y depende de la resistencia y reactancia de la línea.

1. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LA TENSIÓN Y CORRIENTE. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

2. Para tomar en cuenta la naturaleza distribuida de las constantes de la línea de transmisión, considere el siguiente circuito, el cual representa una sección de línea de longitud Δx. V(x) e I(x) denotan la tensión y la corriente en la posición x, la cual se mide en metros desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De modo semejante, V(x+Δx) e I(x+Δx) denotan la tensión y la corriente en la posición (x+Δx).

4. en donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de 60 Hz. Escribiendo una ecuación de la LKV para el circuito: V(x+Δx)=V(x)+(zΔx)I(x) volts. Si se reacomodan los términos de la ecuación:

5. Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero, De igual manera, escribiendo una ecuación de la LKC para el circuito,

6. Reacomodando los términos, Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero,

7. Las ecuaciones (5.2.5) y (5.2.8) son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de primer orden con dos incógnitas, V(x) e I(x). Se puede eliminar I(x) al derivar la (5.2.5) y usando la (5.28), del modo siguiente:

8. o bien, La ecuación (5.2.10) es una ecuación diferencial lineal homogénea y de segundo orden con una incógnita, V(x). Por inspección, su solución es:

9. En donde son constantes de integración y γ, cuyas unidades son , se llama constante de propagación. Al introducir las ecuaciones (5.2.11) y (5.2.12) en la (5.2.10), se puede verificar la solución para la ecuación diferencial.

10. En seguida, usando la ecuación (5.2.11)en la (5.2.5), Despejando I(x),

11. Si se utiliza la ecuación (5.2.12), La ecuación (5.2.14) queda:

12. en donde: cuyas unidades son Ω, es llamada impedancia característica.

15. “Ondas incidentes y reflejadas de voltaje y corriente” Una línea de transmisión ordinaria es bidireccional; la potencia puede propagarse, en ambas direcciones. El voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidenteEl voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado.En forma similar, hay corrientes incidentes y reflejadas. En consecuencia, la potencia incidente se propaga hacia la carga y la potencia reflejada se propaga hacia la fuente.

16. El voltaje y la corriente incidentes, siempre están en fase para una impedancia Para una línea infinitamente larga, toda la potencia incidente se almacena por la línea y no hay potencia reflejada. La potencia reflejada es la porción de la potencia incidente que no fue absorbida por la carga. Por lo tanto, la potencia reflejada nunca puede exceder la potencia incidente. Una línea sin potencia reflejada se llama línea no resonante o plana. En una línea plana, el voltaje y la corriente son constantes, a través de su longitud, suponiendo que no hay pérdidas. Cuando la carga es un cortocircuito o circuito abierto, toda la potencia incidente se refleja nuevamente hacia la fuente.

18. Ondas Incidentes y Reflejadas

19. Voltaje Incidente El voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidente

20. Voltaje Reflejado El voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado.

21. En forma similar, hay corrientes incidentes y reflejadas. En consecuencia, la potencia incidente se propaga hacia la carga y la potencia reflejada se propaga hacia la fuente. El voltaje y la corriente incidentes, siempre están en fase para una impedancia característica resistiva. Para una línea infinitamente larga, toda la potencia incidente se almacena por la línea y no hay potencia reflejada.

22. Constante de Propagación, Atenuación y Fase

23. Constante de Propagación La constante de propagación (a veces llamada el coeficiente de propagación) se utiliza para expresar la atenuación (pérdida de la señal) y el desplazamiento de fase por unidad de longitud de una línea de transmisión. Conforme se propaga una onda, a lo largo de la línea de transmisión, su amplitud se reduce con la distancia viajada. La constante de propagación se utiliza para determinar la reducción en voltaje o corriente en la distancia conforme una onda TEM se propaga a lo largo de la línea de transmisión.

24. Constante de Propagación Matemáticamente la constante de propagación es:

25. Atenuación Se denomina atenuación de una señal, sea esta acústica, eléctrica u óptica, a la pérdida de potencia sufrida por la misma al transitar por cualquier medio de transmisión. Así, si introducimos una señal eléctrica con una potencia P1 en un circuito pasivo, como puede ser un cable, esta sufrirá una atenuación y al final de dicho circuito obtendremos una potencia P2. La atenuación (α) será igual a la diferencia entre ambas potencias.

26. Atenuación La atenuación, en el caso del ejemplo anterior vendría, de este modo, expresada en decibelios por la siguiente fórmula: en términos de potencia: en términos de tensión:

27. Fase La fase indica la situación instantánea en el ciclo, de una magnitud que varía cíclicamente. En el caso de una onda sinusoidal que avanza en el sentido de los x crecientes, si es la amplitud, la pulsación (en radianes por segundo), k el número de onda (en 1/m), t el tiempo (en segundos) y x la posición (en metros), podemos escribir:

28. Fase El ángulo de fase de esta onda es el argumento en el caso general toda onda estacionaria puede representarse mediante una función del tipo: Y en ese caso general la fase es el argumento de la función que contiene la dependencia del tiempo es la fase , siendo , la fase inicial. No se puede determinar el ángulo de fase de una onda basándose en una sola medida de la onda. Midiendo los valores en función del tiempo o de la posición, se puede deducir el ángulo de fase, pero con una indeterminación de un múltiplo entero de . En realidad, el valor del ángulo de fase no es muy útil. El valor realmente útil es la diferencia de fase o desfase entre dos sitios, dos instantes o dos ondas.