Este documento presenta modelos teóricos y empíricos para analizar parámetros de líneas de transmisión de pares trenzados. Inicialmente describe los parámetros distribuidos de líneas de transmisión y ecuaciones generales. Luego presenta modelos para líneas bifilares y pares trenzados, obteniendo ecuaciones para la capacitancia, inductancia, resistencia y conductancia en términos de dimensiones físicas. Finalmente, compara los modelos teóricos con datos de fabricantes para validar la teoría.

1. MODELOS DE LINEA BIFILAR TRENZADO
JWT PVC-NY DE CENTELSA
UTPXX-C3-SOLID-INDOOR HYPERLINE
Adri´an Montoya Lince
Docente
Dpto Ing. Electr´onica
Universidad de Antioquia
Email: lince@udea.edu.co
Giancarlo Ortiz Benavides
98400015
Lineas de Tx, Dpto Ing. Electr´onica
Universidad de Antioquia
Email: giancarlobenavides@gmail.com
Resumen—Se muestra el desarrollo de dos modelos te´oricos
y un modelo emp´ırico, norma ANSI T1E1.4, para l´ıneas de
transmisi´on par trenzado, en base a la teor´ıa general de cir-
cuitos el´ectricos, obteni´endose informaci´on de sus par´ametros
distribuidos, luego las constantes de atenuaci´on y fase de cada
modelo. Este desarrollo se realiz´o para diferentes frecuencias de
trabajo de la l´ınea, y posteriormente se compararon con los datos
proporcionados por dos fabricantes, con lo cual se obtuvo una
medida de la eficiencia del marco te´orico en relaci´on al marco
experimental.
Palabras Claves—Twisted pair, par trenzado, Unshielded twist-
ed pair (UTP), twisted wire, Bifilar.
I. INTRODUCCI ´ON
Tradicionalmrnte se considero la red telef´onica como una
red inadecuada para la transmisi´on de datos a alta velocidad.
Sin embargo, esto no es totalmente cierto, Los servicios
telef´onicos tradicionales requieren un ancho de banda de
3,1 kHz (300 Hz - 3.400 Hz) y los cables que conectan el
intercambio telef´onico de los usuarios tienen un ancho de
banda de varios cientos de kHz. Las tecnologas xDSL(Digital
Subscriber Line) han sido desarrolladas para aprovechar estas
redes y tienen en com´un que utilizan el par trenzado de
hilos de cobre convencional de las l´ıneas telef´onicas para la
transmisi´on de los datos de alta velocidad.
II. MARCO TE ´ORICO (Estado del Arte)
Uno de los m´etodos para el an´alisis y dise˜no de l´ıneas
de transmisi´on es la teor´ıa de circuitos el´ectricos; haciendo
uso de esta teor´ıa y asumiendo que una l´ınea est´a compuesta
por una serie de cuadripolos elementales, representando
cada uno de ellos un segmento infinitesimal de esta,
simplificamos el problema. As´ı Un segmento infinitesimal
de l´ınea de transmisi´on queda caracterizado, por cuatro
par´ametros distribuidos, conocidos tambi´en habitualmente
como par´ametros primarios de la l´ınea de transmisi´on. Estos
par´ametros se pueden calcular seg´un las caracter´ısticas f´ısicas
de la l´ınea y la frecuencia de operaci´on.
La inductancia distribuida debida al campo magn´etico
alrededor de los conductores, se representa como una sola
bobina en serie de valor L. El par´ametro L modela el flujo
magn´etico concatenado ψ, producido por cada unidad de
corriente I y expresa el almacenamiento de campo magn´etico
que se produce en la l´ınea.
El comportamiento capacitivo distribuido, debido al campo
el´ectrico existente en el diel´ectrico, entre los conductores de
la l´ınea, se representa por un solo condensador en paralelo
de valor C, ubicado entre el conductor de ida y el conductor
de retorno. El parmetro C modela el cociente de la carga
el´ectrica Q en cada conductor por cada unidad de diferencia
de potencial y expresa el almacenamiento de campo el´ectrico
que se produce en la l´ınea.
La resistencia y conductancia distribuida se representan por
un resistor en serie de valor R y una conductancia de valor G
en paralelo con C. Estos par´ametro modelan la disipaci´on de
potencia por p´erdidas ´ohmicas y diel´ectricas debidas a que los
medios conductores y los medios diel´ectricos no son perfectos.
La capacitancia depende de las dimensiones f´ısicas y la
geometr´ıa de la linea, mientras que la inductancia, adem´as de
esto tambi´en depende de la distribuci´on de la corriente en la
l´ınea.
Los valores de R Y G dependen de las propiedades
electromagneticas de los materiales, de su geometr´ıa y de la
distribuci´on de la densidad de corriente. De igual forma la
distribuci´on de la corriente es funci´on de la penetraci´on l a
la frecuencia de operaci´on, que si el conductor fuera plano
estaria dada por la siguiente relaci´on:
l =
2
ωµσ
(1)
ω = 2πf = frecuencia angular, µ = permeabilidad del medio,
σ = conductividad del material, f = frecuencia de trabajo

2. II-A. Ecuaci´ones Generales
Tras haber definido los par´ametros primarios que modelan
cada uno de los fen´omenos f´ısicos ocurridos en una l´ınea
de transmisi´on, se considera que dichos par´ametros est´an
distribuidos uniformemente a lo largo de la l´ınea, y que
adem´as, por la homogeneidad de la l´ınea, son constantes
para cada diferencial de longitud en la misma, es as´ı que
cualquier fracci´on de la l´ınea se puede representar por un
circuito equivalente como el de la Figura1.
De la Figura1 el voltaje y la corriente en un delta de
longitud (cuadripolo) dependen de la posici´on z y del
tiempo t, pero si remplazamos los voltajes instant´aneos por
fasores de manera que v(z,t) y i(z,t) son respectivamente
V(z)ejωt
y I(z)ejωt
concentramos el an´alisis en un instante
de tiempo especifico; esto es porque aunque las se˜ales no
sean necesariamente sinusoidales tienen una representaci´on
en Serie de Fourier y por tanto una representaci´on compleja
equivalente. Si adem´as de estas consideraciones hacemos uso
de la teor´ıa general de los circuitos se obtienen ecuaciones
generales para cualquier l´ınea de transmisi´on.[1],[2]
Iniciamos definiendo la impedancia y admitancia distribuidas
como en las ecuaciones (a) y (b) y calculamos el voltaje en
Z∆z y la corriente en Y∆z, donde z es la coordenada a lo
largo de la l´ınea, asi obtenemos las ecuaciones (c) y (d).
Z∆z = R∆z + jωL∆z (a)
Y∆z = G∆z + jωC∆z (b)
VZ∆z = I(z)(Z∆z) = V(z) − V(z + ∆z) (c)
IY∆z = V(z)(Y∆z) = I(z) − I(z + ∆z) (d)
Si dividimos las ecuaciones (c) y (d) por -∆z y hacemos ∆z
lo suficientemente peque˜na, para que sea permitido usar el
concepto de diferencial obtenemos las siguientes ecuaciones.
V(z + ∆z) − V(z)
∆z
=
dV(z)
dz
= −Z · I(z) (e)
I(z + ∆z) − I(z)
∆z
=
dI(z)
dz
= −Y · V (z) (f)
Obtenemos expresiones para los fasores de voltaje y de
corriente en el elemento diferencial en dos ecuaciones
acopladas, es decir que tanto V como I se encuentran en
ambas ecuaciones; si se procede a derivar la primera y
sustituirla en la segunda, e igualmente derivar la segunda
y sustituir en la primera se puede obtener ecuaciones
independientes para cada fasor.
d2
V (z)
dz2
= (Z · Y )V (z) = γ2
· V (z) (g)
d2
I(z)
dz2
= (Y · Z)I(z) = γ2
· V (z) (h)
Donde γ es la constante de propagaci´on y esta dada por:
γ2
= (Z · Y ) = (R + jωL)(G + jωC)
Figura 1. Par´ametros Distribuidos - Cuadripolo
Las ecuaciones diferenciales (g) y (d) de segundo grado en
forma fasorial tienen soluciones generales de la forma
V(z) = Ae−γz
+ Be+γz
(i)
I(z) = Ce−γz
+ De+γz
(j)
donde A,B,C y D son constantes que est´an relacionadas a los
par´ametros distribuidos de la l´ınea y su implementaci´on en
una aplicaci´on particular, para encontrar C y D, derivamos la
ecuaci´on (i) y reemplazamos en (j), lugo despejando el fasor
para la corriente obtenemos:
I(z) =
γ
Z
(Ae−γz
− Be+γz
) =
1
Z
Y
(Ae−γz
− Be+γz
) (k)
Donde la expresi´on en el denominador es conocida como
impedancia caracter´ıstica Zo, dada en Ω; al igual que γ esta
es constante para una l´ınea y frecuencia especificas y esta
dada por:
Zo =
Z
Y
=
R + jωL
G + jωC
Ω
Por ser la constante de propagaci´on γ una constante compleja
esta puede separarse en dos partes; una parte real α y una parte
imaginaria β, siendo la parte real la constante de atenuaci´on
y la parte imaginaria la constante de fase, que representan
respectivamente las perdidas y la rapidez del cambio de fase a
lo largo de la linea de transmisi´on cuando la onda se propaga.
γ = α + jβ [Np/m + Rad/m]
Una ultima expresi´on relaciona a β con la velocidad de
propagaci´on que es la velocidad a la cual se mueve un punto
de la onda sinusoidal a una frecuencia especifica en la l´ınea
de transmisi´on y se define as´ı;
vp =
ω
β
m/sg
La atenuaci´on, la constante de fase, la impedancia
caracter´ıstica y la velocidad de propagaci´on, son constantes a
lo largo de la l´ınea para una frecuencia especifica y dependen
de la geometr´ıa de la l´ınea es decir que se pueden calcular
partiendo de sus par´ametros distribuidos.

3. II-B. Parametros Distribuidos de la linea
Es relevante ahora en el an´alisis, obtener ecuaciones
para los p´arametros distribuidos, que dependan de las
dimensiones f´ısicas de los elementos que constituyen la l´ınea
de transmisi´on.
II-B1. Linea Bifilar: Primer modelo
Suponiendo que el espacio entre los conductores esta
ocupado por un diel´ectrico homog´eneo de permitividad
compleja ε∗
y permeabilidad µ y que adem´as los conductores
de conductividad σc paralelos entre si, portan respectivamente
cargas +Q y -Q , distribuidas de manera uniforme, Entonces
se puede anal´ıticamente obtener ecuaciones para el potencial
y el flujo tanto el´ectrico como magn´etico de esta L´ınea de
transmisi´on. La obtenci´on de dichas ecuaciones no es objeto
de este art´ıculo pero ellas se derivan de la configuraci´on
expuesta en la Figura 2.
Φe =
V o
4cosh−1
D
d
(x − a)
2
+ y2
(x + a)
2
+ y2
(2)
Ψe =
V o
2cosh−1
D
d
tan−1 y
x + a
− tan−1 y
x − a
(3)
Φm =
I
2π
tan−1 y
x + a
− tan−1 y
x − a
(4)
Ψm = −
µIo
4π
Ln
(x − a)
2
+ y2
(x + a)
2
+ y2
(5)
donde:
a = 0,5 D2 − d2
De las ecuaciones 2 a 5 y de una aproximaci´on del efecto piel
para conductores de secci´on recta, que es valida para buenos
conductores, se obtienen los par´ametros distribuidos de la l´ınea
de transmisi´on bifilar.[3]
C =
Q
V
=
π
cosh−1 (D/d)
F/m (6)
L =
µ
π
cosh−1 D
d
+
Rs
ωπd
(D/d)
(D/d)2 − 1
H/m (7)
R =
2Rs
πd
(D/d)
(D/d)2 − 1
Ω/m (8)
G =
πω
cosh−1 (D/d)
S/m (9)
Figura 2. Secci´on transversal L´ınea bifilar.
En las Ecuaciones (6) a (9) Rs es la resistencia de superficie,
debida al efecto piel en el conductor, y es el fragmento del
modelo de permitividad compleja de Debye, [4] que incluye
los efectos de la Conductividad del Aislante.
Rs =
1
σcl
=
1
σc 2/ωµσc
=
ωµ
2σc
y =
σd
ω
En las ecuaciones (parametros) de la linea se observa por
inspecci´on que la capacitancia asociada de la l´ınea es
constante para todas las frecuencias; que la conductancia
crece linealmente con la frecuencia. Adem´as con un sencillo
razonamiento tambi´en se concluye que la resistencia crece
linealmente con la ra´ız cuadrada de la frecuencia, y que la
inductancia tiene dos componentes una, (LEXT ), que depende
de la construcci´on geom´etrica de la l´ınea y es constante para
todas las frecuencias; y otra, (LINT ), debida al efecto piel
que como vimos anteriormente en la Ecuaci´on (1) depende de
la ra´ız cuadrada de la frecuencia, de tal manera que (LINT )
decrece linealmente con la ra´ız cuadrada de la frecuencia.
II-B2. Par Trenzado: Ecuaciones Helicoidales
Figura 3. Par trenzado
Desarrollando un an´alisis similar al de la l´ınea paralela e
incluyendo los efectos que tiene trenzar los alambres en los
parametros de resistencia y de inductancia, se obtienen unas
ecuaciones similares a las Ecuaciones (7) y (8).[5]
L =
µ
π
cosh−1 D
d
+
Rs
ωπd
K(D/d)
(D/d)2 − 1
H/m (10)
R =
2Rs
πd
K
2
(D/d)
(D/d)2 − 1
Ω/m (11)

4. Donde K es :
K =
2d
√
2ro
Ber(q)Ber (q) + Bei(q)Bei (q)
Ber (q)2 + Bei (q)2
(12)
Siendo q y ro son respectivamente:
q =
√
2r0
l
, ro = d/2
En la Ecuaci´on (12), Ber(q) y Bei(q) son un caso especial
de las funciones de Kelvin y Bei’(q) Ber’(q) sus primeras
derivadas, definidas de acuerdo a:
J0(ι−1/2
q) = Ber(q) + ιBei(q)
y que se calculan por su expancion en serie de potencias.
Ber(q) = 1 + Σk>1
(−1)k
(x/2)4k
(2k!)2
Bei(q) = Σk>1
(−1)k
(x/2)4k+2
((2k + 1)!)2
Un ultimo aporte a este an´alisis es la inductancia mutua
entre dos secciones no transversales del alambre debida al
trenzado del par de alambres, LCOIL, que suma su aporte a
las inductancias ya expuestas en la Ecuaci´on (7).
LCOIL =
µoD
2
Ln
8D
d
− 2
Asi el calculo de la inductancia distribuida total para el par
trenzado es:
L = LEXT + LINT + η · LCOIL H/m (13)
Donde η es el n´umero de vueltas por unidad de Longitud.
La Ecuaci´on (6) no cambia en el par trenzado, debido
a que la capacitancia depende de la permitividad del material
aislante y este se supone constante a lo largo de la l´ınea,
De manera que el modelo Helicoidal del par trenzado queda
determinado por los parametros expresados en las Ecuaciones
(6)(9)(11) y (13).
II-B3. Par Trenzado: ANSI T1E1.4
Figura 4. Par trenzado
Diferentes estudios emp´ıricos de esta l´ınea de transmisi´on
llevaron a estandarizar la forma de medir los par´ametros
de este tipo de l´ınea, con el objeto de que los modelos
desarrollados emp´ıricamente fueran causales, uno de estos
est´andares fue acreditado por el committee T1[6] y por
la American National Standards Institute, en la norma
ANSI T1E1.4: Digital subscriber loop access, desarrollada
en gran parte gracias a la contribuci´ones de los laboratorios
de la British Telecommunications (BT) y a sus modelos BT0
y BT0H.[7] Esta secci´on describe el calculo de R, L, C, G de
la l´ınea de alambres paralelos trenzados seg´un esta norma.[8]
Adicionalmente a las dimenciones antes establecidas en
la Figura 2 y siendo η el numero de vuelta por unidad de
longirud, tenemos: ´Angulo de giro de la h´elice
ϑ = tan−1
(πη/D)
Resistencia DC
roc ≈
2
πa2σc
Finalmente los parametros distribuidos son:
C = C∞
G = gof gc
R = (r4
oc + acf 2
)
1
4
L =
lo + l∞(f/fm)b
1 + (f/fm)b
Donde ac, lo, l∞ son parametros que se miden en la linea
segun la norma.
III. DESARROLLO
Se construyeron cuatro modelos para cada uno de
los dos tipos de par trenzado seleccionados, el primero
de CENTELSA una empresa que fabrica Cables de
Energ´ıa y Telecomunicaciones quien publica en su web las
carcter´ısticas f´ısicas y el´ectricas de sus productos; El segundo
fabricante HYPERLINE quienes fabrican y distribuyen una
amplia gama de productos de cableado estructurado para
telecomunicaciones y de quienes se consiguen ca´alogos y
hojas de referencia.
III-A. Los Cables
Los cables seleccionados de los fabricantes antes
mencionados son:
El JWT PVC-NY de CENTELSA en adelante JWT
El UTPXX-C3-SOLID-INDOOR de HYPERLINE en
adelante UTPc3
Los alambres conductores en ambas l´ıneas son de cobre
electrol´ıtico esta˜nado blando no apantallado, los conductores
se encuentran aislados con polietileno de alta densidad HDPE
y trenzados a pares.

5. III-B. Caracter´ısticas fisicas de los materiales
Los conductores estn enrollados en pares con un paso
mximo de trenzado 100 mm
- diametro conductor desnudo: 0.51 mm
- diametro exterior para un conductor aislado
JWT: 1.01 mm
UTPc3: 0.9 mm
III-C. Caracter´ısticas El´ectromagneticas de los materiales
Caracteristicas de los materiales (Polietileno HDPE y cobre
esta˜nado)
- La constante diel´ectrica relativa del polietileno εr es
2,32 en un rango amplio de frecuencias hasta 1 Mhz y su
rigidez dielctrica Oscila entre 17 y 24 kV/mm, tipicamente
18 kV/mm y su tangente de perdidas tangd es 2·10−4
a 1 MHz.
El cable esta hecho de cobre y para frecuencias altas la
carga se encuentra en la superficie del metal, por efecto piel,
el cobre tiene una conductividad, σc, de 5.8 ·107
.
III-D. Mediciones del fabricante
Los fabricantes proporcionan algunas medidas de los
parmetros secundarios de la lnea, aunque no suficientes
servirn para contrastar estos resultados con los que se
obtendrn de los cuatro modelos.
Datos del fabricante Hyperline Algunos datos no se
Frecuencia (Khz) α(dB/100m) β(Rad/m) Zo(Ω)
772 2.2
1000 2.6 85
4000 5.6
8000 8.5
10000 9.7 0.358
16000 13.1 115
Cuadro I
(UTPc3)
encontraron en las hojas de referencia pero se calcularon a
partir de datos contenidos en ellas.
Datos del fabricante Centelsa
Frecuencia (Khz) α(dB/100m) β(Rad/m)
772 2.07 0.364
Cuadro II
(JWT)
III-E. Construcci´on De Los Modelos
A partir de las ecuaciones de penetraci´on piel y de conduc-
tividad del cobre se obtuvo el vector de frecuencias a utilizar
para calcular los par´ametros primarios de la l´ınea, (R,G,C,L),
utilizando las ecuaciones correspondientes a cada modelo en
el apartado II-B, cuando la profundidad de piel es peque˜na
en comparaci´on con el espesor de recubrimiento de cobre, se
debe utilizar las ecuaciones Bifilar para altas frecuencias, pero
se extendi´o este modelo hasta m´as all´a de la frecuencia a la
que la penetracin es la mitad del radio para cada modelo de
cable bifilar, esto para comparar los dos modelos.
Figura 5. Resistencia Distribuida
Figura 6. Aislamiento
Las gr´aficas de R, G, C y L pertenecen al modelo bifilar
para altas frecuencias de los dos fabricantes, para el c´alculo
y visualizaci´on grafica de estos par´ammetros, y de las dem´as
caracter´ısticas de la l´ınea se construy´o un rutina de c´odigo
para MATLAB, que automatizara posteriores comprobaciones.

6. Figura 7. Capacitancia Mutua
Figura 8. Suma De Inductancias Distribuidas
Las frecuencias para una penetraci´on menor al ro/10 fueron
consideradas altas, las frecuencias para una penetraci´on igual
o mayor al radio fueron consideradas baja frecuencia, en las
frecuencias intermedias se graficaron los dos modelos.
Frecuencia (khz) l (mm) σd(S/m)
67 0.2550 0.27 ·10−9
268 0.1275 1.10 ·10−9
6716 0.0255 27.59 ·10−9
Cuadro III
PROFUNDIDAD DE PIEL (l) Y CONDUCTIVIDAD DEL DIEL ´ECTRICO (σd)
IV. VERIFICACI ´ON DE LOS MODELOS
Las siguientes graficas muestran la relaci´ones de atenuaci´on,
fase e Impedancia Caracter´ıstica con la frecuencia para cada
modelo seleccionado.
IV-A. Modelos Vs Hyperline UTPc3
Las relaciones obtenidas a partir de los modelos para este
fabricante son:
Figura 9. Frecuencias Medias
Figura 10. Frecuencias Altas
IV-B. Modelos Vs Centelsa JWT
Las relaciones obtenidas para este fabricante son:
Figura 11. Frecuencias Medias

7. Figura 12. Frecuencias Altas
V. CONCLUSIONES
Despu´es de la obtenci´on de la constante de propagaci´on
y loa par´ametros secundarios; atenuaci´on, fase e impedancia
caracter´ıstica; α β y Zo respectivamente; para cada uno de
los modelos seleccionados se obtuvieron las gr´aficas de la
secci´on anterior, de donde por simple inspecci´on se obtienen
las siguientes conclusiones:
El modelo de las ecuaciones helicoidales es m´as preciso
tanto en frecuencias medias como en frecuencias altas a los
modelos de cable bifilar, lo que era de esperarse ya que en
este se incluyen los efectos de trenzar el par de cobre sobre
la inductancia distribuida.
El modelo no causal ANSI T1el.4 es mejor a frecuencias
altas que a frecuencias bajas y hasta unos 700 Hz es el m´as
cercano al modelo bifilar de baja frecuencia obteniendo la
impedancia caracteristica.
Hasta unos 50khz el modelo bifilar de baja frecuencia
coincide con la atenuacion α del modelo experimental ANSI
T1el.4, luego de esto se aleja del resto de modelos y de las
medidas proporcionadas por el fabricante.
Aunque algunos modelos se acercan lo suficiente, los
modelos te´oricos y los datos proporcionados por los
fabricantes presentan algunas diferencias, esto debido a dos
causas principalmente; en principio el desarrollo te´orico
siempre desprecia algunas caracter´ısticas que influyen en
el comportamiento de la l´ınea, adem´as algunos datos para
la construcci´on de los modelos como la permitividad del
diel´ectrico y la tangente de p´erdidas debieron ser consultados
en bibliograf´ıas diferentes al fabricante, sin saber cu´ales
eran las caracter´ısticas exactas del polietileno usado por el
fabricante.
REFERENCIAS
[1] R. N. Vela, Lineas de Transmision (Spanish Edition). MC Graw Hill,
2000.
[2] M. N. O. SADIKU, Elementos De Electromagnetismo (Spanish Edition).
Alfaomega - Oxford, 2006.
[3] G. Garcia, Analisis fisicomatematico de redes electricas (Spanish Edi-
tion). Editorial Limusa S.A. De C.V., 1998.
[4] J. Costa, DICCIONARIO DE QUIMICA FISICA. DIAZ DE SANTOS,
2005.
[5] J. J. Yoho, Physically-Based Realizable Modeling and Network Synthesis
of Subscriber Loops Utilized in DSL Technology. PhD thesis, Virginia
Polytechnic Institute, 2001.
[6] T. Starr, M. Sorbara, J. M. Cioffi, and P. J. Silverman, DSL Advances.
Prentice Hall, 2003.
[7] F. Lindqvist, Estimation of Line Properties in the Copper Access Network.
PhD thesis, Lund University, 2009.
[8] Fundamentals of DSL Technology. Auerbach Publications, 2004.