Cálculo eléctrico de líneas de transmisión cortas

U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION
Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo
104
CAPITULO 7
CÁLCULO ELÉCTRICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
7.1. EFECTO CORONA.
Si los conductores de una línea de transmisión se someten a un voltaje creciente,
hasta que el gradiente de potencial (campo eléctrico) en la superficie del conductor
llegue a un valor mayor que la rigidez dieléctrica del aire (gradiente disruptivo del
aire), entonces se producen pérdidas de energía debido a la corriente que se forma a
través del medio, es decir se ioniza el aire que rodea al conductor. Es decir, que todo
sucede como si el aire se hiciera conductor, dando lugar a una corriente de fuga. En
los conductores aéreos, el efecto es visible en la oscuridad, pudiéndose apreciar
cómo quedan envueltos por un halo luminoso, azulado, de sección transversal
circular, es decir, en forma de corona, por lo que al fenómeno se le dio el nombre de
efecto corona.
En las líneas de transmisión, el efecto corona origina pérdidas de energía y, si
alcanza ciertos valores, puede producir corrosiones en los conductores a causa del
ácido que se forma.
Este efecto, depende de varios factores como:
El nivel de tensión
El diámetro del conductor
Temperatura del medio ambiente
Densidad relativa del aire
Humedad del aire
El efecto corona tiene las siguientes consecuencias:
1) Pérdidas de energía que se manifiestan en forma de calor
2) Oscilaciones electromagnéticas de alta frecuencia que se transmiten en toda
la línea y provocan perturbaciones en las señales de radio y televisión
La consecuencia práctica del Efecto Corona es una corriente de fuga análoga a la
debida a la conductancia del aislamiento
La tensión a la cual empiezan las pérdidas a través del aire se llama Tensión Crítica
Disruptiva y para ella el fenómeno aún no es visible. Cuando se alcanza la Tensión
Crítica Visual, los efluvios se hacen luminosos o sea:
Tensión Crítica Disruptiva < Tensión Crítica Visual

105
Las pérdidas empiezan a producirse desde el momento en que la tensión de la línea
se hace mayor que la tensión crítica disruptiva. Algunos fenómenos atmosféricos
modifican la tensión disruptiva, por ejemplo la niebla y el granizo rebajan el valor de
dicha tensión y lo mismo sucede con los humos de las fábricas. Es beneficioso que la
tensión crítica Vc sea ligeramente menor que la tensión de funcionamiento normal de
la línea, ya que en caso de sobretensiones el efecto corona hace el papel de
autoválvula de descarga
7.2. TENSIÓN CRÍTICA DISRUPTIVA.
De acuerdo a la fórmula de Peek
)
kV
(
RMG
DMG
lnnRMGmm,U tcC  121
Donde
UC = Tensión eficaz simple (fase-neutro) de la tensión crítica disruptiva (kV)
21,1 = 29,8/√2 =Valor eficaz de la rigidez dieléctrica del aire (kV/cm)
29,8 = Rigidez dieléctrica del aire a 25 ºC y 760 mm de Hg. Como se trata de
corriente alterna (sinusoidal) se divide entre √2
δ = Densidad relativa del aire =
t
b
273
9263,
b = Presión barométrica (cm de Hg);
18336
76
y
b  )log()log( 




18336
76
y
)
(
lo
g
(
logantib
y = Altura sobre el nivel del mar (m)
t = Temperatura (º C)
mC = Coeficiente de irregularidad (de rugosidad) de la superficie del conductor
Fuente: Líneas de transporte de energía- Checa
mt = Coeficiente relativo al tiempo
mt = 1 con tiempo seco
mt = 0,8 con tiempo lluvioso
n = número de conductores del haz de cada fase
r = Radio del conductor (cm)
DMG = Distancia media geométrica (cm)
RMG = Radio ficticio (cm)  n n
RrnRMG 1
 ..
mc TIPO DE CONDUCTOR
1 Hilos de superficie lisa
0,93 – 0,98 Hilos oxidados y rugosos
0,83 – 0,87 Para cables

106
Fases simples: n = 1 ; rRMG 
Fases dúplex: n = 2 ;  .rRMG
Fases tríplex: n = 3 ; 3 2
 .rRMG
Fases cuádruplex: n = 4 ; 4 3
2  ..rRMG
 = separación entre los centros de los conductores (ver inciso 6.2.4)
El coeficiente de seguridad por corona se define como la relación entre el voltaje
crítico disruptivo por el voltaje al neutro de operación e la línea:
U
UC
7.3. TENSIÓN CRÍTICA VISUAL.
RMG
DMG
nrmm
r
U sfv ln....
,
., 3 23010
1121 






Donde mf = Coeficiente que toma en cuenta la forma de la sección del cable
ms = Coeficiente que toma en cuenta el estado de la superficie
Fuente:Redes Eléctricas(T-1) - J.Viqueira
7.4. PÉRDIDAS POR EFECTO CORONA.
Las pérdidas en una línea se originan si el voltaje de servicio es superior a la tensión
crítica y aumentan rápidamente con la diferencia entre ambas.
Las pérdidas, expresadas en kW/km-fase, pueden calcularse mediante la fórmula
también debida a Peek:
mf CONDUCTOR
1 Para una superficie perfectamente circular
0,85 Para un cable con 6 hilos en la capa exterior
0,90 Para un cable con 12 a 30 hilos en la capa
exterior
ms CONDUCTOR
0,90 Para cables limpios o envejecidos
0,80 Para cables nuevos
0,70 Para cables sucios o engrasados
0,50 a 0,30 Para cables recubiertos de gotas de agua

107
Con buen tiempo:     )/(.. fasekmkWUU
DMG
r
fP CCK  
52
1025
241

Con mal tiempo:     )/(., fasekmkWUU
DMG
r
fP CCK  
52
108025
241

Donde U es la tensión simple (tensión fase-tierra) de la línea en kV
En Bolivia la frecuencia es de 50 Hz, entonces las expresiones quedan:
Con buen tiempo:   )/(
,
fasekmkWUU
DMG
r
P CCK  
218070

Con mal tiempo:   )/(,
,
fasekmkWUU
DMG
r
P CCK  
2
80
18070

Ejemplo:
Hallar la tensión crítica disruptiva, el coeficiente de seguridad por corona y las
pérdidas por efecto corona, de una línea de 95 km de longitud, voltaje de 120 kV,
frecuencia 50 Hz, situada a 2800 m.s.n.m. y temperatura media de 18 ºC. La línea es
un circuito trifásico simple con disposición coplanar horizontal. El conductor es ACSR
Nº 266.800 MCM (Partridge)
De tablas dC = 16,28 mm; r = 8,14 mm
mmmDMG 554454458844443  ,,,,
mt = 1 (tiempo seco)
mc = 0,85 (para cables)
δ= 0,721 (b=53,47 mm Hg)
Luego:
)(,
,
ln,,,, kVUC 6768
148
5544
814018507210121 
)(, kVU 2869
3
120
 Tensión de fase
Como U es mayor que UC entonces existirán pérdidas por efecto corona

108
El factor de seguridad por corona será: 9910
2869
6768
.
,
,

Las pérdidas serán:
    )/(,,,
,
,
,,
fasekmkWUU
DMG
r
P CCK  00357067682869
5544
148
7210
1807018070 22

Las pérdidas totales serán
)(,, kWlPP CKC 0119500357033 
La energía perdida durante un año será 8913 (kWh)
El voltaje crítico disruptivo con lluvia será: 68,67 x 0,80 = 54,94 (kV)
Y la pérdida de potencia será:
    )/(.,,,
,
,
,
,
,
fasekmkWUU
DMG
r
P CCK  97516768802869
5544
148
7210
18070
80
18070 22

Las pérdidas totales serán
)(,, kWlPP CKC 956295975133 
7.5. CIRCUITO EQUIVALENTE MONOFÁSICO
En un circuito eléctrico, los generadores, cualquiera sea su conexión, pueden
representarse por una conexión estrella equivalente, para lo cual se puede definir
una f.e.m. al neutro para cada fase.
Igualmente las cargas equilibradas cualquiera sea su conexión, pueden
representarse por una carga equivalente conectada en estrella. Por tanto un sistema
trifásico equilibrado puede reducirse al estudio de un sistema monofásico formado
por cualquiera de las fases y por un conductor neutro sin impedancia.
En general cada fase de una línea de transmisión comprende resistencia efectiva y
reactancia inductiva en serie y resistencia de aislamiento y reactancia capacitiva al
neutro en paralelo; estos parámetros están distribuidos a lo largo de la línea

109
En las líneas de transmisión aéreas la resistencia de aislamiento generalmente se
considera de valor infinito, por tanto no se la considera en los cálculos eléctricos
porque no tiene mayor incidencia.
7.6. CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
La importancia de la corriente capacitiva de una línea de transmisión en relación con
la corriente que toma la carga conectada, depende de la longitud de la línea y del
voltaje de transmisión.
En las líneas de no más de 80 kms de longitud y voltajes no mayores a 40 kV, la
capacitancia puede generalmente despreciarse. Estas líneas de las clasifica como
LINEAS CORTAS
En las líneas de longitud comprendida entre 80 y 250 kms y de voltajes no mayores a
220 kV aproximadamente, la capacitancia puede considerarse concentrada en uno o
dos puntos de la línea. Estas líneas se las clasifica como LINEAS MEDIAS.
En las líneas de más de 250 kms y voltajes mayores a 220 kV, es necesario
considerar las constantes distribuidas a lo largo de la línea. Estas líneas están
clasificadas como LINEAS LARGAS
Esta clasificación simplemente nos permite tener un elemento de juicio para poder
modelar a una línea de transmisión.
7.7. LINEAS DE TRANSMISIÓN CORTAS
Suponiendo una línea de transmisión trifásica simétrica en la que se desprecia la
capacitancia.

110
Cada fase puede resolverse independientemente y la simetría de la red hace que las
magnitudes de todos los voltajes y corrientes sean iguales a todas las fases. El
circuito trifásico equilibrado puede representarse mediante un circuito monofásico de
fase a neutro.
VG = Voltaje de fase en el extremo generador (al inicio de la línea)
VR = Voltaje de fase en el extremo receptor (al final de la línea)
IG = Corriente de línea en el extremo generador
IR = Corriente de línea en el extremo receptor
En este caso IG = IR
La tensión en el extremo transmisor será:
ZIVV RRG


Donde: LXjRZ 
Luego:
RLRRG IjXIRVV



111
Problema:
Una línea de 30 kms alimenta a 24.900 V a una carga balanceada de 1200 kW.
Encontrar el voltaje en el extremo emisor cuando el factor de potencia es de a) 0,8 (-)
b) 1,0 . La línea trifásica de 50 Hz de un solo circuito está formado por conductores
ACSR Nº 2/0 AWG, dispuestos en un triángulo equilátero de 1,20 m entre centros.
7.8. LINEAS DE TRANSMISIÓN MEDIAS
En los cálculos de Líneas Medias, por lo general se incluye en el análisis la
capacitancia pura al neutro.
Se tiene una buena aproximación si se representa la línea mediante un circuito
equivalente monofásico en el que la capacitancia al neutro de una fase se considera
concentrada en uno o dos puntos.
Si la capacitancia se supone concentrada en el punto medio del circuito que
representa a la línea se dice que es un circuito T nominal
Si se supone que la capacitancia está dividida en dos partes iguales en los extremos
de la línea se dice que el circuito es π nominal
IR
VR
VG
R.IR
jXL IR

112
CIRCUITO “T” NOMINAL
LCK: CRG III  pero YVI CC  ; RRC I
Z
VV
2

YI
Z
YVIYI
Z
VII RRRRRRG
22













 Y
Z
IYVI RRG
2
1
LVK:
22
Z
I
Z
IVV GRRG 
22
1
2
Z
Y
Z
IYV
Z
IVV RRRRG 












4222
2
YZ
I
Z
I
Z
YV
Z
IVV RRRRRG 















42
1
2
YZ
ZI
YZ
VV RRG
VG
R/2 + j XL/2 = Z/2
-jXC =
1/Y
IG
IC
IR
VR ZR
CIRCUITO “T” NOMINAL
R/2 + j XL/2 = Z/2

113
CIRCUITO “π” NOMINAL
LVK: ZIVV SRG  pero
2
Y
VIIII RRCRS  "
Z
Y
VIVV RRRG 






2
ZI
YZ
VV RRG 






2
1
LCK: SCG III  '
pero
2
Y
VI GC '
222
1
22
Y
VI
Y
ZI
YZ
V
Y
VI
Y
VI RRRRRRGG 



























2
1
4
2
ZY
I
ZY
YVI RRG
Donde
RR
R
V
P
I
cos3

7.9. LINEAS DE TRANSMISIÓN LARGAS
Para una mejor representación de una línea de transmisión larga, se debe considerar
la longitud incremental de la línea y tomar en cuenta el efecto exacto de la
capacitancia distribuida y su relación con la impedancia de la línea.
VG
-j2XC = 2/Y
IG
I’C
IR
VR ZR
CIRCUITO “π” NOMINAL
R + j XL = Z
I”
C
IS
-j2XC = 2/Y

114
Para mayor exactitud, se debe tomar teóricamente un número infinito de segmentos
de línea para lo cual se requiere de una solución de ecuaciones diferenciales.
Una representación infinitesimal de una sección de una línea de transmisión es:
r = Resistencia efectiva por unidad de longitud (Ω/km)
xL = Reactancia inductiva por unidad de longitud (Ω/km)
z = r + j xL = Impedancia en serie por unidad de longitud (Ω/km)
ra = Resistencia de aislamiento por unidad de longitud (Ω-km)
xC = Reactancia capacitiva por unidad de longitud (Ω-km)
zC = 1/y = Impedancia en paralelo por unidad de longitud (Ω-km)
y = Admitancia en paralelo por unidad de longitud (S/km)
dl = Longitud del tramo diferencial de línea
z dl = Impedancia en serie del tramo de línea de longitud dl (Ω)
y dl = Admitancia en paralelo del tramo de línea de longitud dl (S)
+
-
I + d I Iz dl
dI
y dl
dV
V - dV
++
V
-
-
dI
r dl j xL dl
I
V ra/dl
-j xc/dl
dV
I + dI

115
Del circuito:
)(
)(
By
dl
d
dlyd
Az
dl
d
dlzd
V
I
VI
I
V
IV


Derivando (A) y (B) respecto a l
)(
)(
Dy
dl
d
dl
d
Cz
dl
d
dl
d
VI
IV


2
2
2
2
Sustituyendo (B) en (C) y (A) en (D)
)(
)(
Fyz
dl
d
Eyz
dl
d
I
I
V
V


2
2
2
2
Ec. Diferenciales lineales homogéneas
De la ecuación (E) se nota que la derivada segunda de la función V es igual a la
misma función multiplicada por una constante (zy), y la función que tiene esa
propiedad es la exponencial
ml
ekV donde k y m son constantes
Entonces
V
V
V
V
22
2
2
memk
dl
d
memk
dl
d
ml
ml


Sustituyendo en (E)
yzm VV 2
de donde yzm 
Entonces
)
G
(
ekek
lzylzy 
 21V
Según las relaciones de Euler
xsenh
ee
x
ee
xx
xx






2
2
cosh

116
Sumando xsenhxex
 cosh
Restando xsenhxe x

cosh
Sustituyendo en la ecuación (G)
   lzysenhlzyklzysenhlzyk  coshcosh 21V
Ordenando y factorizando
)()(cosh)( Hlzysenhkklzykk 2121 V
Derivando respecto a l
lzyzykklzysenhzykk
dl
d
cosh)()( 2121 
V
Pero de (A)
z
dl
d
I
V
 por tanto
dl
d
z
V
I
1

    lzyzykklzysenhzykk
z
cosh2121
1
I
    )(cosh Jlzy
z
y
kklzysenh
z
y
kk 





 2121I
Las constantes k1 y k2 se pueden obtener con las siguientes condiciones:
Si l = 0 entonces I = IR y senh(0) = 0
V = VR cosh(0) = 1
Sustituyendo en (H) y (J)
21 kkR V
z
y
kkR )( 21 I es decir
y
z
kk RI )( 21
Sustituyendo a su vez en las ecuaciones (H) y (J)

117
lzylzysenh
z
y
lzysenh
y
z
lzy
RR
RR
cosh
cosh
IVI
IVV


(M)
Estas ecuaciones nos permiten obtener el voltaje y la corriente en un punto
cualquiera de la línea a una distancia l del extremo receptor.
Si l = L = Longitud total de la línea
V = VG
I = IG
Además Z = z L = Impedancia total de la línea en serie
Y = y L = Admitancia total de la línea en paralelo
YZLyLzLyzLyz .......  2
Y
Z
Ly
Lz
y
z

.
.
El término ZY se llama Constante de Propagación (es adimensional y en
general un número complejo)
 j
α = Constante de atenuación
β = Constante de fase
α afecta únicamente a la magnitud del voltaje y de la corriente
β produce una variación del ángulo de fase
Por otro lado el término CZ
Y
Z
 se llama Impedancia Característica o Natural
de la línea. La Impedancia característica es la relación entre el voltaje y corriente en

118
todos los puntos de una línea de longitud infinita, relación que tiene un valor
constante a lo largo de la transmisión. Cuando una línea trabaja sobre su impedancia
característica, la relación entre el voltaje y la corriente es constante e igual a ZC en
todos los puntos de aquella. En una línea aérea la impedancia característica toma
valores alrededor de 400 Ω, y en una línea subterránea es una décima parte.
Si se desprecia la resistencia en serie de la línea (lo que es cierto para líneas de alto
voltaje) y se considera infinita la resistencia de aislamiento
Cf
LfXXj
jX
jX
Y
Z
Z CL
C
L
C
..
...


2
1
2
1
2



C
L
ZC 
Se llama Potencia Característica o natural de una línea PC, a la potencia que
corresponde a la impedancia característica
)(MW
Z
U
P
C
C
2

donde U es la tensión de servicio en el extremo receptor y medido en kV. Una línea
que transmita su potencia natural, supone las condiciones óptimas de trabajo en el
transporte; la línea trabajará con factor de potencia constante en todos sus puntos.
Las potencias características aproximadas para distintos voltajes serían (tomando ZC
= 400 Ω)
* Tensiones que no existen en Bolivia
VOLTAJE DE
SERVICIO
(kV)
POTENCIA
CARACTERÍSTICA
PC (MW)
6,9
10
24,9
34,5
44
69
115
230
380
400
500
0,12
0,25
1,55
2,97
4,84
11,90
33,06
132,25
361,00 *
400,00 *
625,00 *

119
Las ecuaciones (M) pueden entonces escribirse
ZYZYsenh
Z
Y
ZYsenh
Y
Z
ZY
RRG
RRG
cosh
cosh
IVI
IVV


(N)
Si se utiliza las relaciones de series de funciones hiperbólicas (fórmula de Mac-
Laurin).
.......
!!!
)(
.......
!!!
)cosh(


753
642
1
753
642
xxx
xxsenh
xxx
x
Estas series son rápidamente convergentes, por tanto se pueden tomar solo algunos
términos, que según la longitud de la línea pueden ser:
LONGITUD DE LA
LINEA (km)
TERMINOS DE LA SERIE
Hasta 60
Hasta 150
Hasta 400
Basta con el primero
Basta con los dos primeros
Basta con los tres primeros
Si se toman dos términos, se tendría:
2
1
ZY
ZY cosh
  















6
1
3
3
ZY
Z
ZY
ZY
Y
Z
ZYsenh
Y
Z
!
  















6
1
3
3
ZY
Y
ZY
ZY
Z
Y
ZYsenh
Z
Y
!
Sustituyendo en las ecuaciones (N)


























2
1
6
1
6
1
2
1
ZYZY
Y
ZY
Z
ZY
RRG
RRG
IVI
IVV
(P)
Estas dos ecuaciones son muy parecidas a las que corresponden a los modelos “π” y
“T”, que corresponden a una línea Media, y pueden ser utilizadas para líneas no muy
largas

120
Si el valor real de ZY (constante de propagación) es:
Valor Real de
constante de
propagación
Términos
a
considerar
ZYsenh ZYcosh
Tipo
de
línea
Menor a 0,1 1 ZY 1 Corta
Entre 0,1 y 0,5 2
 
6
3
ZY
ZY  2
1
ZY

Media
Mayor a 0,5 3
   
1206
53
ZYZY
ZY 
 
242
1
2
ZYZY

Larga
Un resumen de las expresiones que corresponden a los parámetros de un cuadripolo
en los distintos modelos es:
RRG
RRG
DICVI
BIAVV


LINEA
PARAMETRO
CORTA MEDIA LARGA
T PI
A 1
2
1
ZY

2
1
ZY

2
1
ZY

B Z







4
1
ZY
Z Z







6
1
ZY
Z
C 0 Y 






4
1
ZY
Y 






6
1
ZY
Y
D 1
2
1
ZY

2
1
ZY

2
1
ZY


121
Ejercicio
Una línea de transmisión de 230 kV de un circuito trifásico de un circuito de 380 km
de longitud y frecuencia de 50 Hz. Si la línea tiene los siguientes parámetros
eléctricos
Resistencia efectiva por fase a 50 ºC ...................... r = 0,0435 Ω/km
Reactancia inductiva por fase ................................. xL = 0,435 Ω/km
Reactancia capacitiva por fase …………………… xC = 0,268 MΩ-km
Determinar la constante de propagación, la impedancia y potencia característica, y
las ecuaciones de la línea.
Solución:
)(,.,.  531638004350LrR
)(,.,.  31653804350LxX LL
)(,
,


 26705
380
102680 6
L
x
X C
C
)(º,,,,  3841216631655316 jjXR LZ
)(º,
,
Sjj
X
j
C
901014180014180
26705
11 6
 
Y
48470024130
1587485303174235509010141838412166 6
,,
º,,º,,ºº,,
j
x

 

 ZY
)(º,,
º
º,,



 
75227342
90101418
58412166
6
Y
Z
ZC
)(,
,
MW
U
P
C
56154
27342
23022

Z
Consideramos las ecuaciones (P), en las cuales hallamos sus coeficientes


























2
1
6
1
6
1
2
1
ZYZY
Y
ZY
Z
ZY
RRG
RRG
IVI
IVV
7.10. CAIDA DE VOLTAJE Y REGULACIÓN
Si VG = Voltaje de fase en el extremo transmisor (generador)
VR =Voltaje de fase en el extremo receptor (carga)
VR0 =Voltaje de fase en el extremo receptor en vacío (sin carga)

122
 
V
VV
V
G
RG
(%)% 100

 Caída de voltaje
Cabe aclarar que la caída de voltaje se determina por la diferencia de los módulos de
los voltajes de generación y recepción.
 
V
VV
g
R
RRO
(%)%Re 100

 Regulación
VRO = Voltaje al final de la línea en vacío
En una línea corta, no existe el efecto capacitivo entonces VRO = VG
 
V
VV
g
R
RG
(%)%Re 100


VG
I=0
VR0
VG
I
VR

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