Este documento presenta conceptos básicos sobre radicales, incluyendo su notación, definición, simplificación, y operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo simplificar radicales al factorizar el radicando para extraer raíces exactas, y cómo efectuar operaciones con radicales semejantes.
Este documento trata sobre sumatoria y productoria. Explica que la sumatoria y la productoria son símbolos abreviados que representan la suma o producto de una serie de términos que siguen una ley general de formación. Define formalmente los símbolos sumatoria y productoria e incluye ejemplos para ilustrar su uso. También presenta propiedades de la sumatoria y explica cómo calcular sumatorias mediante el uso de estas propiedades.
El documento explica los conceptos básicos de fracciones comunes y operadores fraccionarios. Introduce las fracciones como partes de una unidad dividida en partes iguales, donde el numerador indica cuántas partes se toman y el denominador indica en cuántas partes se dividió la unidad. Explica que un operador fraccionario representa aplicar dos operadores como multiplicar por a y dividir por b, o viceversa. Presenta ejemplos de aplicar estos operadores a conjuntos de objetos para obtener conjuntos de resultados.
El documento describe el sistema de números reales, incluyendo los axiomas de adición, multiplicación, igualdad y orden que satisfacen. Define conceptos como la sustracción y división utilizando la adición y multiplicación inversa. Explica intervalos como conjuntos de números reales y operaciones entre ellos. Finalmente, introduce ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, mostrando métodos para resolverlas.
El documento describe el sistema de los números reales, incluyendo los axiomas de adición, multiplicación, igualdad y orden que satisfacen. También define operaciones como sustracción y división utilizando los inversos aditivo y multiplicativo. Finalmente, presenta teoremas sobre adición, multiplicación y demostraciones de algunos de estos teoremas.
Este documento presenta los conceptos básicos de los números complejos. Define un número complejo como una suma de una parte real y una parte imaginaria. Introduce las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números complejos. Explica cómo simplificar potencias de i y calcular conjugados de números complejos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre exponentes y radicales. Introduce las definiciones de potencia de un número, propiedades de la potenciación, y cómo calcular exponentes enteros y racionales. También explica las definiciones de raíz cuadrada, cúbica y enésima de un número, y las propiedades de los radicales como raíz de un producto o cociente. Finaliza con ejercicios de aplicación de estas nociones.
Este documento presenta los temas centrales de matemáticas para 3o de la ESO, incluyendo números reales, raíces y potencias, y operaciones con radicales. Explica conceptos como clasificación de números reales, aproximación decimal, notación científica, propiedades de raíces y potencias, y cómo sumar, multiplicar, dividir y tomar raíces de radicales.
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Este documento ofrece instrucciones sobre cómo realizar operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica que para sumar o restar, se agrupan términos semejantes, mientras que para multiplicar y dividir se aplican las propiedades de los exponentes y la distribución. También incluye ejemplos para ilustrar cada operación.
El documento presenta un resumen de los números reales, incluyendo conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades de cierre, conmutatividad, asociatividad, elementos neutros y operaciones básicas sobre los números reales. También cubre intervalos, ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones de segundo grado.
Este documento introduce conceptos clave sobre exponentes y radicales. Explica que una expresión algebraica está formada por constantes, variables y operaciones. Define exponentes, raíces y radicales, y establece propiedades como las leyes de los exponentes. También cubre la racionalización de expresiones que involucran radicales en el denominador.
Este documento presenta varios ejercicios sobre potencias y raíces. Incluye expresar potencias negativas como positivas y viceversa, expresar potencias como potencias únicas, escribir números en notación científica, calcular raíces cuadradas y cúbicas, y expresar potencias y raíces de diferentes formas. El documento proporciona instrucciones detalladas y ejemplos para cada tipo de ejercicio.
Este documento presenta 8 ejercicios de un simulacro de integradora para el segundo año de la carrera. Los ejercicios incluyen completar tablas, resolver ecuaciones con notación científica y con módulo, analizar secuencias numéricas, y factorizar expresiones racionales. El objetivo es preparar a los estudiantes para un examen integral evaluando diferentes temas vistos a lo largo del año.
Este documento presenta el trabajo final de álgebra de un estudiante. Incluye desarrollos sobre división, productos notables, multiplicación y resta algebraica, así como ejemplos resueltos de cada operación. El objetivo general era repasar conceptos de álgebra para aprobar el semestre y tener acceso a un examen extraordinario.
Este documento presenta las raíces aritméticas, incluyendo su definición, reducción de expresiones con raíces de distinto índice, propiedades básicas de las raíces y ejercicios de aplicación. Se define la raíz aritmética, se explica cómo reducir expresiones con raíces y se describen propiedades como que la radicación es distributiva sobre la multiplicación pero no sobre la adición o sustracción. El documento concluye con ejercicios para aplicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta técnicas para factorizar expresiones algebraicas. Introduce la notación matemática básica y describe cómo identificar un factor común en una expresión para factorizarla, utilizando la propiedad distributiva. Proporciona ejemplos detallados de cómo factorizar expresiones algebraicas con un factor común.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento presenta las respuestas a un examen de álgebra. Incluye definiciones y ejemplos de conceptos como la multiplicación, división y productos notables. También presenta ejercicios resueltos sobre estas operaciones algebraicas.
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1. El documento habla sobre las propiedades de las raíces. Explica que las raíces son la operación inversa a las potencias y presenta varias propiedades como que la raíz n-ésima de a elevado a m es n√am.
2. También cubre cómo reducir raíces semejantes, que son aquellas que tienen el mismo índice y cantidad subradical, mediante la suma o resta de los coeficientes.
3. Finalmente, extiende estas propiedades a expresiones algebraicas y cómo operar con raíces de
1. El documento habla sobre las propiedades de las raíces. Explica que la radiciación es la operación inversa a la potenciación y presenta algunas propiedades importantes como que raíz(a) × raíz(b) = raíz(ab).
2. También cubre cómo reducir raíces semejantes, que son aquellas que tienen el mismo índice y cantidad subradical. Se pueden reducir sumando o restando los coeficientes.
3. Explica cómo aplicar estas propiedades a expresiones algebraicas, como
El documento define conceptos básicos de operaciones matemáticas como operador matemático, regla de definición y representación de operaciones. Luego explica propiedades clave de operaciones como clausura, conmutatividad, elemento neutro e inverso, ilustrando con ejemplos y tablas. Finalmente propone ejercicios para practicar estos conceptos.
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El documento explica conceptos básicos sobre el trabajo con variables en matemáticas. Indica que las variables pueden representar diferentes objetos y que aplicar operaciones con ellas es fundamental en matemáticas. Además, muestra ejemplos de cómo traducir enunciados del lenguaje común a expresiones algebraicas usando variables, y viceversa.
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Este documento presenta diferentes técnicas para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar un factor común, factorizar un binomio como factor común, factorización completa, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y factorización de trinomios. Contiene ejemplos detallados de cada técnica y ejercicios resueltos para practicar la factorización de expresiones algebraicas.
Este documento describe el método de Karnaugh, un método gráfico para simplificar funciones lógicas. Explica cómo construir tablas de Karnaugh y formar grupos de unos para eliminar variables y obtener expresiones lógicas mínimas. También incluye ejemplos de aplicación del método para diseñar un circuito que realice la división entera entre 3 de números BCD.
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Similar a subtema_1_radicales_y_sus_operaciones.ppt (20)
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
2. Objetivos:
Simplificar radicales
Efectuar operaciones de suma, resta,
multiplicación y división con radicales
Racionalizar parte de una fracción
3. Notación
a
La raíz cuadrada de un número a, se representa por
En general, la raíz enésima de a se representa por:
n
a
El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el caso
de n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.
4. La parte dentro del radical se conoce como radicando.
El símbolo se conoce como radical.
El número pequeño fuera del radical, se conoce
como índice.
5. Definición
b
a
La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número
no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a.
si y solo si b2 = a
Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, es
inversa a la operación obtener la raíz cuadrada.
Ejemplos:
64
8
8
64
9
3
3
9
2
2
porque
porque
6. b
a
n
En general, la operación radicación es inversa a la operación
exponenciación. Decimos que:
Si y solo si bn = a & a y b tienen el mismo signo.
Se debe notar que
no es un número real porque no existe ningún número tal que
al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que
9
existe en los reales si a > 0.
Lo mismo sucede con todas las raíces de índice par.
a
9. Propiedad #1:
Si
Demostración:
R
a
n
y R
b
n
entonces,
n
n
n
b
a
b
a
u
a
n
Si entonces, un = a
Si entonces, vn = b
v
b
n
Esto implica que:
ab = un vn = (uv)n :aplicando las leyes de exponentes
Por lo tanto, n
b
a = uv = n
a n
b
10. Propiedad #2:
Si R
a
n
R
b
n
y n
n
n
b
a
b
a
entonces,
Demostración:
u
a
n
Si entonces, un = a
Si entonces, vn = b
v
b
n
Esto implica que:
n
n
n
v
u
v
u
b
a
:aplicando las leyes de exponentes
Por lo tanto, n
n
n
b
a
v
u
b
a
13. Sumas o restas en el radicando
Cuando tenemos una suma o una resta en un radicando,
hay primero que efectuar la operación de suma o resta,
para luego llevar a cabo la radicación.
b
a
b
a
Esto es así porque:
Bastaría un contraejemplo para demostrarlo:
4
2
2
4
4
4
4
8
14. Sabemos que 4
8
por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,
b
a
b
a
Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.
15. Radicales semejantes
Decimos que dos radicales son semejantes si tienen
el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
Los siguientes pares de radicales son semejantes.
4
4
3
3
2
2
5
3
4
3
2
5
8
5
3
y
y
y
16. Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es,
se pueden sumar o restar. Veamos como:
n
n
n
n
a
q
p
q
p
a
a
q
a
p )
(
)
(
Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando
el término común de ambos términos. Finalmente, p y q
se suman, (o se restan si fuese el caso).
20. Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un
radicando como el producto de otros números
de manera que alguno de los factores sea una
raíz exacta y por ende pueda salir del radical,
esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el
siguiente ejemplo:
3
10
3
100
3
100
300
21. Como sabemos que 100 es un cuadrado
perfecto, y 100 es un factor de 300,
rescribimos 300 como 3 × 100 para poder
extraer el 100 de la raíz cuadrada.
Se puede notar, sin embargo que 300 es
también 4 × 75, de modo que:
75
2
75
4
75
4
300
Explicación:
22. Aunque esto también es correcto, no está
completamente simplificado porque 75 todavía
tiene un factor que es un cuadrado perfecto: 25.
75
2
75
4
75
4
300
Ciertamente, este resultó más largo, pues no
hallamos desde el principio el factor de 300
mayor que fuese un cuadrado perfecto.
3
10
3
)
5
(
2
3
25
2
3
25
2
23. Para simplificar un radical, debemos factorizar el
radicando de manera que alguno de los factores
sea una raíz perfecta.
Ejemplos:
a)
b)
3
16 =
3
2
8 3
3
2
8
= 3
2
2
=
720
)
10
(
72
)
10
)(
2
(
36
)
20
(
36
)
5
)(
4
(
36
5
4
36
5
)
2
(
6 5
12
En este último caso, note cómo hicimos la
descomposición por pasos hasta encontrar todos
los cuadrados perfectos que son factores de 720.
24. Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro
orden pero siempre vamos a encontrar los
mismos cuadrados perfectos.
Probablemente conviene repasar los cuadrados
y cubos perfectos.
27. Suma y resta de radicales
Como vimos anteriormente, la suma o la resta
de radicales consiste en sumar (o restar) los
radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay
que simplificar los mismos completamente.
Veamos algunos ejemplos:
32. Multiplicación de radicales
Anteriormente vimos, con la propiedad #1 que:
n
n
n
b
a
b
a
Por lo tanto, podemos decir que cuando
multiplicamos radicales con el mismo índice, el
producto será un radical con el mismo índice y
el producto de los radicandos.
33. Ejemplos
a)
b)
c)
6
5
3
2
6
3
5
2
18
10
2
9
10
2
9
10
2
3
10 2
30
3
3
25
3
5
2
3
3
25
5
3
2
3
125
6
5
6 30
6
15
5
6
15
5
2
3
3
5
5
2
9
25
2
9
25
2
3
5 2
15
Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de
esta manera, radicales con el mismo índice. Más adelante,
en otra sección se verá el procedimiento para multiplicar
radicales con distinto índice.
35. División de radicales
De la misma forma, la propiedad #2
nos indica que:
n
n
n
b
a
b
a
Esto en palabras diría que, si tenemos dos
radicales con el mismo índice y se están
dividiendo, el resultado será un radical con el
mismo índice y con la división de los radicandos.
36. Ejemplos
De la misma forma, tenemos que hacer énfasis
en que esto aplica sólo a radicales con el mismo
índice.
a)
b)
c)
3
48
3
48
16 4
5
15
2
5
15
2 3
2
12
21
4
3
7
3
4
3
7
3
4
7
2
7
38. Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se
combinan las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división de radicales.
Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:
)
2
2
3
3
)(
3
5
2
3
(
En este caso, utilizamos la propiedad distributiva,
al igual que la usamos si tuviésemos la
multiplicación de dos binomios.
41. Racionalización
La fracción 2
3
representa un número irracional
pues no se puede escribir de forma
equivalente como una división de dos números
enteros. Aunque el numerador es racional, el
denominador es irracional. En ocasiones se
necesita que el denominador de una fracción
sea racional. Podemos cambiar la fracción a
una equivalente con el denominador racional.
42. Esto podemos hacerlo usando el principio visto
anteriormente, en donde
k
b
k
a
b
a
En otras palabras, podemos multiplicar
numerador y denominador por un mismo
número (distinto de cero) y la fracción que se
obtiene es equivalente.
43. En este caso, tenemos que buscar por cual
número multiplicar el denominador, 2
para que se vuelva entero.
Si multiplicamos
2
3
2
2
2
3
4
2
3
2
2
3
queda racionalizado el denominador.
44. Hay que tener claro, que la fracción seguiría
siendo irracional. Antes, había radical en el
denominador, y ahora está en el numerador.
A este proceso se le llama racionalizar el
denominador.
La razón por la que escogimos multiplicar al
numerador y denominador por 2
es porque así sabemos que el denominador
sería 2
4 que es un número racional
porque es entero.
45. Ejemplos
Racionalice el denominador de las siguientes
fracciones:
a)
8
5
2
8
2
5
16
2
5
4
2
5
En este caso pudimos haber multiplicado por
y también lo lográbamos pero luego tendríamos que
simplificar.
Verifíquelo usted mismo.
8
46. b)
c)
5
3
5
5
5
3
25
5
3
5
5
3
En el siguiente ejemplo veremos una fracción
con raíz cúbica.
3
3
2
3
3
3
9
3
9
2
3
3
27
9
2
3
9
2 3
En este caso, no podemos juntar los dos
radicales del numerador en una sola fracción
porque tienen diferente índice.