Numeros fraccionarios

Numeros fraccionarios Objetivos: Reconocer el efecto de algunos operadores de la ~ 1 a lorma a x, 7) x. Reconocer que el resultado de aplicar un operador de la forma 1;- x, a un numero natural, s610 en algunos casos es un numero natural. Identificar correctamente las operaciones de adici6n, sustracción, multiplicación y división de fracciones en eI conjunto de los numeros naturales. 66675407860500 Las matemáticas en Egipto permanecieron fieles a su tradición du rante todo el periodo que abarca la civilizacion egipcia. En todo momento, el conjunto de procedimientos utilizado por los egipcios se concibe, en esencia, de tal manera que se respeten sus dos principios operacionales: el principio inherente a su capacidad de multiplicar y dividir por 2, y el inherente a suo capacidad de calcular los + de cualquier numero, entero 0 fraccionario. A demás, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel superior permite comprender mejor el arte del calculo matemático .. La construcción de la tabla de las fracciones ~ donde n'= 3 ... 101, con n, impar, supo~ un trabajo considerable si se tiene en cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla son, generalmente, las mas sencillas que se pueden obtener. 7.1 OPERADORES Anterionnente vimos el concepto de operaci6n, y dedamos que en toda operaci6n intervienen tres elementos bcisicos: EI operador, los objetos a operar y los resultados obtenidos. Ejemplo 1 AI aplicar el operador quot;
adicionar 5 unidadesquot;
al conjunto A = {I, 2, 3, 4}, obtenemos un conjunto de resultados R = {6, 7,8, 9}; graficamente es: A ~ R 5+ Tambien podemos representar este mismo diagram a asf: La flecha indica que a cada e1emento de A, debemos adicionarle 5 unidades para obtener los elementos del conjunto R. Ejemplo2 Podemos aplicar el operador quot;
multiplicar por 3quot;
al conjunto B = {O, 2, 4, 6} Y obtenemos: Hemos multiplicado cada uno de los elementos del con junto B, para obtener un nuevo conjunto de resultados cuyos elementos son R = {O, 6, 12, 18}. Ejemplo3 Apliquemos ahora el operador quot;
dividir por 4quot;
a1 conjunto A ;;;; {4, 8, 12, 16} y hallemos el conjunto R. Soluci6n Debemos dividir por 4 cada uno de los elementos del conjunto A, para obtener el conjunto R, entonces, R = {I, 2, 3,4 }, que representado gr:ificamente es: I .. Ejercicio 7.2 1. Aplica el operador indicado en cada caso y obtiene el conjunto de los resultados. a) quot;
, al conjunto M = {p, 1, 2, 3} b) quot;
, al conjunto N = {l, 3, 5, 7, 9} c) !'multiplicar por 2quot;
, al conjunto 0 = {S, 10, lS} d) quot;
dividir por 1quot;
, al conjunto p = {1, 4, 7, 10} e) quot;
dividir por 2quot;
, al conjunto X = {4, 6, 8, 10, 12} f) quot;
dividir por 5quot;
, al conjunto Y = {S, 10, 15, 20, 2S} Dado el conjunto A de los objetos y el conjunto R de los resultados, identifica en el operador correspondiente: A = {6, 9, 12, 15} R == {2, 3, 4, 5} 3. Completa el siguiente diagrama: A ---~>~R D Ejemplo 3 Apliquemos ahora el operador quot;
dividir por 4quot;
al conjunto A = {4, 8, 12, 16} Y hallemos el conjunto R. Soluci6n Debemos dividir por 4 cada uno de los elementos del conjunto A. para obtener el conjunto R, entonces, R::; {I, 2, 3, 4} , que representado graficamente es: A + 4 >- R I. Ejercicio 7.2 1. Apliea el operadar indieado en eada easo y obtiene el eonjunto de los resultados. a) quot;
multiplicar por 1/1, al conjunto M {a, 1, 2, 3} b) quot;
multipliear por 4quot;
, al eonjunto N = {1, 3, 5, 7, 9} c) quot;
, al eonjunto 0 quot;
quot;
{s, la, 15} d) quot;
dividir par 1 quot;
, al conjunto p ::; {1, 4, 7, 10} e) quot;
dividir por 2quot;
, al eonjunto X = {4, 6, 8, 10, 12} 0 quot;
dividir por 5quot;
, al eonjunto Y quot;
quot;
{s, la, 15, 20, 25} Dado el eonjunto A de los objetos y el conjunto R de los resultados, identifiea en el operador eorrespondiente: A = {6, 9, 12, 15} R = {2, 3, 4, 5} 3. Completa el siguiente diagrama: A ----:>~ R D Halla el operador correspondiente. A = {4, 8, 10, 12} R = {8, 16, 20, 24} A = {6, 12, 18, 24} R = {2, 4, 6, 8} 4370705182880000 -201295879030500 d) ! • , ~ Diego tiene 20 bolitas y desea repartirlas en grupos de 5 bolitas. lQue operador utilizara? Jorge tiene $45 y los reparte entre sus hermanos de tal manera que a cada uno Ie correspondi6 $15 . iQue operador utiliz6 para hacer dicho reparto? Operador de la forma Cl . b Observa que en los ejemplos y ejercicios anteriores hemos aplicado un solo operador al conjunto de objetos, pero, i,que sucede si aplicamos mas de un operador al mismo tiempo? Ejemplo 1 Sea el conjunto A = {4, 8}, apliquemos a dicho conjunto, los operadores quot;
y quot;
dividir por 4quot;
. Solucion Podemos operar cada elemento del conjunto A, dos veces asf: a) 8 t resultado fmal Nota que al elemento 4 Ie hemos aplicado el operador quot;
y, Iuego, al resultado parcial obtenido Ie aplicamos el operador quot;
dividir por 4quot;
. b) Ejemp/02 Veamos qu~ ocurre si invertimos el orden de los operadores, al mismo conjunto A=.{4,8}. Ai invertir el orden de los operadores aplicados a los elementos del conjunto A. observamos que el resultado no cambia, es decir, en ambas situaciones, el conjunto de los resultados es R = {3, 6}. '. a) ~. . . quot;
 •• b) quot;
'!II X3;> +4» ~ objeto operadores +4;> x3» ~ objeto operadores +4;> x3» ~ objeto operadores resultado fmal resultado fmal Cuando a un elemento 0 conjunto de elementos se ap/iquen dos operadores (multiplicaci6n y divisi6n), el orden de ellos se puede cambiar sin que el resultado varfe. Ejercicio 7.3 Apliea los operadores quot;
Y quot;
dividir por 2quot;
, al eonjunto: A = {2, 4, 6, 8, 1 O}, Halla el eonjunto de los resultados. Apliea los operadores quot;
dividir por 5quot;
y quot;
, al conjunto: A = {5, 10, 15, 2q}. Halla el eonjunto de los resultados. Apliea los operadores quot;
y quot;
dividir por 2quot;
, al conjunto: A = {2, 4, 6, 8, 1O}. Halla el conjunto de los resultados, Aplica los operadores quot;
dividir por 3quot;
y quot;
al eonjunto: A = {3, 6, 9, 12}. Halla el eonjunto de los resultados. OPERADOR FRACCIONARIO Para simplificar este tipo de operaciones, es decir, cuando haya que aplicar dos operadores (uno de multiplicaci6n y otro de divisi6n) a un con junto detenninado, hay que multiplicar por a y dividir por b, 0 viceversa. Podemos combinarlos en uno solo de la forma: multiplicar por : . Todo operador de fa forma quot;
multiplicar poriill,(xt), toma ef nombre de operador fraccionario. b Debemos tener en cuenta que a y b son numeros diferentes de cero. 4772660264541000 Ejemplol AI conjuntoA = {3, 6, 9, 12, 15}. aplicar el opera<tor quot;
multiplicar por f quot;
. Solucion Sabemos que todo operador de la forma (xt) , indica que a los elementos del con junto de objetos se les debe multiplicar por a y dividir por b; 0 viceversa; en nuestro caso es multiplicar por 2 y dividir por 3, para encontrar el con junto de resultados; veamos: 4309745493776000 AI con junto A = {I, 2, 3, 4}, aplicar el operador multiplicar por 2 y dividir por 5. Solucion A x~ 5 ~ R 1 X2> 2 +5> .2. 5 x 2 + 5 .1 2 >4 >5 x 2 + 5 .Q. 3 >6 >5 x 2 + 5 .8. 4 > 8 >5 3 x2> 6 +3> 2 6 X2> 12 +3> 4 9 x2> 18 +3> 6 12 X2> 24· + 3 > 8 15 x 2> 30t + 3 > 10 Ejemplo2 3 FRACCIONES COMUNES Observa el siguiente ejemplo: Digamos que el rectrulgulo que tenemos a la izquierda es la unidad, es decir, 1 rect:mgulo. 1 Hemos dividido el rectangulo en 2 partes iguales, y decimos que la parte sombreada es la mitad del rect:mgulo, 0 sea 1. del rectmtgulo. 2 1 1 2 2 --- I' I·quot;
I ) I --------' J 1 1 1. 1. 1. 5 5 5 5 5 1 1. 1. 1. 5 5 5 5 Ahora hemos dividido el rectangulo en 5 . partes iguales, y una de elias, es decir, la parte sombreada equivale a la quinta parte del rectangulo, 0 sea 1. del rectangulo. 5 En el mismo rectangulo observamos que ahora la parte sombre ada son ~. 5 Todas las partes que hemos denotado por !, 1.,2., etc.,toman el nombre de fracciones co- . I ' quot;
, 2,55 munes 0 sunp emente, numeros IraCClonarlOS. quot;
, En una fracci6n, es decir, una expresi6n de la forma f ,se distinguen dos elementos Msicos que son: EI denominador, en este caso b, que nos indica en cuantas partes se ha dividido la unidad. EI numerador, 0 sea a, que nos indica cuantas partes de esa unidad hemos tornado. 5291455610489000 Si a y b pertenecen a los numeras naturales y b es diferente de cera (0), se dice que: g es una fracci6n. Veamos c6mo se leen algunas fracciones: a) 1 se lee w()cuarto. e) 1 se lee cinco octavos. 4 8 b) 1 se lee tres quintos. 1) 1 se lee siete novenos. 5 9 c) i se lee cinco veintiunavos. g) 2- se lee tres treinta y cincoavos. 21 35 d) 1 se lee cinco s~ptimos. h) 1 se lee dos octavos. 7 8 150 Ejercicio 7.4 I ............ ' •.•.•..••••........ :.:.: ... ;.;.;.:.;.,;.!.:.;.: •••.•...... 1. Escribe el nombre de los siguientes numeros fraccionarios: a) 2... e) ~ i) ..£ m) 1 13 23 15 7 b) I3.. f) -L j) _1 n) -L 41 12 40 23 c) -~ g) JL k) _1_ 0) JL 17 29 100 25 d) JL h) II I) -.9.... p) _7_ 15 31 99 1.000 En eada una de las siguientes figuras geometricas, nombra la fraeci6n que indica la parte sombreada. a) b) 3. En los siguientes dibujos representa el fraecionario dado: b) e) II 16 ~ 32 Sea el eonjunto A = {5, 10, 15, 20}, apliea el operador(x f). Determina el eonjunto de resultados y representa dieha operaei6n en un diagrama. AI eonjunto A = {4, 8, 12, 16}, apliea el operador (x i). Determina el eonjunto de resultados y representa la operaci6n en un diagrama. Apliea el operador(x })al eonjunto: B = {2, 4, 6, 8}. Halla el conjunto de resultados. 4 FRACCIONES EaUIVALENTES Observemos detenidamente los siguientes dibujos: I I ~ 1 4 I I, A. 16 Consideremos que el rectmlgulo unidad, 10 hemos dividido en 4 partes iguales, de tal manera que la parte som· breada corresponde a 1. del rectmgulo. 4 En este caso el rectangulo unidad se ha dividido en 8 parteigua1es; cada parte equivale a 1 del rectangulo, pero 1 8 parte sombreada es igual a la del primer rectangulo. Por Ultimo, el rectmgulo unidad se ha subdividido en 16 partes iguales, de tal manera que cada parte es igual a 1~ parte del rectmgulo pero, tambien, observamos que la parte sombreada es igual a las anteriores. Fracciones tales como las anteriores, es decir, l, 1.,-±-, toman el nombre de equivalentes. 4 8 16 quot;
Que suceder~ si tomamos dos de las anteriores fracciones y multiplicamos sus elemento en cruz?, es decir: 1.><:: 1 1 x 8 = 4 x 2 . 4 8 8 = 8 Probemos nuevamente con otras dos fracciones: t ~ 1~ 2 x 16 = 8 x 4 32 = 32 Vemos que en cada caso, ese tipo de producto, nos da una igualdad. Si t y ~ son dos fracciones, se dice que son equivalentes,si se cumple: a c . li~d ad=bc Simb6licamente: ad = be, entonces: A = -'. b d Ejercicio 7.5 I 1. Determina que pares de fracciones son equivalentes. a) li y J.. d) 5.. y 1.2 g) 2.l.. ..1.- j} 2.1 Y 4520 4 7 63 20 Y 16 36 90 b) 5.. y 1.Q. e) ..1 y 24h) II y .25. k) li 90 8 32 8 30 17 85 27 Y 162c) 5.. y 2- f) li y ~ j) 12.. Y 24I) lly 1367 8 35 20 19 38 35 280 En lossiguientes pares defiguras geom~tricas, representa, mediante un fraccionario, la parte sombreada equivalente. 7.5 AMPLIFICACION DE FRACCIONES Ejemplo 1 Tenemos la fracci6n r . Si multiplicamos sus dos tenninos, es decir, el numerador y el denominador por un mismo mlmero, por ejemplo, multiplicar por 6, entonces tenemos: 3x6=.l£ 5x 6 30 AI comparar esta ultima fracci6n j~con la fracci6n inicial ~ , observamos que son equivalentes, veamos: 1..><r.l£ Porque: 3 x 30 = 5 x 18 5 30 90 = 90 Ejemplo2 Sea la fracci6n 2., si decidimos multiplicar sus dos terrninos por 7, obtenemos: 9 5 x7= 35 9x7 63 Esta Ultima fracci6n .3i tambien es equivalente con la fracci6n inicial2. ;veamos: 63 9 .5. .><r li Porque: 5 x 63 = 9 x 35 9 63 315 = 315 Si en una fracci6n se multiplican el numerador y el denortJinador pOr un mismo numero, se dice que fa fracci6n ha sido amplificada. Adem~s ,esta fracci6n resultante es equivalente a fa fracci6n inicial. 3931920842454500 Completa las siguientes igualdades entre fracciones para que resulten equivalentes b)1 = D 7 35 d~=~ 25 Encuentra 4 fracción simplificadas, que sean equivalentes ala fraccion entra 4 fracciones amplificadas, que sean equivalentes a la fraccion. 13 Amplifica la fracciOn .1, de tal manera que la nueva fracci6n tenga de numera dor16. 7 Amplifica la fracci6n JL, de tal manera que la nueva fracciOn tenga de denomi- 13 nador 65. . 7.6 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES En la fracciOn l~ ,es posible dividir sus tenninos a la vez, por un mismo mlmero, por ejemplo, dividir el numerador y el denominador por 4, entonees: 8+4 =2. 12 + 4 3 AI efectuar esta operaciOn observamos que la fracciOn resultante 2. y la inicial..8... son equivalentes, es decir, 3 12 porque: 8 x 3 = 12 x 2 24 = 24 6619875447103500 L 2 12 ><::3 Si en una fracci6n, se dividen el numerador y el denominador por un mismo' numera, se dice que la fracci6n ha sido simp/ificada. La simplificaci6n es otra forma de hallar fracciones equivalentes. 1. Utilizando el concepto de simplificaci6n, completa las siguientes igualdades entre fracciones, para que resulten equivalentes. a) 0= c) .2.4.= ~ e) 0 = 27 g) 2- = 0 5 25 0 5 27 81 7 56 b) ~ = ~ d) 0=0 f)O = .8i h) 2-= 270 270 5 45 13 65 0 0 2. Simplifica las siguientes fracciones: a) 1Q b) A... c)1O. d) .ML e)~ f) ill.. 32 20 50 180 525 560 7 MAXIMO eOMUN DIVISOR (M.e.D.) Ejemp/o 1 Descompongamos en sus factores primos los nUmeros naturales 20 y 48. 20 2 48 2 Entonces: 10 2 24 2 20 = 2x2x5 5 5 12 2 22X 5 = 1 6 2 48 = 2x2x2x2x3 3 3 24X3 = 1 En la descomposici6n en factores primos de los naturales 20 y 48, vemos que existe un factor que es comt1n a ambos nUmeros que es el 2, es decir, 20 = [Bx5 48 = 0x 3 De estos dos factores comunes, tom amos el que tenga (0 los que tengan, si los hay) Menor exponente. En este caso es 22= 4 Y sem este valor el Maximo Comun Divisor de los nUmeros naturales 20 y 48. Ejemp/02 Hagamos.el mismo proceso para los nUmeros naturales 30 y 18. Descompongrunoslos . en sus factores primos as!: 30 2 15 3 5 5 1 30 = 2x3x5 18 = 2x 32 Entonces: 18 9 3 1 2 3 3 En esta descomposici6n observamos que en 30 y 18 hay dos factores que son comunes, elIos son 2 y 3, los tomamos con su Menor exponente, y su producto 2 x 3 = 6, sem el Maximo Comun Divisor (M.C.D.). Ejemp/o3 HalIemos el M. C. D. de: 60, 72 y 84. 60 30 15 5 1 Luego: 60 = 22X 3 x 5 72 = 23 X 32 84 = 22 x 3 x 7 2 2 3 5 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 84 42 21 7 1 2 2 3 7 EI M.C.D. = 22 x 3 = 4x3 = 12 155 Ejemplo4 Supongamos los mlmeros: 20, 40 Y 60. Desc<>mpongamos diehos mlmeros en sus factores primos: 20 2 Podemos representar esta descon:- 40 2 60 2 posici6n asi: 10 2 20 2 30 2 5 5 10 2 15 3 20 = 22 X 5 1 5 5 5 5 40 = 23 X 5 1 1 60 = 22 X 3 x 5 Los faetores comunes son 2 y 5. Tomemos estos con su menor exponente y hagamos produeto as!: 22 x 5 = 4 x 5 = 20 Luego, el Maximo Comun Divisor de 20, 40 Y 60 es 20, porque 20 es el mayor de 10 mlmeros que divide exaetamente a 20, 40 Y 60 al mismo tiempo. Maximo Comun Divisor (M.C.D.), de dos 0 mas numeros, es el mayor de los divisores comunes de dichos numeros. Cuando el M. C D. de dos numeros es 1, entonces decimos que los numeros son primos entre sf. Para hallar el M.CO. de dos 0 mas numeros, se procede asf: Se descomponen los numeros dados en sus factores primos. Se escogen los factores primos, que sean comunes, elevados a su menor exponente. EI producto realizado entre estos factores comunes, es el Maximo Comun Oivisor de los numeros mencionados. Este no es el Unico metodo para hallar el M. C.D. de dos 0 mas mlmeros. Investiga eua! otro metodo existe. Ejercicio 7.8 Oetermina el M.C.O. de: 15 Y 45 35 Y 70 25 Y 60 d} 25,60y75 e} 16 Y 120 f} 25 Y 45 g} 10,40 Y 80 h} 18,27y81 i} 54 Y 162 j} 30,42 Y 54 k} 36, 60, 84 Y 120 I} 50, 150, 200 Y 250 8 MINIMO COMUN MULTIPLO (m.c.m.) Ejemplo 1 Supongamos que tenemos los numeros naturales 50 y 80 y deseamos descomponerlos en sus factores primos: 50 2 80 2 Este resultado 10 podemos escribir as!: 25 5 40 2 5 5 20 2 50 = 2 X 52 1 10 2 80 = 24 X 5 5 5 1 Ahora tomamos los factores comunes y no comunes (si los hay) con su mayor exponente. A este producto se Ie llama: minima comun multiplo de 50 y 80. Para nuestro caso sen1: . m. c. m. = 24 x 52 = 16 x 25 = 400 Luego, el minima comun multiplo (m.c.m.) de 50 y 80 es 400. Ejemplo2 Sean los nUmeros 25,45 Y 60. Procedamos a descomponerlos en sus factores primos: 25 5 5 5 1 45 3 15 3 5 5 1 60 30 15 5 1 2 2 3 5 Entonces: 25 =52 45 = 32 x 5 60 = 22 X 3 x 5 Luego el m.c.m., sen1 52 x 32 X 22 = 25 x 9 x 4 = 900. EI minimo comun multiplo (m.c.m.) de dos 0 mas numeros, es el menor de los multiplos comunes de dichos numeros. Para hallar el mfnimo comun multiplo (m.c.m.), de dos 0 mas numeros, se procede asf: Se descomponen en sus factores primos, cada uno de los numeros dados. 2 Se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. EI producto de estos factores tomados, sera el mfnimo comun multiplo de esos numeros. . Halla el minimo comun multiplo (m.c.m.) de los siguientes numeros: a) 15 Y 60 d) 360 Y 600 g) 15, 16, 48 Y 150 b) 14 Y 28 e) 108, 216 Y 430 h) 529, 1.058, 1.587 Y 5.290 c) 480 Y 500 f) 21, 60 Y 200 j) 3.136, 1.176 Y 2.352 2. Oetermina el M.C O. de: a) 9,81 Y 243 d) 8,56 Y 72 g) 21,42 Y 84 b) 25,70 Y 140 e) 25, 50, 75 Y 150 h) 14, 35 Y 70 c) 30, 180 Y 540 f) 100, 150, 200, 250 Y 300 j) 36, 70, 150 Y 200 3. Halla el M.CO. y el m.c.lll. de los siguientes numeros: a) 28 Y 56 e) 3,5,7y9 j) 238 Y 340 b) 140y343 f) 9, 15,21 Y 27 j) 30 Y 120 c) 320 Y 848 g) 930 Y 3.100 k) 10, 15, 20, 25 Y 30 d) 200 Y 300 h) 9.504 Y 14.688 I) 6, 12, 18, 24 Y 30 7.9 ADICION DE FRACCIONARIOS Itr!lt' Al igual que en los mlmeros naturales, en los fraccionarios se pueden defmir operaciones. Vearnos el caso de la adici6n. Adici6n de fraccionarios homogeneos Ejemplo 1 Un empleado tiene que realizar cierto trabajo. EI primer dfa realiza 2. del trabajo, el 5 segundo dfa realiza 1 . i, CuIDto trabajo ha realizado en los 2 dfas? 5 Representemos el trabajo total como la unidad en la recta num~rica. / 1 1 1 ! i 5 5quot;
5 5 5 O~~------~--~--~--_l Lor ilia 2.0 ilia La unidad, tarnbien, equival~Ar.i . . _ 5 1 5 1 5 Representarnos 10 que ha realizado cada dfa en la recta numerica y adicionarnos estos valores. Nos resultan .1 5 1 5 Ejemplo 2 Una persona gasta ellunes ~ de su dinero; el martes.l...; el miercoles ~.l,CUlmto ha gastado en los 3 dfas? 10 10 10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ,» 1 ..l.. 10 lunes ~ 10 miercoles .l.. 10 martes Todo 10 que tema representa la unidad, 0 sea ill . 10 Ahora, simplemente, contamos cucmtos decimos gast6. Vemos que resulta -.2-. . 10 Esta adici6n, representada gnificamente, es 10 mismo que decir: l + .l.. + ~ = 3+2+4 =-.2-. 10 10 10 10 10 Observemos que los fraccionarios que hemos adicionado tienen igual denominador y se llaman fraccionarios homogeneos. Para adicionar fraccionarios hom6geneos, sumamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Simb6licamente serra: .!l + 12 = li..b. con c *0. c c c' 2328545547370000 Ejercicio7.10 I Resuelve las siguiehtes adiciones: .1 + .1- 5 5 c) N+ll.+H+l 3 3 3 3 ..8.. + 9... + ill 6 6 6 Adici6n de fraccionarios heterogeneos Los fraccionarios heterogeneos tienen diferente denominador.quot;
C6mo los adicionarfamos? Ejemplo 1 Adicionar: .1 + 1. . Vemos que son de diferente denominador. Tenemos que convertirlos a h~Jgene6s aplicando el minimo comUn mUltiplo. Hallemos el m.c.m. de los denominadores por descomposici6n en factores primos; 9 3 m.c.m. = 5 x 32 = 5 x 9 = 45 3 3 m.c.m. = 45, que ser~ el comUn denominador. 1 Luego' .1 + 1. = - + - . 5 9 45 45 Los denominadores se amplificaron. quot;
Que sucedeni con los numeradores? Para que las fracciones sigan siendo equivalentes, tenemos que amplificar los numcradores por la misma cantidad que se amplifica cada denominador. Ejemplo2 Una persona gasta ellunes ~ de su dinero; el mattes .£; el miercoles ~.i, Cuiillto ha gastado en los 3 dias? 10 10 10 -L ~ ..1... ...!. i ~ ~ ..£. ...2.. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 I I I I I }~ 1 v2- ~ ...!. 10 10 10 lunes martes mitrcoles Todo 10 que tema representa la unidad, 0 sea N . 10 Ahora, simplemente, contamos cu:1ntos decimos gast6. Vemos que resulta -.2.... • 10 Esta adici6n, representada graficamente, es 10 mismo que decir: l+.£+~=3+2+4=-.2.... 10 10 10 10 10 ObselVemos que los fraccionarios que hemos adicionado tienen igual denominador y se llaman fraccionarios homogeneos. Para adicionar fraccionarios hom6geneos, sumamos los numera dores y dejamos el mismo denominador. Simb6licamente serra: J1 + b.. = iL±..b. con c *0. c c c' quot;
.... : .... ' . Ejercicio 7.101 Resuelve las siguientes adiciones: .1 + 1. 5 5 .a + ~ + ill 6 6 6 c) lQ + .12 + H. + .1 3 3 3 3 Adici6n defraccionarios heterogeneos Los fraccionarios heterogeneos tienen diferente denominador.l.C6mo los adicionarfamos? Ejemplo 1 Adicionar: .3.. + ~ . Vemos que son de diferente denominador. Tenemos que convertidos a homJgene6s aplicando el minimo comUn multiplo. Hallemos el m.c.m. de los denominadores por descomposici6n en factores primos: 9 3 m.c.m. = 5 x 32 = 5 x 9 = 45 3 3 m.c.m. = 45, que seni el com un denominador. 1 Luego· .3.. + ~ = - + - . 5 9 45 45 Los denominadores se amplificaron. l. Que sucedera con los numeradores? Para que las fracciones sigan siendo equivalentes, tenemos que amplificar los numcradores por la misma cantidad que se amplifica cada denominador. El denominador 5 se transfonn6 en 45,0 sea, 10 amplificamos por 9.1uego el numerador tambh~n se debe amplificar por 9. Por 10 tanto obtenemos: 3 x 9 = 27. El denominador9 se amplific6 por 5 0 sea 9 x 5 ::: 45; luego. e1 numeradortambi~n se amplificani por 5, quedando 4 x 5 = 20. Entonces, tenemos: .1 + 1. = 22 + 2Q. = ~ 5 9 45 45 45 Esto es, aplicando la adici6n de fracciones homogeneas. Ejemplo2 Adicionar: ~ + 2- +.Q. 8 12 4 8 2 12 2 4 2 Luego: 8 = 23 4 2 6 2 2 2 12 = 22 x 3 2 2 3 3 1 4 = 22 1 1 m.c.m. = 23 x 3 = 8 x 3 = 24 = comun denominador. Por 10 tanto: ~+ ~+.Q.= U+ N+ 3.Q. = 12 + 10 + 36 58 8 12 4 24 24 24 24 24 Para adicionar fraccionarios heterogeneos, se transforman en homogeneos hallando el m.c.m. 0 comun denominador y, luego, se adicionan como homogeneos. quot;
I Ejercicio 7.11 J Adiciona los siguientes fraccionarios: .1 + .2. + ill 4 4 4 2- + .L + ..!. + ill 20 20 20 20 2. + ill + .1+ L 9 9 9 9 .1 t .L + ..!. 2 10 5 .1 + ~ + ...5...- 7 14 21 l+~+3...+2. 5 5 5 5 7.10 SUSTRACCION DE FRACCIONARIOS La sustracci6n de numeros fraccionarios, presenta exactamente los 2 casos que ofrece la adici6n: sustracci6n de fraccionarios homogeneos y sustracci6n de fraccionarios heterogeneos. Ejemplo Para restar fraccionarios homogeneos, restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Simb6licamente serra: ~ - b = a - b I con c '* o. c c c Ejercicio 7.121 Resta los siguientes fraccionarios. elnumera- 27. tambiense ofrece la heteroge- y Numeros fraccionatios a) 1£ - .9.. 5 5 Z1. - !5.. 20 20 ~ - .z.s..- 101 101 279 _ 108 75 75 45 _ .L 20 20 ...9.L _ IL _ ..L 101 101 101 e) 2N 20 f) l..ll5.(L - 101 Sustracci6n de fraccionarios heterogeneos Ejemplo ± - 2.. 3 8 Como son fraccionarios heterogeneos, tenemos que transfonnarlos en homogeneos para poderlos restar. 3 3 8 2 Luego: 3 = 3 1 4 2 8 = 23 2 2 m.c.m. 3 x 23 = 3 x 8 = 24, que es el comun 1 denominador. Entonces tendremos: 4 2 _ 32 ~ _' 32 - 6 _ 26 ______ -lL _ 3 8 24 24 24 24 Para restar fraccionarios heterogeneos, primero los transformamos en homog~neos, hallando el m.c.m. 0 comun denominador y luego se restan como homog~neos. Ejer~ici~ ~.131 EfectUa las siguientes operaciones: a) l5.. - 2.. c). Z9. - N - L e) 1£ - .'i 7 7 11 11 11 5 9 li - H. d) 20 - 2.. - 1. f).a - 1. 10 15 2 6 8 4 5 7.11 MULTIPLICACION DE NUMEROS FRACCIONARIOS g) fi_1Z. 5 9 !9.. _ 3L_A- 4 12 16 h) Recordemos c6mo representamos el producto de dos factores, cuando estos son mlmeros naturales. Ejemplo 1 Representemos 2 x 4. Nos resulta la figura donde las filas (horizontal) nos representan el multiplicando (2) y las columnas (vertical) nos representan el multiplicador (4). 4 Si contamos el numero de cuagrfculas obtenidas, vemos que es 8. 0 sea: 2 x 4 = 8. Observemos que sucede si, en lugar de numeros naturales, tenemos que efectuar el producto de dos numeros fraccionarios. Efectuemos: 1 x 1 4 3 Representemos grM'icamente este producto: El rectingulo de la figura 1. nos representa una unidad (un solo recWgulo). DividimOS la unidad representada en la Fig. 1. en 3 partes iguales. La parte sombreada indica e1 mulliplicando ltl· GIll J 1- 4 Fig. 3 GllIU .1- 12 Fig. 4 Queremos tomar ~ de t· Se escribe: ~ x t Esta respuesta es igual a la que obtuvimoS graficamente. 721995536448000 Para multiplicar (raccionarioS ya sean homog~neos 0 heterogeneos, se multiplican los numeradores entre sf y luego los denominadores entre sf. Simb6licamente: 1) a x.c.. = ~ b d b x d a x ~ x ~ = a x c x e b d f bxdxf [.E~.~r~i.~i.~ ... 7.1 .. ~ ... J. Efectua los siguientes productos: 1- x.5- c) 1l. x .8- 4 4 15 7 L x .8- d) 11- x .LL 9 9 5 5 e) 11. x .1 9 6 9.. x.8- 8 9 ~ 'X .1 x .5- 7 7 7 h) JJL x 11- x 1- 6 7 3 Realiza: 2. de 1 4 2 ~ de l de 1- 5 9 16 ~ de L 5 2 Multiplicaci6n de un natural p~r un fraccionario Se presenta, tambien, el caso de la multiplicaci6n de un nUrnero fraccionario por un mimero natural 0 de un nUrnero natural por un mlmero fraccionario. Ejemplo Realizar: 5 x 1 4 Recordemos que tod~ nUrnero natural se puede representar como un nUrnero fraccionario cuyo denorninador sea la unidad. As!: 5 = .i 1 Teniendo en cuenta 10 anterior tendrfamos: 5 x.1.=~x.1.= 5 x3 =li 4 1 4 lx4 4 Para multiplicar un numero natural par un numero fraccionario, se multiplica el numero natural par el numerador y se deja el mismo denominador. Simb6licamente: a x.b.. = a x b ,c -:F- O. c c Ejercicio 7.15 • Efectua las siguientes operaciones: a) 3 x .9. 3 c) 25 x 409 d) 78 x ~ 18 5. x 9 7 f)3x.i 8 j)7X.i 8 j) 5 x 1. 3 g) 2 x l 7 1. x 6 4 b) 17 x ~ 10 ' 7.12 DIVISION DE NUMEROS FRACCIONARIOS Dado el producto de 2 factores y un factor conocido, ~c6mo podrfamos hallar el factor desconocido? Ejemplo 1 Resolver 3 x IT] = 27 Podrfamos hallar el factor desconocido usando la operaci6n de divisi6n. o sea: Factor desconocido II] = 27 + 3 9 = 27 + 3 Luego el factor desconocido es 9, porque 3 x 9 = 27. Lo mismo nos puede suceder si en lugar de mlmeros naturales, tom amos mlmeros fraccionarios. Ejemplo2 Resolver: 2.. x r?l = 43 L:J 6 Hallemos eI factor desconocido usando el mismo proceso del ejemplo anterior: Factor desconocido [2] =: -+ t Recuerda que el fraccionario que aparece en primer lugar (en este caso.1 ) es el dividendo y el siguiente (2.) , 0 siguientes, son los divisores. 6 ·3· Ahora, efectuemos la operaci6n para hallar nuestro factor desconocido. Retomemos el ejemplo: Factor desconocido [2J = i + t· Esto 10 podemos solucionar de 2 formas: Forma A. Si 0010 intervienen 2 terminos: dividendo y divisor, se efecnlan productos cruzados (en cruz). Forma B. Si observamos detenidamente la forma A, vemos que efectuamos una multiplicaci6n del dividendo por el divisor invertido. Esto es 10 que haremos, invertir el divisor y efectuar la multiplicaci6n entre dividendo y divisor invertido. I-)l = ~ L:J 6 + .2.=4x3=ll=1 3 6 x2 12 [2J=tX~=::~=g=l 6449695615696000 Para dividir fraccionarios se multiplica el fraccionario dividendo por el inverso del fraccionario divisor. EfectUa los siguientes ejercicios: a) .1+z. d) A.+..8. g) l+.1 .•. JL j) L + .1+5.. 5 5 5 6 4 2 10 5 4 3 b) ..8. + .1.Q e) lO.+.5..+l h) 2+.11..+12 k) ~ + .L + l 9 9 9 3 2 9 12 10 3 4 3 c) l.+l f) a +.5..+ 12. i) 1..;.a..+2 I)L+5 + H. 3 7 7 4 3 8 3 8 16 13 POTENCIA DE UN FRACCIONARIO Recordemos la potenciaci6n de m1meros naturales. Observem~ este ejemplo: 53. quot;
Recuerdas, que nombre reciben cada uno de los terminos? Veamos: E15 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nombre de exponente. 5mb6licamente: ct', donde a = base, n = exponente. Ejemplo 1 Resolvamos 34 Por definici6n de potencia, se tiene que tomar la base (en este caso 3) como factor 4 veces 00 que indica el exponente 4), 0 sea: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 8l. quot;
Que suceder~, si la base no es un numero natural sino un numero fraccionario? quot;
Cam-' biar~ su desarrollo? Ejemplo2 Resolvamos (; t En este ejempl0, la base esU representada por 2. y el exponente por e14, entonces por 3 definici6n de potencia, tomamos la base como factor 4 veces. 0 sea: 2.)4 = 2. x 2. x 2. x 2. = 2 x 2 x 2 x 2 = 12. 3 3 3 3 3 3 x 3 x 3 x 3 81 Si observamos detenidamente vemos que 16 es 10 mismo que 24 y 81 es igual a 34• 3437890562102000 La potencia de un fraccionario es el resultado de elevar el numerador y el denominador al exponente indicado. . .' (.a.)n _ ~ _ a x a x a x ... n veces S,mb6ltcamente: b - if - b b b x x x ... n veces Ejemplo Hallemos la potencia de (rJ Por definic~6n de potencia tenemos: (t)2 = ~=3X3=..2... .l+~ 52 5x5 25 4 3 IEjercicio 7.171 L+.1 Resuelve los siguientes ejercicios: 4 3 g) (tf j) (:r a) G)2c) (~r e) (f)2 5 + .l4. (}r (~r o (~1r(})3 16 b) d) h) (~)2 j) 14 RAIZ DE UN FRACCIONARIO Recordemos que la rafz de un mlmero natural se halla buscando un mlmero natural que multiplicado por sf mismo, tantas veces como indique el fndice, nos de el radicando. Ejemplo 1 Hallemos la rafz cubica de 125. Tenemos que 125 = 5 x 5 x 5 = 53,luego Vlli = v-;; = 5 porque 5 x5 x5 = 125 Pero, l,que sucede si el radicando es un nUmero fraccionario? l,Se cumplira 10 anterior? Se debe cumplir, porque el nUmero fraccionario es un cociente indicado de nUmeros naturales. Ejemplo2 Hallemos if Tenemos que buscar un nUmero fraccionario que multiplicado por sf mismo, nos de el radicando 2... 4 Entonces tenemos: 9 = 3 x 3 = 32 Y 4 = 2 x 2 = 22 ,.' Luego' quot;
~4 = quot;
rY232 =.1, porque.1 x 3.. = .2. . V 4quot;
V 22 2 2 2 4 Fijemonos que en los ejemplos anteriores, tambien podrfamos haber tornado la rafz por separado, 0 sea: ,,~= 1§.... = iJ!.... =.1 V4quot;
i4 V7! 2 Para hallar la raiz de un numero fraccionario, se halla la ralz del numerador y la ralz del denominador. Simb6licamente: Vf = =Jj- Ejercicio 7.18/ : ... : •...• :.:.:-:.:.:.:.:.:.:.:.:.:<.:.:.:.;.:.:.:.:.;.:.:.:.:.;.- .••.••. Resuelve los siguientes ejercicios: ) ~!K g 81 -fli quot;
36 ~rz 64 -Iili 144 d) a RESUMEN DE LA UNmAD Operador fraccionario: Es el operador que combina al operador multiplieaci6n y a1 operador divisi6n. Se representa de 1a forma x 11 (multiplicar por.Q. ). b b Fracci6n: Toda expresi6n de 1a forma .a. con a y bEN y b ~ 0; a se llama numerador y b denominador. b Amptiticaci6n: Consiste en multiplicar e1 numerador y e1 denominador de una fracci6n por un mismo nUmero. 3. Simpliticaci6n: Consiste en dividir e1 numerador y el denominador de una fraeci6n anterior? por un mismo nUmero. El minima comunmultiplo (m.c.m.) de varios nUmeros naturales dados, es otto mlmero natural que contiene exactamente a esos m1nieros. nUmeros 4. Dos fracciones son equivalentes cuando los productos cruzados de ellas son iguales. El Maximo Comun Divisor (M.C.D.) de varios nUmeros naturales dados, es otro 011- mero natural que esti contenido exactamente en esos nl1meros. nos de el 7. Dos 0 mas fraccionarios son homogeneos si tienen igual denominador, de 10 contrario . se llaman heterogeneos. Operaciones con fraccionarios Operacion Condicion Numeradores Denomlnadores Adici6n y sustracci6n Deben ser homogeneos* Se suman 0 restan Se conserva el comUn Multiplicaci6n Ninguna Se multiplican Se multiplican entre sf entre sf Divisi6n Invertir el fraccionario Se multiplican Se multiplican divisor entre sf entre sf Potenciacion Ninguna Se potencian Se potencian Radicaci6n Ninguna Se les extrae la ralz Se les extrae la ralz ~ 'quot;
Para convertir fraeciones heterog~neas en homogeneas se debe: HaIlar el m.c.m. entre los denominadores originales. Amplificar cada fracei6n de tal manera que el m.e.m. sea el nuevo denominador comUn. EJERCICIOS DE REPASO 1. Explica que representan el numerador y el denominador de una fracci6n. 2. lQue son fraccionarios heterogeneos? 3. Convierte a fracciones homogeneas. c).l 1 y~ 7' '4 28 .ll y .L 12 19 .1 y L 4 6 l,l y l 3 6 9 .2.5. ~ ~ 31 '62 Y 93 4 1 ...L 7' quot;
3 Y 11 4. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes. a) t y ft ...L 6' c 13 Y 17 .L y 3.2.. 11 121 .1 y .2.. 4 7 ....'Lyli 10 50 5. Desarrolla las siguientes operaciones, simplificando el resultado, si es posible. a) l+l+l d) {¥Jg) (L x 5.) + .li 2 3 4 400 9 4 36 b) 2-xL e) l.6. + a h) (2- + ll) x M... 5 6 35 7 5 13 162 c) (}f f) ±-+~- .u. j) {1;i7 7 7 100 Com pre un electrodomestico por $140.000. Si 10 venda por los .Q. del precio de compra, icual es el precio de venta? 7 quot;
 7. Un numero multiplicado por 1. equivale a 11.. . iCual es el numero? 5 25 La edad de Marfa equivale a los Z de la edad de Rosa. Si Rosa tiene 45 anos, icual es la edad de Marfa? 9 9. Halla la mitad de la mitad de la mitad de 8. Dado el conjunto P = {2, 4,. 8, 16, 32}, icual es el conjunto correspondiente a Px..l? 2 lQue es un operador fraccionario? RepreseQta mediante grMicos, los siguientes fraccionarios: a) Z. b) .8. c) _1 d).-L e) ~ ~ 8 9 10 11 4 I.- Efequa las siguientes operaciones. .1 x .s.. c) i x .l x JL x ± e) H. x 8 4 8 6 2 12 9 16 f)~ 13 b) -±-.x.2 x 2.. d) 10 xL f) 1..x.lx8xSxl - ve 8 7 12 9 7 3 --1 ~suelve: ~ quot;
I -- -...-a), .1 + ~ c) lQ.+.l+2..+~ e) ill + 8 I 7 5 4 6 4 7 9 b) Z +£ + 9.. d) 14 + L f) Z+9...+6+ lQ. 8 3 6 3 4 5 8 (15. EfectCla las operaciones indicadas. ) Z + ~ + lQ. + l 8 9. 12 10 II - Q. 21 7 c) H+Z-l_£ 7 3 5 6 16. Resuelve los siguientes ejercicios. .L x~ x ~ 12 12 12 lZ x 16 25 c) 109 x Zl 8 17. Si 8 caramel as cuestan $ 544 , lcuanto cuesta un solo caramelo? 5 18. lPor que numero hay que multiplicar a 2 para que se convierta en 1L '1 6 7 . Diez obreros hacen 16 metros de una obra en 1 h~ra. lCuantos metros hace cada obrero en 1 hora? 20. lPor que numero hay que dividir a R para obtener 3 de cociente? 5 Un hacendado posee una finca de 15 hectareas y la reparte entre sus tres hijos de la siguiente forma: al mayor Ie deja los t de la finca, al de la mitad ~ de 10 que queda. lCuantas hectareas Ie tocan al menor? 22. EI tanque de combustible de un auto tiene una capacidad de 5 galo ~Si ~I ' primer dfa gasta los ~ de su capacidad total, el segundo dfa los ! de 10 que qued6 el dfa anterior, lcuanto combustible qued6 en el tanque? RECREATE Llena los cuadros en blanco con las respuestas de las operaciones indicadas en las columnas de abajo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 tquot;
 Calcula: 1. + 1. 2 4 ~ + 2 12 8 M. C. D. de 1.,1.,1. 648 4) M.C.D. de 1.,1.,1. 346 -.6... - ...L 15 10 1. _ .2.. 2 12 7) M.C.D. de 1., 1. ,_I 4 5 18 8) 21.+37 4 5 9) 43+ll 6 8 1 1 1 M.C.D. de -,-,- 6 8 12 Simplifica: Q. 8 4856 27 45 li 30 Calcula: 1. + 1. + 1. 254 .i + 2.. + 1 634 17)1.xl 2 5 2.. + 1 3 4 1 1 1 M.C.D.de3quot;
'4'S 20) M.e.D. de 1.,1. 9 6 1x 1 2 4 2+ 4- 3 5 m.e.m. de los denominadores de 1., 1 3 8 24) m.e.m. de _1 , 1 12 9 25) m.e.m. de1., 1. 4 8 26) m.e.m. de 1,1.,2- 5 6 12 27) m.e.m. de1., 3.,...L 6 9 12 28) M.C.D. de 2,1 • ...1. 3 5 20 170 alga E as sob oy s

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