Campos vectoriales con Matlab y Mathematica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS
GEOMETR´IA DIFERENCIAL
CAMPOS VECTORIALES Y SUS APLICACIONES EN
MATLAB - MATHEMATICA
Presentado por
Junior Lino Mera Carrasco
Docente
Lic. Jos´e A. Chiroque Baldera
Lambayeque - 28 de diciembre de 2011
1

2. Resumen:
Puesto que el C´alculo Vectorial tiene gran aplicaci´on en las ´areas de la Ingenier´ıa y en
la ciencias es fundamental para todo estudiante y egresado en estas ´areas, poseer los
conocimientos no s´olo de los c´alculos que ´esta materia ofrece sino tambi´en poder mod-
elarlos y graficarlos, para su futura interpretaci´on.
La presenta investigaci´on hace uso de dos grandes herramientas inform´aticas tales como
Matlab y Mathematica, con las que se a realizados aplicaciones de Campos Vectoriales
en 2D y 3D, no s´olo graficando sino tambi´en calculando su Gradiente, Rotacional y
Divergencia.
Abstract:
Since the Vectorial Calculation has great application in the areas of the Engineering
and in the sciences it is fundamental for every student and gone away in these areas, to
possess the knowledge not only of the calculations that this one matter offers to be able
to shape but also and graphing, for his future interpretation.
The presents investigation uses two such big IT tools as Matlab and Mathematica, with
which to realized applications of Vectorial Fields in 2D and 3D, not only graphing but
also calculating his Gradient, Rotacional and Difference.
2

3. ´Indice general
1. Problem´atica de la Investigaci´on 4
1.1. Situaci´on Problematica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Formulaci´on del problema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Importancia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Objetivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Justificaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Software Utilizado: 6
2.1. Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Marco Te´orico-Pr´actico: 8
3.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1. APLICACIONES EN MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1. APLICACIONES EN MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2. APLICACIONES EN MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Rotacional y divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1. APLICACIONES EN MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2. APLICACIONES EN MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Conclusiones 30
[BIBLIOGRAFIA]
3

4. Cap´ıtulo 1:
Problem´atica de la Investigaci´on
1.1 Situaci´on Problematica:
Puesto que el C´alculo Vectorial tiene gran aplicaci´on en las ´areas de la Ingenier´ıa
Mec´anica, Industrial, El´ectrica, Electr´onica y en la ciencias como la F´ısica, Qu´ımica,
etc.
Es fundamental el estudio de Campos Vectoriales puesto que estas sirven para repre-
sentar y modelar las corrientes oce´anicas, la velocidad del viento durante un tornado, la
corriente de aire que pasa junto a una superficie aerodin´amica inclinada. As´ı mismo ´este
conocimiento resulta indispensable para comprender el comportamiento de los campos
f´ısicos vectoriales, tales como el electromagn´etico y el gravitatorio.
1.2 Formulaci´on del problema:
¿Sera posible modelar los campos vectoriales de algunas superficies en Mathematica y
Matlab?
4

5. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
£
¢
¡5
1.3 Importancia:
Es indispensable que tanto estudiantes como profesionales en Ciencias y otras especial-
idades manejen un software matem´atico pues esta es una herramienta primordial.
Es por ello que basados en el estudio de los campos vectoriales podemos interpretar y
predecir sucesos como la distancia que abarcara un fen´omeno natural.
1.4 Objetivos:
Graficar campos vectoriales en Mathematica y Matlab.
Analizar e interpretar las representaciones graficas de dichos campos vectoriales.
1.5 Justificaci´on:
Basados en nuestra situacion problematica y la falta de investigaciones Explicativas-
Aplicadas sobre los Campos Vectoriales en Matlab y Mathematica, tales como su rutina
de ingreso, calculos, graficas, entre otras.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

6. Cap´ıtulo 2:
Software Utilizado:
2.1 Matlab
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, ”laboratorio de matrices”) es un soft-
ware matem´atico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje
de programaci´on propio (lenguaje M). Est´a disponible para las plataformas Unix, Win-
dows y Apple Mac OS X.
Entre sus prestaciones b´asicas se hallan: la manipulaci´on de matrices, la representaci´on
de datos y funciones, la implementaci´on de algoritmos, la creaci´on de interfaces de
usuario (GUI) y la comunicaci´on con programas en otros lenguajes y con otros dis-
positivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que
expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulaci´on multidominio)
y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI).
Adem´as, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas
(toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software
muy usado en universidades y centros de investigaci´on y desarrollo. En los ´ultimos a˜nos
ha aumentado el n´umero de prestaciones, como la de programar directamente proce-
sadores digitales de se˜nal o crear c´odigo VHDL.
6

7. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
£
¢
¡
7
2.2 Mathematica
Mathematica es un programa utilizado en ´areas cient´ıficas, de ingenier´ıa, matem´aticas
y ´areas computacionales. Originalmente fue concebido por Stephen Wolfram, quien con-
tin´ua siendo el l´ıder del grupo de matem´aticos y programadores que desarrollan el pro-
ducto en Wolfram Research, compa˜n´ıa ubicada en Champaign, Illinois. Com´unmente
considerado como un sistema de ´algebra computacional, Mathematica es tambi´en un
poderoso lenguaje de programaci´on de prop´osito general.
La interfaz preseleccionada por Mathematica tiene extensas caracter´ısticas y capaci-
dades gr´aficas, ofreciendo analog´ıas a un cuaderno de trabajo: la entrada de datos por
parte del usuario y los resultados enviados por el n´ucleo (incluyendo gr´aficas y sonidos),
son colocados en forma de celdas jer´arquicas (igual que Maple), lo cual permite seguir
con facilidad la secuencia de las manipulaciones algebraicas o c´alculos que se est´an de-
sarrollando en una sesi´on. Comenzando con la versi´on 3.0 del software, los cuadernos se
representan como expresiones que puedan ser manipuladas, a su vez, por el n´ucleo.
Para permitir a aquellos usuarios que no tienen una licencia, la visualizaci´on de los
cuadernos de trabajo escritos en Mathematica, se cre´o un paquete de lectura dedicado.
Este paquete, llamado MathReader puede bajarse de la red gratuitamente.
Otras interfaces se encuentran disponibles, como, JMath o mash, pero la interfaz est´andar
de Mathematica es la m´as popular.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

8. Cap´ıtulo 3:
Marco Te´orico-Pr´actico:
3.1 Campos vectoriales
Recuerda que un campo escalar de n variables es una funci´on f : A → R donde A es
un subconjunto de Rn
. Un campo vectorial es una funci´on que a cada punto de una
regi´on de un espacio vectorial hace corresponder un vector de dicho espacio. Concreta-
mente, un campo vectorial de n variables es una aplicaci´on FFF : A → Rn
donde A es un
subconjunto de Rn
. Dicha funci´on debe ser de la forma FFF(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x))
donde F1, F2, .., Fnson campos escalares de n variables llamados componentes de FFF.
Se dice que FFF es continuo o que tiene derivadas parciales o que es de clase Ck
(tiene
derivadas parciales de orden k continuas) cuando todos los campos escalares compo-
nentes de FFF tienen la correspondiente propiedad. Por ejemplo, las funciones
FFF(x, y) = x
1+x2+y2 , −y
1+x2+y2 = x
1+x2+y2 iii − y
1+x2+y2 jjj
GGG(x, y, z) = −x
1+x2 , −y
1+y2 , −z
1+z2 = − x
1+x2 iii − y
1+y2 jjj − z
1+z2 kkk
son campos vectoriales de 2 y 3 variables de clase C∞
definidos en R2
y en R3
respecti-
vamente. Como puedes ver, nada nuevo hay en el concepto de campo vectorial pues se
trata de un tipo particular de funciones que ya conoces. Ahora bien, cuando decimos que
una funci´on FFF : A → Rn
donde A ⊂ Rn
es un campo vectorial es porque la visualizamos
de una forma especial y consideramos que dicha funci´on hace corresponder a cada vector
x ∈ A el vector FFF(x) con origen en el punto x.
8

9. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
£
¢
¡9
Mathematica dispone de los comandos
PlotVectorField[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},opciones]
PlotVectorField3D[f[x,y,z],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax},opciones]
para representa gr´aficamente campos vectoriales de 2 y 3 variables respectivamente.
Para poder usarlos hay que cargar los correspondientes paquetes.
≪Graphics`PlotField`
F[x ,y ]:= x
1+x2+y2 , −y
1+x2+y2
PlotVectorField[ F[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}];
≪Graphics`PlotField3D`
G[x ,y ,z ]:= −x
1+x2 , −y
1+y2 , −z
1+z2
PlotVectorField3D[ G[x,y,z],{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},VectorHeads->True,
ColorFunction->Hue];
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

10. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥10
En general, los campos vectoriales de 2 variables son funciones de la forma
FFF(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = P(x, y)iii + Q(x, y)jjj
y los campos vectoriales de 3 variables son funciones de la forma
FFF(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = P(x, y, z)iii + Q(x, y, z)jjj + R(x, y, z)kkk
Ejemplos
Campo gravitacional. La ley de la gravitaci´on de Newton establece que la norma
eucl´ıdea (la magnitud se dice en f´ısica) de la fuerza (no olvides que la fueza es un
vector) de atracci´on gravitacional, FFF, entre dos objetos de masas m y M es
FFF = mMG
r2
donde r es la distancia eucl´ıdea entre dichos objetos y G es la constante gravitacional
universal. Si el objeto de masa M se encuentra en el origen y el objeto de masa m se
encuentra en un punto rrr = (x, y, z), entonces r = rrr . Como, adem´as, la fuerza ejercida
por el objeto de masa M sobre el objeto de masa m est´a dirigida desde ´este hacia el
origen y un vector unitario en dicha direcci´on es −rrr/ rrr , deducimos que dicha fuerza
viene dada por
F(r)F(r)F(r) = −mMG
rrr 3 rrr
Esta igualdad vectorial puede escribirse tambi´en en la forma:
F(x, y, z)=- mMGx
(x2+y2+z2)3/2 i - mMGy
(x2+y2+z2)3/2 j- mMGz
(x2+y2+z2)3/2 k
Campo el´ectrico producido por una carga. La ley de Coulomb establece que la
norma eucl´ıdea (la magnitud se dice en f´ısica) de la fuerza (no olvides que la fuerza es
un vector), FFF, ejercida entre dos cargas el´ectricas q y Q es
FFF = |qQ|
4πǫr2
donde r es la distancia eucl´ıdea entre dichas cargas y ǫ es una constante. Si la carga Q
se encuentra en el origen y la carga q se encuentra en un punto x = (x, y, z), entonces
r = x .
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

11. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥11
Como, adem´as, la fuerza ejercida por la carga Q sobre la carga q act´ua en la direcci´on
del segmento de recta que une ambas cargas y es atractiva o repulsiva seg´un que ambas
cargas sean de distinto o de igual signo, y un vector unitario en la direcci´on del vector
xxx es x/ x , deducimos que dicha fuerza viene dada por
F(x)= qQ
4πǫ xxx 3 x
La fuerza ejercida por unidad de carga es, por definici´on, el campo el´ectrico, E, creado
por la carga Q que viene dado por
E(x)E(x)E(x) = F (x)F (x)F (x)
q
= Q
4πǫ xxx 3 xxx
Campos de gradiente. Sea f : A → R donde A es un subconjunto de Rn
un
campo escalar de n variables. El gradiente de dicho campo escalar en un punto x =
(x1, x2, ..., xn) ∈ A es, por definici´on, el vector
∇f(x) = ∂f
∂x1
(x), ∂f
∂x2
(x), ..., ∂f
∂xn
(x)
La aplicaci´on ∇f : A → R que a cada x ∈ A hace corresponder el gradiente de f en x
se llama campo vectorial gradiente de f.
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12. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥12
3.1.1 APLICACIONES EN MATHEMATICA
≪Graphics`PlotField`;
w= {2 x,y};
PlotVectorField[w,{x,-8,8},{y,-8,8}, Axes → True];
5 5
5
5
≪Graphics`PlotField`;
PlotVectorField[{x,y},{x,0,1},{y,0,1}]
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13. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥13
≪Graphics`PlotField`;
PlotGradientField[Sin[x]Cos[y],{x, 0, 2Pi}, {y, 0, 2Pi}]
≪Graphics`PlotField3D`;
PlotVectorField3D[{x,y,z},{x,0,1},{y,0,1}, {z, 0, 1}]
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14. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥
14
≪Graphics`PlotField3D`;
G = {Sin[x], Cos[y], z2
};
PlotVectorField3D[G,{x,-5,5},{y,-5,5}, {z, -5, 5} ,VectorHeads → True];
≪Graphics`PlotField3D`;
T={6xy + z3
, 3x2
+ z, 3xz2
− y};
PlotVectorField3D[T,{x,-5,5},{y,-5,5}, {z, -5, 5} ,VectorHeads → True]
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15. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥15
3.2 Gradiente de un campo escalar
El gradiente de un campo escalar f es el campo vectorial ∇f cuyas componentes son
las derivadas parciales de primer orden de f . El vector gradiente es ´util para calcular
derivadas de un campo escalar en una direcci´on dada. Te recuerdo que una direcci´on en
Rn
es un vector de norma 1.
Si f es un campo escalar con derivadas parciales continuas, la derivada de f en un pun-
to a en la direcci´on dada por el vector u viene dada por el producto escalar ∇f(a)|u .
Supuesto que ∇f(a) = 0, la direcci´on en la cual la derivada direccional de f en a es
m´axima, que indica la direcci´on en la cual el campo en a crece m´as r´apidamente, viene
dada por el vector ∇f(a)/ ∇f(a) .
Por tanto, el vector gradiente en cada punto indica la direcci´on en la que el
campo aumenta m´as r´apidamente en dicho punto. An´alogamente, la direcci´on en
la cual la derivada direccional de f en a es m´ınima, que indica la direcci´on en la cual
el campo en a decrece m´as r´apidamente, viene dada por el vector −∇f(a)/ ∇f(a) .
Si a y b son puntos de Rn
la direcci´on del punto a hacia el punto b viene dada por
el vector (b − a)/ b − a .
En lo que sigue trabajaremos con campos escalares de dos o de tres variables. Aunque
Mathematica dispone de comandos para calcular el vector gradiente de un campo escalar
no vamos a usarlos en esta pr´actica.
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16. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥16
3.2.1 APLICACIONES EN MATLAB
Ejemplo 1:
Sea f(x, y, z) = z + (y2
− x2
)/4
Calcular y graficar su campo Gradiente.
[X,Y] = meshgrid(0:.4 :2);
U = -X/2;
V = Y/2;
W = 1+0*X;
subplot(1,2,1)
for z = [-1,0,1]
Z = z +0*X;
quiver3(X,Y,Z,U,V,W)
hold on
end
axis image
0
1
2
0
1
2
−1
−0.5
0
0.5
1
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17. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥
17
Ejemplo 2:
[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2);
Z = X.*exp(-X.^2 - Y.^2);
[DX,DY] = gradient(Z,.2,.2);
contour(X,Y,Z)
hold on
quiver(X,Y,DX,DY)
colormap hsv
hold off
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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18. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥18
Ejemplo 3:
n = -2.0:.2:2.0;
[X,Y,Z] = peaks(n);
contour(X,Y,Z,10)
hold on
[U,V] = gradient(Z,.2);
quiver(X,Y,U,V)
hold off
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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19. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥19
3.2.2 APLICACIONES EN MATHEMATICA
Ejemplo 4:
≪Graphics`PlotField`;
PlotGradientField[Sin[x]Cos[y],{x,0,1},{y,0,1}]
Ejemplo 5:
≪Calculus`VectorAnalysis`
SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]
Grad[x2
Sin[y] - z4
]
RESULTADO:
{2 x Sin[y],x2
Cos[y],-4 z3
}
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20. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥20
3.3 Rotacional y divergencia de un campo vectorial
Para dar una interpretaci´on intuitiva del significado f´ısico del rotacional y de la diver-
gencia de un campo vectorial es conveniente considerar en primer lugar campos bidi-
mensionales.
Sea FFF(x, y) = P(x, y)iii + Q(x, y)jjj un campo vectorial de clase C1
, sea γ un camino cer-
rado simple positivamente orientado y D la regi´on del plano limitada por γ. El teorema
de Green afirma que
γ
FFF = DDD
∂Q
∂x
(x, y) − ∂P
∂y
(x, y) d(x, y) (1)
Como ya sabes, la integral γ
FFF se llama circulaci´on del campo FFF a lo largo de γ.
Para dar una interpretaci´on de dicha integral consideremos que el campo FFF(x, y) =
P(x, y)iii + Q(x, y)jjj es el campo de velocidades de un fluido plano, esto es, FFF(x, y) es el
vector velocidad del fluido en el punto (x, y). Se supone que la velocidad no depende del
tiempo sino solamente de las coordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de
un fluido estacionario.
En cada punto γ(t) del camino γ la velocidad del fluido es FFF(γ(t)); la proyecci´on
ortogonal de dicho vector sobre el vector tangente a γ en el punto γ(t) es el vector
FFF(γ(t))|TTT(t) TTT(t) donde TTT(t) = γ′
(t)/ γ′
(t) . Este vector tiene el mismo sentido que el
vector tangente si el n´umero FFF(γ(t))|γ′
(t) es positivo y distinto sentido cuando dicho
n´umero es negativo; en el primer caso la velocidad del fluido en el punto γ(t) va en el
mismo sentido que el del recorrido de la curva y en el segundo caso la velocidad del
fluido en el punto γ(t) va en sentido opuesto al del recorrido de la curva.
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21. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥21
La siguiente gr´afica muestra un campo vectorial.
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
La siguiente gr´afica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una
elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo anterior en
rojo, los vectores tangente en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre
los segundos en negro. En uno de los puntos la proyecci´on ortogonal tiene el mismo
sentido que el vector tangente y en el otro tiene sentido opuesto.
-1 1 2 3
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Puesto que γ
FFF =
b
a
FFF(γ(t))|γ′
(t) dt, si el valor de esta integral es positivo esto nos
dice que el fluido circula a lo largo de la curva γ en el mismo sentido que el definido por
la orientaci´on de γ y si el valor de esta integral es negativo entonces el fluido circula a lo
largo de la curva γ en sentido opuesto al de la orientaci´on de γ. Si el valor de la integral
es nulo es porque no hay circulaci´on neta del fluido a lo largo de γ.
Supongamos que γ
FFF > 0. En tal caso, por la continuidad del campo, se verificar´a tam-
bi´en que σ
FFF > 0 para todo camino cerrado simple σ positivamente orientado que
est´e suficientemente pr´oximo al camino γ. Deducimos que en este caso se formar´a en las
proximidades de γ un peque˜no tubo que el fluido recorrer´a en sentido antihorario.
Consideremos ahora la igualdad (1) y supongamos que en un punto (a, b) se verifica
que ∂Q
∂x
(a, b) − ∂P
∂y
(a, b) > 0. Entonces, por la continuidad de las derivadas parciales,
se tendr´a que ∂Q
∂x
(x, y) − ∂P
∂y
(x, y) > 0 para todo punto (x, y) en un disco centrado en
(a, b) de radio suficientemente peque˜no. Si γ es cualquier camino de Jordan contenido en
dicho disco, se deduce de dicha igualdad que la circulaci´on del campo a lo largo de dicho
camino ser´a en sentido antihorario y concluimos que en el punto (a, b) se formar´a un
peque˜no remolino.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

22. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
§
¦
¤
¥22
Una propiedad, f´acil de justificar, de las integrales dobles afirma que si h es una fun-
ci´on continua en una regi´on del plano D cerrada y acotada entonces hay alg´un punto
(a, b) ∈ D para el que se verifica la igualdad D
h(x, y)d(x, y) = h(a, b)´Area(D).
Usando esta propiedad y de la igualdad (1) es f´acil probar que
l´ımρ→0
1
πρ2 C((a,b),ρ)
FFF = ∂Q
∂x
(a, b) − ∂P
∂y
(a, b)
El n´umero ∂Q
∂x
(x, y) − ∂P
∂y
(x, y) se llama rotaci´on del campo FFF en el punto (x, y). Se
dice que el campo es irrotacional cuando ∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y) = 0 para todo punto (x, y)
de su dominio de definici´on.
Como consecuencia tambi´en del teorema de Green, sin m´as que cambiar Q por P y
P por - Q, se verifica la igualdad
γ
P(x, y)dy − Q(x, y)dx = DDD
∂P
∂x
(x, y) + ∂Q
∂y
(x, y) d(x, y) (2)
Pongamos γ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Tenemos que:
γ
P(x, y)dy−Q(x, y)dx =
b
a
(P(x(t), y(t))y′
(t)−Q(x(t), y(t))x′
(t)) dt =
b
a
P(x(t), y(t))iii+
Q(x(t), y(t))jjj y′(t)iii−x′(t)jjj
y′(t)iii−x′(t)jjj
x′
(t)iii + y′
(t)jjj dt =
b
a
FFF(γ(t))|nnn(t) γ′
(t) dt = γ
F.nF.nF.n
donde hemos representado por nnn(t) el vector unitario normal a la curva γ en el punto
γ(t) que apuntan hacia el exterior de la misma. Supuesto que la curva est´a orientada
positivamente, nnn(t) viene dado por:
nnn(t) = y′(t)iii−x′(t)jjj
y′(t)iii−x′(t)jjj
= y′(t)iii−x′(t)jjj
x′(t)iii+y′(t)jjj
Al igual que la proyecci´on ortogonal del vector campo sobre el vector tangente a la curva
mide la circulaci´on del fuido a lo largo de la curva, la proyecci´on ortogonal del vector
campo sobre el vector normal exterior a la curva mide el flujo de fluido a trav´es
de la curva, por ello, se define el flujo del campo a trav´es del camino γ como
la integral γ
F.nF.nF.n. Si dicha integral es positiva eso significa que sale m´as fluido del que
entra (por lo que dentro de la curva debe haber manantiales) y si es negativa significa
que sale menos fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber sumideros).
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

23. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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¥23
Hemos justificado la igualdad
γ
P(x, y)dy − Q(x, y)dx = γ
F.nF.nF.n = DDD
∂P
∂x
(x, y) + ∂Q
∂y
(x, y) d(x, y)
A partir de aqu´ı podemos razonar como lo hicimos anteriormente para obtener que
l´ımρ→0
1
πρ2 C((a,b),ρ)
F.nF.nF.n = ∂P
∂x
(a, b) + ∂Q
∂y
(a, b)
El n´umero ∂P
∂x
(x, y) + ∂Q
∂y
(x, y) se llama divergencia del campo FFF en el punto (x, y).
Donde la divergencia es positiva hay manantiales y el fluido diverge hacia otros lados y
donde la divergencia es negativa hay sumideros y el fluido converge hacia ellos. Se dice
que el campo es incompresible cuando su divergencia es id´enticamente nula.
En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto lo que acabamos de afirmar.
F[x ,y ]:={Sin[x],Cos[y]}
Show[Graphics[Table[{Red,Arrow[{x,y},{x,y}+F[x,y], HeadScaling ->
Relative,HeadWidth->.3]},{x,-5,5,.5},{y,-8,5,.5}]],Axes->True,ImageSize->{437, 378}]
-4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
Observa que hay puntos a los que los vectores de este campo parecen dirigirse (por ejem-
plo, los puntos (3.1,1.6), (3.1,-4.7) y sus sim´etricos respecto al eje de ordenadas) y otros
en los que el campo parece estar divergiendo (por ejemplo, los puntos (0,1.5), (0,-1.5)
, (.5,-4.5)). Si este campo lo interpretamos como el campo de velocidades de un fluido
estacionario, las zonas hacia donde se dirigen los vectores son sumideros y las zonas
donde los vectores divergen son manantiales. Es decir, el fluido fluye de los manantiales
a los sumideros. La divergencia es una medida de la magnitud de un manantial o de un
sumidero.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

24. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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24
La siguiente gr´afica es una representaci´on por curvas de nivel de la divergencia del cam-
po anterior.
ContourPlot[Cos[x]-Sin[y],{x,-5,5},{y,-8,5}]
4 2 0 2 4
8
6
4
2
0
2
4
En las zonas m´as claras la divergencia es positiva (fuentes o manantiales) y en las m´as
oscuras es negativa (sumideros).
Veamos un ejemplo m´as.
F[x ,y ]:={x Cos[y],-Sin[y]}
Show[Graphics[Table[{Red,Arrow[{x,y},{x,y}+F[x,y], HeadScaling ->
Relative,HeadWidth->.3]},{x,-5,5,.5},{y,-5,5,.5}]],Axes->True,ImageSize->{437, 378}]
10 5 5 10
6
4
2
2
4
6
En esta gr´afica no hay puntos a los que desde todas las direcciones converjan o diver-
jan los vectores del campo. Aparentemente no hay fuentes ni sumideros. De hecho este
campo tiene divergencia nula.
D[x Cos[y],x]+D[-Sin[y],y] = 0
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

25. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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¥25
A continuaci´on nos proponemos generalizar los conceptos anteriores. No hay dificultad
ninguna en extender el concepto de divergencia para campos vectoriales de n variables.
Definici´on. Sea F : A → Rn
un campo vectorial con derivadas parciales de
primer orden definido en un abierto A ⊂ Rn
. Sea F(x) = (F1(x), F2(x), ..., Fn(x)).
Se llama divergencia de F en un punto x = (x1, x2, ..., xn) ∈ A y se nota divF(x)
al n´umero.
divFFF(x) = ∂F 1
∂x1
(x) + ∂F2
∂x2
(x) + ... + ∂Fn
∂xn
(x)
Observa que la diveregcncia de un campo vectorial es un campo escalar. Suele usarse
una notaci´on simb´olica para representar la divergencia. Para ello se define el operador
nabla, ∇, como
∇ = ∂
∂x1
, ∂
∂x2
, ..., ∂
∂xn
Este operador cuando act´ua sobre un campo escalar, f, produce su gradiente:
∇f(x) = ∂
∂x1
, ∂
∂x2
, ..., ∂
∂xn
f(x) = ∂f
∂x1
(x), ∂f
∂x2
(x), ..., ∂f
∂xn
(x)
La divergencia de un campo vectorial FFF en un punto x puede escribirse como el pro-
ducto escalar simb´olico del vector ∇ por el vector FFF( x) .
divFFF(x) = ∇.F.F.F(x) = ∂
∂x1
, ∂
∂x2
, ..., ∂
∂xn
...(F1( x), F2( x), ..., Fn( x)) = ∂F 1
∂x1
(x)+ ∂F 2
∂x2
(x)+
... + ∂Fn
∂xn
(x)
Comprobaremos m´as adelante que la divergencia de un campo en R3
tiene un signifi-
cado f´ısico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.
Es conveniente enunciar ahora, para refercncia posterior, un resultado obtenido anteri-
ormente como consecuencia del teorema de Green.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

26. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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¥26
Teorema de la divergencia para campos en R2
Sea γ un camino cerrado simple positivamente orientado y D la regi´on del plano limitada
por γ. Sea FFF : A → R2
un campo vectorial de clase C1
definido en un abierto que contiene
a D. Notemos por nnn el vector normal unitario exterior a γ. Entonces se verifica que
γ
F.nF.nF.n = D
divFFF(x, y)d(x, y)
Nota. Este resultado puede generalizarse, al igual que el teorema de Green, para do-
minios con agujeros.
En el caso particular de que el campo FFF sea el campo de gradiente de un campo escalar
f, FFF = ∇f, la igualdad anterior nos dice que
γ
∇f...nnn = D
div(∇f)(x, y)d(x, y) = D
∂2f
∂x2 (x, y) + ∂2f
∂y2 (x, y) d(x, y)
Como nnn es el vector unitario normal exterior a γ, en cada punto (x, y) de γ el producto
escalar ∇f(x, y)...nnn(x, y) es la derivada del campo escalar f en el punto (x, y) en la
direcci´on del vector unitario normal exterior a γ en dicho punto y suele usarse la notaci´on
∇f(x, y)...nnn(x, y) = ∂f
∂n
(x, y), con ello obtenemos la igualdad
γ
∂f
∂n
= D
∂2f
∂x2 (x, y) + ∂2f
∂y2 (x, y) d(x, y)
La generalizaci´on del concepto de rotaci´on de un campo bidimensional vamos a hacerla
para campos vectoriales en el espacio. Para ello nos vamos a guiar por un resultado que
conocemos de la lecci´on anterior que afirma que una condici´on necesaria y suficiente para
que un campo vectorial de dos variables FFF(x, y) = P(x, y)iii+Q(x, y)jjj de clase C1
definido
en un abierto A ⊂ R2
sea localmente conservativo es que para todo (x, y) ∈ A se verifique
la igualdad ∂P
∂y
(x, y) = ∂Q
∂x
(x, y) o, lo que es igual, ∂Q
∂x
(x, y) − ∂P
∂y
(x, y) = 0 ; esto es, con
la terminolog´ıa introducida m´as arriba, que el campo sea irrotacional.
El resultado an´alogo para un campo de tres variables FFF(x, y, z) = P(x, y, z)iii+Q(x, y, z)jjj+
R(x, y, z)kkk establece las condiciones
∂R
∂y
(x, y, z) − ∂Q
∂z
(x, y, z) = ∂P
∂z
(x, y, z) − ∂R
∂x
(x, y, z) = ∂Q
∂x
(x, y, z) − ∂P
∂y
(x, y, z) = 0
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

27. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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27
Estas ideas llevan a la siguiente definici´on.
Rotacional de un campo vectorial
Sea FFF(x, y, z) = P(x, y, z)iii + Q(x, y, z)jjj + R(x, y, z)kkk un campo vectorial con derivadas
parciales de primer orden definido en un abierto A ⊂ R3
. Se define el rotacional de FFF
en un punto (x, y, z) ∈ A como el vector
rotFFF(((x, y, z) =
∂R
∂y
(x, y, z) − ∂Q
∂z
(x, y, z) iii+ ∂P
∂z
(x, y, z) − ∂R
∂x
(x, y, z) jjj+ ∂Q
∂x
(x, y, z) − ∂P
∂y
(x, y, z) kkk
Se dice que un campo es irrotacional cuando su rotacional es id´enticamente nulo.
Para recordar esta definici´on se acostumbra a representar simbolicamente el rotacional
por medio del operador nabla en tres dimensiones
∇ = ∂
∂x
, ∂
∂y
, ∂
∂z
= ∂
∂x
iii + ∂
∂y
jjj + ∂
∂z
kkk
con ello podemos escribir el rotacional como el siguiente producto vectorial simb´olico
rotFFF(((x, y, z) = ∇ × FFF(((x, y, z) = determinante



iii jjj kkk
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R


 =
∂R
∂y
(x, y, z) − ∂Q
∂z
(x, y, z) iii+ ∂P
∂z
(x, y, z) − ∂R
∂x
(x, y, z) jjj+ ∂Q
∂x
(x, y, z) − ∂P
∂y
(x, y, z) kkk
Podemos tambi´en definir el rotacional de un campo de dos variables, FFF(x, y) = P(x, y)iii+
Q(x, y)jjj, por el convenio de asociar a dicho campo el campo de tres variables FFF3(x, y, z) =
P(x, y)iii + Q(x, y)jjj y definir rotFFF(x, y) = rotFFF3(x, y, z). Con ello, se obtiene f´acilmente
que rotFFF(x, y) = ∂Q
∂x
(x, y) − ∂P
∂y
(x, y) kkk. Observa que el teorema de Green puede es-
cribirse en la forma:
γ
FFF = D
rotFFF(x, y)...kkkd(x, y)
Comprobaremos m´as adelante que el rotacional de un campo en R3
tiene un significado
f´ısico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.
De la definici´on dada se sigue que una condici´on necesaria y suficiente para que un
campo vectorial de tres variables de clase C1
sea localmente conservativo es que sea
irrotacional. En consecuencia, el campo de gradiente de un campo escalar de clase C2
es irrotacional, lo que suele expresarse en la forma rot(∇f) = 0. Tambi´en se comprueba
con facilidad que div(rotFFF) = 0.
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

28. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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3.3.1 APLICACIONES EN MATLAB
Codigo Fuente:
% Datos: las coordenadas de F=[u,v,w]
% Resultados: la divergencia (div) y el rotacional (rot)
function [div,rot]=operadores(F)
syms x y z
u=F(1); v=F(2); w=F(3);
div=simplify(diff(u,x)+diff(v,y)+diff(w,z))
r1=diff(w,y)-diff(v,z); % rotacional 1 componente
r2=diff(u,z)-diff(w,x); % rotacional 2 componente
r3=diff(v,x)-diff(u,y); % rotacional 3 componente
rot=[r1,r2,r3];
Ejemplo 1
syms x y
F=[x/(x^2+y^2)^0.5,y/(x^2+y^2)^0.5,0];
[div,rot]=operadores(F)
div = 1/(x^2 + y^2)^(1/2)
rot = [ 0, 0, 0]
Ejemplo 2
syms x y z
F=[2,2*x,3*y];
G=[x,-y,z];
H=cross(F,G)
H =[ 3*y^2 + 2*x*z, 3*x*y - 2*z, - 2*x^2 - 2*y]
[div,rot]=operadores(H)
div = 3*x + 2*z
rot = [ 0, 6*x, -3*y]
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

29. Geometr´ıa Diferencial P´agina:
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3.3.2 APLICACIONES EN MATHEMATICA
Ejemplo 1
≪Calculus`VectorAnalysis`
SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]
F={2 x Sin[y],x2
Cos[y],-4 z3
}
Curl[F]
Resultado:
{0,0,0}
Ejemplo 2
≪Calculus`VectorAnalysis`
SetCoordinates[Cartesian[x,y,z]]
F={2 x Sin[y],x2
Cos[y],-4 z3
}
Div[F]
Resultado:
-12 z2
+2 Sin[y]-x2
Sin[y]
Docente: Lic. Jos´e Chiroque Baldera

30. Cap´ıtulo 4:
Conclusiones
1. Es indispensable para todo profesional en ciencias el manejo de una herramienta
matematica para as´ı poder facilitar y/o perfeccionar tanto su metodolog´ıa como
las aplicaciones de muchas de investigaciones.
2. Tanto Matlab como Mathematica son herramientas muy potentes para el desarrollo
del Calculo Vectorial, ambas facilitan el desarrollo y los c´alculos necesarios para
el Gradiente, Divergencia, Rotacional de un Campo Escalar y Vectorial.
3. Ambos programas poseen una variada programacion asi como muchos metodos
para realizar una misma tarea.
4. Con los c´odigos y la programaci´on realizada en esta investigaci´on, cualquier in-
vestigador estar´a en la capacidad de resolver y/o graficar toda funci´on escalar y
vectorial, as´ı como sus respectivos Gradiente, Rotacional y Divergencia.
30

31. Bibliograf´ıa
[1] O, Santamar´ıa,L Dami´an S,F. Huancas,P Julca C., Introducci´on a la
geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, Editorial MOSHERA, febrero,
2008.
[2] Luis Y. Garay, Notas de geometr´ıa diferencial cl´asica, Madrid, junio 2006.
[3] Javier Dafuente L´opez., Geometr´ıa Diferencial de curvas y superficies
en el espacio eucl´ıdeo, febrero de 2002.
[4] Misael Avenda˜no Gamacho., Teorema fundamental de superficies y el
criterio de Frobenius, 2003.
[5] Paulo Ventura Ar´aujo., Geometr´ıa Diferencial, Instituto de Matem´atica y
Ciencias Afines, IMCA, 2003.
[6] Martin M. LIPSCHUTZ, Ph.D, Geometr´ıa Diferencial , Universidad de
Bridgeport.
[7] Mar´ıa del Carmen Su´arez Rodr´ıguez, C´alculo integral y aplicaciones
con Matlab, Pearson Educaci´on, 2004.
[8] Robert Ipanaqu´e Chero, Ricardo Velesmoro Le´on., Breve manual de
MATHEMATICA 5.1, Juan Carlos Mart´ınez Coll.
31