Conceptos básicos de matemática financiera

1. TEMA 3: MATEMÁTICA
FINANCIERA
Autor: Ing. Mauro Moreno Russo

2. MATEMATICA FINANCIERA
• Las matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas
presentan el mismo objetivo final.
• “Estudia el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles
para la evaluación y comparación económica de las diferentes alternativas
que un inversionista, o una organización pueden llevar a cabo y que
normalmente están relacionadas con proyectos o inversiones en: sistemas,
productos, servicios, recursos, inversiones, equipos, etc., para tomar
decisiones que permitan seleccionar la mejor o las mejores posibilidades
entre las que se tienen en consideración.
• Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes
alternativas planteadas para la solución de un mismo problema
• Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la
comparación y evaluación económica de alternativas

3. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
• Es el concepto más importante en las matemáticas financieras. El dinero,
como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco, es decir, su uso no es
gratuito, hay que pagar para usarlo.
• El principio básico de las finanzas es que un dólar (un peso) hoy vale más
que un dólar (un peso) mañana, por que puede invertirlo hoy para que
empiece a generar intereses inmediatamente.
• Podemos mencionar al menos tres razones que lo justifican:
 Las personas prefieren consumir en el presente que en el futuro y, en otro caso, para
posponer el consumo en el presente exigen mayor consumo en el futuro.
 Cuando hay inflación, el valor de la moneda decrece en el tiempo.
 Si hay incertidumbre sobre los ingresos futuros, estos se valoran menos.

4. INTERÉS
• Se podría definir el interés, como la renta o los réditos que hay que pagar por el uso del dinero
prestado.
• También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma
productiva el dinero, el interés tiene como símbolo i.
• En concreto, el interés se puede mirar desde dos puntos de vista.
 Como costo de capital: cuando se refiere al interés que se paga por el uso del dinero prestado.
 Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al interés obtenido en una inversión.
• El interés relaciona dos cantidades de dinero separadas por un intervalo de tiempo.
• Si hablamos del caso de un préstamo, el interés es la diferencia entre el capital que adquirimos
prestado y el capital devuelto al final del plazo.
• Si somos los poseedores del dinero y decidimos invertirlo, el interés es la diferencia entre el capital
invertido y el capital obtenido al final de la inversión.
• Matemáticamente, podemos decir:
𝐼 = 𝐶𝑡1
− 𝐶𝑡0
𝐶𝑡1
= 𝐶𝑡0
+ 𝐼
Donde:
I= Interés obtenido
Ct0= Dinero al inicio del plazo
Ct1= Dinero al final del plazo.
(1)

5. TASA DE INTERÉS
• La tasa de interés mide el valor de los intereses en porcentaje para un período de tiempo
determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades monetarias
($100) que se invierten o se toman en calidad de préstamo, por ejemplo, se dice.: 25% anual, 15%
semestral, 9 % trimestral, 3% mensual.
• Cuando se fija el 25% anual, significa que por cada cien pesos que se inviertan o se prestan se
generaran de intereses $ 25 cada año, si tasa de interés es 15% semestral, entones por cada cien
pesos se recibirán o se pagaran $ 15 cada seis meses, si la tasa es 9% trimestral se recibirán o se
pagaran $ 9 de manera trimestral, y si la tasa es del 3% mensual, se recibirán o se pagaran $ 3
cada mes.
• La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las
políticas del gobierno, etc.
• Matemáticamente la tasa de interés, se puede expresar como la relación que se da entre lo que
se recibe de interés (I) y la cantidad invertida o prestada.
𝑖 =
𝐼
𝐶𝑡0
• Que, si remplazamos el valor de I según la ecuación (1), también la podemos expresar como
𝑖 =
𝐶𝑡1
− 𝐶𝑡0
𝐶𝑡0
Las tasas se expresan en tanto por uno (normalmente entre 0 a 1) o tanto por ciento (entre 0 y 100%)

6. ACTUALIZACIÓN Y
CAPITALIZACIÓN
• Existen dos formas de determinar el valor del dinero en un lapso de tiempo, en donde en uno
traemos al presente un valor de capital futuro y en el otro caso, calculamos el valor del dinero que
tenemos hoy en una fecha en el futuro, siempre relacionados mediante un interés que los separa
en el período.
• La actualización es el proceso de calcular el valor presente de un capital futuro, descontando el
interés sobre ese capital. En este caso la tasa se denomina “tasa de descuento”.
• Por otro lado, la capitalización es el proceso de calcular el futuro valor de una inversión,
considerando el interés generado sobre el capital inicial.

7. CAPITALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE
• Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma
razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.
• Se puede concluir que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado será igual en todos los
períodos de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés y el plazo no cambien.
• Consideremos la ecuación del interés:
𝑖 =
𝐼
𝐶𝑡0
𝐼 = 𝐶𝑡0
𝑖 𝑛
• Ahora, si el plazo se compone por “n” períodos, la ecuación es la siguiente
• Anteriormente se mencionó que los intereses son la diferencia entre el capital final y el capital inicial:
𝐼 = 𝐶𝑡𝑛
− 𝐶𝑡0
𝐶𝑡𝑛
= 𝐶𝑡0
+ 𝐼
𝐶𝑡𝑛
= 𝐶𝑡0
+ 𝐶𝑡0
𝑖 𝑛
• Remplazando la ecuación (2) y factorizando
(2)
𝐶𝑡𝑛
= 𝐶𝑡0
(1 + 𝑖 𝑛)
• Para simplificar, llamaremos monto final o total “MT” a Ctn y simplemente “C” al capital inicial Ct0:
𝑀𝑇 = 𝐶 (1 + 𝑖 𝑛) 𝐼 = 𝐶 𝑖 𝑛
𝐼 = 𝐶𝑡0
𝑖

8. ACTUALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE
• Consiste en una quita o reducción de una cantidad futura esperada, a una tasa adelantada, durante “n”
periodos. La tasa se aplica solamente a dicha cantidad futura esperada.
• Cuando se consigue un préstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagarlo median te la firma de
un pagaré, cuyo valor nominal generalmente es mayor que C, puesto que incluye los intereses.
• Se trata de una situación inversa a la de la capitalización, por lo que la ecuación queda de la siguiente forma
𝐶 =
𝑀𝑇
(1 + 𝑑 𝑛) 𝐷 = 𝑀𝑇 1 −
1
1 + 𝑑 𝑛
• En este caso, monto final “MT” es al que se afecta por la tasa de descuento “d” para obtener el valor del capital actual
“C”. El descuento total en este caso es “D”.
• En valores absolutos, y para un mismo valor de capital inicial y un mismo valor final, D = I. No obstante, mientras I se aplica
sobre el monto inicial, D se aplica sobre el monto final.

9. DESCUENTO COMERCIAL A
INTERES SIMPLE
• Es el que se aplica sobre el valor nominal del documento (MT). Puede decirse que es el
interés simple del valor nominal. En el descuento comercial o bancario, el interés se
cobra por adelantado, en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento. Los
intereses cobrados anticipadamente se llaman descuento.
• El documento de crédito que quiere descontarse tiene dos valores: el valor escrito en el
mismo, que se llama Valor Nominal, que es la cantidad que debe pagarse el día de su
vencimiento; y el valor que tiene en cualquier momento antes de su vencimiento si se lo
paga. Este recibe el nombre de valor actual, valor efectivo o valor comercial.
• Por definición se tiene:
𝐷 = 𝑀𝑇 𝑑 𝑛
𝑀𝑇 =
𝐶
1 − 𝑑 𝑛
𝐶 = 𝑀𝑇(1 − 𝑑 𝑛)
Donde:
MT = Valor Nominal
C = Valor efectivo o comercial
D = Descuento
d = tasa de descuento

10. CAPITALIZACIÓN A INTERES
COMPUESTO
• Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se
adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto compuesto y sobre este
monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalización de los intereses. En otras palabras se
podría definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo
por la suma de los intereses vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de
monto total o final compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital
original se le denomina interés compuesto:
𝑀𝑇 = 𝐶 (1 + 𝑖 )𝑛
𝐼 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖 =
𝑀𝑇
𝐶
1
𝑛
− 1
• Donde:
• MT= Monto total compuesto
• C= Capital inicial
• i= Tasa de interés compuesta
• I= Monto compuesto o capitalización

11. DESCUENTO A INTERÉS
COMPUESTO
• La tasa de descuento se aplica al saldo al final de cada periodo. Se aplica
la tasa de descuento durante “n” periodos y en cada uno de ellos a la
diferencia entre la cantidad final del periodo y el descuento realizado
durante dicho periodo.
• La ecuaciones empleadas en el cálculo de descuento a interés compuesto
son:
𝐷 = 𝑀𝑇 1 − (1 − 𝑑)𝑛
𝑀𝑇 =
𝐶
1 − 𝑑 𝑛
𝐶 = 𝑀𝑇 1 − 𝑑 𝑛

12. AMORTIZACIÓN
• La amortización es el proceso de asignar el costo de un activo intangible a lo largo
de su vida útil. Este activo intangible puede ser una patente, derechos de autor,
marcas registradas, software, o incluso el costo de emisión de deuda. La
amortización refleja la reducción del valor del activo intangible en los libros
contables de la empresa.
• Características Principales:
• Activo Intangible: Aplica a activos que no tienen una forma física, pero que son
valiosos para la empresa.
• Vida Útil Determinada: Generalmente, los activos intangibles tienen una vida útil
establecida legalmente o contractual (por ejemplo, una patente que dura 20
años).
• Gasto Contable: La amortización se registra como un gasto contable en el estado
de resultados, reduciendo las utilidades de la empresa.
• Método Lineal Común: El método de amortización más común es el lineal, donde el
costo del activo intangible se distribuye uniformemente a lo largo de su vida útil.

13. DEPRECIACION
• La depreciación es el proceso de asignar el costo de un activo tangible
(como edificios, maquinaria, vehículos, equipos) a lo largo de su vida útil.
Refleja la pérdida de valor de los activos físicos debido al uso, desgaste,
obsolescencia, o el paso del tiempo.
• Características Principales:
• Activo Tangible: Aplica a activos físicos que la empresa utiliza en sus
operaciones.
• Vida Útil Estimada: La vida útil de los activos tangibles se estima en función de su
uso y durabilidad.
• Gasto Contable: La depreciación se registra como un gasto en el estado de
resultados y reduce la base imponible para efectos fiscales.
• Diversos Métodos de Depreciación: Existen varios métodos para calcular la
depreciación, como el método lineal, el método de doble saldo decreciente, y
el método de unidades de producción.

14. EJEMPLOS EN IS - IC:
CAPITALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE
• Si se depositan en una cuenta de ahorros $ 5.000.000 y la corporación paga
el 3% mensual. ¿Cuál es el pago mensual por interés? ¿Cuánto será el
monto final?
• Datos
C = $ 5.000.000
i = 3% = 0,03
n = 1 mes
• Incógnitas
o I = ?
o MT = ?
𝑀𝑇 = 𝐶 (1 + 𝑖 𝑛)
𝐼 = 𝐶 𝑖 𝑛
𝐼 = $5.000.000 ∗ 0,03 ∗ 1
𝐼 = $150.000
𝑀𝑇 = $5.000. 000 ∗ (1 + 0,03 ∗ 1)
𝑀𝑇 = $5.000. 000 ∗ 1,03
𝑀𝑇 = $5.150. 000

15. ACTUALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE
• El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma
de $350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operación.
• Datos:
o d anual = 7% anual
o D = $350.000
𝐷 = 𝑀𝑇 𝑑 𝑛
𝑀𝑇 =
𝐷
𝑑 𝑛
𝑀𝑇 =
$350.000
0,07 ∗ 0,5
𝑀𝑇 = $10.000.000
Incógnitas:
MT = ?
C = ?
Se sabe que 6 meses = 0,5 años entonces 𝑑 = 7% = 0,07 𝑛 = 0,5
𝐶 = 𝑀𝑇(1 − 𝑑 𝑛)
𝐶 = $10.000.000(1 − 0,07 ∗ 0,5)
𝐶 = $9.650.000

16. CAPITALIZACIÓN A INTERÉS
COMPUESTO
• ¿Cuánto dinero se tiene dentro de seis meses en una cuenta de ahorros que
reconoce el 2% mensual a interés compuesto si hoy se invierte en una corporación
$400.000?¿Cuánto fue el interés ganado?
Datos:
i = 2%
n = 6 meses
C = $400.000
Incógnitas:
MT = ?
I = ?
𝑀𝑇 = 𝐶 (1 + 𝑖 )𝑛
𝑀𝑇 = $400.000 (1 + 0,02 )6
𝑀𝑇 = $450.465
𝐼 = 𝑀𝑇 − 𝐶
𝐼 = $450.465 − $400.000
𝐼 = $50.465

17. DESCUENTO A INTERES
COMPUESTO
• Un documento de $ 10.000 se descuenta al 0,03094 mensual durante 15 meses antes de su vencimiento. Se
pide: valor del descuento, valor efectivo del documento, descuento correspondiente al tercer mes.
• Datos
• MT = $10000
• d = 0,03094
• n = 15
Incógnitas
• D15= ?
• D3= ?
• C = ?
𝐷 = 𝑀𝑇 1 − (1 − 𝑑)𝑛
𝐷 = $10.000 1 − (1 − 0,03094)15
𝐷 = $3758,91
𝐶 = 𝑀𝑇 1 − 𝑑 𝑛
𝐶 = $10.000 1 − 0,03094 15
𝐶 = $6241,1
𝐷 = 𝑀𝑇 1 − (1 − 𝑑)𝑛
𝐷 = $10.000 1 − (1 − 0,03094)3
𝐷 = $2463,74

18. BIBLIOGRAFIA
• Villalobos José Luis. (2009). “Matemáticas Financieras”. Tercera Edición.
PEARSON EDUCACIÓN, México.
• Ramírez Molinares, C. V., Barbosa, M. T., Pantoja Algarin, C., Zambrano
Meza, A. (2009). “Fundamentos de Matemáticas Financieras”. Universidad
Libre sede Cartagena Centro de Investigaciones.

19. MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN