Tema 8 magnitudes proporcionales porcentajes

IES “Los Colegiales” Matemáticas 1º ESO Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

TEMA 8: MAGNITUDES PROPORCIONALES.

PORCENTAJES

1. Magnitudes Directamente Proporcionales

Kg de café Precio (€)
1 _______________ 4
2 _______________ 8
3 _______________ 12
4 _______________ 16
5 _______________ 20
· ·
· ·
· ·
8 _______________ 32
· ·
· ·
· ·

Estas dos magnitudes, peso en kg de café y su precio en €, se dice que son magnitudes
directamente proporcionales, porque si compramos el doble, el triple, el cuádruple..., de kg de café,
también pagamos el doble, el triple, el cuádruple de €.

Si cogemos 2 cantidades de la 1ª magnitud (peso), con las 2 cantidades correspondientes de la 2ª
magnitud (precio), y las escribimos en el mismo orden, formamos una proporción:

Ejemplo: 1 = 4
5 20

Todas las proporciones tienen 4 términos:

1º término 1 = 4 3º término
2º término 5 20 4º termino

El 1º y 4º términos se llaman extremos: 1 y 20
El 2º y 3º términos se llaman medios: 5 y 4

La proporción se lee de una manera distinta a como se leen dos fracciones:

Ejemplo: 1 = 4
5 20

Uno es a cinco como cuatro es a veinte

Lo que indica es que la relación que existe entre el 1 el 5 es la misma que la que existe entre
el 4 y el 20. Esta relación se llama razón.

Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/13


La razón es el cociente (división) entre los dos números:

1 = 0,2
5

4 = 0,2
20

Propiedad fundamental de las proporciones:

“El producto de los extremos es igual al producto de los medios”

Si te has dado cuenta una proporción está formada por dos fracciones equivalentes. Para saber si
dos fracciones son equivalentes multiplicamos en cruz.

Ejemplo: 1 = 4 1 · 20 = 5 · 4
5 20 20 = 20
Es una proporción.

1.1. Regla de tres simple y directa.

Hay problemas en los que trabajamos con dos magnitudes. De una magnitud conocemos dos
cantidades y de la otra magnitud solo conocemos una cantidad. El problema consiste en calcular la
cantidad que falta, a la que vamos a llamar “x”.
Estos problemas se resuelven planteando una regla de tres ( porque conocemos tres cantidades),
simple (porque sólo hay dos magnitudes) y directa (porque las magnitudes son directamente
proporcionales).

Pasos:
1º Leemos el problema y buscamos las dos magnitudes y en qué unidades se miden.
2º Colocamos las cantidades en sus magnitudes correspondientes. Muy Importante que estén
expresadas en la misma unidad.
3º Comprobamos que es directa ( D ) con esta regla de signos:

D
+ _____________________ +
- _____________________ -

4º Formamos la proporción con las cantidades que aparecen la regla de tres en el mismo orden.
5º Calculamos el valor de “x” y ya habremos resuelto el problema.



Ejemplos:

Problema 1.
En 5 cajas hay 115 bolígrafos. ¿Cuántos bolígrafos habrá en 12 cajas?

Nº Cajas D Nº de Bolígrafos Es directa porque si hay más (+) cajas,
5 ________________ 115 también habrá (+) bolígrafos.
12 ________________ x
+ +

5 = 115 5 · x = 12 · 115
12 x 5 · x = 1.380

x = 1.380 x = 276 bolígrafos
5

Solución: En 12 cajas habrá 276 bolígrafos

Problema 2.
Una persona camina 26,25 km en 2 h y media. ¿Cuántos km caminará en 20 minutos?

Tenemos que expresar 2 h y media en minutos, para trabajar en la misma unidad:
2h y media = 2,5 h = 2,5 x 60 = 150 minutos.

Longitud (km) D Tiempo (min) Es directa porque en menos (-) tiempo,
26,25 ________________ 150 caminaremos menos (-) km.
x ________________ 20
- -

26,25 = 150 150 · x = 20 · 26,25
x 20 150 · x = 525

x = 525 x = 3,5 km
150

Solución: En 20 minutos recorrerá 3,5 km.



2. Magnitudes Inversamente Proporcionales

Nª de obrero Tiempo (días) en hacer una obra
1 _______________ 80
2 _______________ 40
4 _______________ 20
5 _______________ 16
· ·
· ·
· ·
8 _______________ 10
· ·
· ·
· ·

Estas dos magnitudes, nº de obreros y tiempo en hacer una obra, se dice que son magnitudes
inversamente proporcionales, porque si contratamos el doble, el triple, el cuádruple..., de obreros,
tardaremos la mitad, la tercera parte, la cuarta parte..., de días en hacer la obra.
Si observamos la tabla y multiplicamos obreros x días siempre sale el mismo resultado = 80
1 x 80 = 80
2 x 40 = 80
4 x 20 = 80
5 x 16 = 80 ...

Si cogemos 2 cantidades de la 1ª magnitud (obrero), con las 2 cantidades correspondientes de la
2ª magnitud (días), y las escribimos en el mismo orden ocurre lo siguiente::

Ejemplo: 1 = 80
5 16

Si multiplicamos en cruz no se cumple la propiedad fundamental de las proporciones:
1 · 16 = 5 · 80
16 = 400
No es una proporción

¿Qué podemos hacer para que sí sea una proporción?
Escribimos la inversa de una de las dos fracciones:

1 = 16
5 80
Inversa

Si multiplicamos en cruz ahora si se cumple la propiedad fundamental de las proporciones:
1 · 80 = 5 · 16
80 = 80
Si es una proporción

Por eso estas magnitudes se llaman inversamente proporcionales.



2.1. Regla de tres simple e inversa.

Estas reglas de tres se plantean igual que las directas, pero con dos diferencias:

1ª Comprobamos que es inversa ( I ) con esta regla de signos:

I
+ _____________________ -
- _____________________ +

2ª Cuando formamos la proporción, hay que poner la inversa de una de las dos fracciones que
forman la proporción. Normalmente ponemos la inversa de la fracción en la que no esta “x”.

Ejemplos:

Problema 1.
5 obreros hacen un trabajo en 16 días. ¿Cuánto tardarán 8 obreros en hacer el mismo trabajo?

Nº Obreros I Tiempo (días) Es inversa porque si hay más (+) obreros,
5 ________________ 16 tardarán menos (-) tiempo.
8 ________________ x
+ -

8 = 16 8 · x = 5 · 16
5 x 8 · x = 80

Inversa x = 80
x = 10 días
8

Solución: 8 obreros tardarán 10 días en hacer el mismo trabajo

Problema 2.
Una granjero tiene pienso para alimentar 25 vacas durante 40 días. Si vende 5 vacas, ¿Cuántos días le
durará el pienso?

Como vende 5 vacas, ahora le quedan: 20 – 5 = 15 vacas.

Nº de vacas I Tiempo (días) Es inversa porque si hay menos (-) vacas,
25 ________________ 40 el pienso durará más (+) días.
20 ________________ x
- +

20 = 40 20 · x = 25 · 40
Inversa 25 x 20 · x = 1.000

x = 1.000
x = 50 días
20

Solución: El pienso le durará 50 días.



3. Proporcionalidad Compuesta

Cuando trabajamos con más de dos magnitudes tenemos la proporcionalidad compuesta.
Estos problemas se resuelven planteando una regla de tres compuesta:

3.1. Regla de Tres Compuesta

1º Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
2º Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que
si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos “x” a la cantidad
que tenemos que calcular.
3º Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la “x” para saber si es directa o
inversa: utilizamos los signos “+” y “ – ” Recuerda que:
Directa (D) Inversa (I)
+ __________________ + + ____________________ -
- ___________________ - - ____________________ +
4º Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la “x” seguida del signo = ,
después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:
Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.
Si es Inversa escribimos la fracción inversa.
5º Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.

1.- 6 Trabajadores forestales limpian 4 hectáreas de bosque en 12 días. ¿Cuántos días tardarán 9
trabajadores en limpiar 10 hectáreas?
I D
Nº Trabajadores Bosque (ha) Tiempo (días)
6 _______________ 4 ___________ 12
9 _______________ 10 ___________ x
+ -
+ +
Comparamos Nº de Trabajadores y Tiempo. Hay más ( + ) trabajadores, tardarán menos ( - )
tiempo en limpiar el bosque. Es Inversa. ( I )
Comparamos Bosque y Tiempo. Hay más ( + ) ha que limpiar, más ( + ) días tardarán en limpiarlo
Es Directa. ( D ) I D
12 = 9 . 4 = 9 · 4 = _36
x 6 10 6 · 10 60
12 = 36 36 · x = 12 · 60
x 60 36 · x = 720
x = 720 x = 20 días
36
Solución: Tardarán en limpiar el bosque 20 días.



4. Repartos Directamente Proporcionales.

Cuando queremos repartir una cantidad entre varios números de manera que al nº menor le
corresponda menos y al nº mayor le corresponda más, es lo que se llama Repartos Directamente
Proporcionales.

Ejemplo:

Ana tenía 12 €, Ángel tenía 8 € y Juana tenía 5 €. Juntaron su dinero y compraron 2.500
folios, ¿Cómo deben repartirlos?

No se pueden repartir entre tres, porque a todos les correspondería el mismo nº de folios. Hay que
repartirlos de manera que al que menos dinero ha puesto, le correspondan menos folios, y al que
más dinero ha puesto le correspondan más folios. A esta forma de repartir se llama Repartos
Directamente Proporcionales.

Para resolver este problema seguimos estos pasos:
1º Sumamos para averiguar cuánto han puesto entre los tres.
2º Dividimos los folios entre el total de € para saber cuántos folios compro por 1 €
3º Ese resultado lo multiplicamos por lo que cada niño ha puesto.
Datos:
Ana: 12 € Ana: 12 € x 100 = 1.200 folios
Ángel: 8€ Ángel: 8€ x 100 = 800 folios
Juana: 5€ + Juana: 5 € x 100 = 500 folios
25 €
Compran: 2.500 folios.
2.500 folios l 25 €
00 100 folios/€ (Por cada € corresponden 100 folios)



5. Porcentajes.

Cuando hablamos de porcentaje o tanto por ciento y lo representamos con % , queremos decir
que de cada 100 partes cogemos “tanto”.
Si escribimos 5 %, se lee cinco por ciento, significa que de cada 100 partes cogemos 5.

Los porcentajes podemos escribirlos en forma de fracción o razón:

5% = 5 fracción o razón
100

También como un número decimal:

5% = 5 = 0,05 Nº Decimal
100

5.1 Cálculo de Porcentajes.
Basándonos en lo anterior, hay tres formas de calcular el tanto por ciento de una cantidad.
Vamos a verlo con un ejemplo: Calcula el 5 % de 60 = ________

1ª Forma: Con una regla de tres simple y directa:
Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular:
Partes Totales Partes que cogemos
5% 100 _______________ 5
60 _______________ x

100 = 5 100 · x = 60 · 5
60 x 100 · x = 300
x = 300
x=3
100
Solución: El 5 % de 60 es 3



2ª Forma: Expresando el tanto por ciento en forma de fracción:
5 % de 60 = 5 de 60 = ( 60 · 5 ) : 100 = 300 : 100 = 3
100

3ª Forma: Expresando la fracción en forma de número decimal:
5% = 5 = 5 : 100 = 0,05 5 % de 60 = 0,05 · 60 = 3
100
5.1.1 Cálculo de la cantidad a la que se le ha aplicado un tanto por ciento.
La mejor forma de resolver estos ejercicios es con una regla de tres simple y directa.
Vamos a verlo con un ejemplo:
¿A qué cantidad le hemos aplicado el 8 % para obtener 24?
8 % de ________ = 24
Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular y planteamos la regla de tres:
8% 100 _______________ 8
x _______________ 24

100 = 8 8 · x = 100 · 24
x 24 8 · x = 2.400
x = 2.400
x = 300
8

5.1.2 Cálculo del tanto por ciento que se ha aplicado.
La mejor forma de resolver estos ejercicios es con una regla de tres simple y directa.
Vamos a verlo con un ejemplo:
¿Qué tanto por ciento le hemos aplicado 250 para obtener 37,50?
___ % de 250 = 37,50
Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular y planteamos la regla de tres:
x% 100 _______________ x
250 _______________ 37,50

100 = x 250 · x = 100 · 37,50
250 37,50 250 · x = 3.750
x = 3.750
x = 15 %
250



6. Problemas de Porcentajes.

En la vida cotidiana aparecen con mucha frecuencia los porcentajes, podríamos clasifícarlos en
dos tipos de problemas: Disminución Porcentual y Aumento Porcentual.

6.1 Disminución Porcentual.

Son los típicos problemas de rebajas y descuentos.
Los productos que están rebajados cuestan ahora menos que antes. Calculamos el tanto por
ciento y se lo restamos al precio que tenía el producto y nos saldrá el precio final que tenemos que
pagar. Como restamos el descuento o la rebaja que nos hacen, por eso los porcentajes pueden aparecer
con signos negativos delante ( – ), como en la foto de arriba: – 50 %

Problema
Una cadena musical cuesta 600 €. Si tiene un descuento del 12 %, ¿cuánto debo pagar por la
cadena?

Este problema podemos hacerlo de dos formas:
1ª Forma:
Calculamos el 12 % de 600 € y se lo restamos a 600 €

Precio (€) Dinero que nos rebajan (€)
12 % 100 _______________ 12
600 _______________ x

100 = 12 100 · x = 600 · 12
600 x 100 · x = 7.200
x = 7.200
100
x = 72 € de rebaja
600 € – 72 € = 528 €

Solución: Debo pagar por la cadena 528 €



2ª Forma:

Pensamos en el significado de que nos rebajan el 12 %: Si algo cuesta 100 € nos rebajan 12 €, por
lo tanto pagamos sólo 88 € ( 100 € – 12 € = 88 € ). Pensando así planteamos la regla de tres:

Precio (€) Precio Final Rebajado (€)
12 % (100 – 12 = 88) 100 _______________ 88
600 _______________ x

100 = 88 100 · x = 600 · 88
600 x 100 · x = 52.800
x = 52.800
x = 528 €
100

Solución: Debo pagar por la cadena 528 €



6.2 Aumento Porcentual

Son los típicos problemas de subidas o aumentos.
El IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido), es un porcentaje que se le suma al precio de lo que
compramos, por eso aparece con el signo más delante ( + ), como en la foto de arriba: + 18 %.
Calculamos el tanto por ciento y se lo sumamos al precio que tenía el producto y obtenemos el precio
final que tenemos que pagar.

Problema
En el móvil he tenido un consumo de 60 €. Cuando recibo la factura tengo que pagar de IVA el
18%. ¿Cuánto tengo que pagar en total?

Este problema podemos hacerlo de dos formas:
1ª Forma:
Calculamos el 18 % de 60 € y se lo sumamos a 60 €

Precio (€) Dinero que pagamos de IVA(€)
18 % 100 _______________ 18
60 _______________ x

100 = 18 100 · x = 60 · 18
60 x 100 · x = 1.080
x = 1.080
100
x = 10,80 € de IVA

60 € + 10,80 € = 70,80 €

Solución: Debo pagar en la factura del móvil 70,80 €



2ª Forma:

Pensamos en el significado de que pagamos de más el 18 %: Si algo cuesta 100 € pagamos 18 € más
por lo tanto pagamos 118 € ( 100 € + 18 € = 118 € ). Pensando así planteamos la regla de tres:

Precio (€) Precio Final con el IVA (€)
18 % (100 + 18 = 118) 100 _______________ 118
60 _______________ x

100 = 118 100 · x = 60 · 118
60 x 100 · x = 7.080
x = 7.080
x = 70,80 €
100

Solución: Debo pagar por la factura del móvil 70,80 €

Espero que todo lo anterior te haya servido para comprender
mejor el tema y puedas resolver todos los ejercicios y problemas.
Si sigues teniendo dudas me las preguntas en clase.


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