1. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Razón y proporción numérica
Magnitudes directamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Magnitudes inversamente proporcionales
Regla de tres simple inversa
Problemas de porcentajes

2. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
A a y d se les llama extremos.
La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: 5
2
10
=
La razón entre 0,15 y 0,3 es
2
1
30
15
3,0
15,0
==
Razón entre dos números a y b es el cociente
b
a
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una
proporción, pues sus razones son iguales. 20
8
5
2
=Es decir:
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre
a y b es la misma que entre c y d.
Es decir:
d
c
b
a
= Se lee “a es a b como c es a d”
El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
d
c
b
a
= ad = bc
A b y c se les llama medios.
Razón y proporción numérica

3. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo:
Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Observa:
1 saco 2 sacos 3 sacos ? sacos
20 kg 40 kg 60 kg 520 kg
Fíjate:
Habrás advertido que:
Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20.
Sacos:
Kilos:
En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la
primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que
esas magnitudes son directamente proporcionales.
20
1
40
2
60
3
520
??
520
?
...
60
3
40
2
20
1
====
?
? 26
20
520
==
Magnitudes directamente proporcionales (I)

4. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares?
¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros?
Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego:
1 2 3
0,95 2 · 0,95
= 1,9
3 · 0,95
= 2,85
En definitiva:
Dólares:
Euros:
(dólares) · 0,95 = euros.
95,0
1
=
euros
doláres
Ejercicio
Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros
Para pasar de dólares a euros
se multiplica por 0,95.
Para pasar de euros a dólares
se divide por 0,95
Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares),
luego
x = 20 : 0,95 = 21,05
20 euros = 21,05 dólares
Magnitudes directamente proporcionales (II)

5. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales.
Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal.
¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal?
La proporción establecida es:
1300
50
saldegramos
aguadelitros
=
Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal,
se verifica la proporción:
5200
x
1300
50
= 50 · 5200 = 1300 x 200
1300
5200·50
x ==
En 50 litros hay 1300 g de sal
En x litros habrá 5200 g de sal
200
1300
5200·50
x ==
Disposición práctica
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre
de regla de tres simple directa.
50 l 1300 g
x l 5200 g
Regla de tres simple directa

6. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Ejemplo:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos
días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
Observa:
3 6 9 18
24 12 8
Fíjate:
Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres?
Hombres:
Días:
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera
corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice
que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
?
3 · 24 = 72 6 · 12 = 72 9 · 8 = 72 18 · 24 = 72?
Doble de 3 Triple de 3
Mitad de 24 Un tercio de 24
Si 18 · = 72, entonces = 72 : 18 = 4 días? ?
Magnitudes inversamente proporcionales

7. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la
mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc.
Ejemplo. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45
días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son
inversamente proporcionales.
220 vacas tienen para 45 días
450 vacas tendrán para x días
22
450
45·220
x ==
Disposición práctica
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente
proporcionales se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.
220 vacas 45 días
450 vacas x días
220
45
Vacas:
Días:
450
x
220 · 45 = 450 · x x = 22
Regla de tres simple inversa

8. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80.
Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del
20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas
etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar?
Aplicando la regla de tres, se tiene:
Si de 100 euros pagamos 80
De 90 euros pagaremos x
72
100
90·80
x ==
Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas.
100 80
90 x
En la práctica
Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad
resultante es lo rebajado.
Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros
Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%.
Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros
Problemas de porcentajes (I)

9. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de
8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto
sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?
Aplicando la regla de tres simple se tiene:
Si por 100 euros pagamos 116
Por 8200 euros pagaremos x
9512
100
8200·116
x ==
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.
100 116
8200 x
En la práctica
Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad
resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.
Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros
Problemas de porcentajes (II)

10. Proporcionalidad. Regla de tresProporcionalidad. Regla de tres
Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de
8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto
sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?
Aplicando la regla de tres simple se tiene:
Si por 100 euros pagamos 116
Por 8200 euros pagaremos x
9512
100
8200·116
x ==
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.
100 116
8200 x
En la práctica
Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad
resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.
Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros
Problemas de porcentajes (II)