El documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables de decisión. Este método consiste en graficar la región factible definida por las restricciones y determinar la solución óptima como el punto en la región que optimiza el valor de la función objetivo.

1. MÉTODO GRÁFICO
Aspectos Básicos
•Consiste en graficar las soluciones factibles, o el
espacio de soluciones (espacio factible), que satisfaga
todas las restricciones simultaneamente.
•Es una manera “simple” de resolver un problema
de programación lineal que tenga solamente dos
variables de decisión.
•Es útil para encontrar la solución óptima e
información adicional sobre cuan susceptible es esa
solución con respecto a los datos del problema.
•Aun cuando para modelos con tres o más variables,
este método es impráctico o imposible, proporciona
un buen fundamento para el uso de la P.L. en el
mundo real.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

2. MÉTODO GRÁFICO
Metodología
•Graficar las soluciones factibles (espacio encerrado
por todas las restricciones del modelo).
–Reemplazar el signo de desigualdad con un signo de
igualdad.
–Grafique la igualdad (línea recta).
–Identificar el lado factible de la recta: Seleccione un
punto cualquiera (a,b) que no pertenezca a la recta y
verifique si satisface la restricción. Si así es, entonces ese
punto está en el lado factible; si no es así, el lado factible
está en el lado opuesto al punto seleccionado.
El área del gráfico que satisface todas las restricciones, se
denomina REGIÓN FACTIBLE (ESPACIO FACTIBLE) y
cualquier punto dentro de esta región es una SOLUCIÓN
FACTIBLE.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

3. MÉTODO GRÁFICO
Metodología
•Determinar la solución óptima.
–Método I:
•Graficar la función (línea) objetivo. Efectúe Z=0.
•Localizar su mejor lado. Grafique Z≠ 0.
•“Mover” la línea de la función objetivo paralela a si
misma en la dirección de mejora.
El punto final de corte entre la Región Factible y la
función objetivo es la SOLUCIÓN ÓPTIMA.
–Método II:
•Identifique y determine los puntos de intersección
entre las restricciones.
•Sustituya estos puntos en la Función objetivo.
El punto que optimiza (minimiza o maximiza) la función
objetivo es la SOLUCIÓN ÓPTIMA. Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

4. MÉTODO GRÁFICO
Conclusiones Importantes
•Puntos Extremos: Son los puntos esquina de una
región factible. Representan las intersecciones entre
las restricciones.
•Línea de Función Objetivo: Gráfica donde todos los
puntos sobre la línea tienen el mismo valor de
función objetivo (Isocostos, Isoutilidades).
•Solución Óptima: Punto en la región factible que
tiene el mejor valor de la función objetivo.
Representan los valores óptimos de las variables de
decisión. Pueden existir infinitas soluciones óptimas.
•Valor óptimo: Valor de la función objetivo evaluada
en la solución óptima.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

5. MÉTODO GRÁFICO
Conclusiones Importantes
•Restricción Activa: Aquella que pasa por la
solución óptima. Evaluada en la solución óptima, los
términos de la restricción son iguales.
•Restricción inactiva: Aquella que no pasa por la
solución óptima. Evaluada en la solución óptima, los
términos de la restricción son diferentes. Posee un
excedente o una holgura.
•Excedente: Es la diferencia entre el primer
miembro y el lado derecho en una restricción ≥
evaluada en la solución óptima.
•Holgura: Es la diferencia entre el lado derecho y el
primer miembro de una resstricción ≤ evaluada en
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta
la solución óptima.

6. MÉTODO SIMPLEX
Aspectos Básicos
•Es un procedimiento de cálculo iterativo que nos
permite
resolver
cualquier
problema
de
programación lineal.
•Es un método algebraico sistemático que examina
las esquinas (vértices o puntos extremos) de un
conjunto factible de P.L. en busca de una solución
óptima.
•El fundamento del método se sustenta sobre la
siguiente relación: Puntos extremos = Soluciones
básicas.
•La base del método es el traslado de la definición
geométrica del punto extremo a una definición
algebraica.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

7. MÉTODO SIMPLEX
Aspectos Básicos
•Consiste en identificar una solución inicial (Fase I) y
luego “moverse” sistemáticamente a otras soluciones
básicas que tengan el potencial de mejorar el valor
de la función objetivo. Una vez identificada la
solución óptima (Fase II), termina el proceso de
cálculo.
•El método está diseñado de manera que la función
objetivo no disminuya (o aumente) en un modelo de
maximización (o minimización) y generalmente
aumentará (o disminuirá) en cada iteración.
•Si el problema es no acotado o incosistente, el
algoritmo lo descubrirá durante su ejecución.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

8. MÉTODO SIMPLEX
Metodología
•Fase I: Determinar la solución inicial.
–Transformar el modelo a la FORMA ESTÁNDAR del
modelo de P.L.
–Identificar una Solución Inicial Básica Factible.
Si el problema es “Inconsistente”, esta fase lo descubrirá.
•Fase II: Determinar la solución óptima.
–Seleccionar una variable entrante (Condición de
optimidad).
–Seleccionar una variable saliente (Condición de
factibilidad).
–Determinar los valores de las nuevas variables.
–Si la solución no es óptima, reinicie la Fase II.
Si el problema es “no acotado”, esta fase lo identificará.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

9. MÉTODO SIMPLEX
Forma Estándar del Modelo de P.L.
•Todas las restricciones son ecuaciones.
•Los segundos miembros de las ecuaciones son no
negativos.
•Todas las variables son no negativas.
•La función objetivo puede ser de maximización o de
minimización.
La propiedad de no negatividad de las variables, es
sumamente importante en el desarrollo del método
simplex.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

10. MÉTODO SIMPLEX
Forma Estándar del Modelo de P.L.
•Transformación de restricciónes en ecuaciones.
–Una restricción del tipo ≤ puede convertirse en una
ecuación mediante la suma de una variable de holgura al
primer miembro de la restricción. Sustituyendo el signo ≤
por =.
–Una restricción del tipo ≥ puede convertirse en una
ecuación mediante la sustracción de una variable de
exceso al primer miembro de la restricción. Sustituyendo
el signo ≥ por =.
•Si el segundo miembro de la restricción es negativo,
se multiplican ambos lados por -1.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

11. MÉTODO SIMPLEX
Forma Estándar del Modelo de P.L.
•No negatividad de las variables.
–Si
el
problema
presenta
una
VARIABLE
IRRESTRICTA (no restringida en signo), esta debe
expresarse en términos de dos variables no negativas
mediante el uso de una sustitución.
Y irrestricta
Se sustituye por
Y = Y1 – Y2
Y1, Y2 ≥ 0
La sustitución debe hacerse en todas las restricciones y en
la función objetivo.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

12. MÉTODO SIMPLEX
Forma Estándar del Modelo de P.L.
•No negatividad de las variables.
–Si el problema presenta una VARIABLE NO POSITIVA
(≤ 0), esta debe sustituirse por el negativo de una nueva
variable no negativa, cuyo símbolo se escoge
arbitrariamente.
Y≤0
Se sustituye por
Y = -Y1
Y1 ≥ 0
La sustitución debe hacerse en todas las restricciones y
en la función objetivo.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

13. MÉTODO SIMPLEX
Forma Estándar del Modelo de P.L.
•Función Objetivo.
Aunque el modelo estándar puede ser utilizado para
resolver problemas del tipo de maximización o de
minimización, algunas veces conviene convertir una
forma a la otra.
La maximización de una función equivale a la
minimización del negativo de la misma función y
viceversa.
Maximizar Z = Minimizar –Z.
Esto significa que para el mismo conjunto de
restricciones, los valores óptimos de las variables de
decisión son lo mismos en ambos casos.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

14. MÉTODO SIMPLEX
Solución Inicial Básica Factible
•La forma Estándar de un Modelo de Programación
Lineal genera un sistema de M ecuaciones con N
incógnitas. Donde N ≥M.
•Una solución básica se determina igualando N-M
variables a cero y resolviendo las M ecuaciones con
las restantes M variables, siempre que la solución
resultante exista y sea única.
•La N-M variables que se igualan a cero, son las
“Variables no básicas”. Las M variables restantes se
conocen como “Variables básicas”.
•Con la solución básica (variables básicas y no
básicas) se construye la tabla inicial.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

15. MÉTODO SIMPLEX
Fase II: Solución Óptima
•Seleccionar la variable entrante (Condición de
optimidad):
–CASO MAXIMIZACIÓN: Variable no básica con el
coeficiente mas negativo en la ecuación Z objetivo. La
Solución Óptima se alcanza cuando todos los coeficientes no
básicos en la ecuación Z son no negativos.
–CASO MINIMIZACIÓN: Variable no básica con el
coeficiente mas positivo en la ecuación Z objetivo. La
Solución Óptima se alcanza cuando todos los coeficientes no
básicos en la ecuación Z son no positivos.
Un empate se rompe arbitrariamente.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

16. MÉTODO SIMPLEX
Fase II: Solución Óptima
•Seleccionar la variable saliente (Condición de
factibilidad):
–Variable básica con la menor intersección (razón mínima
con denominador estrictamente positivo) en la dirección de la
variable entrante.
–La variable saliente es aquella variable básica que posea la
menor razón resultante de dividir la columna “solución” entre
los valores positivos (> 0) correspondientes a la “variable
entrante”.
–Esta condición se aplica tanto a problemas de
MAXIMIZACIÓN como de MINIMIZACIÓN.
Un empate se rompe arbitrariamente.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

17. MÉTODO SIMPLEX
Fase II: Solución Óptima
•Determinar los valores de las nuevas variables:
Método Gauss-Jordan.
–Columna de entrada: Columna debajo de la variable
entrante.
–Ecuación pivote: Renglón asociado con la variable saliente.
–Elemento pivote: Intersección entre la columna de entrada y
la ecuación pivote.
•Se realizan las siguientes dos operaciones de
cálculo:
–Nueva Ecuación pivote:
ecuación pivote/elemento pivote.
–Las demás ecuaciones (incluyendo Z):
Ecuación anterior-coeficiente de la columna
entrante*nueva ecuación pivote.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

18. MÉTODO SIMPLEX
Regla de detención
•Determinar si la solución básica factible
presente es óptima:
–CASO MAXIMIZACIÓN: Si todos las variables
tienen coeficientes positivos en la ecuación Z de la
tabla simplex.
–CASO MINIMIZACIÓN: Si todas las variables
tienen coeficientes negativos en la ecuación Z de la
tabla simplex.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

19. MÉTODO SIMPLEX
Solución Inicial Básica Factible
Condiciones Básicas
•Cada ecuación debe tener una “variable de
holgura”: Variable no negativa con coeficiente +1.
•Cada variable de holgura debe aparecer solo en una
restricción.
•Los segundos miembros de las ecuaciones son no
negativos.
Si se cumplen estas condiciones se tendrá una
solución básica factible con lo que se podrá construir
la tabla inicial.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

20. MÉTODO SIMPLEX
La Técnica M
•Se utiliza cuando la “Forma estandar del modelo de
P.L.” no permite obtener facilmente una Solución
Inicial Básica Factible.
•Procedimiento:
–Sumar una variable artificial a aquellas ecuaciones
estandarizadas que no posean “variables de holgura”.
–Restar la variable artificial, penalizada, a la función
objetivo a maximizar (multiplicada por una constante M,
de valor muy grande). Sumar si es minimización.
–Encontrar los coeficientes de la función objetivo
modificada: Despejar la variable artificial en la ecuación
correspondiente y sustituirla en la función objetivo.
–Aplicar el algoritmo simplex.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

21. MÉTODO SIMPLEX
La Técnica M
•Otro procedimiento:
–Sumar una variable artificial a aquellas
ecuaciones estandarizadas que no posean
“variables de holgura”.
–Restar la variable artificial, penalizada, a la
función objetivo a maximizar (multiplicada por
una constante M, de valor muy grande). Sumar si
es minimización.
–Construir normalmente la tabla simplex inicial.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

22. MÉTODO SIMPLEX
La Técnica M
•Otro procedimiento:
–Transformar la tabla simplex:
•Caso Maximización: Multiplicar por –M los
coeficientes de toda ecuación que contenga una
variable artificial. Sumar a los coeficientes de la
función objetivo.
•Caso Minimización: Multiplicar por +M los
coeficientes de toda ecuación que contenga una
variable artificial. Sumar a los coeficientes de la
función objetivo.
–Aplicar el algoritmo simplex.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

23. MÉTODO SIMPLEX
Casos Especiales
•Soluciones degeneradas: Ocurre cuando la tabla
presenta un cero (0) en la columna valor. En este caso,
el cálculo no generará variación en el valor de la
función objetivo. La degeneración ocurre cuando una
de las restricciones del modelo es redundante.
•Soluciones infactibles: Ocurre cuando al menos una
“Variable Artificial” es positiva en la iteración óptima.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta

24. MÉTODO SIMPLEX
Casos Especiales
•Solución no acotada: Ocurre cuando los coeficientes
de las restricciones de una variable no básica (candidata
a entrar) son no positivos.
•Soluciones óptimas múltiples: Ocurre cuando se
encuentra en la iteración óptima, una variable no básica
con coeficiente cero en la función objetivo.
Ing. José Gregorio Díaz Landaeta