El documento aborda la teoría de exponentes y polinomios, explicando sus definiciones, leyes y operaciones. Incluye ejemplos prácticos y problemas resueltos para ilustrar conceptos como el grado de los polinomios y su simplificación. También presenta ejercicios dirigidos para aplicar los conocimientos adquiridos en álgebra de expresiones algebraicas.

1. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
I. TEORIA DE EXPONENTES
1. DEFINICIÓN:
Es un conjunto de fórmulas que
relacionan a los exponentes de las
expresiones algebraicas de un sólo
término, cuando entre éstas expresiones
algebraicas se realizan operaciones de
multiplicación, división, potenciación y
radicación, en un número limitado de
veces.
2. LEYES:
LEYES DE EXPONENTES
1. xm
 xn
= xm+n
2.
3. (xm
)n
= xmn
4. (xy)n
= xn
yn
5.
6.
7.
8.
9.
10.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.-Reduce:
Solución:
E =
E =
E =
E =
E = 5
2.- Resuelve :
E =
Solución:
E =
E =
E =
E = 0
3.- Simplifica:
Solución:
=
= = = -23
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01
1).- Halla : E = (-2)2
+(-3)3
-(-5)2
a) 40 b) –48 c) 16 d) 140 e) 1
2).- Halla : E = (-5)90
+(-3)87
-590
+387
a) 0 b) 1 c) 591
d) 4 e) –1
3).- Halla: E=250
+250
a) 2100
b) 450
c) 4100
d) 250
e) 251
4).- Efectúa: E=(23
)2
-(32
)3
+(52
)2
a) 80 b) –40 c) 1 d) 4 e) 5
5).- Efectúa: E=(-53
)8
+(-58
)3
a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4
6).- Efectúa:
a) 1 b) –17 c) 40 d) –19 e) 15
7).- Efectúa:
E = 3 + +
a) 4 b) 171 c) 189 d) 49 e) 50
8).- Efectúa:
E=
a) 1 b) x c) 2x d) 0 e) 4x
9) Halla:
a) 12 b) 3 c) 21 d) 19 e) 41
10). - Halla:
E = 641/6
+ 2431/5
+ 6251/4
+ 491/2
a) 5 b) 11 c) 17 d) 46 e)19
11).- Halla:
a)12 b) 7 c) 11 d) 4 e) 8
12).- Efectúa:
E =
a) 5 b) 25 c) 20 d) 125 e) 1
13).- Simplifica:
M =
a)126 b)125 c) 1 d)25 e)5
14).- Reduce:
e indica el exponente final de “x” :
a) 2 b) 24 c) 23/15
d) 21/24 e) 23/24
15).- Reduce:
a) 3 b) 9 c) 81
d) 243 e) 729
16).- Simplifica:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17).- Simplifica:
a) 1 b) 2 c) 3
d) ½ e) ¼
18).- Reduce:
a) x b) x-1
c) x2
d) 1/x e) 2x
19).- Calcula:
a) 2/5 b) 3/2 c) 2/7
d) 7/3 e) 5/3
20).- Efectúa:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ½
21).- Efectúa:
7
2

2. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
25½
+ 360,5
+ 16¼
+ 810,25
a) 8 b) 1 c) 2
d) 16 e) 61
22).- Efectúa:
a) 16 b) 8 c) 2
d) 15 e) 12
23).- Simplifica:
a) x1/2
b) x2/3
c) x15/16
d) x3/4
e) N.A.
24).- Efectúa:
a) 1/5 b) 5 c) 2
d) 3 e) 8
25).- Calcula:
a) 18 b) 50 c) 48 d) 12 e) 0
26).- Calcula:
a) 1 b) 0 c) 256 d) 508 e) 8
27).- Simplifica:
a) 1 b) 0 c) 4 d) 4x e) x4
28).- Calcula:
a) 4 b) 9 c) 7 d) 1 e) 6
29).- Resuelve:
a) 1024 b) 1 c) 2
d) 64 e) 128
30).- Simplifica y calcula el exponente de
“a” en:
a) 23 b) 25/12 c) 7 d) 9 e) 11
31).- Simplifica y calcula el exponente de
“x” en:
a) 23/2 b) 25/12 c) 7
d) 13/20 e) 17
32).- Simplifica y calcula el exponente de
“x” en:
a) 2 b) 3 c) 7 d) 4 e) 5
33).- Simplifica y calcula el exponente de
“x” en:
a) 15/6 b) 17/8 c) 13/4
d) 19/8 e) 15/8
34).- Simplifica y calcula el exponente de
“x” en:
a) 7/2 b) 3 c) 7/3 d) 9/2 e) ½
35).- Efectúa:
a) 2 b) 16 c) 32 d) 48 e) 64
36).- Reduce:
a) 2 b) 16 c) 32 d) 48 e) N:A.
37).- Reduce:
a) b) c)
d) e) N:A
38).- Simplifica y calcula el exponente de
“a” en:
a)–5/72 b)3/2 c)7/5
d)–5/9 e)3/8
39).- Reduce:
a) 12 b) 4 c) 16 d) 6 e) 2
40).- Halla el valor de :
P =
a) 1 b) 5 c) 18 d) 40 e) 32
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) a 3) e
4) b 5) c 6) b
7) b 8) d 9) c
10)c 11)a 12)b
13)a 14)e 15)d
16)c 17)d 18)c
19)d 20)a 21)d
22)a 23)c 24)b
25)b 26)d 27)c
28)c 29)a 30)b
31)d 32)b 33)e
34)a 35)e 36)c
37)d 38)a 39)b
40)e
II. POLINOMIOS
1. DEFINICIÓN
Son expresiones algebraicas racionales
enteras de dos o más términos. Es decir , la
variable está afectada de exponentes enteros
y positivos.
Ejemplo :
x4
– 2x2
+ 3 ; x5
– 3x4
+ x2
+ ½ x
1.1. NOTACIÓN
P(x, y) = 3abx5
y6
3ab  coeficiente (constantes)
x; y  variables
 Las variables se encierran entre
paréntesis, así :
P(x)
P(x, y)
P(x, y, z)
2. GRADO
Es una característica de las expresiones
algebraicas racionales enteras,
relacionadas con los exponentes de sus
variables.
Hay de dos tipos:
- Grado Relativo.
-Grado Absoluto.
2.1. GRADO DE UN MONOMIO
Es siempre una cantidad entera
positiva y son de dos clases :
a) Grado Absoluto:
Se obtienen sumando los exponentes
de sus variables.
b) Grado Relativo:
Es el exponente de una variable.
2.2. GRADO DE UN POLINOMIO:
a) Grado Absoluto:
Está dado por el término de mayor
grado absoluto.
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3. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
b) Grado Relativo:
Es el mayor exponente de una variable.
3. POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio Homogéneo:
Todos sus términos tienen el mismo
grado absoluto, cuyo grado se llama
grado de homogeneidad.
Ejemplo :
P(x; y) = 6x5
y3
– 3x4
y4
+ 6x6
y2
 El polinomio P(x; y) es homogéneo
de grado 8°.
Polinomio Ordenado:
Los exponentes de una de sus variables
están aumentando o disminuyendo
(variable ordenatriz)
Ejemplo :
P(x; y) = x4
y3
+ 2x2
y5
– 3xy8
a) Es ordenado respecto a la variable “x”
en forma descendente.
b) Es ordenado respecto a la variable “y”
en forma ascendente.
Polinomio Completo:
Si figuran todos los exponentes de una
de sus variables, desde un valor máximo
(mayor exponente) hasta cero (término
independiente).
# Términos = Grado + 1
Ejemplo :
P(x; y) = x3
+ 4x2
y– 3xy2
+ 5
* El polinomio es completo respecto a la
variable “x”.
Polinomio Idéntico:
Los coeficientes de sus términos
semejantes son iguales.
Ejemplo :
ax2
+ bx + c  mx2
+ nx + p
Identidad
Debe cumplirse que :
a = m ; b = n ; c = p
Polinomio idénticamente nulo
Todos sus coeficientes son iguales a
cero.
Ejemplo :
ax2
+ bx + c = 0
Debe cumplirse que :
a = 0 ; b = 0 ; c = 0
4. VALOR NUMÉRICO:
Es el resultado que se obtiene luego de
reemplazar el valor asignado a las
variables y realizar las operaciones
indicadas.
VALORES NUMERICOS NOTABLES
Si P(x) es un polinomio, se cumple:
P(0) = término independiente
P(1) = Suma de coeficientes
Polinomio constante
P(x) = m (m0)
Su grado es cero.
5. OPERACIONES:
ADICIÓN:
Se escriben las expresiones algebraicas
unas a continuación de otras con sus
propios signos y luego se reducen los
términos semejantes, si los hay.
SUSTRACCIÓN:
Se escribe el minuendo con sus propios
signos y a continuación el sustraendo
con los signos cambiados y luego se
reducen los términos semejantes, si los
hay.
MULTIPLICACIÓN:
Se Multiplican todos los términos del
multiplicando por cada uno de los
términos del multiplicador, teniendo en
cuenta la ley de signos y se reducen los
términos semejantes.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Determina el grado relativo a “x” en
“P”, si el grado absoluto de Q es 6.
P(x) =xm-4
– mxm-3
– xm-2
+ 1
Q(x) = 4xm
+ mxm+2
– 9xm+1
Solución :
m + 2 = 6  m = 4
Ahora : m-2 = 4-2 = 2
2).-Se sabe que el polinomio :
P(x) = 4x3
+ 3x2
+ mx+x - n+5; es tal
que :
P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2)
Solución :
P(1) = 4(1)3
+ 3(1)2
+ m+1-n+5 = 15
4+3 + m+1-n+5=15
m-n = 2
P(0) =4(0)3
+ 3(0)2
+ m(0) + 0 – n+5 = 2
n = 3
m - 3 = 2
m= 5
P(x) = 4x3
+ 3x2
+ 6x + 2
P(-2) = 4(-2)3
+ 3(-2)2
+ 6(-2) + 2
P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2
P(-2) = -30
3).- Sabiendo que :
P(x) = x2
+ ax + bx + ab
Halla :
Solución :
P(a) = 2a(a+b)
P(b) = 2b(a+b) 4a2
b2
(a+b)2
P(0) = ab
4).- Dado el polinomio completo y
ordenado.
Cuyo número de términos es (n + 1)
Determina : . Siendo
PR.
Solución:
8m + 25 = 1
m = -3
(-3)2
– 3n – 4 (-3) = 0
n = 7
P2
+ P + 1 = n = 7
P = -3
P = 2
Luego :
5).- Que valor debe asignarse a “n” en la
expresión:
(xn+2
+xn+1
yn
+yn+1
)n
de modo que su grado absoluto
excede en 9 al grado relativo de “y”.
Solución:
GA = GR(y) + 9
(2n + 1)n = (n+1) n+9
2n2
+ n = n2
+ n + 9
2n2
– n2
= 9
n2
= 9
n =  3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
1).-Determina “m”, si el grado de la
expresión:
x4
ym
+ x5
ym+1
+ xym
+ mxm
y5
es igual a 8.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2).- Determina el grado relativo a “y” si el
grado respecto de “x” en :
xn-3
y4
+ 2xn – 1
yn+3
+ xyn
es 9
a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14
3).- Determina mn, si se sabe que el
polinomio:
P(x) = xm-3
+ mxn-4
+ nxm-5
, m es
completo y ordenado.
a) 16 b) 20 c) 24 d) 36 e) 25
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4. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
4).- Si el siguiente polinomio de 14
términos es completo y ordenado :
P(x)=xn+4
+ . . .+ xa-1
+ xa-2
+ xa-3
Calcula : “a + n”
a) 3 b) 9 c) –4 d) 16 e) 12
5).- Sea el monomio:
Donde G.A.(M)=2 . Halla el coeficiente
de dicho monomio.
a) 1 b) 2 c) 3 d) –1/3 e) 5/4
23).- Dado el monomio:
Halla su grado absoluto:
a) 48 b) 98 c) 78 d) 58 e) 68
7).- Sea el monomio:
Si: G.A. de M=600. Halla : “m+n+p”
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
8).- Sea el monomio:
Si: GR(x)=3  GA=7
Halla el coeficiente del monomio.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9).- Sea el monomio:
Si: GR(x)=6  GR(y)=2
Halla el coeficiente del monomio.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10).- Sea el monomio:
Si: G.A.=18
Calcula:
a) 210 b) 211 c) 212
d) 213 e) 214
11).- Si los términos :
t1(x; y) = bx3
ya+1
t2(x; y) = (a + b)xb+2
y4
t3(x; y) = axa
yb+3
Son semejantes , calcula su suma:
a) 4x3
y4
b) 6x3
y4
c) 8x3
y4
d) 5x3
y4
e) 9x3
y4
12).- Dado el polinomio :
P(x) = 2x2
(1 + x4
) – 3x6
– 5
Calcula :
a)1,3 b)1,4 c)1,5 d)1,6 e)2
13).- Si el grado absoluto de :
es 19 y el grado relativo de “y” es 7,
calcula “m”
a) 9 b) 12 c) 10 d) 11 e) 1
14).- Si :
es de 4to grado. Halla “n” :
a) 6 b) –4 c) 4 d) 3 e) 2
15).-Calcula: P(P(0))
Si: P(x)= x2
– x + 1
a) -2 b) 1 c) 0 d) -1 e) 2
16).- Si: P(x)= x2
– 3x + 1
Calcula:
a) -2 b) 1 c) 4 d) -4 e) 2
17).- Si P(x) = 2x2
+
Calcular P(-1/2)
a) 17/120 b) 91/120 c) 11/120
d) 97/12 e) 1/120
18).- Si : P(x) =
Determina : P(P(x))
a) x b) 2x c)–x d)x/2 e)-x/2
19).- Dado el monomio:
para qué valor de “n”; M(x) es constante.
a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 1,3 e) 14
20).- En el monomio:
Se cumple que:
G.A. = 83 y
G.R.(y) = 20
Halla: a + b
a) 4 b) 9 c) 10 d) 8 e) 14
21).-Determina ( m- n), si el monomio:
Es de segundo grado respecto de “a” y
de séptimo grado absoluto.
a) 4 b) 9 c) 5 d) 13 e) 6
22).- Si el monomio:
es de tercer grado, entonces el valor de
“m” es :
a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25
23).- Halla el valor de “n” en el monomio:
Sabiendo que es de primer grado.
a) 1/9 b) 2/9 c) 9/2 d) 4/9 e) 9/5
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) d 3) e
4) e 5) c 6) c
7) a 8) c 9) c
10)a 11)c 12)d
13)d 14)d 15)b
16)c 17)b 18)a
19)b 20)d 21)a
22)c 23)c
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3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
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