El documento habla sobre polinomios. Un polinomio es una expresión que combina letras y números mediante sumas, restas, multiplicaciones y potenciaciones. Los polinomios se utilizan en diversas áreas como la informática, economía y medicina. Los polinomios tienen características como el grado, coeficiente principal y término independiente.

1. POLINOMIOS
Prof. Viviana LLoret

2. Qué es un polinomio?
Un polinomio es una expresión en la cual se combinan letras y números mediante las
operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación. Se los designa con una
letra mayúscula y entre paréntesis la variable que interviene en el mismo. Ejemplo
P (x)= 4 x 3 – 5 x 6 + x –x 2
Cada término del polinomio recibe el nombre de Monomio y está formado de la
siguiente manera:
Coeficiente 4 x 3 Parte literal

3. Utilidad de los polinomios
Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los
cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones
polinómicas, así, el capital C ( llamado Monto M) a un porcentaje x en 3 años
se convierte en M= C·(1+x)3 que es el cubo de un binomio.
La medicina y otras ramas de la ciencia avanzan ayudadas de esta
herramienta
algebraica.

4. Características
Recordamos que P(x)= 4 x3 – 5 x6 + x – x2
■ Grado de un polinomio: Es el mayor exponente al cual se
encuentra elevada la variable. En nuestro primer ejemplo es: Gr
P(x)= 6
■ Coeficiente Principal: Es el coeficiente que acompaña a la variable
de mayor grado. En nuestro primer ejemplo es: -5
■ Término independiente: Es el término que tiene elevada la variable
a cero, es decir, el término que no tiene x. En nuestro primer
ejemplo es: 0
■ Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado si los
monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

5. Características
■ Polinomio Completo: Un polinomio está completo cuando tiene todos
los términos desde el término independiente hasta el término de
mayor grado.
– Para completar un polinomio agregamos los términos que faltan
con coeficiente 0. También es necesario completar el término
independiente.
En P (x)= 4 x 3 – 5 x 6 + x –x 2
P(x) completo y ordenado
P(x) = – 5 x 6 + 0 x5 + 0 x 4 + 4 x 3 – x2 + x + 0
■ Polinomios Iguales : Dos polinomios son iguales cuando tienen el
mismo grado y los términos de igual grado son iguales.
■ Polinomios opuestos: Dos polinomios son opuestos cuando tienen el
mismo grado y los términos de igual grado son opuestos

6. Valor numérico de un polinomio
Al sustituir la variable x de un polinomio por un número se
obtiene el valor numérico del polinomio.
Así el valor numérico en 3 del polinomio P(x)=2x3- x+4 es
P(3)= 2·33 - 3+4= 55
Cuando al calcular el valor numérico de un polinomio para un
determinado número obtenemos 0 concluimos que dicho
número es raíz del polinomio.
Si P(a) = 0  x = a es Raíz de P(x)
Si P(a) = 0  P(x) es divisible por (x – a)
Si P(a) = 0  P(x) es múltiplo de (x – a)

7. Ejercicio
■ Dado P(x)= x 4 + x 3 – 7 x 2 – x + 6, indicar cuál de los
siguientes valores de x es raíz de P(x):
a. x = 1 b. x = 3
a. Reemplazo x por 1 y verifico si da 0
P(1)= 1 4 + 1 3 – 7. 12 – 1+ 6
P(1)= 1 + 1 – 7 – 1+ 6
P(1)= 8 – 8
P(1)= 0  x= 1 es raíz de P(x)
b. Reemplazo x por 3 y verifico si da 0
P(3)= 3 4 + 3 3 – 7. 32 – 3+ 6
P(3)= 81 + 27 – 63 – 3 + 6
P(3)= 48  x= 3 No es raíz de P(x)
Si x = a es Raíz de P(x)
 P(a) = 0

8. Ejercicio
Hallar el valor de k para que la división sea exacta: (5x3 – k x2 – 4 x – 96): (x-3)
Para que ( 5x3 – k x2 – 4 x – 96 ) : (x – 3 ) sea exacta debe verificarse que sea divisible por (x – 3) ,
luego al reemplazar x por 3 debe dar cero.
5. 3 3 – k. 3 2 – 4. 3 – 96 = 0
Luego despejo k
5. 27 – 9 . K – 12 – 96 = 0
135 – 9 k – 12 – 96 = 0 Pasamos 9 k sumando
135 – 12 – 96 = 9 k
27 = 9 k
27 : 9 = k
K = 3

9. Ejercicio
Dado P(x)= 2 x3 – 5 x 2 + k x + 2 calcular k sabiendo que P (-1) = - 9.
Que P (-1) = - 9 significa que cuando reemplazo a x por -1, al resolver
las operaciones, obtengo como resultado -9, luego:
P(-1)= 2 (-1)3 – 5 (-1) 2 + k (-1) + 2 como P (-1) = - 9 , reemplazo P (-1)
por -9
-9 = -2 – 5 – k + 2
K = - 5 + 9
K = 4

10. Operaciones entre polinomios
Suma y Resta
P(x)=8x4+x2-5x-4
Q(x)=3x3+x2-3x-2
Se suman los coeficientes de igual grado:
P(x)  8 x4 +0 x3 + 1 x2 - 5 x – 4  Es conveniente completar y ordenar el
primer polinomio
Q(x)  3 x3 + 1 x2 - 3 x - 2
8 x4+3 x3 +2 x2 – 8 x – 6
Para sumar o restar polinomios
sumamos o restamos términos
semejantes ( son los que tienen
la misma parte literal)
+

11. Operaciones entre polinomios
Multiplicación
P(x)=x3 - 5x - 4
Q(x)=3x2 - 3x – 2
Hallaremos P(x) . Q (x) = (x3 -5x – 4) . (3x2 - 3x – 2)
Debemos aplicar la propiedad distributiva. Para evitar equivocarnos, podemos
completar el primer polinomio y luego multiplicar éste polinomio por cada
término del segundo polinomio:
(x3+ 0x2 -5x – 4) . 3x2 = 3 x 5 + 0 x 4 – 15 x 3 – 12 x2
(x3 + 0x2 -5x – 4) . ( - 3x)= - 3 x 4 - 0 x 3 + 15 x 2 + 12 x
(x3 + 0x2 -5x – 4) . (– 2)= - 2 x 3 – 0 x 2 + 10 x + 8
Sumamos los términos 3 x 5 - 3 x 4 – 17 x 3 + 3 x2 + 22 x + 8
semejantes
+

12. Ejercicio
Calculen el valor de a, b y c para que P(x) y Q(x) sean iguales
P(x)= (x + 3) ( x2 + a x + b) y Q(x)= c x3 + 4 x 2 + 5x + 6
Efectuamos el producto indicado en P(x)
P(x)= x 3 + a x 2 + b x + 3 x 2 +3 a x + 3 b
Agrupamos los términos de igual grado:
P(x)= x 3 + a x 2 + 3 x 2 + b x +3 a x + 3 b
P(x)= 1x 3 + (a + 3 ) x 2 + (b + 3 a ) x + 3 b
Para que P(x) = Q(x) se debe cumplir que:
1 x 3 = c x3  c = 1
(a + 3 ) x 2 = 4 x 2  a + 3 = 4  a = 4 – 3  a = 1
(b +3 a ) x = 5 x  b +3 a = 5
3 b = 6  b = 6 : 3  b = 2
Polinomios iguales: Son iguales
cuando tienen el mismo grado y
los términos de igual grado son
iguales, es decir, P(x) = Q(x)
Con esta igualdad
verificamos los valores
hallados

13. Productos especiales
■ ( a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b2
■ ( a - b ) 2 = a2 - 2 a b + b2

14. Productos especiales
■ ( a ± b ) 3 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3
■ (a + b ) ( a – b) = a2 – b 2

15. Ejercicio
Calcular (3x2 - 2 )3 =
Aplico ( a ± b ) 3 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3, luego
(3x2 - 2 )3 = (3x2 ) 3 + 3. (3x2 )2 (-2) + 3. 3x2 (- 2 )2 + (- 2 )3 =
(3x2 - 2 )3 = 27 x6 + 3 . 32. (x2)2 .(-2) + 9 x2 . 4 - 8 =
(3x2 - 2 )3 = 27 x6 – 54 x 4 + 36 x 2 - 8
Propiedad distributiva
(3.x2 ) 3 = 3 3 (x 2 )3
Potencia de otra potencia
= 27 x 6

16. División de polinomios
Recordamos que, en toda división, se cumple: donde D = d . C + R y R < d
Esta relación es aplicable a la división de polinomios con la salvedad que el grado del
polinomio resto es menor al grado del polinomio divisor.
Para dividir polinomios aplicamos la Regla de Ruffini siempre que el polinomio divisor sea de
la forma ( x – a). Con esta regla obtenemos los coeficientes del polinomio cociente.
Por ejemplo hallar P(x) : Q(x) siendo P(x)= 3x 3 -5x2+1 y Q(x)= x - 2, Utilizamos para ello
el siguiente esquema:
Como P(x) es de grado 3 el grado del cociente es una unidad menor, Luego el cociente es 3x2+x+2 y el
resto 5. Resuelve más ejemplos
Dividendo (D) Divisor (d)
Resto (R) Cociente (C)
+2
3 -5 0 1
6 2 4
3 1 2 5
C o e f i c i e n te d e P ( x ) c o m p l e to y o r d e n a d o
E l o p u e s to d e l
t é r m i n o
i n d e p e n d i e n te
d e Q ( X )
3 Se baja el primer término
1 = 3 . 2 - 5
2 = 1 . 2 + 0 Ve r a n i m a c i ó n
5 = 2 . 2 + 1

17. Teorema del Resto
Al dividir un polinomio P(x) por (x-a) el resto es siempre de grado cero y se
obtiene un cociente C(x) que verifica:
P(x)=( x - a) ·C(x) + Resto si reemplazamos x por a
P(a)= ( a – a ). C(x) + Resto
Concluimos que Resto = P(a)
Hallar el resto en P(x) : Q(x) siendo P(x)= 3x3 -5x2+1 y Q(x)= x – 2
Resto = P( 2) = 3.23 - 5. 22 +1 = 3. 8 – 5 . 4 + 1 =24 – 20 +
1 = 5
Resto = 5
P r a c t i c a m á s e j e m p l o s
0
Recordar
D = d . C + R

18. Ejercicio
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios cuya división,
aplicando el método de Ruffini, está
representada por las siguientes tablas, Hallar
P(x) y Q(x).
■ P(x)=……………...………………………..
■ Q(x)=……………………………………….
2
4 -3 2 5
Como el opuesto
del término
independiente de
Q(x) es 2 significa
que Q(x)= x - 2

19. Ejercicio
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios cuya división,
aplicando el método de Ruffini, está
representada por las siguientes tablas, Hallar
P(x) y Q(x).
Luego
■ P(x)= 4 x3 – 11 x 2 + 8 x + 1
■ Q(x)= x - 2
4 - 11 8 1
2 8 -6 4
4 -3 2 5
El primer término del dividendo lo obtengo
subiendo el 4
Para hallar el segundo hago 4 . 2 = 8
Que número sumado a 8 da – 3 ????’
La respuesta es – 11
Con el mismo razonamiento – 3 . 2 = -6
Qué número sumado a -6 da 2?
La respuesta es 8

20. Ejercicio
Hallar a y b para que se cumpla que: P(x) dividido Q(x) dé como cociente S(x) y resto
R(x) siendo:
P(x) = a x4 – 18 x 3 + b x 2 - 12x -2 El problema nos dice:
Q(x) = x 2 - 5x + 3
S(x) = 3x 2 – 3 x + 1
R(x) = 2 x – 5 Luego debe verificarse que: P(x) = Q(x) . S(x) + R(x)
a x4 – 18 x 3 + b x 2 - 12x - 2 = (x 2 - 5x + 3) (3x 2 – 3 x + 1) + (2 x – 5) Primero resolvemos:
P(x) Q(x)
R(x) S(x)
(x 2 - 5x + 3) . 3x 2= 3 x 4 – 15 x 3 + 9 x2
(x 2 - 5x + 3) .(-3x ) = - 3 x 3 + 15 x2 - 9x
(x 2 - 5x + 3) . 1 = x2 - 5 x + 3
3x4 – 18 x 3 + 25 x2 -14 x + 3
Sumamos el resto 2 x – 5
3x4 – 18 x 3 + 25 x2 -12 x - 2
+

21. Ejercicio
Luego igualamos los términos de igual grado:
a x4 – 18 x 3 + b x 2 – 12 x - 2 = 3x4 – 18 x 3 + 25 x2 -12 x – 2
a = 3
b= 25

22. Enlaces web
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■ Actividades digitales sobre polinomios
■ Cuadrado suma
■ Cubo de un binomio