Este documento presenta las leyes y definiciones básicas relacionadas con exponentes y radicación. Explica conceptos como potenciación, exponente, base, raíz, grado de un monomio y polinomio, entre otros. Además, incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estas nociones algebraicas.

1. 43
LEYES DE EXPONENTES:
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los
exponentes a través de las operaciones de potenciación y
radicación.
POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar una
expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones
llamadas base y exponente.
Notación:
a : base
an
= P n: exponente
P: potencia
Definiciones:
Exponente natural
an
=
n veces
a si n
a a a si n
1
. ... 2
=

≥


1442443
Exponente cero
Si a ≠ 0 se define:
a0
= 1
Nota:
* 00
no está definido
Exponente negativo
Si a ≠ 0 ∧ n ∈ N se define:
a-n
=
n
n aa
1 1 
=  ÷
 
Nota:
* 0– n
no existe
Teoremas:
Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos,
entonces se cumple:
1. Multiplicación de bases iguales.
an
. am
= am+n
2. División de bases iguales.
m
m n
n
b
b
b
−
=
3. Potencia de potencia.
( ) ( )
n m
m m n n
b b b.
= =
Nota:
*
m n .mnb b≠
4. Potencia de una multiplicación.
( ) =
n n n
ab a b
5. Potencia de una división.

2. 44
n n
n
a a
b b
 
= ÷
 
; b ≠ 0
Nota:
* Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces:
zbbb yxm
pnm
===
Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo
RADICACIÓN EN ℜ:
Es una operación matemática que consiste en hacer
corresponder dos números llamados índice y radicando con un
tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
n
b = r ⇔ rn
= b
n : índice (n ≥ 2 ; n ∈ N)
b : radicando
r : raíz n-ésima principal de b
Teoremas:
Si n
a y n
b existen, entonces se cumple:
1. Raíz de una multiplicación:
n
a
n
b = n
ba
2. Raíz de una división:
n
n
n
a a
bb
= si b ≠ 0
3. Raíz de una radicación:
n m nm
b b
. .
=
Exponente fraccionario:
Si n
m
a
existe en ℜ se define:
m
n
n m
a a=
Ejercicios
1. Efectuar:
P =
294
336
30.14.15
80.35.21
Rpta……………
2. Ordenar en forma decreciente:
A =
432
1
B =
413
2
C =
241
3
D =
123
4
E =
231
4
Rpta……………
3. Simplificar:
R=
23
21 7 7
7 7
1 1
(2) . (9) 2 . 4
4 2
   
+ + ÷  ÷
   
Rpta……………
4. Hallar el valor de “M”:
M =







 +
b
2a
2
2
÷








+2b
a
2
2
Rpta……………
5. Reducir:
P =
5074
4
( 2)−
Rpta……………
6. Calcular:
A =
148 20 4
4 2 . 2
−
−
Rpta……………
7. Hallar el valor de W:
W =
11 21 2 4
2 4 9
4 9 8
−− −− − −
− − −
+ +
Rpta……………
8. Hallar el valor de:
n n n
n
2 1
2
2 2 2
2
+ −
−
+ +
Rpta……………
9. Reducir la expresión:
P =
x
sumandos
x x
3
2 1
6 6 6 6
3 3+ +
+ + + +
−
644474448
K
A) 1 B) 3x
C) 2,3x
D) 3x+1
E) N.A.
10. Si
x
x
x 2= , hallar: R =
xx x
x
x3 +
A) 64 B) 16 C) 256
D) 128 E) N.A.
11. Decir cuáles son falsas:
I. 3a0
+ 3b0
– 8(x + y)0
= 0
II. (5x0
– 5y0
+ 1)–0
= 0
III. (15a0
– 11b0
– 4x0
)0
= 1
A) Solo I C) I y II E) Todas
B) Solo II D) I y III

3. 45
12. Simplificar:
E =
n n n
n n n
1 1
4 3 2
3 3 3
3 3 3
− +
− − −
+ +
+ +
A) 3 B) 3–3
C) 33
D) 3–5
E) 35
13. Calcular:
( )
1
11 11 2
2
2
3 16
1 1 1 1
2 4 125 81
−
− −−
− − −
 
       
+ +  ÷ ÷  ÷  ÷
       
 
A) 2 B) 1 C) 0
D) 4 E) 8
14. Si: x
x 3 4
9
=
hallar: F =
2
2 3x + x
3x x( )+
A) 2 B) 4 C) 8
D) 12 E) 16
TAREA
1. Calcular:
121212
16
1
9
1
4
1
−−−−−−






+





+





=M
A) 10 B) 8 C) 9
D) 2 E) 7
2. Si:
3=
xx
x ; calcular
xxxx
x
+
A) 27 B) 81 C) 9
D) 3 E) 1
3. Si aa
= 2, hallar
1+aa
a
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
4. Calcular:
M =
55
255
2
112
+
− ++
x
xx
A) –100 B) –10 C) –50
B) 5x
E) 5–x
5. Reducir:
( ) ( )x yx x y x y
x y
1
18 123 2
.
2 36
− +
+
 
     ÷  ÷
    
 
A) 3 B)
3
1
C) 2
D)
2
1
E) 6
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica donde no están presentes las
operaciones de adición y sustracción.
Ejemplo:
M(x,y) = –4 x5
y3
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes
de las respectivas variables son iguales.
Ejemplos:
P(x;y) = 4x2
y7
y Q(x;y) = –2x2
y7
P(x;y) = 5x2
y3
y S(x;y) = 2xy7
M(x;y) = –
2
3
y
x4
y N(x) =
2
3
y
x2
POLINOMIO
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las
cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros
positivos.
Ejemplos:
P(x;y) = 5x3
y7
→ (monomio)
R(x;z) = 2x2
z + 5z5
→ (binomio)
F(x) = 3 – 5x + 3 x2
→ (trinomio)
GRADO DE UN MONOMIO
A. Grado Relativo:
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es
el exponente que afecta a dicha variable.
Ejemplo:
Sea P(x;y;z) = 5 x5
y3
z
GR(x) =
GR(y) =
GR(z) =
B. Grado Absoluto:
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplo:
Sea R(x;y;z) = 2x4
y5
z3
GA =
GRADO DE UN POLINOMIO
A. Grado Relativo:
Es el grado del polinomio respecto de una de sus
variables y el valor es el mayor de los grados relativos de
la variable en cada término.
Ejemplo:
Sea P(x,y) = 3x3
y5
– 7x2
y9
+ 5x7
GR(x) =
GR(y) =
Exponentes
Variables
Coeficiente

4. 46
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Ejemplo:
Si F(x;y) = 2x2
y3
– 7x6
y + 4x4
Polinomios Especiales
POLINOMIO MÓNICO:
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1
se le denomina mónico.
Ejemplos:
A(x) = 1 + x2
+ 3x
B(x) = 7 –2x2
+x3
C(x) = x
POLINOMIO ORDENADO:
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los
exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o
descendente.
Ejemplos:
P(x) = 4x4
+ 12x2
– 3x + 7
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.
P(x,y,z) = 21xz4
– 34x5
y2
z + 41x7
y4
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x
e y, además es ordenado descendentemente respecto a z.
POLINOMIO COMPLETO:
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el
mayor hasta el de grado cero.
Ejemplos:
A(x) = 4x3
+ 12x – 7x2
+ 16
B(x,y) = x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y además es
completo, entonces el número de términos será igual
a su grado aumentado en una unidad.
POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado
absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
Ejemplo:
P(x,y) = 3x3
y12
+ 23x8
y7
– 15x15
– 13y15
R(x) = 7xy3
+ 8x2
y2
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.
Ejemplo:
P(x) = (n – m) x2
+ (p – q) x, si es idénticamente nulo:
n – m = 0 ⇒ m = n
p – q = 0 ⇒ p = q
POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes
tienen coeficientes iguales.
Ejemplo:
p(x) = ax2
+ bx + c
q(x) = dx2
+ ex + f
Si: p(x) = q(x)
Entonces: a = d ; b = e ; c = f
EJERCICIOS
1. Hallar el valor de “b” para que el grado de:
P(x,y) = (3abx3b+3
y2
) sea 20
A) 5 B) 8 C) 10
D) 3 E) 12
2. Dado el monomio:
M(x,y) = 4mn
x2m+3n
y5n–m
Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7
Señalar su coeficiente
A) 2 B) 4 C) 8
D) 64 E) 16
3. Hallar el coeficiente de:
M(x,y) = ba5b2a3b
a
yx2.
5
1 −+






Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es
14.
A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25
B) 16/125 D) 8/625
4. Si: P(x–2) = x + 1
P(Q(x)) = 5x + 9
Indicar Q(3)
A) 19 B) 20 C) 21
D) 22 E) 23
5. Siendo: G(x) = x
Además: P(x) + Q(x) = 2x2
+ 8
P(x) – Q(x) = 8x
Calcular: G(Q(P(0)))
A) 1 B) 4 C) 8
D) 3 E) 5
6. Dado el polinomio: P(x) = x3
– 5x2
+ 4x + 1
Hallar: P(2) + P(–1)
A) 5 B) 9 C) –25
D) –16 E) –12
7. Si el polinomio:
P(x;y) = 7xa+5
yb–1
+ 3 xa+2
yb+1
– xa+3
yb+2
tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – b
A) 6 B) 2 C) 4
D) 5 E) 3
8. Si Q = axb
ya
+ bxa
yb
+ x3
y4
. Es un polinomio homogéneo
en “x” e “y”, la suma de sus coeficientes es:
A) 7 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
9. El polinomio xa+b
+ xa
ya–b
+ xb+2
y2
, es homogéneo. ¿De
qué grado es?
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
10. Dado el polinomio homogéneo:
P(x,y) = x2m
– 4xm
yn–1
– 3 y15–m
, hallar el valor de:
(m + n)2
– (m – n)2
A) 110 B) 120 C) 240
D) 115 E) N.A.
4 4
15 15 1515

5. 47
11. Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente
polinomio homogéneo:
P(x,y) = x3m+2n
y4
+ 3x2m–1
y–3n
+ 5x2m
yn+7
A) 5, –2 C) 2, –5 C) N.A.
D) 2, –5 E) –2, 5
12. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x)=(5x4
–3)n
+(4x5
–3)n–1
+(7x3
–5)n–2
+5(x7
+1)n–2
(x–2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 0
13. Los polinomios:
P(x) = (x + 2)2
+ ax + 7n
Q(x) = (x + a)2
+ nx + 2
Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.
A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16
14. En la siguiente expresión:
+ + +
− −
−
 − − 
  
a a a
a ax x
a a ax
2
3 2
2
1 1
1 2 2.
1
1
tiene el grado igual a 13, hallar a.
A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) N.A.
15. Se definen:
P(x) = 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
Q(x) = 1 – x + x2
– x3
+ x4
– x5
+ x6
halle:
)17(
)17(
Q
P
E
−
=
A) 0 B) –1 C) 1
D) 2 E) 17
TAREA
1. Siendo el polinomio:
P(x) = x24
+ 128x17
+ 2x11
+ 64x6
+ 4x + 2
Hallar P(–2)
A) 2 B) -6 C) 5
D) 8 E) 12
2. Sea el polinomio: P(2x – 1) = (5x – 1)m
+(2x + 1)m
– 2x +
1 ¿Qué valor toma “m” si se cumple en el polinomio que
la suma de coeficientes y su término independiente
suman:
( )
m m3
2
24 2+ +
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Indicar el valor de “a+b”, si el polinomio
P(x) = (a3
–27)x2
+ (b3
–7)x+5
Es lineal y mónico.
A) 5 B) 4 C) 9
D) 11 E) 15
4. Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”, si P(2x+m) = 6x+7
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 7
5. Se tiene:
P(x + 2) = 3x + 8
Q(x – 1) = 5x + 3
Calcular:
M =
)1()1(
22)()(
+−+
++
xQxP
xQxP
A) x + 1 B) –4 C) –4x
D) x – 1 E) – (x + 1)
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se
obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la
operación de multiplicación.
PRINCIPALES IDENTIDADES:
Trinomio cuadrado perfecto:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
* Identidades de Legendre:
(a + b)2
+ (a – b)2
= 2(a2
+ b2
)
(a + b)2
– (a – b)2
= 4ab
Diferencia de cuadrados:
(a + b) (a – b) = a2
– b2
Desarrollo de un binomio al cubo:
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b)
Suma y diferencia de cubos:
(a + b) (a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
(a – b) (a2
+ ab + b2
) = a3
– b3
Multiplicación de binomios con término común:
(x + a) (x + b) = x2
+ (a+b)x + ab
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo:
(a+b+c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a+b) (b+c)(a+c)
(a+b+c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc
Identidad trinómica (Argan´d):
x2
+ x + 1) (x2
– x + 1) = x4
+ x2
+ 1
IGUALDADES CONDICIONALES:
Si: a + b + c = 0 , se cumple:
I. a3
+ b3
+ c3
= 3abc
II. a2
+ b2
+ c2
= –2(ab + ac + bc)
III. (ab + bc + ac)2
= (ab)2
+ (bc)2
+ (ac)2
EJERCICIOS

6. 48
1. Reducir:
C = [ (m + n)2
– (m – n)2
]2
– 16 m2
n2
A) mn B) m+n C) 0
D) 1 E) –1
2. Reducir:
M = ( ) ( )babababa −++−−+
A) 2ª B) 0 C) 2a – 2b
D) 2b E) 2a + 2b
3. Reducir:
(x – 1)3
– x3
+ 1
A) x B) x + 1 C) 2x
D) 3x (1 – x) E) 3x
4. Reducir:
W= b b a b b a2 2 2 2
.+ − − − ; a > 0
A) b B) a C) a
D) b E) 0
5. Simplificar:
R = (x + y + 1) (x + y – 1) – (x – y + 1) (x – y – 1)
A) xy C) x + y E) 4xy
B) 2xy D) x – y
6. Si a+ b = 1 y a2
+ b2
= 3
hallar: P = (a + 1)(b + 1)
A) 4 B) 1 C) 3
D) 2 E) N.A.
7. Si: a+b = ab = 3
Calcular R = a(a + a2
+ a3
) + b(b + b2
+ b3
)
A) 1 B) 2 C) –3
D) –6 E) N.A.
8. Reducir:
A = x x x x x
3 2
( 1)( 1) 3 ( 1)+ − + + +
A) x B) x–1 C) x+1
D) –x E) 1
9. Si x +
x
1
= 4, calcular: x
x
3
3
1
+
A) 26 B) 18 C) 52
D) 36 E) N.A.
10. Si: a + b = 4; ab = 3.
hallar: W = a3
+ b3
; si a > b
A) 64 B) 28 C) 26
D) –26 E) –27
11. Si x + y = a, x.y = b, hallar: x3
+ y3
A) a3
B) a3
+ 3ab C) N.A.
D) a2
+ 3ab E) a3
– 3ab
12. Efectuar:
(x + y – 2z)2
– (x – y – 2z)2
A) –4xz – 4yz B) 4xy – 4xz E) N.A.
D) 4xy – 8xz E) 4xy – 8yz
13. Si: a + b + c = 0, calcular:
P =
)cb()ca()ba(
)cb()ca()ba( 333
+++
+++++
A) 1 B) 3 C) 1/3 D) 9 E) 1/9
14. Reducir:
a b c b c a c a b
a b c
2 2 2
2 2 2
( 4 ) ( 4 ) ( 4 )+ − + + − + + −
+ +
si se sabe que: a + b + c = 0
A) 1 B) 9 C) 16
D) 25 E) N.A.
15. Si: a + b + c = 0, calcular:
E = + +
+ +
a b c
ab ac bc
2 2 2
A) 1 B) –1 C) 2
D) –2 E) N.A.
TAREA
1. Si: a+b = 2 y ab=3
Halla : a3
+b3
A) –1 B) 6 C) -8
D) –10 E) 26
2. Si: a+b = 3 y ab = 1
Halla : a2
-b2
A) 6 B) 3 5 C) 2
2
D) 4 5 E) 6 5
3. Si: a+b = 2 y ab=3
Halla : a3
+b3
A) –1 B) 6 C) -8
D) –10 E) 26
4. Si: a+b = 3 y ab = 1
Halla : a2
-b2
A) 6 B) 3 5 C) 2
2
D) 4 5 E) 6 5
5. Reduce :
( )( )( )( )
( )( )( )( )
K
x x x x x x
x x x x x x
=
+ + + + − + +






+ +





 − + + + +
2 3 4 5 7 11
9 19 3 5 6 4
2 2
2 2
A) 1 B) 1/2 C) 0
D) –1 E) –1/2
DIVISIÓN ALGEBRAICA:

7. 49
Operación que se realiza entre polinomios y consiste en hallar
dos polinomios llamados cociente y residuo, conociendo otros
dos polinomios denominados dividendo y divisor que se
encuentran ligados por la relación:
D(x) = d(x).Q(x) + R(x)
Donde:
D(x): Dividendo
d(x) : Divisor
Q(x): Cociente
R(x): Residuo o Resto
GRADO DEL COCIENTE
Q(x)° = D(x)° - d(x)°
GRADO DEL RESIDUO
R(x)° = d(x)° - 1
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN
1. MÉTODO DE HORNER:
Ejemplo: Efectuar la siguiente división:
2x
2
x
54x
3
3x
4
2x
++
+++
Q(X)=…………………………….
R(X)=………………………………
2. MÉTODO DE RUFFINI
Ejemplo:
Efectuar la siguiente división:
13x
2x
2
x
3
5x
4
3x
−
+−++
Primer paso:
Segundo paso:
Q(X)=…………………………..
R(X)=……………………………
OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es
diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir
entre este valor.
3. TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para obtener el resto de una
división. Consiste en igualar a cero al divisor
y despejar la mayor potencia de la variable,
para que sea reemplazado en el dividendo.
OBSERVACIÓN:
Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el
grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del
divisor.
Ejemplo:
Calcular el resto en:
2x
92x
3
x
−
−+
Solución:
X – 2 = 0 x = 2
Reemplazando “x” en D(x)
R(x) = (2)3
+ 2(2) – 9
R(x) = 3
EJERCICIOS
1. Calcular la suma de coeficientes del residuo de dividir:
− − + −
− −
x x x x
x x
4 3 2
2
4 5 2 3 1
2 1
A) – 27 B) 29 C) 21
D) 19 E) 11
2. Divide:
+ + + + +
+ + +
x x x x x
x x x
5 4 3 2
3 2
5 10 10 5 1
3 3 1
Indica el cociente:
A) x2
-x-1 B) x2
+2x+1 C) x2
+1
D) x2
-2x-1 E) x2
+2x-1
3. Indica el cociente de:
+ + + +
+ −
x x x x
x x
5 4 6
3
2 3 3 2
1
A) x3
-3x-1 B) 3x2
+4x-1
C) 3x3
+2x2
+4x-1 D) 3x2
+2x-1
E) x3
+2x+1
4. Indica el cociente de:
− + − +
−
x x x x
x
6 11 2
3 2
4 3 2
A) 2x3
-x2
+x-1 B) x3
+x2
+x-3
C) 2x3
+x2
+3x-1 D) 2x3
-x2
+x-3
E) 2x3
+x2
+x-3
5. Halla el resto en :
+ + + + + +
−
x x x x x x
x
10 7 6 4 3
3
2 3 4 5 1
1
A) 11x+1 B) 11x+3C) 11x+6
D) 10x+5 E) 11x+2
6. Calcula el resto en:

8. 50
+ + + − −
+
x x x x x
x
12 8 7 5
2
2 3 1
1
A) 5 B) 3 C) x+2
D) x+1 E) x – 3
7. Calcular m + n + p; si la división deja como resto:
2x2
+ x – 5.
− − + + +
− +
x x x mx nx p
x x
5 4 3 2
3 2
3 2 3
3 2 1
A) 3 B) 2 C) – 1
D) 0 E) 10
8. Cuando el polinomio:
8x4
– Ax3
+ Bx2
+ Cx + D
Se divide entre: 2x2
–x + 1; se obtiene un cociente cuyos
coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del
primer término y un residuo igual a 5x + 1.
Hallar: A + B + C + D.
A) 24 B) 21 C) 15
D) 12 E) 16
9. Hallar “m + n” en la división exacta:
+ + −
+ −
x x mx
x x n
5 4 3
3
1
A) 1 B) 3 C) 2
D) 5 E) –1/3
10. Si a y b son mayores que cero. Calcular E = a + m,
sabiendo que el resto de la división:
− + + −
− +
x x ax x
x x m
4 3 2
2
3 4 5 2 es R = 8x –2.
A) 13 B) 3 C) 5
D) 10 E) 16
11. Calcular (A + B) para que el polinomio Ax4
+ Bx3
+ 1
sea divisible por (x – 1)2
A) 1 B) - 1 C) 2
D) – 2 E) 3
12. En la división:
4 3 2
2x 3 2x 12x 3 2x 2
2 x
+ − + −
−
. Calcular la suma de
coeficientes del cociente.
A) 6√2 B) 4√2 C) 3√2
D) – 1 E) - 6√2
13. Hallar el valor de “ANI” para que el polinomio:
F(x) = x4
– 5x3
+ Ax2
+ Nx+ I; al dividirse entre: K(x) = (x –
1)3
deje un resto idénticamente nulo.
A) 54 B) – 65 C) - 126
D) 145 E) – 24
14. En el siguiente esquema de Horner:
1 a 3 -
20
1 f
p -7 b
3 4 c
d e
7 -4 5 -
16
10
Determine:
P = a + b + c + d + e + f
A) 20 B) 21 C) 22
D) 23 E) 25
15. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por
(2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4
y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer
el menor coeficiente de P(x).
A) – 4 B) – 3 C) – 5
D) 4 E) 2
TAREA
1. Divide:
1x
21x3x6x5x2 234
+
++−−
Indica el término lineal del cociente obtenido:
A) 2x B) –7x C) x
D) –2x E) –x
2. Divide :
2x
12x2x4
3
+
+−
Indica el residuo:
A) 14 B) –16 C) -8
D) 6 E) 4
3. Divide:
1xx
3qx)3p(x
2
24
++
++−+
Halla (p+q) si la división es exacta.
A) 1 B) –2 C) 2
D) –1 E) 8
4. Divide :
1x3
x1810x15x5x9 324
−
−+−−
Indica el término cuadrático del cociente:
A) –8x2
B) –12x2
C) 4x2
D) –4x2
E) x2
5. Calcula el resto en:
1x
1xx3xxx2
2
57812
+
−−+++
A) 5 B) 3 C) x+2
D) x+1 E) x – 3
CONCEPTO
Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa
sin necesidad de efectuar la operación de división.
Condiciones que debe cumplir:

9. 51
±
±
m mx y
x y
Donde
x; y bases iguales
m ∈ Z+
; m ≥ 2
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
CASO I: (para n=par o impar)
−
−
n nx y
x y
=………………………………………
CASOII: (para n=impar)
+
+
n n
x y
x y
=…………………………………………
CASOIII: (para n=par)
−
+
n n
x y
x y
=………………………………………
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA OBTENER UN C.N.
De:
±
±
m n
p q
x y
x y
se debe cumplir:
= =
m n
r
p q
; r ∈ Z+
=Donde r ………………………………………………
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.
Es una fórmula que nos permite encontrar un término
cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de
conocer los demás.
De la división:
±
±
n n
x y
x y
Tenemos:
. ( ) − −
= n k k
kt signo x y 1
.
Donde:
tk → término del lugar k
x → 1er. término del divisor.
y → 2do. término del divisor.
n → número de términos de q(x)
NOTA:
 ………………………………………………………………
……………………………
 ………………………………………………………………
………………………….
EJERCICIOS
1. Si la siguiente división:
+ +
−
−
n n
x y
x y
3 1 5 8
2 4
es un C.N., determinar el valor de “n”.
A) 5 B) 4 C) 2
D) 6 E) N.A.
2. Hallar el valor de “m” si la expresión:
−
−
m
x y
x y
4 80
es un C.N.
A) 10 B) 30 C) 40
D) 11 E) 20
3. Encontrar la relación que deben cumplir m, n, p y q para
que
−
−
m n
p q
x a
x a
es un C.N.
A) mn = pq B) mq = np C) mp = nq
D) m/q = n/p E) N.A.
4. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.
x8
+ x6
+ x4
+ x2
+ 1
A)
+
+
x
x
10
2
1
1
B) −
−
x
x
8
1
1
C)
−
−
x
x
10
2
1
1
D)
+
+
x
x
10
2
1
1
E) N.A.
5. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.
x80
+ x78
+ x70
+ ..... + x4
+ x2
+ 1
A)
−
−
x
x
80
2
1
1
B) −
−
x
x
40
1
1
C) +
+
x
x
80
1
1
D)
−
−
x
x
82
2
1
1
E) N.A.
6. Calcular el número de términos del C.N.
4n 12 4n 3
n 8 n 9
x y
x y
+ −
− −
−
−
A) 10 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
7. Calcular el t11 en el C.N.
m 507
3 m
x y
x y
−
−
A) x6
y390
B) x8
y380
C) x4
y280
D) x9
y280
E) N.A.
8. Hallar el término independiente al efectuar:
( )10
x 2 1
x 3
+ +
+
A) 2 B) 1 C) –1
D) – 2 E) N.A.
9. Calcular el término idéntico de:
48 36
4 3
x y
x y
−
−
; y ;
56 14
4
x y
x y
−
−
A) x40
y B) x40
y2
C) x40
y3
D) x20
y2
E) N.A.
10. Simplificar:
14 12 10 2
6 4 2
x x x ...... x 1
x x x 1
y + + + + +
+ + +
=
A) x8
+ 1 B) x8
– 1 C) x6
+ 1
D) x6
– 1 E) x10
+ 1
11. Simplificar:

10. 52
78 76 74 2
38 36 34 2
x x x ........ x 1
x x x ........ x 1
B + + + + +
+ + + + +
=
A) x 40
B) x 40
C) x 20
– 1
D) x 20
+ 1 E) N.A.
12. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del
cociente:
32
)3( 3636
+
−+
x
xx
para x = - 1
A) 16 B) 32 C) 64
D) 128 E) 256
13. Calcular:
9 8 7 2
9 8 7 2
9 9 9 ... 9 9 1
9 9 9 ..... 9 9 1
− + − − + −
+ + + + + +
A) 0, 8 B) 0, 1 C) 0,9 D)1 E) 9
14. Si:
q
x 8
x 2
−
−
es una división notable exacta, calcular el
valor numérico de:
39 38 37 2
35 30 25 10 5
q q q ........ q q 1
q q q ..... q q 1
M
− + − − + −
− + − − + −
=
A) 58 B) 59 C) 60
D) 61 E) 62
15. Hallar “K” si el décimo término del desarrollo:
3k 15k
5
x y
x y
−
−
tiene G.A. = 185
A) 20 B) 40 C) 50
D) 10 E) N.A.
TAREA
1. Para qué valor de “n” la división:
(xn+1
- y3n-4
) ÷ (x – y2
)
Origina un C.N.
Rpta…………..
2. Cuántos términos posee el cociente notable originado
por:
a ax y
2
8 91+ − 
+ ÷
 
÷ (x2
+ y)
Rpta…………..
3. Hallar el grado absoluto del décimo primer término en
el cociente notable que se obtiene al dividir.
n n
n
x y
x y
3 2 5 1
2 5
+ −
−
−
−
A) 25 B) 30 C) 40
D) 60 E) 66
4. En el cociente notable generado por la división:
31
57203520
−+
−+
+
+
mm
mm
yx
yx
,
determinar el, valor de “m” e indicar el número de
términos.
A) 2 ; 22 B) 4 ; 23 C) 6 ; 24
D) 8 ; 25 E) 10 ; 26
5. Hallar el número de términos del siguiente cociente
notable.
....... + x195
a140
– x190
a147
+ ...
A) 50 B) 60 C) 70
D) 80 E) 40
FACTORIZACIÓN
Es el proceso de transformación de un polinomio en una
multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.
Multiplicación
P(x) = x2
+ 3x + 2 ≡ (x + 1) (x + 2)
Factorización
FACTOR PRIMO
Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si
“F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.
Nota
…………………………………………………………………………
…………………………………………
Ejemplos:
 P(x) = (x + 2)3
(x + 1)2
(x + 5)6
Son factores primos de P(x):
 P(x) = (x) (x + 2)6
(x – 1)2
Son factores primos de P(x).
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
1. Factor Común
Consiste en buscar factores comunes a todos los términos
de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.
Ejemplos:
1. Factorizar:
P(x,y) = 2x2
y + 3xy2
+ xy
2. Factorizar:
A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)
2. AGRUPACIÓN
Consiste en agrupar términos convenientemente tratando
que aparezca algún factor común.
Ejemplos:
1. Factorizar:
x2
+ x + xy + y – xz – z

11. 53
2. Factorizar:
x2
+ ax + x + xy + ay + y
3. ASPA SIMPLE
Forma general de polinomio a factorizar: m, n ∈ N
P(x,y) = Ax2n
+ Bxn
ym
+ Cy2m
P(x) = Ax2n
+ Bxn
+ C
Ejemplos:
1. Factorizar:
2x2
+ 7xy + 6y2
2. Factorizar:
(x + y)2
– 2 (x + y) + 1
3. Factorizar:
(x + y)2
– 2 (x + y) + 1
TEOREMA
Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que:
P(x) =
n p
x x
f g( ) ( )
.
I) Números factores primos = 2
II) Números factores algebraicos = (n + 1)(p + 1)–1
Ejemplo:
Sea P(x) = (x + 2)3
(x + 4)
I. Números factores primos =
II. Números factores algebraicos =
4. ASPA DOBLE:
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F
Ejemplos:
…………………………………………………………………
…………………………………………………
* 20x2
+ 22xy + 6y2
– 33x – 17y + 7
…. … …
…. … …
…………………………………………………………………
…………………………………………………
5. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
Dx + E.
1. Ejemplos: Factorizar
……………………………………………………………
…………………………………………………
6. Método De Los Divisores Binómicos.
Con éste método se busca uno o más factores binomios
primos
Consideraciones:
1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
2. Los demás factores se encuentran al efectuar:
( )
0xx
xP
−
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
ceros
Posibles
( )
( )xPincipal deCoef.Divisores
xde PT. indep.Divisores
x
Pr0=
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3
+ 6x2
+ 11x – 6
EJERCICIOS
1. Un factor primo de :
m3
– mn2
+ m2
n – n3
+ m2
– n2
A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1
D) m+n E) m-n+1
2. Factoriza r :
mn+p
+ mn
np
+ nm
mp
+ nm+p
y da un factor primo :
A) mn
+ pn
B) mn
+ np
C) mp
+ nm
D) mp
+ nm
E) mp
+ np
3. Factorizar:
x3
+ x2
+ x + 1
A) (x2
+ 1)(x - 1) B) (x2
+ 1)(x + 1)
C) (x2
+ 1)(1 - x) D) (1 + x)(1-x2
)
E) N.A.
4. Factorizar:
x2
– 4xy + 4y2

12. 54
A) (x-2y)2
B) (x+y)(x-y) C) x2
+y
D) (x+2y)2
E) N.A.
5. Halla la suma de los coeficientes de uno de los F.P. de
4(2x +1) (x +1) (2x+3) (x+ 2) - 3
A) 15 B) 17 C) -3
D) 5 E) -2
6. Cuántos factores primos tiene la expresión :
xy6
– 5x2
y5
– 4x3
y4
+ 20x4
y3
A) 10 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
<
7. Halla la suma de coeficientes de los F.P. de :
(x2
+ 7x - 3)2
- 2(x2
+ 7x) – 29
A) 10 B) -10 C) 7
D) -7 E) 8
8. Indicar el factor primo que tiene el mayor término
independiente:
6x2
– 7xy – 3y2
+ 14x – 10y + 8
A) 2x + y + 4 B) 3x + y + 4
C) 2x – 3y + 4 D) 3x – y – 4
E) 2x – 3y + 8
9. Factorizar:
23xy + 17(x + y) + 6(2x2
+ 1)+5y2
Dar la suma de coeficientes de un factor primo
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
10. Indicar un factor de:
4x(x + 2) - 6y (y - 1) – 5xy
A)2x + 3x – 2 B) x – 3y + 2
C) x – 2y + 2 D)4x – 2y +– 1
E) 4x + 3y + 2
11. Determinar el número de factores primos del M.C.M. de
los polinomios:
P(x) = x5
– x3
+ x2
– 1
Q(x) = x6
– 1
Rpta…………..
12. Determinar el grado del M.C.M. de los polinomios:
A(x) = x2
– 15x + 36
B(x) = x2
– 9
C(x) = x3
+ 6x2
+ 63x + 108
Rpta…………..
13. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.D, de los
polinomios:
P(x) = x3
+ x2
+ x + 1
Q(x) = x3
+ 3x2
+ 5x + 3
Rpta…………..
14. Si los polinomios
P(x) = 6x4
+ 4x3
+ 5x2
+ mx + n
R(x) = 2mx3
+ 2nx2
+ px – q
admiten como M.C.D. a:
2x2
+ 2x + 1.
Hallar un divisor de R(x)
Rpta…………..
15. Sea 2 2 2 2
P(x;y) a b x y 2(ax by)= − + − + −
señale la suma de los términos independientes de sus
factores irreductibles.
A) a B) b C) 2a
D) 2b E) a+b
TAREA
1. Un factor primo de :
m3
– mn2
+ m2
n – n3
+ m2
– n2
A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1
D) m+n E) m-n+1
2. Cuántos factores primos tiene la expresión :
xy6
– 5x2
y5
– 4x3
y4
+ 20x4
y3
A) 10 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
3. Cuántos factores primos tiene :
L = 8x6
+ 7x3
- 1
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
4. Cuántos factores primos hay en :
x6
- y6
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
5. Cuántos F.P. tiene :
(a2
- b2
) (x2
+ 1) + 2(a2
- b2
)x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
PRÁCTICA Nª 1
1. Hallar x si
x2/
1
81
3
 
= ÷
 
A) –2 B) –1/2 C) –1
D) –3 E) N.A.
2. Resolver: x x3 2
(4 ) 1− −
= . Una de las raíces es:
A) 1 B) 3 C) 5
D) 4 E) N.A.
3. Hallar el valor de x si x x
a a a
23 4 31
. −
=
A) 1 B) –1 C) 4/7
D) 7/4 E) N.A.
4. Sabiendo que:
A =
n n n n
n factores
x x x x1 1 1 1
( 2)
. . .− − − −
+
L14444244443
B =
n n n n
n factores
x x x x2 2 2 2
( 1)
. . .+ + + +
−
L14444244443
Hallar A / B
A) – 1/2 B) – 1 C) ½
D) 1 E) 2
5. Simplificar:

13. 55
E =
c c cb b ba b b ab ab a a
a a a a
1
2
. . .
+− + − −
A) aa
B) a–1
C) aa–1
D) aa+1
E) –a
6. Simplificar:
E=
n n nnmn m
m m
x x x x
x x
1
2
2 3
.
−
K
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
7. .Simplificar:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
5 15 3
2
6 5
9 . 3 . 9
3 . 27
K =
A) 3 B) 3–1
C) 3 –3
D) √3 E) N.A.
8. Simplificar:
125 5 5 5 5
5. 5. 5. 5. 5.255K 5
−
=
A) 3125 B) 625 C) 25
D) 5 E) N.A.
9. Si sabemos que:
ba 2= ; ab 5=
Hallar:
a 1 b 1
b aK a b
+ +
= +
A) 57 B) 60 C) 32
D) 55 E) 50
10. Siendo x ≠ 0 simplificar la siguiente expresión:
E =
xx
x x xx x x
x
x x x
x
−
− 
 
 
 
A) x B) –x C) x2
D) 1/x E) xx
11. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo
del siguiente polinomio:
P(x–1) = (3mx – 4m)2
+ (3x – 4)2m
– x2
+ 4 ; m ∈ Z
Sabiendo que es cuádruplo de su término independiente.
A) 512 B) 256 C) 128
D) 32 E) ½
12. Dado el polinomio ordenado y completo:
+ + − + ++ + + + − K
b a a
cx ax bx x abcb a a a a a c5
32 2 26 1
Hallar el término independiente.
A) 13 B) 12 C) 10
D) 14 E) 11
13. Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m.n”
P(x,y) = (m+n)xy2
+ 2x2
y – 18xy2
+ (n–m)x2
y
A) 70 B) 79 C) 81
D) 90 E) 80
14. Calcular: ab ab b si el polinomio:
− + − − −
= + + + + +
2a a 2
a 15 (a 1) 7 2a 1 b 1
(x)P 5 x 3x 5x ..... nx
Donde: n ≠ 0 ∧ b > 0 ; es completo y ordenado, además
tiene 4aa
; términos.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 16 E) 5
15. En el polinomio:
P(x + 1) = (2x + 1)n
+ (x + 2)n
– 128(2x + 3), donde “n”
es impar, la suma de coeficientes y el T.I. suman 1 ; luego
el valor de “n” es:
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A.
16. Si: a2
+ b2
+ c2
= 49. Calcular:
C = (a + b)2
+ (a + c)2
+ (b + c)2
– (a + b + c)2
A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49
17. Si: a = 3 2 + 5; b = 2 – 5 2 ; c = 2 2 – 7
Hallar:M = ( )ca b
bc ac ab
4
2 2 24 (2 )
+ +
A) 4 B) 3 C) 7 D) 12 E) 1
18. Si: a–1
+ b–1
= 4(a + b)–1
calcular: E =
a b a b
b a a b
2
2
+
+ +
+
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A
19. Si: A + B = 8 ; A.B = 2
Hallar: A6
+ B6
<
A) 8 B) –8 C) –16 D) 16 E) N.A.
20. Si: (a + b + c + d)2
= 4 (a + b) (c + d)
calcular: M=
a b a c d a
c d d b b c
+ − −
+ +
+ − −
A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) –3
PRÁCTICA Nª 2
1. Al efectuar: (9x9
+ x2
+ x + 1) ÷ (x2
– x + 1), se obtiene
un residuo: x + 9. determinar la suma de coeficientes de
cociente.
A)1 B)2 C) 3 D)4 E)5
2. Al dividir P(x) ÷ (2x + 3) se obtiene como resto 7, un
cociente cuya suma de coeficientes es 2. Hallar el resto
de dividir P(x) entre (x – 1).
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E)19
3. En el esquema de Ruffini:
Calcular:
E = (e + h + q – r) a + b + c + d + m + n + p
A) – 12 B) 2 C) – 2 D) 12 E) 13
4. Si la división:
3 2
2 2
(a b)x (b c)x (b c)x a b
x n
+ + − + + + −
+
a b c e h n q
1 2 c d g m p
a 8 d f 7 10 r

14. 56
es exacta, calcular:
2
2 2
b
a c+
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3/2 E) 4/3
5. Hallar: “m + n” si el t(25) del desarrollo de:
129m 86n
3m 2n
x a
x a
−
−
es x270
a288
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) N.A.
6. Simplificar:
( )
+
+ +
−
= + + + + +
n n
n n
x x x x
b b b b b b x
B
2 1
2 3 1 1
1 ....
A) (a – x) – 2
B) (a – x)– 1
C) ax
D) a/x E) (a – x)2
7. Si al efectuar:
−
−
−
−
x x
x x
4 4
4 4
1
se encontró que:
T(100) . T(200) . T(250)= 2-47
Determinar “x”
A) 7 B) 7
3 C) 7
2 D) 2 E)
3
8. Simplificar:
 + + + +
 ÷
 ÷+ + + + =
 + + + +
 ÷
 ÷+ + + + + 
x x x
x x x
M
x x x
x x x x
44 33 11
4 3
50 45 5
10 9 8
... 1
... 1
... 1
... 1
A)2 B)3 C)1 D)4 E)5
9. Calcular el resto de:
pa pb 1 pc 2 pk p 1
p 1 p 2 p 3
x x x .......... x
x x x ............ x 1
+ + + −
− − −
+ + + +
+ + + + +
A) 1 B) X+1 C) p 2
x 1−
+
D) 0 E) NO SE
10. Si 2 2 2 2 2
P(x;y) a x 2abx b y b= + − + indique la
suma de sus factores primos.
A) 2by B) 2ax+bC) 2(ax+b)
D) 2(bx+a) E) ax+b
11. Si 2F(x) x 2x 1= + − es factor del polinomio
4 3 3P(x) 4x 9x bx 3x a,= + + + − halle “ab”
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
12. Factorizar: 2 2 2 2b c a d 2ad 2bc+ − − + +
dando uno de los factores
A) b–c–a+d B) b–c-a C) b+c-a
D) b+c–a –d E) b+c+a+d