Ejercicios de polinomios y expresiones algebraicas

1. HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICO
01
Curso : Álgebra.
Docente: García Saez, Edwin Carlos
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Y
POLINOMIOS ESPECIALES

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es una compaginación de variables y constantes, en un número limitado de veces, enlazado por signos
de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potenciación radicación.
Ejemplos:
1. 𝑃 𝑥 = 3𝑥4 + 6
2. 𝑃 𝑥, 𝑦 =
2𝑥3
𝑦
+ 𝑥
1
2𝑦3
3. 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5𝑥4𝑦2𝑧 + 𝑚𝑥2𝑛
Término algebraico
Es una expresión algebraica reducida
donde no está presente la operación de
adición y sustracción.
𝑃 𝑥; 𝑦 = −3𝑥5𝑦7
Dónde:
Coeficiente o parte numérica. -3
Variables o parte literal: 𝑥; 𝑦
Exponente: 5 y 7
Términos semejantes
Son aquellos términos de la misma parte literal y
de exponentes iguales, entonces se pueden
sumar o restar los coeficientes y se escribe la
misma parte literal.
Ejemplo:
𝑃 𝑥; 𝑦 = 4𝑥. 𝑦3; 𝑄 𝑥; 𝑦 = −𝑥. 𝑦3;
𝑅 𝑥; 𝑦 = 2𝑥. 𝑦3

4. Valor numérico (V.N.)
Es el resultado que se obtiene al reemplazar
las variables de una expresión algebraica por
valores determinados.
Ejemplo:
1. Determinar el V.N. de la siguiente expresión:
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 3𝑦𝑧.
Para 𝑥 = 5 ; 𝑦 = −2 ; 𝑧 = 3
Reemplazando:
𝑃 5; −2; 3 = 52
+ 3 −2 3 = 7
MONOMIO
Son expresiones algebraicas de un solo
término.
Ejemplo
𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟒𝒙𝟑. 𝒚𝟐. 𝒛𝟓
1.Grado de un monomio
1.1. Grado absoluto (GA)
Se obtiene sumando sus exponentes de
cada variable.
𝐺𝐴(𝑃) = 3 + 2 + 5 ⟹ 𝐺𝐴(𝑃) = 10
1. 2. Grado relativo (GR)
Es el exponente con respecto a un
variable seleccionado.
𝐺𝑅 𝑥 = 3,
𝐺𝑅 𝑦 = 2,
𝐺𝑅 𝑧 = 5

5. POLINOMIOS
Es una expresión algebraica racional entera que consta
de varios términos, que a su vez está definida sobre un
campo numérico.
𝑄 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛; 𝑎0 ≠ 0
Donde:
𝑎0; 𝑎1; 𝑎2; … 𝑎𝑛: coeficientes.
𝑥: variable.
𝑛: grado del polinomio.
𝑎0: coeficiente principal (coeficiente de la variable con
mayor exponente)
• Si 𝑎0 = 1 entonces el POLINOMIO ES MÓNICO.
• 𝑎𝑛: término independiente.
Ejemplo:
𝑃 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥3𝑦4
7
− 3𝑥6𝑦3
9
+ 𝑥5𝑦7
12
1.Grado de un polinomio
1.1. Grado absoluto (GA)
Es la mayor suma de exponentes de variables
obtenida en uno de sus términos.
⟹ 𝐺𝐴(𝑃) = 12
1.2. Grado relativo (GR)
Es el mayor exponente que presente dicha
variable en uno de los términos del polinomio.
𝐺𝑅 𝑥 = 6; 𝐺𝑅 𝑦 = 7

6. TEOREMA
Dado un polinomio 𝑃(𝑥)
1. Suma De Coeficientes:
𝐶𝑜𝑒𝑓. 𝑃 𝑥 = 𝑃 1
2. Término Independiente
𝑇. 𝐼 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 = 𝑃(0)
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomio ordenado
Se dice ordenado respecto a alguna de sus variables ,cuando sus
exponentes sólo aumentan o disminuyen en forma creciente o
decreciente.
Ejemplo
Sea el polinomio 𝑃 𝑥, 𝑦 = 2𝑥4𝑦3 − 5𝑥2𝑦5 + 𝑥𝑦8
Está ordenado en forma decreciente respecto a la variable “x” y en
forma creciente respecto a la variable “y”.
2. Polinomio completo
Llamaremos completo respecto a alguna variable si existen términos de
todos los grados incluyendo el término independiente, hasta un grado
determinado.
Ejemplo
Sea el polinomio
𝑃 𝑥 = 5𝑥4
−
1
3
𝑥2
+ 𝑥3
+ 2𝑥 + 4
Es un polinomio completo
𝑃 𝑥 = 5𝑥4
+ 𝑥3
−
1
3
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
Es un polinomio completo y ordenado en forma decreciente

7. TEOREMA
En todo polinomio completo
y de una sola variable, el
número de términos es
igual al grado aumentado
en uno.
𝑁° 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 + 1
TEOREMA
Si un polinomio es completo
y ordenado respecto a una
variable, se tiene que los
grados relativos a esa
variable de dos términos
consecutivos difieren en la
unidad.
3. Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y dos o más variables es
homogéneo si cada término tiene el mismo grado absoluto.
Ejemplo
El polinomio
𝑃 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥4𝑦5
9
− 𝑥7𝑦2
9
+ 3 𝑥3𝑦6
9
Es homogéneo de grado 9.
4. Polinomios idénticos ≡
Dos o más polinomios en las mismas variables son idénticos, cuando
tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor que se asigne
a sus variables.
Teorema: Dos polinomios en una variable y del mismo grado de la
forma:
𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ 𝑎2𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎𝑛
𝑄 𝑥 = 𝑏0𝑥𝑛 + 𝑏1𝑥𝑛−1 + 𝑏2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑏𝑛
Son idénticos o iguales si y solo si
𝒂𝟎 = 𝒃𝟎; 𝒂𝟏 = 𝒃𝟏; 𝒂𝒏 = 𝒃𝒏

8. 5. Polinomio idénticamente nulo ≡ 𝟎
Un polinomio es idénticamente nulo, si sus valores numéricos para cualquier valor o valores asignados a
las variables resulta ser siempre cero.
Un polinomio de la forma:
𝑃 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛
Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son cero, es decir:
𝑎0 = 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ 𝑎𝑛 = 0
6. Polinomio constante
Es de la forma 𝑃 𝑥 = 𝑘; 𝑘 ∈ ℝ ; 𝑘 ≠ 0, entonces su grado es cero.

9. 1. Luego de reducir los términos semejantes de variables “x” e
“y”. 8𝑥𝑎+1
𝑦5
− 𝑥4
𝑦5
+ 𝑎𝑏 + 1 𝑥4
𝑦3𝑏−1
+ 2𝑥4
𝑦5
Indicar el valor del coeficiente.
A) 13 B) 15 C) 17 D) 16 E)14
Solución
Por ser términos semejantes, tenemos:
𝑎 + 1 = 4 ∧ 3𝑏 − 1 = 5
𝑎 = 3 ∧ 𝑏 = 2
Reemplazando tenemos:
8𝑥4𝑦5 − 𝑥4𝑦5 + 3.2 + 1 𝑥4𝑦5 + 2𝑥4𝑦5
8𝑥4
𝑦5
− 𝑥4
𝑦5
+ 7𝑥4
𝑦5
+ 2𝑥4
𝑦5
16𝑥4𝑦5
Coeficiente=16

10. 2. Halle el valor de “𝑛” , para que el grado de:
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑛+2𝑦 3 sea 36.
A) 6 B) 7 C)8 D) 9 E) 10
𝐺𝐴 𝑀 = 36
Solución
3𝑛 + 6 + 3 = 36
𝑀 𝑥, 𝑦 = 8𝑥3𝑛+6 𝑦3
3𝑛 = 36 − 9
3𝑛 = 27
𝑛 = 9

11. 3. En el monomio
𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5𝑥𝑎+𝑏−1
𝑦𝑏−𝑎+3
𝑧6𝑎−𝑏+5
Tenemos que 𝐺𝑅 𝑥 = 12; 𝐺𝑅 𝑦 = 10.
Calcule el valor de 𝐺𝑅 𝑧
A) 10 B) 13 C)17 D) 7 E) 15
Solución
𝐺𝑅 𝑥 = 12 ; 𝐺𝑅 𝑦 = 10
𝑎 + 𝑏 − 1 = 12 ; 𝑏 − 𝑎 + 3 = 10
𝑎 + 𝑏 = 13 ; 𝑏 − 𝑎 = 7
𝑎 + 𝑏 = 13
𝑏 − 𝑎 = 7
2𝑏 = 20
𝑏 = 10 ; 𝑎 = 3
𝐺𝑅 𝑧 = 6𝑎 − 𝑏 + 5
𝐺𝑅 𝑧 = 6.3 − 10 + 5
𝐺𝑅 𝑧 = 13

12. 4. Si 𝑃(𝑥 − 1) = 3𝑥2-x+1
calcule: 𝑃(2) + 𝑃(1) + 13
A) 3 B)5 C)7 D)9 E) 15
Solución
 𝑷 𝟐 = 𝟑. 𝟑𝟐
−𝟑 + 𝟏=25
Calculando los valores numéricos:
𝒙 − 𝟏 = 𝟐
𝒙 = 𝟑
 𝑷 𝟏 = 𝟑. 𝟐𝟐
−𝟐 + 𝟏= 11
𝒙 − 𝟏 = 𝟏
𝒙 = 𝟐
Finalmente :
𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟑
𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟒𝟗=7
∴ 𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟏 + 𝟏𝟑 = 7

13. 5. Del polinomio de grado 11
𝑃 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑛+3
𝑦𝑚−2
+ 𝑥𝑛+2
𝑦𝑚−3
Si tiene: 𝐺𝑅(𝑥) − 𝐺𝑅(𝑦) = 7
Calcule 𝑚 + 𝑛.
A) 10 B) 12 C)13 D)14 E) 15
Solución
Del las condiciones tenemos:
𝐺𝑅 𝑥 − 𝐺𝑅 𝑦 = 7
𝑛 + 3 − (𝑚 − 2) = 7
𝑛 + 3 − 𝑚 + 2 = 7
𝑛 − 𝑚 = 2
Además tenemos que :
𝐺𝐴 𝑃 = 11
𝑃 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑛+3
𝑦𝑚−2
+ 𝑥𝑛+2
𝑦𝑚−3
𝑛 + 𝑚 + 1 𝑛 + 𝑚 − 1
𝑛 + 𝑚 + 1 = 11 𝑛 + 𝑚 = 10
Luego resolvemos el sistema de ecuaciones:
𝑛 − 𝑚 = 2
𝑛 + 𝑚 = 10
𝑛 = 6
𝑚 = 4
∴ 𝒏 + 𝒎 = 𝟏𝟎

14. 6. ¿cuántos términos tiene el polinomio?
𝑃(𝑥) = 𝑥3𝑛−1 + 𝑥3𝑛−2 + ⋯ + 𝑥2 + 𝑥 + 1
A) 2𝑛 + 1 B) 3𝑛 + 1 C)3𝑛 D)𝑛 − 1 E)𝑛 − 2
Solución
Utilizando la propiedad tenemos:
Recordar
𝑵𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 = 𝑮𝑨 𝑷 + 𝟏
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 𝐺𝐴 𝑃 + 1
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛 − 1 + 1
𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛
∴ 𝑁𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3𝑛

15. 7. Sabiendo que el polinomio:
𝑃(𝑥) = 𝑥𝑎−1
+ 𝑥𝑎+𝑏−3
+ 𝑥𝑏−𝑐
, es completo y
ordenado ascendentemente, calcular: 𝑎𝑏𝑐 −1
A) 1 B) −1 C)3 D)1/3 E) 4
Solución
Utilizando los datos del problema:
𝑷(𝒙) = 𝒙𝒂−𝟏 + 𝒙𝒂+𝒃−𝟑 + 𝒙𝒃−𝒄
0 𝟏 𝟐
𝑎 − 1 = 0 ∧ 𝑎 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 1 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 1 + 𝑏 − 3 = 1 ∧ 𝑏 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 3 ∧ 3 − 𝑐 = 2
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 3 ∧ 𝑐 = 1
∴ 𝑎𝑏𝑐 −1
= 1.3.1 −1
= 3 −1
= 1/3
Finalmente nos pide calcular:

16. 8. Calcule: 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 si:
2x2+5𝑥 − 1 ≡ (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥2 + 𝑥 + 1)
A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5
Solución
Utilizando los datos del problema:
2x2+𝟓𝒙 − 𝟏 ≡ (𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙 − 𝟏) + 𝑪(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)
2. 12
+ 𝟓. 𝟏 − 𝟏 = (𝑨. 𝟏 + 𝑩)(𝟏 − 𝟏) + 𝑪(𝟏𝟐
+ 𝟏 + 𝟏)
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟏
𝟔 = 𝑪(𝟑) 𝐂 = 𝟐
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟎
2. 02
+ 𝟓. 𝟎 − 𝟏 = (𝑨. 𝟎 + 𝑩)(𝟎 − 𝟏) + 𝟐(𝟎𝟐
+ 𝟎 + 𝟏)
−𝟏 = (𝑩)(−𝟏) + 𝟐 𝐁 = 𝟑
𝒔𝒆𝒂: 𝒙 = 𝟐
𝟐. 𝟐𝟐
+ 𝟓. 𝟐 − 𝟏 = (𝐀. 𝟐 + 𝐁)(𝟐 − 𝟏) + 𝐂(𝟐𝟐
+ 𝟐 + 𝟏)
𝟏𝟕 = 𝐀. 𝟐 + 𝟑 𝟏 + 𝟐. (𝟕)
𝟏𝟕 = 𝐀. 𝟐 + 𝟑 + 𝟏𝟒
𝟎 = 𝐀. 𝟐
∴ 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = 0 + 3 − 2 = 1
𝐀 = 𝟎

17. 9. Calcule la suma de coeficientes del siguiente polinomio Mónico
𝑃 𝑥 = 2𝑎 − 7 𝑥4
+ 4𝑥3
− 6𝑥2
+ 𝑎2
𝑥 + 9
A) 24 B) 17 C) 29 D) 18 E) 10
Solución
Utilizando la propiedad:
Recordar
SUMA DE COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
𝑺 . 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝑷(𝟏)
TERMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO
𝑻. 𝑰 = 𝑷(𝟎)
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟐. 𝟒 − 𝟕 . 𝟏𝟒
+ 𝟒. 𝟏𝟑
−𝟔. 𝟏𝟐
+𝟒𝟐
. 𝟏 + 𝟗
Por ser polinomio Mónico tenemos
𝟐𝒂 − 𝟕 = 𝟏 𝒂 = 𝟒
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟏 . 𝟏 + 𝟒 − 𝟔 + 𝟏𝟔 + 𝟗
𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟏 + 𝟒 − 𝟔 + 𝟏𝟔 + 𝟗
∴ 𝑺. 𝒄𝒐𝒆𝒇 = 𝑷 𝟏 = 𝟐𝟒
POLINOMIO MONICO:
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏.

18. 10. Calcular “𝑎 + 𝑏 + 𝑐”, si el polinomio
𝑃 𝑥 = 𝑥𝑎−𝑏 + 𝑥2𝑎 + 𝑥𝑏−𝑐 + 1
Es completo y ordenado
A) −4 B) −2 C) − 5 D) 2 E) 4
Solución
Por ser polinomio completo y ordenado:
𝒂 − 𝒃 = 𝟑 ; 𝟐𝒂 = 𝟐, 𝒃 − 𝒄 = 𝟏
𝒂 − 𝒃 = 𝟑 ; 𝒂 = 𝟏; 𝒃 − 𝒄 = 𝟏
𝟏 − 𝒃 = 𝟑 ; 𝒂 = 𝟏; 𝒃 − 𝒄 =
𝒃 = −𝟐 ; 𝒂 = 𝟏; −𝟐 − 𝒄 = 𝟏
𝒃 = −𝟐 ; 𝒂 = 𝟏; 𝒄 = −𝟑
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟑
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = −𝟒

19. 11. Si el polinomio
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 𝑥𝑛+1
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 𝑥𝑛
+ 𝑚𝑥𝑛
(2𝑥 − 3) +
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 − 4) , es idénticamente nulo. Halle el valor de 𝑚.
A) −4 B) −2 C) − 1 D) 2 E) 4
Solución
Por ser idénticamente nulo:
𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 2𝑚 = 0 ; 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 3𝑚 = 0 ; 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 − 4 = 0
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 𝑥𝑛+1
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 𝑥𝑛
+ 2𝑚𝑥𝑛+1
− 3𝑚𝑥𝑛
+ (𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 − 4)
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 2𝑚 𝑥𝑛+1
− 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 3𝑚 𝑥𝑛
+ (𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 − 4)
𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = −2𝑚 ; 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 = −3𝑚 ; 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 4
𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = −2𝑚 ;
−𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 3𝑚 ;
𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 4
0 = 𝑚 + 4
m = −4

20. 12. En el polinomio definido por
𝑃 𝑥 = (1 + 2𝑥)𝑚2+𝑚−54+(1 + 3𝑥)𝑚2+𝑚−54+(1 + 𝑥)𝑚2+𝑚−54 , la suma del término independiente y
la suma de los coeficientes es 32. Determine el término principal de 𝑃(𝑥).
A) 16x2 B)14𝑥2
C) 12𝑥2
D) 10𝑥2
E)8𝑥2
Solución
𝒏 = 𝟐
∴
𝑃 1 − 𝑃 0 = 23
Luego:
𝑃 1 = (1 + 2.1)𝑛 + 1 + 3.1 𝑛
𝑃 1 = (3)𝑛 + 4 𝑛
Tenemos que :
𝑃 0 = (1 + 2.0)𝑛 + 1 + 3.0 𝑛
𝑃 0 = (1)𝑛 + 1 𝑛
𝑃 0 = 2
finalmente:
𝑃 1 − 𝑃 0 = 23
(3)𝑛 + 4 𝑛 − 2 = 23
(3)𝑛 + 4 𝑛 = 25

21. Gracias