Algebra

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ALGEBRAICAS POLINOMIOS
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ÁLGEBRA 3er Año Secundaria
I) OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.1 Definir y clasificar expresiones algebraicas.
1.2 Resolver problemas relacionados a polinomios especiales.
II) PROCEDIMIENTOS
a) Motivación
Acerca del Álgebra podemos afirmar actualmente lo siguiente: Es una rama de las matemáticas
que estudia a la cantidad del modo más general posible y las operaciones que con ella se
realizan en los diferentes conjuntos numérico.
Para estudiar a la cantidad del modo más general posible, el álgebra empela constantes y
variables.
b) Contenido Teórico
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
I. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el
número de sus términos.
∗ SEGÚN LA NATURALEZA DE SU EXPONENTE
A. Expresiones Algebraicas Racionales
Son aquellas cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Estas expresiones se subdividen en:
a) Racionales enteras.- Son aquellas expresiones en las que al transponer todas las
variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros y positivos ( o cero).
Ejm: 2x2
y3
;
4
1x +
; 6
yx2 −
b) Racionales fraccionarias.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables
aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con
exponente entero negativo.
Ejm: 3
x
2
; 3xy;
x
1
B. Expresiones Algebraicas Irracionales
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o
exponentes fraccionarios.
Ejm: 1y3x5 +− ; 3
yx6 ;
xy
1
∗ SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS
A. Monomios.- Son expresiones algebraicas racionales enteras en donde no existe nexos de
suma o resta, tratándose entonces de un solo término.
Ejemplos: 8x5
y3
; – 2x; 5
B. Polinomios.- Un polinomio es la unión de dos o más monomios a través de sumas o restas.
Ejemplos: 3x2
– 2x + x3
+ 8; x2
+ x – 1;
x + 2
Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el
nombre de trinomio. Si tiene "n" términos se le denomina polinomio de "n" términos.
II. GRADO DE LAS EXPREIONES ALGEBRAICAS
A. Grado.- Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que
afecta a una variable tomada como base.
B. Clases de Grado
a.Grado Relativo (G.R.)
Con respecto a una de las variables.
b.Grado Absoluto (G.A.)
Con respecto a todas sus variables
GRADO DE UN MONOMIO
a) Grado Relativo
Se refiere a una de sus variables y está determinada por el mayor exponentes que posee
dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.
Así el monomio: A(x,y,z) = 6x2
y5
z8
Con respecto a "x" es de 2do grado
Con respecto a "y" es de 5to grado
Con respecto a "z" es de 8vo grado
b) Grado Absoluto
Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.
Así el monomio M(x,y,z) = – 3x3
y2
z5
tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10
Importante:
El grado de toda constante siempre es cero
Ejemplo:
S3AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S3AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
I
BIMESTRE

75 76COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ÁLGEBRA 3er Año Secundaria
• Si P(x) = 24
, su grado es cero por ser constante.
• Si P(x) = 0. Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.
GRADO DE UN POLINOMIO
a) Grado Relativo
Se refiere a una de las variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a
dicha letra en todo el polinomio.
Así el polinomio:
F(x;y;z) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5yz2
Es: Con respecto a "x" de 5to grado.
Con respecto a"y" de 4to grado
Con respecto a"z" de 3er grado.
b) Grado Absoluto
Se calcula el término de máximo grado.
Así el polinomio:
235452223
zyx3zyx3zyx7 −+
7° 11° 10°
Tiene por grado 11.
REGLAS PARA LOS GRADOS DE LAS DIFERENTES OPERACIONES ALGEBRAICAS
En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones.
Operación Grado Resultante
Multiplicación Se suman los grado de los
factores
División Se resta el grado del dividendo
menos el grado del divisor
Potenciación Se multiplica el grado de la
base por el exponente
Radicación Se divide el grado del
radicando entre el índice del
radical
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos polinomios que poseen características particulares que los diferencian de otros. Estos
son:
A. Polinomio Homogéneo
Es aquel cuyos términos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo
grado.
Ejemplo: P(x; y) = 2xy4
– 3x3
y2
+ y5
es un
Polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 5.
B. Polinomio Ordenado
Cuando los exponentes de la variables que se toma como referencia, guardan cierto orden, ya
sea ascendente o descendente.
Ejemplo: P(x; y) = x5
y – 2x3
y2
+ 6xy3
es ordenado en forma decreciente respecto a "x"; y en
forma creciente respecto a "y".
C. Polinomio Completo
Es aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde
el mayor exponente hasta el exponente cero inclusive (término independiente).
Ejemplo: P(x) = – 3x + 4x2
+ 2x3
– 11 es completo de 3er grado y tiene 4 términos.
Importante:
En todo polinomio completo se cumple que el número de términos es igual al grado del
polinomio aumentado en una unidad.
# términos = Grado + 1
D. Polinomio Idénticos
Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Ejemplo: Si P(x) = ax3
+ bx2
+ c y
Q(x) = mx3
+ nx2
+ p
Son idénticos [P(x) ≡ Q(x)], se cumplirá que:
a = m ; b = n ; c = p
E. Polinomios Equivalentes

Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para
un mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
Dado los polinomios:
P(x; y) = (x+y)2
+ (x–y) ∧ Q(x; y) = 2(x2
+y2
)
Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de "x" ∧ "y", entonces serán
equivalentes; veamos.
Hagamos x = 3 ; y = 2
En P(x; y) : P(3; 2) = (3+2) + (3 – 2) = 26
En Q(x; y) : Q(3; 2) = 2(32
+22
) = 26
Por lo tanto: P(x; y) < > Q(x; y)
F. Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la
variable.
Ejemplo: Si: P(x) = ax4
+ bx + c, es idénticamente nulo, se cumplirá : a = 0 ; b = 0
y c = 0
Y se podrá representar así: P(x) ≡ 0
∗ Propiedades Adicionales en los Polinomios
1. Valor Numérico de un Polinomio
Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus
variables.
Ejemplo1: Si: P(x) = x2
– 3x + 2
⇒ P(1) = 12
– 3(1) + 2 = 0
⇒ P(2) = 22
– 3(1) + 2 = 0
⇒ P(– 2) = (– 2)2
– 3(– 2) +2= 12
Ejemplo2: Si: P(x) = 4x + 3; hallar P(3x – 5)
En este caso reemplazamos x por 3x – 5
⇒ P(3x – 5) = 4(3x – 5) + 3 = 12x – 17
Ejemplo3: Sea F(x – 1) = 19x + 1; hallar F(x)
Solución:
∗ Método de cambio de variable
x – 1 = y ⇒ x = y + 1
⇒ f(y) = 19(y + 1) + 1 = 19y + 19 + 1
⇒ f(y) = 19y + 20
∗ Método de formación de variable en el segundo miembro:
f(x – 1) = 19x+ 1 = 19x – 19 + 20
⇒ f(x – 1) = 19(x – 1) + 20
⇒ f(y) = 19y + 20 , cambiamos y por x:
f(x) = 19x + 20
2. Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la
variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad.
∑ coeficientes = P(1)
3. Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la (s) variables (s)
por cero.
T.I. = P(0)
EJERCICIOS DE CLASE
01. Señale verdadero o falso:
I) 3
yx5 . es irracional
II) 3xy + y2
es racional entera
III)
2x
y2
+
es racional fraccionaria
a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF
02. Señale la alternativa que representa a una expresión algebraica racional fraccionaria.
a) 2
y
x5
− b)
2
x
3
y
+ c) (x–2)–3 d) 3
x
1
x
1
+ e) x
3
5
+
03. Es una expresión algebraica racional entera, excepto:
a) 23
yx2 b) 5
x
1
− c) (x–2 d) 6 18
x e) 1
04. Hallar el grado absoluto de la expresión:
x2y + x3yz – xyz + x3y3
a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) 15
05.Son términos semejantes:

a) 5b2
y 5a2
b) 3a2
bc y 3a2
b c) 99a2
y
2
a
6
1






− d) a2
+ b y a + b2
e) N.A.
06.Hallar el valor de "n" para que el grado de (2xn+2
y)3
sea 18.
a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
07.Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9.
3xa+1
y – 4a+2
xa
y – 5x2
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 15
08.Calcule el grado de:
11x2xxx1
3
23 92
+





++−++
a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) 0
09.Si el grado relativo a "x" es 9. Dar el grado relativo a "y", en:
P(x, y) = 21x3
yn
– 8(xy)3n
– xn
y5
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
10.En la siguiente adición de monomios:
2baba
bxx
2
c
x
3
c −−
=+
Calcular a + b + c
a) 3 b) 5 c) 6d) 9 e) 14
11. ¿Cuál es el grado absoluto de?
P(x, y) = 3x6
y2
+ 2x5
y3
– 8x4
y2
+ 9y9
– 7x2
y2
a) 8 b) 9 c) 12 d) 15 e) N.A.
12. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria.
a)
1y
yx2
5
+
−
b) 242
xyx +
−
c)
2
yx
3
− d)
x
y
y
x
+
e) N.A.
13. Hallar A – b para que el polinomio:
Ax4
+ (B – 3)x2
+ bx + A
Sea de grado 1
a) 0 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5
14. Respecto a x, la expresión:
9
8
3
0
3
2
7
5
2
0
0213
xxxx +−+
a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) es de 3er grado
d) Es de 6to grado e) Es de 8vo grado
15. Si: (a + 2)x2a + 3
y3b – 1
;
(b – 3)xa+5
y2a+b–3
Son semejantes; su suma es:
a) 2x7
y2
b) – x5
y3
c) 3x3
y7
d) – 2x7
y3
e) 5x4
y3
16. Si el grado absoluto de:
P(x, y) = x2a
yb+2
– 3xa
yb+1
+ xa
yb
Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo
a "y".
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.
17. dado el término:
2xa-1yaz2a. Si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo a "x". Hallar su grado relativo a "y".
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.
PROBLEMAS PROPUESTOS IV
01. Calcular (a-b) si el monomio:
M(x; y) = 5x2a+b
ya+2b
Tiene: G.A. = 15 y G.R.(x) = 8
a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) 3
02. ¿De que grado es la expresión?
E = 2xy + (x – y)2
+ x2
– y2

a) 2 b) 1 c) 0 d) Indefinido e) N.A.
03. Dado el polinomio
2xa+2
y2
– 3xa+1
yb
+ 52
x6
yb–1
, si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a "y" es 4. hallar su grado
relativo a "x".
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e)7
04. Hallar el valor de "a" para que el grado del polinomio 3xa + 1
– 4a + 2
xa
y – 5x2
sea 9.
a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 4
05. Hallar el coeficiente del monomio
nm5n2m3
n
m
yx
3
1
9
−+






Si su G.A. es 10 y el grado relativo a "x" es 7.
a) 1 b) 2 c)
27
1
d) 3 e) 9
06. Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto
del polinomio P es 16 y el menor exponente de "y" en el polinomio Q es 4.
P = 5xm + 11
yn - 3
– 3xm + 7
yn + 2
+ 7xm + 2
yn + 1
Q = 4x2m + 6
yn + 2
– 3x2m + 2
yn + 7
– 5x2m
yn + 10
a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) N.A.
07. Si G.P.(x) = 3 ∧ G.Q.(x) = 4
¿Cuál es el grado de la expresión?
( )
2
2
3223
2
2
3
22
PQQPQP
PQPQQP
E




+












+
=
a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50
08. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria.
a) y2x2 + b)
1
2
x
1
−








c) 8 16
x
1
d) 3x3
+ 2y4
e)
3
2
2
1
+
09. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional entera.
a) 3 b)
2
yx 



 − c)
1
y
1
x
1
−






+ d) 2x3
– 3y– 1
e) N.A.
10. ¿Cuál es el grado del polinomio?
P(x) = xn - 1
+ xn - 3
+ x5 - n
Si se sabe que tiene tres términos.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hay dos respuestas.
11. Si el siguiente polinomio es homogéneo:
P(x; y) = x5
+ xn
y2
+ xm
y4
+ yr - 1
Hallar: m+ n + r
a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
12. El polinomio:
P(x; y) = ax3
– a2
x2
y + a3
xy2
– a4
y3
a) Es heterogéneo, ordenado y completo.
b) Es homogéneo, ordenado y completo.
c) Es homogéneo, ordenado e incompleto.
d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo.
e) N.A.
13. Si el polinomio es completo:
P(x) = xn+1
+ 3xn+2
+ xn+3
+ 5
Hallar "n"
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
14. Hallar 2a + b, sí se tiene que:
(2a – b)x2
+ 4bx + 2c ≡ 7x2
+ 20x – 5
a) 21 b) 17 c) 19 d) 11 e) 13
15. Si el polinomio:
P(x) = 20xm – 6
– mxn – m + 3
+ 3pxp – n + 5
Es completo y está ordenado en forma creciente.

Calcular.
)(
)()(
1P
0P1P +−
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) P(1)
16. Si el polinomio:
3x3
ym
+ 8xn
y4
+ mxm
ym + n – 6
es homogéneo, hallar el grado del polinomio:
2x2m
ym+n
+ 3xn
ym+n
– 4x3m
a) 12 b) 14 c)17 d) 19 e) 20
17. Sea f(x) = x2
+ 3
Si: 



 af = 8. Hallar f(a):
a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34
18. Siendo: F(x+1) = 3x2
+7x – 9
Determinar : F(x – 3)
a) 3x2
– 17x + 11 b) x2
– 11x + 7
c) 3x2
– 2z + 1 d) 2x2
– 9x + 11
e) N.A.
19. Determinar "m" con la condición que el término independiente del producto (m > 0):
(x + 3)2
(x + 2)3
(x – m)2
(x2
+ 5)
sea 1440
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Hallar "K" si se cumple la siguiente identidad:
(x + y)7
– x7
– y7
≡ Kxy(x + y) (x2
+ xy + y2
)2
a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 10
TAREA DOMICILIARIA
01. Si: f(x + 3) = (x – 1) (x + 2) + 3
Calcular: f(2) + f(1)
02. Si el grado relativo de "m" es 9. Dar el grado absoluto del polinomio P(m; n).
P(m; n) = 21m3
yn
– 7(mn)3n
– mn
y5
03. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
I. 34
yx16 II.
2
y
III. .......++++
432
xxxx IV. x7x3
3
V. 

















 5 732
xxx3
04. Si el grado del polinomio: P(x) = (25x2
+ 7)n
(100x3
– 1) (2x5
– 1) Es 49.
Calcular el valor de 6n +
05. Si el polinomio: 5a3
bm
+ 10an
b4
+ mam
bm + n – 6
es homogéneo, hallar el grado del polinomio:
2a2m
bm+n
+ 3an
bm+n
– 4a3m
06. Si el polinomio es completo: P(y) = yn+1
+ 8yn+2
+ yn+3
+ 11.
Hallar: n2
+2n – 5
OPERACIONES CON POLINOMIOS
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.1 Efectuar correctamente las operaciones de adición y/o sustracción de polinomios.

II. PROCEDIMIENTOS
A) MOTIVACION
En nuestro mundo existen muchos misterios que el hombre, a través de aproximaciones, trata
de desentrañar. Es la lucha constante de los estudios de las ciencias.
Las matemáticas tienen sus misterios, sus incógnitas, pero a pesar de ello es posible sumar,
restar, multiplicar, dividir; en fin realizar operaciones con cantidades desconocidas, ¡solo
están representados!, pero se pueden realizar las operaciones con estas cantidades abstractas.
B) CONTENIDOS TEÓRICOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para efectuar dicha operación, escribimos los polinomios, uno bajo el otro, o uno al
costado del otro y se procede a reducir términos semejantes.
Ejemplo:
Si: M = x2
+ 3x2
-8 ; N = 4x3
-4x2
-x+2
P = 2x2
-8x+3
Calcular : M + N + P
Colocamos un polinomio debajo del otro, tratando que los términos semejantes estén en
una misma columna.
así:
8ox2x33xM −++→
2x24x-34xN +−→ (+)
3x822xP +−→
Rpta.3x92x3x5 −−+
1. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para efectuar esta operación, lo transformamos en una adición reemplazando el
sustraendo por su opuesto.
Ejemplo:
Hallar Q(x) – H(x), sabiendo que:
Q(x) = 8x7
– 5x2
+ 6 – x4
H(x) = 3x2
– x – 2x4
+ 7x7
Para hallar la DIFERENCIA, los escribimos:
Q(x) – H(x)
(8x7
– 5x2
+ 6 – x4
) - (3x2
– x – 2x4
+ 7x7
)
* Eliminando los signos de colección:
8x7
– 5x2
+ 6 – x4
- 3x2
+ x + 2x4
- 7x7
* Reduciendo términos semejantes:
x7
– 8x2
+ 6 + x4
- x
* Ordenando el polinomio diferencia:
x7
+ x4
– 8x2
+ x + 6. Rpta.
PRÁCTICA DE CLASE 02
I. Hallar la suma de:
a) 4a + 5b - 3c ; a - b + 2c ; – a + b
b) a + b – c; a – b + c; –a + b + c
c) 2x + y + z; x – y + 2z; 5y – 2z + z
d) m + 3n + 2p; –2m – 3n + p; 3m – 2n – 3p
e) x2
– 3x + 5; –2x2
+ 5x + 8; 12x2
– 8x – 6
f) 3x2
y2
– y2
+ 2x2
; 5x2
+2x2
y2
– 3y2
;
2y2
+3x2
– 4x2
y2
g) (a2
+ 2ab – c2
) – (–b2
+ 4ac + 2a2
)
h) 2m – [ ])nm(m3m2n +−−+
i) – [–x+y+{–(–2x+y) - [y – x +(2x – y)] –y}]
j) – [– {– (– x+(y + z) + y) – z}+ x] – x+y+ z
k) ba3)ba4(b2aa2 −−−+−−
II. Hallar el producto de multiplicar.
a) (x + y - z) por (x + y + z) b) (m2
+ mn) por (m - m2
n + 1)
c) a2
– ab + b2
) por (a + b) d) 2x + y por x + y + 3
e) 3ax-1
+2ax
por 3ax+1
– 2ax –1
III. Efectuar:
a)(a + b - 1) (a - b + 1)
b) (x + 2) (x -1) + (x - 2)(x +3) - (x + 2)(x +3)
c)2(x - 1)2
- 3(x - 2)2
- 2(x - 1)2
d) (2x - 1)2
- 3(x + 3) - (x - 1)(x - 2) (x - 3)
IV. Simplificar las siguientes expresiones:
a)5(x - 2) - 2(x - 5)
b) 3x - [5x - (2x - 2) + 5] - 12
c) )1x(
3
2
)
2
1
x(
3
1
)
3
1
x(
2
1
+−+−−
d) 2x - [3x - [2y + 5x) + y] + 3x - 2

75 76
MULTIPLICACIÓN
e) yxy3xy5x2yx +−+−++−+−
PROBLEMAS PROPUESTOS (II)
01.Sustraer 2x + 8 de 3x2
– 6x + 7
a) – 3x2
+ 8x + 1 b) 3x2
+ 8x – 1 c) 3x2
– 8x – 1
d) – 3X2
– 8X – 1 e) 3x2
+ 8x + 1
02.Efectuar:
(x + 1) (x + 2) + (x – 1) (x – 2) + 2x(1 – x)
a) 2(x +2) b) 2x + 1 c) 2(x – 1) d) 2(x + 1) e) N.A.
03.De m2
sustraer la suma de 3mn – 6 y
3m2
– 8m + 5
a) 2m2
– 5mn – 1 b) – 2m2
+ 5mn + 1 c) 2m2
+ 5mn + 1
d) – 2m2
– 5mn – 1 e) N.A.
04.Hallar A . B, si:
A = x2
+ xy + y2
B = x2
– xy + y2
a) x4
+ 2xy +4x2
y2
– y4
b) x4
+ x2
y2
+ y4
c) x8
+ xy + 2x2
y2
+ 4x4
y4
+ 8y8
d) x4
– xy – y2
– 2y4
e) N.A.
05.Simplificar:
E = [x +{–(x + y) – [– x + (y – z)] – y}] – 2y+2z
a) x – y + z b) – x + y + z c) x + y – z d) – x – y – z e) N.a.
06.Simplificar la expresión:
[– 3m – {n +[– m + (2m – n) –(– m + n)] + 3n]} + 3m]
a) m + 2n b) m – n c) 2m – n d) – m – n e) 0
07.Si: A = x2
– xy – 2y2
B = 3x2
– 4y2
+ 4xy
C = – x2
+ y2
– 3xy
Calcular: B + C – 2A
a) 2xy – y2
b) 3xy + y2
c) – 3xy + y2
d) 4xy – x2
e) N.a.
08.Hallar:
44
56
3
523
3
9
8
16
4
12
nm
nm
m
nm
mn
nm
+−
a) 0 b) 2m2
n c) 4m2
n d) – 4m2
ne) N.a.
09.Dados. P = (p – 1)x2
+ 3x + 3y
Q = 5x2
– 3(x + y)
Si: P – Q se reduce a 6(x + y). Hallar el valor de p.
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10.Simplificar:
- x -x - x -x - x -x -x
a) 0 b) x c) – x d) 7x e) – 7x
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS:
1.1.Determinar el producto de dos expresiones algebraicas.
II. PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN
En esta sesión se tratará de la operación algebraica llamada multiplicación y la manera de
efectuarla. Recuerda que la habilidad para el manejo de las expresiones algebraicas, con
precisión y rapidez, es requisito satisfactorio en las aplicaciones del álgebra.

B. DESARROLLO
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos expresiones algebraicas
hallar una tercera llamada producto.
a × b = c
factores
producto Recuerde que:
a × b = a . b = ab
La multiplicación se caracteriza por medio de cinco leyes o propiedades análogas a las de la
adición.
Ley de la Existencia:
La multiplicación es siempre posible.
Ley de la Unicidad:
Para dos números dados cualesquiera a y b, existe un número c y sólo uno tal que ab=c.
Ley Conmutativa:
Si a y b son dos números cualesquiera entonces ab=ba.
Ley Asociativa:
Si a,b y c son tres números cualesquiera entonces: ab) c = a (bc)
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad:
Si a,b y c son números cualesquiera tales que a=b entonces ac=bc.
La multiplicación y la adición están relacionadas por medio de la importante propiedad llamada:
Propiedad Distributiva:
Dados a,b y c tres números cualesquiera entonces:
a(b+c) = ab+ac
Regla de los Signos:
La regla de los signos es consecuencia de los teoremas siguientes:
* El producto de un número positivo por un número negativo es un número negativo
* El producto de dos números negativos es un número positivo.
En general:
El producto de un número cualesquiera de factores es positivo si no hay factores negativos o bien
si el número de los factores negativos es par, el producto serán negativo si el número de factores
negativos es impar.
Ejemplo:
a) ( 4 ) ( - 2) = - 8 b) ( - 2) ( - 3) = 6
En la multiplicación de expresiones algebraicas es conveniente utilizar las siguientes leyes de los
exponentes para calcular los términos del producto.
mnmn
aa.a
+
=
m.nmn
a)a( =
nnn
b.a)ab( =
I. Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios, primero se multiplican los signos de acuerdo a la regla dada, después
se multiplican los coeficientes y a continuación la parte literal teniendo en cuenta las leyes de los
exponentes.
1. Efectuar:
5443222
zyx30)xy5(.)zxy3(.)yzx2( +−−−
2. Efectuar:
( ) ( ) ( )
  
  
factores8
444
factores8
x...x.x;x...x.xE 




−




−




−−−−=
548
x.xE 




−




−=
624
xx.xE ==
3. Efectuar:

6432
nm9)nm3(A =−=
II. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio
El procedimiento utilizado es una consecuencia inmediata de la propiedad distributiva.
Ejemplos:
Efectuar :
)ab2by3ax2(ba 22
−−
)ab2)(ba()by3)(ba()ax2)(ba(
2222
−−
33223
ba2yba3bxa2 −−
Efectuar:
)ba6ab5a3(.ba2 222
−+−
34233
ba12ba10ba6 +−−
III. Multiplicación de Polinomios
Para la multiplicación de polinomios también se aplica la propiedad distributiva, es decir se
multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, luego se
reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplo:
Multiplicar:
3x – 2 por 4x – 5
Resolución :
(3x- 2).(4x- 5)=12 2
x -15x – 8x+10=12 2
x -3x+10
Multiplicar :
1x2x3x2 34
−−− por 3x2 2
−
Resolución:
(2 2
x -3).(2 4
x -3 3
x -2x-1) =
=4 6
x -6 5
x -4 3
x -2 2
x + 6 4
x +9 3
x +6x +3
= 4 6
x - 6 5
x - 6 4
x +5 3
x -2 2
x +6x+3
Por lo laborioso que resulta, la reducción de términos semejantes, es conveniente escribir los
factores uno debajo del otro, estando ordenados ambos según las potencias de una cierta variable.
(colocando un cero por cada término que falta, con la finalidad de guardar su lugar), luego colocar
los productos parciales en columnas de modo que los términos semejantes aparezcan uno debajo
del otro para facilitar su reducción.
Ejemplos:
Multiplicar : 3x – 2 por 4x – 5
Resolución :
3x – 2
4x – 5
12x2
– 8x
– 15x + 10
12x2
– 23x + 10
Multiplicar : 2x4
– 3x3
– 2x – 4 por 2x2
– 1
Resolución
2x4
– 3x3
+ 0 – 2x – 1

2x2
– 0 – 3
4x6
– 6x5
+ 0 – 4x3
– 2x2
– 6x4
+ 9x3
+ 0 + 6x + 3
4x6
– 6x5
– 6x4
+ 5x3
– 2x2
+ 6x + 3
Estos productos también se pueden obtener mediante el proceso conocido como Multiplicación
de Coeficientes Separados. Este proceso consiste en formar una tabla de doble entrada,
escribiendo en la primera fila los coeficientes de uno de los factores y en la primera columna, los
coeficientes del otro factor; en la intersección de cada fila con cada columna, el producto del
coeficiente que encabeza la fila por el coeficiente que encabeza la columna.
Finalmente, cada coeficiente del producto es la suma de los productos que pertenecen a una
misma diagonal, excepto los extremos.
Ejemplos:
Multiplicar : 3x – 2 por 4x – 5
Resolución.
x 3 – 2
4 12 – 8
– 5 – 15 10
Multiplicar : 2x4
– 3x3
– 2x – 1 por 2x2
– 3
Resolución:
x 2 - 3 0 - 2 - 1
2 4 - 6 0 - 4 - 2
0 0 0 0 0 0
3 6 9 0 6 3
Finalmente el producto será:
4x6
– 6x5
– 6x4
+ 5x3
– 2x2
+ 6x + 3
PRÁCTICA DE CLASE 03
1. Multiplicar los siguientes Monomios
a) (- 15x2
y) . (- 3x3
y2
z5
)
b) (5x3
y2
) . (6x5
y2
) . (- 11xz4
)
c) (3/8 x5
y9
) . (- 10/11 x4
y5
z3
)
d) (- 3/5 xy2
) (- 8/9 x3
z2
) (- 15/2 x3
y3
z6
)
2. Efectúe las siguientes multiplicaciones de Monomios por polinomios
a) 3a2
b (5a2
– 2ab + b2
)
b) - 2a3
b2
(5a3
– 2ab + 6)
c) 3/8 x2
y (4x3
y – 12/7 xy3
z – 16/9 y5
z4
)
3. Multiplique los siguientes polinomios, ordenando los factores uno debajo del otro
a) (2x2
– 5x + 9) (6x2
– 3x + 11)
b) (x3
– x + 3) (x2
– 8 + 2x)
c) (8x3
+ 5 – 7x) (2x3
+ 7 – 3x + 4x2
)
4. Multiplique los polinomios del ejercicio 3 de la comprobación, por el método de coeficientes
separados.
5. Efectúe las siguientes multiplicaciones y halle el producto de la suma de los coeficientes con
exponente par, por la suma de los coeficientes con exponente impar.
a) (3x2
– 5x + 7) (2x2
+ 6x – 9)
b) (x2
– 11x + 7) (x3
– 7x2
+ 6x – 3)
c) (x+5) (2x2
– 5x + 6)
d) (x + 8) (x – 3) (x2
– 5x + 7) (x – 1)

6. Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) (3x2
– 5xyz2
+ 6y3
z5
) (2x2
– 3xyz +7y2
z3
)
b) (5/3 x2
y – 3/7 xy2
z + 11y4
z4
) (6x2
– 14xyz + 6z2
)
c) (x2
– xy + y2
) (5x2
– 3xy + 7y2
) (x3
– 2x2
y + y3
)
PROBLEMAS PROPUESTOS III
1. Al multiplicar los polinomios:
A(x) = 2x4
– x2
+ 2x – 3 y
B(x) = 3x3
– 6x2
+ 1.
Señalar el menor coeficiente del polinomio producto.
a) 2 b) – 21 c) – 12 d) - 3 e) 6
2. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios.
x - 3 2 - 1
- 4
4 - 8
1 2
Señalando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto.
a) 12 b) 22 c) 19 d) 25 e) N.a.
3. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios y señale la suma de los coeficientes del
polinomio producto.
x 2 - 3 4
1 -5 -1
6
- 4
a) 6 b) - 3 c) 15 d) - 9 e) 5
4. Al multiplicar los polinomios : A(x) = x2
+x + 1 ; B(x) = x + 3.
Se obtiene : P(x) = x3
+ ax2
+ bx + c.
Hallar el valor de : a + b – c
a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) N.a.
5. Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en:
(3x5
– 1 + 2x4
) (3 + 4x – 2x2
) (x2
+ 1)
a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) N.a.
6. Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4° tenga como coeficiente 21.
(mx3
– mx + 3x4
– 3 + 5x2
) (4 + 3x2
+ 2x3
– x)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
7. Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3° tenga como coeficiente 7.
(mx + 3x2
) (mx2
– 3x + 1) (x – m)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
8. Hallar el grado absoluto del producto total en
(x22
+ 1) (x23
+1) (x24
+ 1) .....
20 factores en total
a) 610 b) 620 c) 630 d) 440 e) 800
09. Hallar el grado absoluto del producto total en:
(x2
+ 1) (x12
+ 1) (x36
+1) (x80
+ 1) ......
10 factores en total
a) 3025 b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385
10. Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de:
(4x + 1) (12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) – 36
a) 42 b) 420 c) 70 d) 700 e) 500

75 76
PRODUCTOS NOTABLES
TAREA DOMICILIARIA
1. Efectuar las multiplicaciones de los siguientes polinomios:
a) (x2
+ x + 1) (x2
– x + 1) b) (6m7
– m2
+ 2) (3mn + m4
)
c) (5x2
+ 3x – 2) (6x3
– x + 1)
2. Señale el resultado de multiplicar la suma de
2x – x2
+ x3
con x2
– x3
+ 3; con el resultado de la diferencia de 3x2
+ x + 6 con 3x2
– x – 1, al
resultado final restarle : 4x (x + 5).
3. Dadas las siguientes expresiones:
A = 2(x2
+ x + 2) (x – 1) + 3(x + 1) (x2
– 1)
B = 2(x2
– x + 2) (x + 1) + 3(x – 1) (x2
+ 1)
Indicar el valor de: (A + B) – 4x + 6
4. Si se sabe que:
A = 2(x2
+ x + 1) (x + 1) + 2x
B = 2(x2
– x + 1) (x – 1) – 2x
Calcular: A – B – 4x – 4
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
1. Identificar los productos notables a partir de los factores. Así como el reconocimiento de los
factores a partir del producto.
2. Aplicar los productos notables en la solución de problemas.
II. PROCEDIMIENTOS.
A. MOTIVACIÓN.
Para llevar a cabo cualquier multiplicación se debe utilizar la ley distributiva de los números
reales, es decir:
a(b + c) = ab + ac ó (b + c) a = ba + ca
Pero par mayor número de términos esta ley se debe ampliar o buscar métodos prácticos que
permitan realizar operaciones con mayor facilidad como la regla del cuadro de doble entrada,
que es de mucha utilidad para multiplicar polinomios completo y ordenado en forma
decreciente de una variable tal como se muestra:
Sean los polinomios:
P(x) = x2
+ 2x + 3;
Q(x) = 2x3
+ 4x2
– 5x + 2
Luego se ubican los coeficientes en un cuadro de doble entrada:
P
Q
1 2 3
2
4

– 5
2
Y se completa el cuadro colocando en cada casillero los productos de los coeficientes de P y Q
según corresponda:
P
Q
1 2 3
2 2 4 6
4 4 8 12
– 5 – 5 – 10 – 15
2 2 4 6
Bien sabemos que el grado del producto de P y Q es 5 y los coeficientes se toman sumando
diagonalmente los resultados del cuadro.
Finalmente como el producto PQ tiene igual característica que: P y Q tenemos:
P(x)–Q(x)=2x5
+ 8x4
+ 9x3
+ 4x2
– 11x + 6
A pesar de esto para los ejercicios que tengan una o más variables se pueden emplear algunas
multiplicaciones cuyos resultados adoptan formas fáciles de reconocer los cuales reciben el nombre de
PRODUCTO NOTABLE.
B. CONTENIDO TEÓRICO.
PRODUCTOS NOTABLES.-
Son ciertos productos que se determina sin necesidad de efectuar la multiplicación; cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección utilizando para ello identidades algebraicas.
Debe tener presente que los diferentes productos notables que se exponen en el presente módulo serán de
mucha utilidad cuando esté cursando estudios superiores, por lo que trata de retener su desarrollo y
aplicarlo con precisión.
La siguiente es una lista de los principales PRODUCTOS NOTABLES:
1. Binomio al Cuadrado:
(a+b)2
=a2
+2ab+b2
(a–b)2
=a2
–2ab+b2
Observaciones:
(– a – b)2
= (a + b)2
= ( b + a)2
(– a + b)2
= (a – b)2
= ( b – a)2
2. Binomio Suma por Binomio Diferencia:
(a+b) (a–b)=a2
–b2
3. Identidades de Legendre:
(a + b)2
+ (a – b)2
= (a2
+ b2
)
(a + b)2
– ( a – b)2
= 4ab
4. Binomio Al cubo:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab (a + b)
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab (a – b)
5. Multiplicación de un Binomio con un Trinomio:
(a+b)(a2
–ab+b2
)=a3
+b3
(a–b)(a2
+ab+b2
)=a3
–b3
6. Multiplicación de Binomios con Término Común:
(x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3
+ (a + b + c)x2
+ (ab + ac + bc)x + abc
7. Trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
8. Trinomio al Cubo:
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3a2
(b + c) + 3b2
(a + c) + 3c2
(a + b) + 6abc
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+c3
+ 3(a + b) (a + c) (b + c)
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc
9. Identidades de Lagrange:
(ax+by)2
+(ay–bx)2
=(a2
+b2
)(x2
+y2
)
(ax+by+cz)2
+ (ay–bx)2
+ (az+cx) + (bz–cy)2
= (a2
+b2
+c2
) (x2
+y2
+z2
)
10.Identidad de Argand:
(a2
+ab+b2
)(a2
–ab+b2
)=a2
+a2
b2
+b2
11.Identidad de Gauss:
a3
+ b3
+ c3
– 3abc = (a+ b + c) (a2
+ b2
+ c2
– ab – ac – bc)
12.Identidades Condicionales:
TRINOMIO
CUADRADO
PERFECTO
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
ADICION DE
CUBOS
DIFERENCIA
CUBOS

•Si a; b; c ∈ R:
a2
+ b2
+ c2
= ab + ac + bc entonces: a = b = c
•Si a + b + c = 0 ; entonces:
a2
+ b2
+ c2
= 2(ab + ac + bc)
a3
+ b3
+ c3
= 3abc
a4
+ b4
+ c4
= 2(a2
b2
+ b2
c2
+ a2
c2
)
PRÁCTICA DE CLASE
01.Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. (x + y) (y – x) = x2
– y2
II. (x + 2) (x – 3) = x2
+ x – 6
III. (x + y) (x2
– 2xy + y2
) = x3
+ y3
a) VVV b) VFV c) FFF d) FVF e) FFV
02.Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. (3n
+ 1) (3n
– 1) = 32n
– 1
II. (x + y)3 (x – y)3 = x6
– y6
III. (A + B)2 + (A – B)2
= 2(A2
+ B2
)
a) VFV b) FVF c) FFV
03.Simplificar:
(x + a) (x – a) (x2
– ax + a2
) (x2
+ ax + a2
)
(x6
+ a6
) (x12
+ a12
) + a24
a) a24
b) x24
c) x12
d) a12
e) a18
04.Calcular:
(x + 9)2
– (x + 13) (x + 5) (x + 10) (x + 9) –
(x + 16) (x + 3)
a) 21/8 b) 2/7 c) 3/4 d) 8/21 e) 4/7
05.Simplificar:
11212121215H
321684
+++++= ))()()((
a) 8 b) 0 c) 1
d) 2 e) 4
06.Simplificar:
6 1226 122
yxxyxx −−−+ .
a) y2
b) x2
c) y d) x e) xy
07.Simplificar:
(x + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 4) + 2x(x + 3) – x2
(x + 3)2
a) 8 b) – 8 c) 4 d) – 4 e) 2
08.Calcular:
2
2
2 16842
1212121231 ))()()(( +++++
a) 2b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
09.Simplificar:
(a + b)(a2
+ b2
)(a3
– b3
)(a2
– ab + b2
) . (a4
– a2
b2
+ b4
) + b12
a) 12 b) b12 c) a24 d) b24 e) N.A.
10.Simplificar:
(a2
+ 5)(a2
– 5)(a4
– 5a2
+ 25)(a4
+ 5a2
+25) – (a – 125) + 31250
a) 125 a6
b) 250 a6
c) 25 a6
d) 125 e) N.A.
11.Indica el resultado de efectuar:
2
535 







−++3
a) 2b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
12.Reducir:
3 363
11aa1a −+−+ ))((
a) a2
b) a c) a3
d) a6
e) N.A.
13.Al reducir:

75 76
DIVISIÓN ALGEBRAICA
DE POLINOMIOS
(a+b)3
(a–b)3
–(a2
–b2
)(a4
+a2
b2
+b)+3a4
b2
a) 3a2
b4
b) 3a4
b2
c) 3a6
b4
14.Al reducers:
(x + 1)(x – 2)(x + 3)(x – 4) – (x + 2)2
(x – 3)2
+ 2(x2
– x)
la expresión resultantes es:
a) 36 b) – 24 c) – 12x d) 24x – 1 e) – 12
PROBLEMAS PROPUESTOS (V)
01.Efectuar: (x + 2)2
– 2(x + 1)2
+ x2
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) – 1
02.hallar: 5(2 + 2 )3
– 14 (1 + 2 )3
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
03.Calcular: 



 −+



 ++ 532532
a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5 d) 2 6 e) 2
04.Reducir:
( ) ( ) 84422
babbababa +




 +




 ++
a) ab) a2
c) b d) b2
e) ab
05.Hallar: 33
2142021420K −++=
a) 2b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
06.Efectuar:
(x2
+ 5x + 5)2
– (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4)
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
07.Reducir:
(a + b + c)3
– (a + b)3
– 3(a + b)(a + b + c)c
a) a3
b) b3
c) c3
d) 2a3
e) 2b3
08.Efectuar:
(a+b+c)(a+b+d) + (b+c+d)(a+c+d) – (a+b+c+d)2
a) ab + cd b) ac + bd c) ad + bc d) a2
+ b2
+ c2
+ d2
e) (a + b)(c + d)
09.Realizar:
E = (a2
+a–ab+b+b2
)2
– (a2
–a–ab–b+b2
)2
a) 2(a2
+ b2
) b) (a2
– b2
) (4) c) 4(a3
+ b3
) d) 4(a3
– b3
)
e) 2(a2
+ ab + b2
)
10.Simplificar:
( ) ( )
( )( )( ) 4
xx31x21x1
13x2x1xx
++++
++++
a) xb) x4
c) – 1 d) – x2
e) 1

1. Conocer los métodos de división de polinomios.
2. Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores.
3. Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.
II. PROCEDIMIENTOS.
A. MOTIVACIÓN.
La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados
al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del
denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por
medio de M.C.M.
La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Homer y
Paolo Rufino; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas
sencilla.
La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación
desarrollaremos una aplicación importante del Homer al cálculo de la suma de las potencias de
las raíces de una ecuación polinominal.
Ejemplo:
Sea polinomio; P(x) = x3 – x2 + 11x – 6 donde se sabe que las raíces son: x1 = 1; x2 0 2; x3 =
3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P
(x)).
Luego dividimos:
( )
( )xP
xP'
por Homer.
Lo que se obtiene en el cociente representa:
S = x + x + x = 3
S = x + x + x = 6
S = x + x + x = 14
S = x + x + x = 36
0 0 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
0
1
2
3
1 1 1
1 3 - 12 11
6
- 11
6
18 - 33 18
36 - 66 36
84 - 154
84
.
.
3 6 14 36 .....
↓ ↓ ↓ ↓
S0 S1 S2 S3
Lo cual se verifica tendiendo en cuenta que: x1=1; x2=2; x3=3; como se planteó al inicio.
B) CONTENIDOS TEÓRICOS
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Definición
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se
obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen
la siguiente identidad:
D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x)
Donde :
D(x) = Polinomio Dividendo
d(x) = Polinomio Divisor
q(x) = Polinomio Cociente
R(x) = Polinomio Resto ó Residuo
Además: Grado [d(x)]>Grado [R(x) ∨ R(x)=0
PROPIEDADES DEL GRADO
• GR [d(x)] ≥ GR [d(x)]
• Máximo GR [R(x)] = GR [R(x)] –1
• GR [q(x)] = GR [D(x)] – GR [d(x)]

Clasificación de la División
A. División Exacta ↔ R (x) ≡ 0
Del algoritmo D(x) ≡ d(x)q(x) + R(x)
⇒
( )
( )
( )xq
xd
xD
≡
B. División Inexacta ↔ R (x) ≠ 0
Del algoritmo D(x) ≡ d(x)q(x) + R(x)
⇒
( )
( )
( ) ( )
( )xd
xR
xq
xd
xD
+≡
Método para dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos:
A. Método de Homer
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.
D I V I D E N D O
COCIENTE
D
I
V
I
S
O
R
RESTO
mismo
signo
signo
cambiados
"K" columnas
++÷
NOTA:
K = Grado de Divisor
Ejemplo:
Dividir:
5xx2
2x5x2xx2
23
2345
+−
+++−
Primero completamos los polinomios:
D(x) ≡ 2x5 – x4 + 2x3 + 5x2 + 0x + 2
D(x) ≡ 2x3 – x2 + 0x + 5
Llevamos al esquema:
1 2 - 1
2
5 0 2
1
0
1 0
0 0
- 5
0 0
- 5 2 1 0 -
5
1 0 1 1 0 -
3
q (x) R (x)
q(x) = 1x2
+ 0x + 1 = x2
+ 1
R(x) = 1x2
+ 0x – 3 = x2
– 3
B. Método de Ruffini
Es una consecuencia del método de Homer que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d(x) = ax + b; a ≠ 0; de acuerdo al esquema:
D I V I D E N D O
COCIENTE FALSO
ax+b=0
RESTO
++x=
-b
a
Donde:
Ejemplo:
Dividir:
1x3
3xx17x13x6x8x3 23456
−
+−++++
como están completos y ordenados llevamos al esquema:
3x-1=0 3 8 -6 13 17
-1
3
X = 1/3 1 3 -1 4
7
2
3 9 -3 12 21
6
5
q(x) Falso R(x)
q(x) verdadero =
3
62112393 −
q(x) = 1x5
+ 3x4
– 1x3
+ 4x2
+ 7x + 2
R(x) = 5
cociente
verdadero
=
cociente falso
a

Teorema del Resto
Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al
enunciado:
Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x) entre:
(x – a) es P(a).
Demostración:
Del algoritmo: P(x) ≡ (x – a)q(x)+R para
X = a ⇒ P(a) = 0q(a) + R ⇒ P(a) = R
Ejemplo:
Sea P(x) un polinomio no constante.
• El resto de
5x
P
−
es P(5)
• El resto de
4x
xP
+
)(
es P(–4)
Procedimiento Práctico
I. Igual a cero el divisor.
II. Reemplazar en el denominador.
Ejemplo:
Hallar el resto de :
2x
1xx5
−
−+
I. x – 2 = 0 → x = 2
II. Resto = 25
+ 2 – 1 = 33
Generalización del Teorema del resto
El teorema del resto también se aplica para divisores de la forma: ax + b; a ≠ 0; y para
divisores de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:
I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente.
II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el
grado del divisor el cual será el resto.
Ejemplo:
Hallar el resto de:
( )( )( )( )
1x5x
4x4x3x2x1x
2
2
−+
−+++++
Resolución:
Por el T.R. Generalizado:
I. x2
+5x–1 = 0 → x2
+5x = 1
II. Resto = (x2
+5x+4) (x2
+5x+6)+x2
–4
(1) (1)
= (5) (7) + x2
– 4
1 – 5x
= 35 + 1 – 5x – 4 = – 5x + 32
∴ Resto = – 5x + 32
PRÁCTICA DE CLASE
BLOQUE I: División de monomios
01. 522
643
zyx3
zyx24
−
02.
zyx3
zyx21
42
68
−
03.
1yx2
yx8
mn
3m2n
+
++
BLOQUE II: División de un polinomio
01.
yx17
yx34
2
23
02. 2
32344
xy2
xy6yx8yx4
−
+−
03.
xyz2
xyz2zyx2zyx56 643525
−
+−−
BLOQUE III: Método Convencional

01.
1x2xx3
xx62xx6x4x2
34
63275
+−+
−++−++
02.
3xx2
15xx5x4xx6
2
2345
+−
−−−+−
03.
4x2x3
3x5x82x11x30
2
234
−+
+−−+
BLOQUE IV: Dividir por el método de HORNER
01.(x4
+ 3x3
– 5x2
+ 3x – 10
entre (x2
+ x – 2)
02.(6x5
+ 4x4
+ 5x3
+ 8x2
– 7x – 5
entre (3x2
+ 2x + 1)
03.(2x5
+ 3x4
+ 3x3
+ 2x2
– 8x – 11
entre (x2
+ 2x + 1)
04.
1x5X
6x4x8xx9x2
2
2345
++
++−++
BLOQUE V: Dividir por el método de RUFFINI.
01.(5x5
+ 16x4
– 15x3
+ 2x – 8) : (x + 4)
02.(4x4
– 5x3
+ 6x2
+ 7x + 18) : (x + 1)
03.(8x3
– 9x2
– 2x +4) : (x – 2)
04.(2x3
– 10x – 15) : (x – 3)
BLOQUE VI: Hallar el resto que resulta de dividir (utilizar el TEOREMA DEL RESTO)
01.(2x3
– 10x – 15) : (x – 3)
02.(2x4
+ 3x3
– 4X + 2) : (x – 2)
03.(160x4
– 24x3
+ 6x + 1) : (2x + 1)
04.(18x3
– 4x2
+ 4x + 5) : (2x – 1)
05.[(x2n
– (2n + 3)x + 2(n + 3)] : (x – 1)
PROBLEMAS PROPUESTOS (VI)
01.Al dividir 8x4
+ 2x3
+ 3x2
– 13x + 8) entre
(4x – 1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:
a) 4 b) 3 c) 21 d) 1 e) 5
02.El resto que se obtiene al dividir:
6x6
– 3x5
+ 2x4
+ 33x3
+ 8x2
– 6x + 4 entre
x3
– 2x2
+ 3x + 1 es:
a) 3x + 2 b) x2
+ 10 c) x2
– 20x d) x – 20 e) N.A.
03.Al dividir:
4x5
+ 2x4
+ 2x3
– x2
+ 4x entre
2x3
+ 3x2
– x + 2 el cociente es:
a) 2x2
– 2x + 5 b) 2x2
+ 3x – 2 c) 2x2
– x + 5
d) 2x2
+ x – 2 e) N.A.
04.Calcular el resto en:
(4x3
– 2x2
+ 10x – 4) entre (2x – 1)
a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6
05.Si la división de:
6x4
– 5x3
– 7x2
+ Ax + B entre
3x2
+ 2x – 2 es exacta. Entonces el valor de A + 2B es:
a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 0
06.Al dividir:
3x2
18x13x12x7x4x5x6 23456
+
++++−+
el término independiente del cociente es:
a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.A.
07.Si la división de:
2x3x5x
cbxaxx25x
23
235
+++
+++−
, es exacta
Entonces el valor de a + b + c es:

a) – 53 b) – 48 c) – 6 d) 32 e) N.A.
08.Si al dividir:
dxx2
cbxaxx4x8
23
235
++
++++
el resto que se obtiene es:
2x2
+ 4x. Entonces calcular:
E = a + b + c – 5d.
a) 9 b) 8 c) 4 d) 3 e) N.A.
09.Si al dividir:
3xx2x4
cbxaxx8x8
23
235
−+−
+++−
el resto que se obtiene es:
3x2
– 2x + 1. Entonces a + b + c es:
a) 2 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
10.Al dividir:
4x
10xx5x11xx 2345
+
+++−+
a) – 12 b) – 15 c) – 17 d) 10 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
Realizar las siguientes divisiones:
01. n1m
3n2m
yx4
yx16
+
++
02. 3n25m
3n211m
yx12
yx114
−−
−+
−
−
03. 22
346356
yx7
yx14yx21yx42 +−
04. 23
253723
yx6
yx6yx30yx12 −+
05.
2x3x
2xx6x9x5x
2
2345
+−
+−−+−
06.
1xx3
7x12x35x13x20x6
2
2345
+−
+−−−−
07.
1x3xx2
8x7x3x5x6x5x6
23
23456
+−+
−−++−+
08.(8x4
– 20x3
+ 3x – 5) : (x – 1)
09.(4x5
– 11x3
+ 6x – 7) : (x –
2
1
)
Hallar el resto que resulta de dividir:
10.(x40
+ 5x39
+ 6x38
– 4x2
– 9x + 10 ) : (x + 2)
11.(x128
– 2x127
+ x2
– 2x + 3) : (x – 2)
12.(x1998
+ 5x1997
+ x2
+ 5x + 1) : (x + 5)
DIVISIBILIDAD

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
01.Suma de Coeficientes: Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio, se hacen la
variable o variables iguales a 1.
Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene:
∑ = )1(Pescoeficientde
02.Teorema Independiente: Para calcular el término independiente de un polinomio, respecto a una
variable, se hace la mencionada variable igual a CERO. Cuando el polinomio tiene una sola
variable se tiene:
Término independiente: P(0)
03.Si un polinomio P(x) al ser dividido entre (x – a) deja por resto cero, dicho polinomio es divisible
entre dicho binomio. Esto se manifiesta así:
0R)ax()x(P =→−÷
P(x) es divisible entre (x – a)
04.Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre varios binarios, dicho polinomio será
divisible entre el producto de ellos, lo cual se expresa de la manera siguiente;
0R)mx()x(P =→−÷
0R)nx()x(P =→−÷
Luego:
0R)nx)(mx()x(P =→−−÷
05.Si un polinomio P(x) es divisible por el producto de varios binomios, dicho polinomio P(x) será
divisible separadamente por cada uno de ellos, lo cual se expresa de la siguiente; manera:
0R)nx)(mx()x(P =→−−÷
0R)mx()x(P =→−÷
0R)nx()x(P =→−÷
Observación:
Este principio es recíproco al anterior.
06.En toda división, si al dividendo y al divisor se multiplica por una misma cantidad diferente de
cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda multiplicado por dicha cantidad.
Si se desea hallar el resto original, se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se había
multiplicado.
Así tenemos:
RdqD +=
Sea: 0m ≠ , multiplicando por “m”
Rmq)dm(mD +=
El resto es ahora: R m
Luego:
R
m
Rm
m
obtenido.R
originalstoRe ===
07.En toda división, si se divide al dividendo y divisor por una misma cantidad diferente de cero, el
cociente no se altera, sin embargo el resto queda dividido por dicha cantidad.
Si se desea obtener el resto original se multiplica el resto obtenido por la cantidad por la cual se
dividió:
Así tenemos:
RdqD +=
Sea 0m ≠ , dividiendo entre “m”, se obtiene:
m
R
q
m
d
m
D
+





=
El resto ahora es:
m
R
Rxm
m
R
)mxobtenidosto(ReoriginalstoRe =





==
METODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o
completado.
2) Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado,
con signo contrario, salvo el primero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna
entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los
demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna
en forma horizontal.
4) Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos
todos los coeficientes del cociente.
ESQUEMA GENERAL
1
2
3 4
LINEA DIVISORIA
La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como lo
indique el grado del divisor.
OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio
nulo (todos sus coeficientes son cero).
Ejemplo:
Dividir :
4334
7652342567
yxy2yxx3
y2xy4yxyx6yx2yxx6
+−+
++−++−
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
2 -1 +1 +3 -7 +2 +9 -1
-1
0
+2
-1
-2 0 +4 -2
1 0 -2 +1
-1 0 +2 -1
-3 0 +6 -3
x
Coeficientes del Coeficiente del
ResiduoCociente
La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene:
Q(x ; y) = 2x3
- x2
y + xy2
+ 3y3
R(x ; y) =-7x3
y4
+ 2x2
y5
+ 9xy6
- y7
METODO DE PAOLO RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma:
(ax+b).
También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes
mencionada.
Pasos a seguir:
1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a
una variable.
2) Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente
anterior se ha multiplicado por  y colocado en la siguiente columna.
4) Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.
ESQUEMA GENERAL
1
3 4
2
Ejemplo 01: Dividir :
2x
1x5x11x7x2x3 2345
−
++−+−

Por Ruffini :
3 -2 7 -11 +5 +1
3 4 15 19 43 87
+2 +6 8 30 38 86
x-2=0
x=2
Residuo
Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente :
Q(x) = 3x4
+ 4x3
+ 15x2
+ 19x + 43
R(x) = 87
OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a≠1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del
cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.
1-
-
x3
7x8x17x5x3 234 +++
Por Ruffini :
3 +5 -17 +8 +7
3 6 -15 +3 +8
1/3 1 +2 -5 +1
3x-1=0
x=1/3
Resto
1 2 -5 +1
: 3
Coeficientes del cociente
Q° =4 - 1=3 ; (Q°  nos indica el grado del cociente)
Confeccionamos el cociente :
Q(x) = x3
+ 2x2
- 5x + 1 ; R = 8
OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (axn
+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los
exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.
Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.
7-
56-3-
10
10203040
x2
57xx47x1x6 ++
Solución:
40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini.
6 -31 +47 -56 +57
6 -10 +12 -14 +8
7/2 21 -35 +42 -49
3 -5 +6 -7
: 2
2x -7=010
x =7/210
Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10.
Q(x) = 3x30
– 5x20
+ 6x10
– 7
R = 8
TEOREMA DEL RESTO
Enunciado del Teorema del Resto
El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al
valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir:
P(x) ax+b Por definición de división:
R Q(x) P(x) = (ax+b) Qx + R
Si: ax+b = 0, despejando x=
a
b
−
Luego:
P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R
P (-b/a) = 0 + R
P (-b/a) = R
Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable
(siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
El resultado obtenido es el resto.
Ejemplo 01
Calcular el resto :
2x
5x3x5
−
−+
Solución:
Por el teorema del resto: x- 2 = 0→ x =2
R = (2)5
+ 3(2) – 5 → R = 33

Ejemplo 02
Calcular el resto :
3x2
7x3x8xx2 234
−
+−−+
Solución:
Por el teorema del resto: 2x–3= 0 → x=3/2
R = 7
2
3
3
2
3
8
2
3
2
3
2
234
+





−





−





+





R = 7
2
9
18
8
27
8
81
+−−+
R = 11
2
9
8
108
−− → R = 11
2
9
2
27
−−
R = 9 – 11 → R = -2
Ejemplo 03
Hallar el resto en:
(3x60
– 5x45
+ 3x30
– 2x15
+x5
+7) : (x5
+ 1)
Solución:
Expresando el dividendo en función de x5
, tenemos:
1)x(
7)x()x(2)x(3)x(5)x(3
5
5356595125
+
++−+−
Por el teorema del resto:
x5
+ 1 = 0 → x5
= -1
El valor obtenido para x5
lo reemplazamos en el dividendo, así:
R=3(-1)12
–5(-1)9
+3(-1)6
– 2(-1)3
+ (-1)+ 7
R = 3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7 → R = 19
Ejemplo 04
Hallar el resto de:
(5x7
– 4x6
+ 5x4
– 3x3
+ 2x2
– 5x + 7) : (x2
+ 2)
Solución:
En este caso los exponentes del dividendo no son múltiplos del exponente del divisor. Siendo el
divisor de segundo grado, el grado del resto será de primer grado. (es el máximo valor que puede
asumir).
El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior.
Expresamos el dividendo en función de la potencia x2
:
2x
7x5)x(2x)x(3)x(5)x(4x)x(5
2
22223232
+
+−+−+−
Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia x2
:
x2
+ 2 = 0 → x2
= -2
Reemplazando en el dividendo tendremos:
R = 5(-2)3
x – 4(-2)3
+5(-2)2
–3(-2)x+ 2(-2)
–5x+7
R = 5(-8)x – 4(-8)+ 5(4)+ 6x – 4 – 5x + 7
R = – 40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7
R = – 39x + 55
Ejemplo 05
Hallar el resto en:
6x5x
7)4x)(1x()5x5x(3)7x5x(
2
412392
++
++++++−++
Solución:
Como el divisor es de la forma x2
+ 5x + 6, buscamos en el dividendo las potencias de (x2
+
5x); así:
6x5x
74)x5x()5x5x(3)7x5x(
2
2412392
++
++++++−++
Hacemos: x2
+ 5x + 6 = 0 → x2
+ 5x=–6,
en el dividendo tendremos:
R = (-6+7)39
– 3(-6+5)41
+ (-6) + 11
R = 1 – 3(-1)41
– 6 + 11
R = 1 + 3 – 6 + 11 → R = 9
Ejemplo 06
Hallar el resto luego de dividir:
12x7x
6)4x()3x(
2
47100
+−
+−+−

75 76
COCIENTES NOTABLES
Solución:
Factorizando el divisor:
x2
– 7x + 12 = (x-4)(x-3)
En toda división:
D ≡ d . Q + R, reemplazando los datos:
(x- 3100
) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R
2do. grado 1er. grado
(x-3)100
+(x-4)47
+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), ∀ x
Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . (1)
Si x = 4, se obtiene: 7 = 4 a + b . . . (2)
Restando 2 – 1 : a = 2
b = -1
Luego: R(x) = ax + b → R(x) = 2x – 1
Ejemplo 07
Al dividir F(x) entre (4x2
– 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x - 3)2
. Hallar el residuo de dividir
F(x) entre (2x2
+ 9x+ 9).
Solución:
F(x): (4x2
-9)(x+3) → R = 2(x - 3)2
Luego:
F(x) = (4x2
-9)(x+3). Q1 (x) + 2(x- 3)2
.. (α)
F(x) : (2x2
+9x+9) → R = ? (primer grado)
F(x) = (2x2
+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . (β)
De (α) y (β) :
(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2
=(2x+3)(x+3).Q2+
(ax+b)
Si x = -3/2, se obtiene : 81/2 = -3/2 a + b ↓ (-)
Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b
81/2 – 72 = -3/2 a + 3a
81 – 144 = 3 a
-63 = 3 a
a =-21 ; b = 9
Finalmente:
R = - 21x + 9
1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable
2 Proporcionar el desarrollo del cociente notable.
3. resolver situaciones que involucran cocientes notables.
II. PROCEDIMIENTOS
A) MOTIVACIÓN
Después de haber estudiado la división de polinomios y sus métodos.
Ahora vamos a examinar algunas divisiones de polinomio cuyos resultados o cocientes se
pueden escribir directamente, sin efectuar la división propiamente dicha.
Te desafío, efectúa las divisiones y da el cociente sin efectuar la división:
1) (x – 20 + x2) :(x + 5)
2) (2 + 2x3 – x2) : (– 1 + x)
3) 





−





−+
2
1
x1x50x
3
2 3
:,
B) CONTENIDO TEÓRICO
COCIENTES NOTABLES
Definición
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen
sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación.
Estos casos especiales de la forma general:
ax
ax nn
±
±
Condiciones que deben cumplir:
a) Deben tener las bases iguales.
Donde:
X, a son las bases y n N∈

b) Deben tener los exponentes iguales.
Así:
n
a
a
n
x
x
±
±
Numéricamente
ax
ax 1010
±
±
ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES
Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente
los signos; las cuales son:
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax nnnnnnnn
+
−
+
+
−
+
−
−
;;;
PRIMER CASO
ax
ax nn
−
−
a) CALCULO DEL RESTO
Por el teorema del resto:
X – a = → x = a
R = an
– an
= 0
∴ R = 0
Esto indica que para cualquier valor entero de "n" , será siempre exacta por lo tanto es un
cociente notable.
b) CALCULO DEL COCIENTE
Como se está dividiendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente
resultante será de grado (n – 1).
Entonces:
Para cualquier valor de "n"
1n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax −−−−−
++++=
−
−
......
Ejemplo
Calcular el cociente en forma directa de:
1) 3223
44
axaaxx
ax
ax
+++=
−
−
SEGUNDO CASO:
ax
ax nn
−
+ (NO ES COCIENTE NOTABLE)
a) CALCULO DEL RESTO:
x – a = 0 → x = a
R = an
+ an
R = 2an
≠ 0
Vemos que en éste caso para cualquier valor de "n" el resto es siempre diferente de cero por lo
cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.
b) CALCULO DE COCIENTE
Luego el cociente completo es:
ax
a2
aaxaxaxx
ax
ax n
1n34n23n2n1n
nn
−
++++++=
−
+ −−−−−
......
TERCER CASO:
ax
ax nn
+
+
a) CALCULO DEL RESTO
x + a = 0 → x = – a
R = (– a)n
+ an
Si: n = # par → R = an
+ an
= 2an
≠ 0 → cociente completo.
Si: n = # impar → R = – an
+ an
= 0 → cociente exacto.
b) CALCULO DEL COCIENTE
1) Para n = # par:
↓
−+−+−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 2an
≠ 0
Luego el cociente completo es:
↓
+
+−++++=
+
+ −−−−−
ax
a2
aaxaxaxx
ax
ax n
1n34n23n2n1n
nn
...... 2) Para
n = # impar:

↓
++−+−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 0
Luego el cociente exacto es:
↓
+++++=
−
− −−−−− 1n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax
......
CUARTO CASO:
ax
ax nn
+
−
a) CALCULO DEL RESTO:
x + a = 0 → x = – a
R = (– a)n
+ an
Si: n = # par → R = an
– an
= 2an
≠ 0 → cociente exacto.
Si: n = # impar → R = – an
– an
= 0 → cociente completo.
b) CALCULO DEL COCIENTE:
1) Para n = # par
Lugar par
↓
−+−+−−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 0
↓
−+−+−=
+
− −−−−− 1n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax
......
2) Para n = ≠ impar
Lugar impar
↓
++−+−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 2an ≠ 0
Luego el conciente completo es:
Lugar par
↓
−+−+−−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 0
↓
−+−+−=
+
− −−−−− 1n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax
......
2) Para n = ≠ impar
Lugar impar
↓
++−+−
=
−−−−−
ostérn
aaxaxaxx
Q
1n34n23n2n1n
x
min
....
)(
R = 2an ≠ 0
Luego el conciente completo es:
↓
++−+−=
+
− −−−−− 1n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax
......
ax
a2 n
+
−
El signo del último término del cociente vería por estar ocupando diferente lugar.
FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES.
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes
notables sin necesidad de conocer los demás.
Sabemos que:
2n34n23n2n1n
nn
aaxaxaxx
ax
ax −−−−−
+++++=
−
−
...... t1 t2
t3 t4
1n
a −
+
Donde:
t1 = xn-1 = xn-a0
t2 = xn-2 = xn-2a1
t3 = xn-3 = xn-3z2
.
.
.
r69 = ……… = xn-69a68
.
.
.
en general:

t
k
signo
x
n-k
a
k-1
=
; (1 ≤ k ≤ n)
Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador.
"O sea EL Exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el
de a el lugar que ocupa disminuido en 1"
∗ Regla para el SIGNO
a) Cuando el divisor es de la forma (x – a):
Todos son positivos (+)
b) Cuando el divisor es de la forma (x + )m y si:
k = # impar → (POSITIVO +)
k = # par → (NEGATIVO –)
Ejemplos:
1) 54233245
66
axaxaxaaxx
ax
ax
−+−+−=
+
−
2) 2
84
y3x2
y81x16
+
−
dando la forma adecuada:
22223
2
424
y32y3x2x2
y3x2
y3x2
))(()()()(
)(
)()(
+−=
+
−
33
y3 )(−
⇒
64223
2
84
y27xy18yx12x8
y3x2
y81x16
−+−=
+
−
3) +−++−=
+
+ 3324556
77
axaxaxaxx
ax
ax 6542
axaax +−
4) Calcular el 5to término del desarrollo de:
342
30401020
yxba
yxba
−
−
Solución:
- Dando la forma adecuada:
)()(
)()(
342
1034102
yxba
yxba
−
−
- Aplicando la fórmula general:
Tk = nn-kak-1
T5 = (a2b)10-5(x4y3)5-1
∴ T5 = a10b5x16y12
5) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo.
35
93155
aa
ax
+
+
Solución :
Dando la forma de un cociente notable:
35
313315
ax
ax
+
+ )()(
Como el divisor es de la forma (x +a) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (-)
⇒ T22 = - (x5)31-22 (a3)22-1
T22 = - (x5)9 (a3)21
∴ T22 = - x45a63
PRÁCTICA DE CLASE
01. Hallar el valor de "n" para que sea C.N.:
48
40m8
yx
yx
−
−
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
02. Hallar "n" y el número de términos de los siguientes C.N.:
53
n210
yx
yx
−
−
a) 100, 20 b) 150, 30 c) 250, 50 d) 350, 70 e) 400, 80

n2
4530
yx
yx
−
−
a) 3, 15 b) 5, 15 c) 6, 15 d) 7, 15 e) 8, 15
03. El desarrollo del C.N.: 43
SR
yx
yx
+
−
; tiene 14 términos. Hallar (R – S).
a) 14 b) – 14 c) 98 d) – 98 e) 0
04. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.:
92
18n5n
ba
ba
−
− −
a) a10
b16
b) – a10
b18
c) a30
b18
d) a15
b6
e) a32
b20
05. Calcular el cuarto término del C.N.:
5n4n
6n45n4
yx
yx
−−
−+
+
+
a) x21
y6
b) – x21
y5
c) x22
y6
d) – x10
y6
e) – x21
y6
06. Obtener el valor numérico del tercer término del desarrollo de:
b2
b201a
yx
yx
−
−+
Para x = 0,5 e y = x-1 y b = 17
a) 3-1
b)3 c) – 3 d) – 1 e) 1
07. Hallar a.b, sabiendo que el término del C.N.:
baba
baba
yx
yX
−−
++
+
−
; es x60
y40
a) 600 b) – 2,400 c) 4,200 d) 35 e) 3,500
08. Dado el C.N.:
2m1m
10m1550m15
yx
yx
−+
−+
−
−
indica que lugar ocupa el término de grado absoluto 85.
a) 10 b) 13 c) 15 d) 17 e) 20
09. Hallar el grado del décimo del desarrollo de:
9m8m
3m412m4
xa
xa
−−
−+
−
−
a) 32 b) 14 c) 47 d) 31 e) 20
10. El segundo término del C.N.:
1313
22
bb
aa
yx
yx
−−
−
−
; es x16
y8
. Hallar (a + b)
a) 7 b) 9 c) 10 d) 15 e) 8
11. Sabiendo que xay24 es el término central del desarrollo del C.N.:
2c
b75
yx
yx
−
−
. Calcular: (a + b + c)
a) 10 b) 40 c) 59 d) 89 e) 99
12. calcular el número de términos fraccionarios en el C.N.:
23
6090
xx
yx
−
−
−
−
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 20
PROBLEMAS PROPUESTOS VII
01. Dada la siguiente división:

1xy
1xy
3
90
−
−
)(
)(
indicar el grado del término de lugar 19.
a) 11 b) 22 c) 33 d) 19 e) 20
02. Calcular (m-t) sabiendo que el término de lugar 29 del cociente notable correspondiente a:
42
150100
yx
yx
+
+
es: xm+t+1
yt+80
a) 42 b) 37 c) 33 d) 84 e) 19
03. La siguiente división:
42
m32m
yx
yx
22
−
++
origina cociente notable; calcular los valores que puede adoptar "m".
a) 2 y - 1 b) 2 y - 2 c) 1 y 3 d) 4 y 1 e) 2 y 0
04. Halle Ud. "m" si la división:
1m2
27m25m
yx
yx
2
+
++
+
+
origina un cociente notable:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) – 8
05. Calcule (a+b) en la división que origina cociente notable:
25
1b2a
yx
yx
+
+ ++
, si tiene 13 términos.
a) 88 b) 66 c) 42 d) 55 e) N.A.
06. ¿Cuál será el término anterior al sexto, del cociente notable originado por.
2
2010
x10
x10
−
−
?
a) 106
y10
b) x9
y7
c) x5
y9
d) x10
y8
e) 105
y8
07. Señale ud. el quinto término del desarrollo de la división:
2
22
a2
a2048
+
+
contando de derecha a izquierda.
a) 16a12
b) 16a9
C) 8a12
d) 8a15
e) a21
08. Simplificar:
1xxxxx
1xxxx
E
24343638
24747678
++++++
++++++
=
....
....
a) x40
– 1 b) x40
+ 1 c) x80
– 1 d) x80
+ 1 e) N.A.
09. Hallar "m + n", si el t25 del desarrollo de:
n2m3
n86m129
ax
ax
−
−
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 14
10. Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t40 de su
desarrollo tiene grado absoluto 87. Hallar el número de términos, siendo el C.N.:
ax
ax
n
pnp
−
−
a) 48 b) 50 c) 52 d) 60 e) N.A.
11. Si el siguiente cociente:

75 76
FACTORIZACIÓN EN
Q
2
8n
2
6n
22n63n6
ax
ax
−−
−+
+
−
calcular el t19.
a) x3
a36
b) x18
a3
c) x3
a3
d) – x18
a36
e) x18
a36
12. En el cociente notable:
73
ba
yx
yx
−
−
, hay un término central, que es igual a xcy231. Hallar E = a + b + c
a) 821 b) 729 c) 769 d) 901 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
01. Siendo "n" un número natural, calcular el lugar que ocupa el término de grado 135 en el siguiente
cociente notable.
2n3n
22n23n2
yx
yx
22
−−
+−
+
−
02. Encontrar los 4 primero términos del C.N. originado por::
43
8866
yx
yx
−
−
03. En el desarrollo de 43
8866
yx
yx
−
−
, el quinto término es:
04. En el desarrollo de:
915
2745
ax
ax
+
+
, hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de "x" y "a"
es:
FACTOR O DIVISOR
Se denomina así a un polinomio distinto de cero que divide exactamente a otro polinomio.
Así por ejemplo:
* Para el polinomio P(x; y) = xy (x-y)(x+y) ; un factor o divisor podrá ser el polinomio
Q(x; y) =x+y, pues si se divide; P(x,y)/ Q(x,y) se obtendría como residuo cero.
FACTOR PRIMO ( IRREDUCTIBLE)
Se denomina así a aquel polinomio que es divisible por sí mismo y por la unidad, se dice también
que en una expresión no factorizable.
Así por ejemplo:
*Para el polinomio: P(x,y) = xy(x-y)(x+y); un factor primo podrá ser el polinomio Q(x)= x,
pues este es divisible por si mismo y por la unidad.
POSTULADO:
Todo polinomio lineal de la forma (ax+b) es irreductible en cualquier campo numérico.

NOTA:
Al factor de un polinomio también se le llama divisor, que no necesariamente es primo.
NOTA:
Si se cambia de signo a un números par de factores, la expresión no se altera.
Sea F(x) = (x - 4)(2 - x)(x+3)(5 - x)
Si se cambia de signo al factor : (2 - x) y (5 - x); se tendrá :
F(x) = (x - 4)(x - 2)(x +3)(x - 5)
FACTORIZACIÓN
En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión resultante llamada producto a
partir de otras denominadas factores. Al proceso contrario, o sea el transformar una expresión
desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores (pero no de factores
cualesquiera, sino primos) se le denomina FACTORIZACION. Todo lo antes mencionado
podemos resumirlo en el siguiente esquema:
multiplicación
(x+3)(x+4) = x2
+7x+12
factorización
La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios.
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN UNICA
La representación factorizada de un polinomio es única, salvo el orden de los factores.
CRITERIOS DE FACTORIZACION
No existe un método específico para factorizar a una expresión, ya que ésta puede hacerse por dos o más
procedimientos denominadas también criterios.
I. FACTOR COMUN y/o AGRUPAMIENTO DE TERMINOS
Para analizar este criterio, debe tenerse en cuenta lo siguiente:
* Se analiza si toda la expresión tiene uno o más factores comunes, si estuviesen elevados a
exponentes, se extrae el que está elevado al menor.
* En caso que la expresión no tuviese factores comunes deseados entonces necesariamente, se
tendrá que recurrir a la organización de términos, dicha agrupación tiene como objetivo
conseguir factores comunes.
* Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los
términos extraídos.
Ejemplos:
1. Factorizar : 2a2
x + 4ax2
- 6ax
Se observa que: 2ax es el factor común (monomio)
Entonces; 2a2
x + 4ax2
- 6ax = 2ax(a+2x - 3)
2. Factorizar: ax + by +ay + bx
Agrupando de 2 en 2 se observa:
ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y)
En cada sumando se repite (x+y): factor común (polinomio ).
Luego: ax + by + ay + bx = (x + y)(a + b)
3) Factorizar : P(m,n) = mn4
- 5m2
n3
+ 4m3
n2
- 20m4
n , e indique un factor.
a) n-5m b) n2
+m2
c) n2
-4m
d) m2
n e) n-m
4) Factorizar: F(x) = a3
x3
+ a2
x2
b + a2
x2
c + a2
x2
d + abcx +abdx +acd x + bcd
e indique un factor:
a) ax+2c b) x-b c) 2x+c
d) ax+b e) N.a.
II. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES.
Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables
(Trinomios Cuadrado Perfecto, Diferencia de Cuadrados, Sumas o Diferencia de Cubos, ..etc). Para
este caso utilizaran los productos notables en forma inversa, entre los más importantes ya
conocidos:
a2n
- b2n
= (an
+bn
)(an
- bn
)
a3n
+ b3n
= (an
+bn
)(a2n
- an
bn
+ b2n
)
a3n
- b3n
= (an
- bn
)(a2n
+ an
bn
+ b2n
)
a2n
± 2an
bn
+ b2n
= (an
± bn
)2
Ejemplos:
1) Factorizar : m2
- 4p2
+4mn +4n2
El primer, tercero y cuarto término, determinan un trinomio cuadrado perfecto.

Luego: ( m2
+4mn +4n2
) - p2
Entonces: (m+2n)2
- (2p)2
Luego se tiene una diferencia de cuadrados, entonces finalmente tenemos:
m2
- 4p2
+4mn +4n = (m+2n+2p) (m+2n -2p)
2) Factorizar : (1+mx)2
- (m+x)2
e indique cuál no es un factor primo.
a) 1+m b) 1+x c) 1-m
d) x-m e) 1-x
3) Factorizar : a(a2
+bc) + c(a2
+b2
) - b3
e indique un factor:
a) a-b+c b) a+b+c c) a2
-ab+b2
d) a-b-c e) N.a.
4) Factorizar: x12
- 1 e indique el número de factores primos
a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) N.a.
III. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE
Se emplea para factorizar trinomios de la forma general :
P(x,y) = Ax2m
+ Bxm
yn
+Cy2n
El procedimiento a seguir es:
* Se adecua la expresión a la forma antes mencionada
* Se descompone convenientemente los extremos( teniendo cuidado con los signos).
* Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término
central de la expresión, entonces se concluye que los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplos:
1) Factorizar :
x
2
+ 14x + 40
x
x
+10
+4
10x
4x
14x
Tenemos:
Luego: x2
+14x + 40 = (x+10)(x+4)
2) Factorizar: 8x2
- 22x + 15 ; e indicar un factor:
a) 4x + 5 b) 2x + 3 c) 4x - 5
d) 4x - 3 e) 2x - 5
3) Factorizar : 8x6
+215x3
y3
- 27y6
; indique la suma de los factores primos
a) 9x3
+26y3
b) 8x3
-27y3
c) 7x3
-28y3
d) 9x3
-26y3
e) N.a.
4) Factorizar: (3m2
-4m)2
- 19(3m2
-4m) + 60; indique el número de factores primos.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
TEOREMA:
Todo polinomio de la forma:
P(x) = Ax2
+ Bx + C ; {A; B; C} ⊂ Z ∧ ∀ A ≠ 0 es factorizable en las racionales, si y sólo si
B2
– 4AC es un cuadrado perfecto.
Ejemplo # 1
¿2x2
– 5x + 2 es factorizable?
Solución:
Veamos: (-5)2
– 4(2) (2) = 25 – 16 = 9
Como 9 es cuadrado perfecto ⇒ 2x2
– 5x + 2, si es factorizable en los racionales.
Ejemplo # 2:
¿3x2
+ x +1 es factorizable en Q?
Rpta: ...............................................................................
NOTA:
Todo polinomio cuadrático en una variable, si es factorizable, debe admitir el criterio del aspa
simple. Si no admite aspa simple, es porque no es factorizable a Q.
IV. CRITERIO DEL ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma:

P(x,y) = Ax2m
+Bxm
yn
+ Cy2n
+Dxm
+Eyn
+ F
Para factorizar se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte un término este se
completará con cero.
Se toma el primer trinomio y se aplica un aspa simple para comprobar el término central
(xm
yn
)
Seguidamente a los términos y2n
, yn
y el término independiente se les aplica un aspa simple
para comprobar el término yn
.
Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar el término en xm
Los factores se toman horizontalmente.
Ejemplos:
1) Factorizar : 6x2
+19xy +15y2
-17y -11x + 4
Ordenando el polinomio de acuerdo a la forma general:
6x2
+ 19xy + 15y2
- 11x - 17y + 4
3x +5y - 4
2x +3y -1
I IIIII
comprobaciones:
( I ) : (3x (3y) + (2x)(5y) = 19xy
( II) : (5y)(-1) + (3y)(-4) = -17xy
( III): (3x)(-1) + (2x)(-4) = -11x
Finalmente:
El resultado es (3x + 5y - 4) (2x + 3y - 1)
2). Factorizar: 3x2
+4xy + y2
+4x +2y + 1 ; e indique un factor:
a) x+y-1 b) 3x-y-1 c) x+y+1 d) 3x-y+1 e) N.a.
3) Factorizar : 30x2
+ 2xy -4y2
+47x -12y + 7 ; e indique un factor:
a) 6x-2y – 1 b) 5x-2y-7 c) 5x+2y+7 d) 6x+2y-1 e) N.a.
4) Factorizar : 15x2
-22xy + 24x + 8y2
-16y ; e indique la suma de sus factores primos:
a) 8x-6y+9 b) 8x-6y+8 c) 12x-y+10 d) 6x-12y+1 e) 4x+y-1
V. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se emplea para factorizar polinomios de la forma:
P(x) = Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falle un término, este se completará con
cero.
Se descomponen convenientemente los términos extremo : Ax4
∧ E
El resultado se resta del término central: Cx
Lo que sobre o falte para que sea igual a este, será la expresión que se tenga que descomponer
en las partes centrales de los factores nuevos dos factores
Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente.
EJEMPLOS:
1) Factorizar:
P(x)= x4
+6x3
+ 7x2
+ 6x +1
El polinomio está completo y ordenado, entonces, haremos los pasos indicados:
x4
+ 6x3
+ 7x2
+ 6x + 1
1 : + x
x2
x2 2
1 : + x
2
+ 2x
2
I
Se observa que: se tiene +2x2
se debe tener +7x2
se necesita 5x2
Pero: 5x2
puede descomponer como: (5x)(x)
(-5x)(-x)
Pero sólo una de esas opciones es la conveniente y esa es : (5x) (x), así :
x4
+ 6x3
+ 7x2
+ 6x + 1
x
2
x
2
5x
x
1
1
II III

En el aspa II se comprueba: (x2
)(x)+(x2
)(5x)=+6x3
en el aspa III se comprueba : (5x)(1) + (x)(1) = +6x2
Luego:
P(x) = (x2
+ 5x + 1) (x2
+ x + 1)
Por ser polinomio cuadrático en tres variables de 10 términos aplicaremos el método del aspa triple
(3 veces aspa simple ).
III II I
3x
2x
2y
3y
4z
2z
5
3
P(x,y,z) = 6x +13xy+6y +14xz+16yz+8z -21y +19x+22z +15
2 2
Comprobación para cada variable:
I) 6x2
+ 19x +15 II) 6y2
+21y+15 III) 6x2
+ 14xz + 8x2
3x
2x
5
3
2y
3y
5
3
3x
2x
4z
2z
VII. DIVISORES BINOMICOS O EVALUACION BINÓMICA
Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única
condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
i) Cero de un Polinomio. Es el valor o conjunto de valores que tiene la propiedad anular
(valor numerico cero ) a un polinomio dado.
Ejemplo: Sea:
F(x) = 2x3
+ 7x2
- 5x - 4
Si x = 1
 F(1) = 2(1)3
+ 7(1)2
- 5(1) - 4 = 0, se anula.
Entonces:
1 será un cero de F(x).
TEOREMA:
Dado P(x), si el número “b” es un “cero” de este polinomio, entonces (x – b) será un factor de
P(x).
ii) Determinación de los posibles cero de un polinomio.
* Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarán dados por
los divisores del término independiente con su doble signo, Asi:
Si P(x) = x5
- 2x4
+7x3
-3x +2
* Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán
expresados por:
Posibles cero =
ecoeficientprimerdelDivisores
nteindependietérminodelDivisores
±
Por ejemplo sea:
P(x) = 2x3
+7x2
- 5x +3
Posibles ceros:
± 1,3 = ± 1, ± 3, ± 1/2, ± 3/2
1,2
III) Procedimiento a seguir para factorizar.
* Se determinan los ceros del polinomio
* Se deduce el factor que dá lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la
divisibilidad algebraica. Si un polinomio
P(x) se anula para x=a ó P(a)= 0. Entonces dicho polinomio tendrá un factor (x-a)
* El otro factor se determina utilizando la regla de RUFFINI, que se ha de emplear tantas veces
como ceros tenga el polinomio; por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente
adecuado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo
de factorizar .
EJEMPLOS:
1. Factorizar : F(x) = x3
- 3x2
+4x - 2
* Tenemos : posibles ceros: ±1, ± 2.
Para x=1; F(1) = 13
-3(1)2
+4(1) - 2
F(1) = 1 - 3 + 4 - 2 =0,se anula.
* Entonces tendrá un factor (x-1)
* Determinar el otro factor por la regla de Ruffini

1 -2 2
1 -3 4 -2
1 -2 2 0X
Luego : F(x) = (x-1)(x2
-2x+2)
2) Factorizar : x4
+6x3
-5x2
- 42x+40; e indique un factor :
a) x+1 b) x-4 c) x+5 d) x+2 e) x-5
3) Factorizar : 6x3
-25x2
+23x - 6 ; e indicar la suma de sus factores primos lineales.
a) 5x-1 b) 6x-6 c) 3x+2 d) 4x-3 e) 2x-7
4) Descomponer en sus factores primos:
P(x) = 12x5
- 8x4
- 13x3
+ 9x2
+x - 1
a) (x-1)(x+2)(2x+1)2
(3x-1) b) (x+1)(x-2)(2x+3)2
(x-3)
c) (3x-1)(x+1)(2x-1)2
(x+4) d) (x+1)(x-1)(2x-1)2
(3x+1)
e) N.a.
VIII. CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO.
A) CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente (a través de cierta
transformaciones) para luego proceder a un cambio de variable, que permitirá transformar
una expresión aparentemente compleja en otra mucho más simple y sencilla.
EJEMPLOS.
1) Factorizar:
P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1
Como la expresión no presenta algún factor común o una forma convenientemente (dos 2 primeros
y los 2 últimos ).
P(x) = (x2
+5x+4) (x2
+5x+6) +1
Haciendo: x2
+5x+4 = m, se tendrá :
P(x) = m(m+2) + 1 = m2
+2m + 1 = (m+1)2
Ahora reponiendo la variable original:
P(x) = (x2
+5x+5)2
2) Factorizar: P(x) = (x-2)(x+3)(x+2)(x-1) +3 ; e indique un factor:
a) x2
+x-3 b) x2
-x+5 c) x2
- x+3
d) x2
+x+3 e) x2
-x-5
3) Factorizar:
F(x) = (x2
+7x+5)2
+3x2
+21x +5 ; indicar el número de factores primos:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) N.a.
B. QUITA Y PON O REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas
transformaciones (reducciones) adecuadas, se logre una diferencia de cuadrados.
EJEMPLOS:
1) Factorizar : F(n) = n4
+ 2n2
+9
La primera intención sería factorizarlo por el aspa simple, pero no resultaría, luego podría
intentarse por Identidades, pero no es un trinomio cuadrado perfecto, descartadas estas dos
posibilidades; lo factorizamos utilizando el criterio del quita y pon:
F(n) = n4
+ 2n2
+ 9
2 (n2
) x (3 ) = 6n2
Utilizando el esquema del trinomio cuadrado perfecto, se deduce que en la expresión; para que 2n2
sea igual a 6n2
tenemos que sumarte 4n2
, siendo esta la expresión a “quitar” y “poner”.
Veamos:
F(n) = n4
+ 2n2
+ 9 +4n2
+4n2
F(n) = n4
+ 6n2
+ 9 - 4n2
F(n) = (n2
+3)2
- (2n)2
Diferencia de cuadrados
F(n) = (n2
+3 +2n) (n2
+3-2n)
Ordenando: F(n) = (n2
+2n +3) (n2
-2n+3)
2) Factorizar : F(x) = 16x8
- 17x4
+ 16 ; e indicar un factor
a) 2x2
+x+1 b) 2x2
-x+2 c) 4x4
-7x2
-4 d) 2x4
-7x2
+4 e) 2x2
-x-2
3) Factorizar : M(x) = x4
+ 324 ; e indicar la suma de coeficiente de un factor primo.
a) 23 b) 20 c) 18 d) 16 e) 14

C. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES.
Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtengan uno de
las trinomios (x2
+x+1) ó (x2
-x+1) ambos componentes de una diferencia o suma de cubos (x3
-1 ó
x3
+1); u otra expresión conocida.
Ejemplos:
1) Factorizar : F(x) = x5
+x + 1
sumando y restando x2
:
F(x) = x5
+ x + 1 + x2
- x2
agrupando en forma indicada.
F(x) = (x2
+x+1) + (x5
-x2
)
F(x) = (x2
+x+1) + x2
(x3
-1)
F(x) = (x2
+x+1) + x2
(x-1)(x2
+x+1)
sacando factor común:
F(x) = (x2
+x+1) [1+x2
(x-1) ]
Efectuando y ordenando :
F(x) = (x2
+x+1) (x3
-x2
+1)
2) Factorizar : P(x) = x5
+x-1 ; e indicar la suma de coeficiente de los términos cuadráticos de cada
factor primo.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) –2
3) Factorizar :
F(x) = x10
+x8
+1 ; e indicar un factor primo.
a) x2
+x+1 b) x2
-x+1 c) x6
-x2
+1 d) todas e) N.a.
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