1) El documento presenta información sobre la teoría de la probabilidad, incluyendo su historia, conceptos como probabilidad condicional e independiente, y reglas como la de adición, multiplicación y Laplace. 2) Explica aplicaciones de la teoría de probabilidad como el análisis de riesgo y el comercio de materias primas. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como la probabilidad condicional y el teorema de la probabilidad total.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
CARRERA: ING. ELECTRICA
TEORIA DE LA PROBABILIDAD
REALIZADO POR:
ALEJANDRO TROCONIZ
C.I: 17835607
MARACAIBO, JULIO DE 2014

2. _____________________________________________________________________
INTRODUCCIÓN
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados
son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean
las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.
Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y
Blaise Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de
azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya)
escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más
de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una
teoría aceptable sobre los juegos.
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. En
otras palabras, la probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la
frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la
que se conocen todos los resultados posibles.
Mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible
los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como
de la vida cotidiana.
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de
los fenómenos o experimentos aleatorios.

3. ______________________________________________________________________
*Probabilidad:
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los
eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época.
El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos
muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuó con el estudio de
nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de
las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos.
La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es
posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los
más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.
* Probabilidad condicional e independiente:
Probabilidad condicionada: Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que
también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee
«la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal
entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las
relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la
probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se
le dé a los eventos.
Probabilidad independiente: Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que
ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra

4. cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P(A) y P (B) son las
probabilidades de que ocurran respectivamente.
* Teoría de probabilidades:
El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente
durante los siglos XVI y XVII. El cálculo de probabilidades se consolida como
disciplina independiente en el período que transcurre desde la segunda mitad del siglo
XVII hasta comienzos del siglo XVIII. La historia de la probabilidad comienza en el
siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados
con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador
donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue
publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que
comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.
La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juego y
con el tiempo a otros problemas socioeconómicos. Durante el siglo XVIII el cálculo de
probabilidades se extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos). El
factor principal impulsor es el conjunto de problemas de astronomía y física que surgen
ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newton. Estas investigaciones van a
ser de importancia fundamental en el desarrollo de la Estadística.
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Un buen ejemplo de su aplicabilidad cotidiana lo constituyen los análisis del comercio
de las commodities (materias primas) en las relaciones internacionales actuales. Dado
que gran parte de los factores involucrados en la estimación de la producción son
azarosos (vientos, humedad ambiental, exposición solar, mano de obra real, condiciones
económicas y financieras locales, avatares políticos regionales, entre otros), la teoría de
la probabilidad resulta de gran importancia, ya que intenta ajustar en conceptos
matemáticos cual será el devenir de los acontecimientos para calcular, por ejemplo, la

5. producción final de cereales, combustibles fósiles y otros recursos de un área
geográfica.
Por lo tanto, la probabilidad es una herramienta fundamental en la planificación
estratégica de los movimientos sociales, económicos y laborales de toda la comunidad.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la
teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma
en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya
que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida]
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una
fracción y no en porcentajes[cita requerida], por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por
otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p
y se denota con la letra q.
P(Q) = 1 - P(E)
Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de
la multiplicación y la distribución binomial.
* Aplicaciones:
Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el
análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos
normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les
llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos
que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en
análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es
correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente
los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de
probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S".
Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto
generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto

6. dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en
que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los
precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por
consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son
necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para
describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y
en los conflictos.
Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la
fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de
consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la
probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente
relacionada con la garantía del producto.
* Regla de la adición:
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de
cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es
que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al
mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) =
P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de
ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los
eventos A y B.
* Regla de la multiplicación:
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más
eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades
individuales.

7. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) =
P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
Un lote contiene $100$ items de los cuales $20$ son defectuosos. Los items son
seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos
items son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona
al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items
seleccionados sean defectuosos
Solución:
Sea los eventos
A1 ={ primer ítem defectuoso },A2 {segundo ítem defectuoso}
entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2
que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:
p(A1)= 20/100, p(a2/a1)19/100
así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es
P(a1 ∩ a2) = p (A1)p(a2/a1)
(20/100)(19/99)
19/495 = 0.038
Ahora supongamos que seleccionamos un tercer item, entonces la probabilidad de que
los tres items seleccionados sean defectuosos es
P(a1 ∩ A2 ∩ A3) = P(a1)p(a1) p(a2/a1)p (a3/A1∩ A2)
(20/100)(19/99)(18/98)
19/2695 = 0.007

8. * Regla de Laplace:
La regla de Laplace establece que:
La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos
equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.
La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles
Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos
favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.
Con este fin, es importante mencionar algunas definiciones:
* Suceso:
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplos:
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar un dado se obtenga 4.
* Experimentos aleatorios:
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

9. Ejemplos:
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
* Espacio muestral:
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo
representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Ejemplos:
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
* Suceso aleatorio:
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos:
Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

10. * Conjunto y técnicas de conteo:
Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de
objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo
determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: • La colección de
elementos debe estar bien definida. • Ningún elemento del conjunto se debe contar más
de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite
se contará sólo una vez. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de
importancia. • El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
* Teorema de la probabilidad total:
Nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades
condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y
si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es
la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y
la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un
accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades
condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente
cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas
las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

11. Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un
sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema
completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso
no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
*Teorema de Bayes:
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas
cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el
siglo XVII.
Viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad
total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A
(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del
suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)
deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar
explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que
este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de
semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%

12. c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente
es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no
sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite
calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se
denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con
el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las
probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se
denominan "probabilidades a posteriori".

13. ______________________________________________________________________
CONCLUSIONES
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento
bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa
extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para
sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica
subyacente de sistemas complejos.
Uno de los objetivos fundamentales de la Probabilidad es evaluar la posibilidad de que
un suceso ocurra o que no ocurra. Es importante saber que el cálculo de probabilidades
permite la toma de decisiones.
La regla más evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de 0 a 1. Un
evento imposible tiene una probabilidad cero de ocurrir, y un evento cierto tiene una
probabilidad uno de ocurrir. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de
ocurrencia de un evento simple.
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado
mutuamente excluyente de todos los resultados posibles para esa variable aleatoria, tal
que una probabilidad particular de ocurrencia esté asociada con cada resultado.

14. _____________________________________________________________________
BIBLIOGRAFIA
 «Soft Commodity Definition». Investopedia (15-02-2009). Consultado el 06-12-
2012.
 ABC de los commodities. El economista
 O'Harrow, Robert (21 de abril de 2010). «A primer on financial derivatives».
Washington Post.
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on Futures» (PDF). Chicago, Illinois: National Futures Association (2006).
 Jacks, D., O’Rourke, K. y Williamson, J. (2009). Commodity Price Volatility
and World Market Integration since 1700. NBER Working Paper No. 14748]
 Aulafacil.com
 Wikilibros
 Diccionario de la RAE
 www.terra.es