Este documento presenta información sobre probabilidades, incluyendo definiciones, conceptos clave, métodos de cálculo de probabilidades, y ejemplos. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que ocurra un suceso en base a la experiencia pasada, y cómo se puede calcular a través de relaciones entre sucesos favorables y totales posibles. También provee detalles sobre el espacio muestral y diferentes tipos de probabilidades como a priori, a posteriori, subjetiva y objetiva.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento contiene 25 ejercicios de algoritmos en pseudocódigo. Los ejercicios cubren temas como condicionales, bucles, sumas, promedios, ordenamiento de números y más. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de problemas mediante el desarrollo de algoritmos en pseudocódigo.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
El documento describe diferentes técnicas de conteo como diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental de conteo. Explica cómo usar estas técnicas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos o objetos, resolviendo varios ejemplos numéricos como encontrar el número de formas de resolver un examen o integrar una mesa directiva.
Ejercicios de probabilidad y teorema de bayesBelgica Chasi
1. La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea par es 18/36 = 1/2.
2. La probabilidad de que salga 7 al lanzar tres dados es 15/216 = 5/72.
3. La probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o estudie francés en una clase de 20 personas (10 hombres y 10 mujeres) es 15/20 = 3/4.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variable aleatoria, distribución de probabilidad, experimentos de Bernoulli y binomiales. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una distribución de probabilidad refleja el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. Finalmente, detalla las distribuciones de Bernoulli y binomial, indicando que la primera tiene dos posibles resultados y la segunda consiste en múltiples ensayos de Bernoulli independientes.
Ejercicios resueltos de cálculo de probabilidadesMaría BF
El documento presenta 7 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, se pide describir el espacio muestral de 4 experimentos aleatorios como lanzar monedas y dados, sacar bolas de una urna, y el tiempo de lluvia en 3 días. Los ejercicios 2 al 7 calculan probabilidades de diferentes sucesos como sacar números primos o cuadrados de una urna, sacar cartas de una baraja, resultados de lanzar dados, y más.
Este documento define la probabilidad y ofrece una breve historia de su desarrollo. Explica los elementos básicos de la teoría de probabilidad como eventos, experimentos y espacio muestral. También describe las reglas de probabilidad como la adición, multiplicación y probabilidad condicional. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Este documento presenta una serie de ejemplos y problemas de probabilidad relacionados con experimentos aleatorios que involucran lanzar monedas y dados, sacar bolas de urnas, y extraer cartas de una baraja. En total, contiene 24 ejemplos y problemas con sus respectivas soluciones, que cubren temas como espacios muestrales, sucesos elementales y compuestos, cálculo de probabilidades aplicando la regla de Laplace, diagramas de árbol, y experimentos con y sin reemplazo.
Este documento contiene 25 ejercicios de algoritmos en pseudocódigo. Los ejercicios cubren temas como condicionales, bucles, sumas, promedios, ordenamiento de números y más. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de problemas mediante el desarrollo de algoritmos en pseudocódigo.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
El documento describe diferentes técnicas de conteo como diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental de conteo. Explica cómo usar estas técnicas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos o objetos, resolviendo varios ejemplos numéricos como encontrar el número de formas de resolver un examen o integrar una mesa directiva.
Ejercicios de probabilidad y teorema de bayesBelgica Chasi
1. La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados sea par es 18/36 = 1/2.
2. La probabilidad de que salga 7 al lanzar tres dados es 15/216 = 5/72.
3. La probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o estudie francés en una clase de 20 personas (10 hombres y 10 mujeres) es 15/20 = 3/4.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística como variable aleatoria, distribución de probabilidad, experimentos de Bernoulli y binomiales. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una distribución de probabilidad refleja el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. Finalmente, detalla las distribuciones de Bernoulli y binomial, indicando que la primera tiene dos posibles resultados y la segunda consiste en múltiples ensayos de Bernoulli independientes.
Ejercicios resueltos de cálculo de probabilidadesMaría BF
El documento presenta 7 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, se pide describir el espacio muestral de 4 experimentos aleatorios como lanzar monedas y dados, sacar bolas de una urna, y el tiempo de lluvia en 3 días. Los ejercicios 2 al 7 calculan probabilidades de diferentes sucesos como sacar números primos o cuadrados de una urna, sacar cartas de una baraja, resultados de lanzar dados, y más.
Este documento define la probabilidad y ofrece una breve historia de su desarrollo. Explica los elementos básicos de la teoría de probabilidad como eventos, experimentos y espacio muestral. También describe las reglas de probabilidad como la adición, multiplicación y probabilidad condicional. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Este documento presenta 11 preguntas sobre técnicas de conteo y probabilidad. Algunas preguntas involucran contar el número de formas posibles de construir números, seleccionar equipos o conformar comités dados diferentes conjuntos de opciones. Otras preguntas cubren conceptos como la regla de la suma, el principio aditivo, la regla del producto y el factorial para calcular las posibilidades cuando una tarea puede realizarse en varios pasos o tiene múltiples alternativas.
Este documento contiene 8 problemas de estadística resueltos. Cada problema presenta datos estadísticos como medias, desviaciones estándar y tamaños de muestra, y pide calcular intervalos de confianza. Los intervalos de confianza proporcionan rangos de valores dentro de los cuales se espera que se encuentren parámetros poblacionales con cierta probabilidad.
Este documento resume las principales distribuciones de probabilidad discretas como la binomial, Bernoulli, hipergeométrica y de Poisson. Explica que una distribución de probabilidad representa los posibles resultados de un experimento aleatorio y sus probabilidades asociadas. Define variables aleatorias discretas y continuas y cómo estas generan distribuciones de probabilidad. Incluye fórmulas y propiedades clave de cada distribución. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
1) Este documento presenta una evaluación de física tipo ICFES con preguntas de selección múltiple sobre conceptos como fuerzas, energía potencial, energía cinética y aceleración centrípeta. 2) Las preguntas abarcan temas como equilibrio de fuerzas, caída libre, ley de Hooke y movimiento circular. 3) La evaluación contiene 17 preguntas conceptuales con 4 opciones de respuesta cada una para evaluar los conocimientos básicos de los estudiantes en estas áreas de la física.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad y estadística como parte de una clase de bioestadística. Explica que la probabilidad cuantifica los resultados posibles de experimentos aleatorios donde hay incertidumbre. Define experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. Incluye ejemplos y ejercicios sobre estos temas. Finalmente, invita a los estudiantes a visitar la página web del profesor para más información.
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
Este documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística que involucran distribuciones normales. Los problemas cubren temas como el cálculo de probabilidades, percentiles y fracciones de poblaciones que caen dentro de ciertos rangos de valores para varias variables aleatorias continuas como volumen de bebidas, vida de ratones, duración de motores, pureza de oxígeno, estatura de estudiantes, coeficiente intelectual, longitud de pan, diámetro de pistones, salarios por hora y peso de perros.
El documento presenta la resolución de dos ejercicios de microeconomía que involucran calcular funciones de producción total, marginal y promedio para empresas. En el primer ejercicio, la función de producción es PT = 10L2 + 100L - L3 y el óptimo técnico ocurre cuando L = 5. El máximo técnico es L = 10 y PT = 1000. En el segundo ejercicio, la función es PT = 50L - L2 y el máximo técnico es L = 25 con PT = 625. Ambos ejercicios concluyen representando gráficamente las
Este documento introduce la distribución geométrica. Explica que representa el número de repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli necesarias para obtener el primer éxito. Presenta la fórmula para calcular la probabilidad de que el primer éxito ocurra en la repetición x. Además, incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular estas probabilidades.
Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el origen de la probabilidad, los enfoques clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, eventos elementales, seguros e imposibles. También cubre reglas como la adición y multiplicación para eventos dependientes e independientes.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento explica los conceptos básicos de la prueba de hipótesis, incluyendo la definición de hipótesis nula y alterna, los tipos de errores, y cómo realizar pruebas unilaterales y bilaterales sobre la media de una población. También cubre temas como el tamaño de la muestra, el valor p, y cómo se usan las pruebas de hipótesis en la toma de decisiones.
Este documento define la probabilidad como un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio. Explica la fórmula de Laplace para calcular la probabilidad y provee ejemplos de calcular la probabilidad de resultados de lanzar un dado o vivir 20 años. También describe conceptos como espacio muestral, sucesos, tipos de probabilidad como empírica, subjetiva y objetiva, y probabilidad condicionada.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento describe la distribución de Poisson, la cual modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo específico. Explica que se basa en dos supuestos: 1) la probabilidad es proporcional al tamaño del intervalo y 2) los intervalos son independientes. Presenta la fórmula de Poisson y resuelve ejemplos numéricos como el número de maletas perdidas en vuelos y de cheques sin fondos recibidos por un banco.
Ejercicios de distribucion binomial y de poison: STAT FIT DE PROMODELlucysan
Este documento presenta 4 ejercicios que involucran distribuciones binomiales y de Poisson. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que 10 acciones aumenten de valor dado que el 70% generalmente lo hacen. El segundo calcula la probabilidad de que más de 10 personas realicen transacciones en una hora dada una tasa promedio de 5 personas por hora. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de obtener 2 caras en 6 tiradas de una moneda. Y el cuarto calcula la probabilidad de que 2 de 10 herramientas sean defectuosas dado un 10% de
Este documento presenta los resultados de 20 corridas de prueba realizadas para medir el consumo de gasolina en millas por galón de un automóvil mediano en avenidas urbanas. Se proporcionan los rangos de millas por galón obtenidos y se pide calcular la media y desviación estándar de los resultados.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento explica las reglas de la multiplicación y la probabilidad condicional en la probabilidad. La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B es P(A) x P(B) si A y B son independientes, o P(A) x P(B|A) si A y B son dependientes. También presenta ejemplos como calcular la probabilidad de responder correctamente dos preguntas de un examen o la probabilidad de seleccionar una vaina verde y luego una vaina amarilla en un experimento de Mendel.
Este documento presenta 10 problemas de matemáticas con diferentes temas como ángulos, estadística, probabilidad y geometría. Los problemas incluyen cálculos, tablas, gráficas y figuras para resolverlos.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre combinaciones y permutaciones utilizando números, letras y otros elementos. Los ejercicios involucran el cálculo de las posibles formas de organizar, seleccionar y ordenar grupos de elementos de acuerdo a diferentes criterios, usando conceptos matemáticos como permutaciones, combinaciones y factoriales.
Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Brevemente introduce el tema, historia y conceptos básicos de estadística como una ciencia que analiza datos recolectados de una población para extraer conclusiones. También cubre las ramas de estadística descriptiva e inferencial, conceptos de población y muestra, y el proceso metodológico estadístico. Finalmente, explica conceptos sobre organización y presentación de datos como variables, distribuciones de frecuencia y tablas.
Este documento presenta 11 preguntas sobre técnicas de conteo y probabilidad. Algunas preguntas involucran contar el número de formas posibles de construir números, seleccionar equipos o conformar comités dados diferentes conjuntos de opciones. Otras preguntas cubren conceptos como la regla de la suma, el principio aditivo, la regla del producto y el factorial para calcular las posibilidades cuando una tarea puede realizarse en varios pasos o tiene múltiples alternativas.
Este documento contiene 8 problemas de estadística resueltos. Cada problema presenta datos estadísticos como medias, desviaciones estándar y tamaños de muestra, y pide calcular intervalos de confianza. Los intervalos de confianza proporcionan rangos de valores dentro de los cuales se espera que se encuentren parámetros poblacionales con cierta probabilidad.
Este documento resume las principales distribuciones de probabilidad discretas como la binomial, Bernoulli, hipergeométrica y de Poisson. Explica que una distribución de probabilidad representa los posibles resultados de un experimento aleatorio y sus probabilidades asociadas. Define variables aleatorias discretas y continuas y cómo estas generan distribuciones de probabilidad. Incluye fórmulas y propiedades clave de cada distribución. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
1) Este documento presenta una evaluación de física tipo ICFES con preguntas de selección múltiple sobre conceptos como fuerzas, energía potencial, energía cinética y aceleración centrípeta. 2) Las preguntas abarcan temas como equilibrio de fuerzas, caída libre, ley de Hooke y movimiento circular. 3) La evaluación contiene 17 preguntas conceptuales con 4 opciones de respuesta cada una para evaluar los conocimientos básicos de los estudiantes en estas áreas de la física.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad y estadística como parte de una clase de bioestadística. Explica que la probabilidad cuantifica los resultados posibles de experimentos aleatorios donde hay incertidumbre. Define experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. Incluye ejemplos y ejercicios sobre estos temas. Finalmente, invita a los estudiantes a visitar la página web del profesor para más información.
Tarea 11 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
Este documento presenta 10 problemas de probabilidad y estadística que involucran distribuciones normales. Los problemas cubren temas como el cálculo de probabilidades, percentiles y fracciones de poblaciones que caen dentro de ciertos rangos de valores para varias variables aleatorias continuas como volumen de bebidas, vida de ratones, duración de motores, pureza de oxígeno, estatura de estudiantes, coeficiente intelectual, longitud de pan, diámetro de pistones, salarios por hora y peso de perros.
El documento presenta la resolución de dos ejercicios de microeconomía que involucran calcular funciones de producción total, marginal y promedio para empresas. En el primer ejercicio, la función de producción es PT = 10L2 + 100L - L3 y el óptimo técnico ocurre cuando L = 5. El máximo técnico es L = 10 y PT = 1000. En el segundo ejercicio, la función es PT = 50L - L2 y el máximo técnico es L = 25 con PT = 625. Ambos ejercicios concluyen representando gráficamente las
Este documento introduce la distribución geométrica. Explica que representa el número de repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli necesarias para obtener el primer éxito. Presenta la fórmula para calcular la probabilidad de que el primer éxito ocurra en la repetición x. Además, incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular estas probabilidades.
Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el origen de la probabilidad, los enfoques clásico, de frecuencia relativa y subjetivo. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, eventos elementales, seguros e imposibles. También cubre reglas como la adición y multiplicación para eventos dependientes e independientes.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento explica los conceptos básicos de la prueba de hipótesis, incluyendo la definición de hipótesis nula y alterna, los tipos de errores, y cómo realizar pruebas unilaterales y bilaterales sobre la media de una población. También cubre temas como el tamaño de la muestra, el valor p, y cómo se usan las pruebas de hipótesis en la toma de decisiones.
Este documento define la probabilidad como un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio. Explica la fórmula de Laplace para calcular la probabilidad y provee ejemplos de calcular la probabilidad de resultados de lanzar un dado o vivir 20 años. También describe conceptos como espacio muestral, sucesos, tipos de probabilidad como empírica, subjetiva y objetiva, y probabilidad condicionada.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento describe la distribución de Poisson, la cual modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo específico. Explica que se basa en dos supuestos: 1) la probabilidad es proporcional al tamaño del intervalo y 2) los intervalos son independientes. Presenta la fórmula de Poisson y resuelve ejemplos numéricos como el número de maletas perdidas en vuelos y de cheques sin fondos recibidos por un banco.
Ejercicios de distribucion binomial y de poison: STAT FIT DE PROMODELlucysan
Este documento presenta 4 ejercicios que involucran distribuciones binomiales y de Poisson. El primer ejercicio calcula la probabilidad de que 10 acciones aumenten de valor dado que el 70% generalmente lo hacen. El segundo calcula la probabilidad de que más de 10 personas realicen transacciones en una hora dada una tasa promedio de 5 personas por hora. El tercer ejercicio calcula la probabilidad de obtener 2 caras en 6 tiradas de una moneda. Y el cuarto calcula la probabilidad de que 2 de 10 herramientas sean defectuosas dado un 10% de
Este documento presenta los resultados de 20 corridas de prueba realizadas para medir el consumo de gasolina en millas por galón de un automóvil mediano en avenidas urbanas. Se proporcionan los rangos de millas por galón obtenidos y se pide calcular la media y desviación estándar de los resultados.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento explica las reglas de la multiplicación y la probabilidad condicional en la probabilidad. La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B es P(A) x P(B) si A y B son independientes, o P(A) x P(B|A) si A y B son dependientes. También presenta ejemplos como calcular la probabilidad de responder correctamente dos preguntas de un examen o la probabilidad de seleccionar una vaina verde y luego una vaina amarilla en un experimento de Mendel.
Este documento presenta 10 problemas de matemáticas con diferentes temas como ángulos, estadística, probabilidad y geometría. Los problemas incluyen cálculos, tablas, gráficas y figuras para resolverlos.
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre combinaciones y permutaciones utilizando números, letras y otros elementos. Los ejercicios involucran el cálculo de las posibles formas de organizar, seleccionar y ordenar grupos de elementos de acuerdo a diferentes criterios, usando conceptos matemáticos como permutaciones, combinaciones y factoriales.
Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Brevemente introduce el tema, historia y conceptos básicos de estadística como una ciencia que analiza datos recolectados de una población para extraer conclusiones. También cubre las ramas de estadística descriptiva e inferencial, conceptos de población y muestra, y el proceso metodológico estadístico. Finalmente, explica conceptos sobre organización y presentación de datos como variables, distribuciones de frecuencia y tablas.
El documento presenta una serie de problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. Se describen eventos aleatorios como lanzamientos de dados, exámenes con preguntas de opción múltiple y true-false, y se calculan probabilidades asociadas a estos eventos usando conceptos como espacio muestral, funciones de probabilidad y distribución. También se resuelven algunos problemas relacionados con variables aleatorias continuas.
El documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo calcular probabilidades usando estas distribuciones.
1. El documento presenta varios ejercicios de probabilidad que involucran situaciones como sacar cartas de una baraja, elegir personas al azar con diferentes profesiones, lanzar dados y monedas, y más. Se pide calcular la probabilidad asociada a cada situación utilizando las reglas de adición y multiplicación.
2. Varias de las preguntas involucran calcular la probabilidad de eventos individuales o la unión de eventos en situaciones de azar como sacar fichas de diferentes colores de una mezcla o extraer cartas de una baraja
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre probabilidad y espacios muestrales. Explica conceptos como espacio muestra, sucesos favorables y casos posibles para calcular probabilidades de eventos al extraer cartas de una baraja o bolas de una caja. Luego resuelve ejercicios calculando probabilidades de obtener ciertas cartas o figuras al extraer de una baraja, o números al lanzar un dado varias veces.
Este documento ofrece servicios de asesoría y resolución de ejercicios de probabilidad, estadística y ciencias a través del correo electrónico ciencias_help@hotmail.com o la página web www.maestronline.com. Incluye una serie de problemas de estadística y probabilidad para ser resueltos como ejemplos del tipo de servicios ofrecidos.
Este documento presenta 25 ejercicios de probabilidad y estadística resueltos. Los ejercicios incluyen cálculos de probabilidades simples y conjuntas, así como aplicaciones del teorema de Bayes. Algunos ejercicios involucran eventos médicos como la probabilidad de que un paciente sea menor de 24 meses o la probabilidad de que un resultado ecográfico tenga un error.
El documento presenta información sobre distribuciones normales estándar, incluyendo su definición y cómo estandarizar una distribución normal. También contiene varios ejercicios de probabilidad y estadística que involucran distribuciones normales y pruebas de hipótesis, con sus respectivas soluciones.
Este documento contiene 6 problemas de probabilidad y estadística. El primer problema pregunta por la probabilidad de que el mismo partido gane las elecciones en 20 estados dados dos candidatos por estado. El segundo y cuarto problema piden demostrar identidades. El tercer problema pide calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor menor que 2.3. El quinto problema pregunta por la probabilidad de no tomar un refresco dado que se toma otro. El sexto problema calcula la probabilidad de participar en un programa atlético dado el promedio de un estud
Este documento presenta varios ejemplos y definiciones relacionadas con distribuciones de probabilidad especiales como la binomial, la Poisson y la exponencial. Incluye teoremas y demostraciones sobre estas distribuciones. También presenta problemas resueltos sobre el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones para modelar diferentes situaciones aleatorias.
La mayoría de los problemas en el documento involucran calcular probabilidades usando diferentes distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, hipergeométrica y exponencial. Algunos problemas piden calcular la probabilidad de que ciertos eventos ocurran dado los parámetros de cada distribución, mientras que otros proveen datos estadísticos y piden calcular valores esperados y varianzas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre experimentos aleatorios y sucesos. Define un experimento aleatorio como uno que puede dar lugar a varios resultados posibles sin que se pueda predecir con certeza cuál ocurrirá. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos elementales y sucesos. Explica operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento describe la distribución binomial, incluyendo sus propiedades, la función de probabilidad binomial, ejemplos y cómo calcular la media y desviación estándar. También cubre la aproximación a la distribución normal y proporciona ejercicios de práctica.
Este documento presenta la distribución binomial. Explica que se usa para situaciones con dos resultados posibles como éxito o fracaso. Describe las propiedades como la media, varianza y desviación estándar. También presenta ejemplos y ejercicios para calcular probabilidades usando la distribución binomial.
Este documento explica conceptos clave de la probabilidad, incluyendo elementos de probabilidad, enfoques de probabilidad según diferentes experimentos aleatorios, relaciones entre sucesos, y cómo calcular la probabilidad usando la regla de Laplace. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento explica conceptos clave de la probabilidad, incluyendo elementos de probabilidad, enfoques de probabilidad según diferentes experimentos aleatorios, relaciones entre sucesos, y cómo calcular la probabilidad usando la regla de Laplace. También proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta información sobre estadística y probabilidades. Explica que la estadística es una ciencia que utiliza técnicas para recolectar, organizar y analizar datos muestrales con el fin de extraer conclusiones válidas sobre la población. Divide la estadística en descriptiva e inferencial. También define conceptos como población, muestra, variables cuantitativas y cualitativas, y distribuciones de frecuencia. El objetivo es proporcionar una introducción general a estos temas.
Azar y determinismo
Probabilidad de sucesos
Tipos de sucesos. Probabilidad de experimentos compuestos
Leyes de De Morgan
Probabilidad condicionada
Probabilidad total y Teorema de Bayes
Este documento introduce el concepto de probabilidad y cómo se utiliza para estudiar experimentos aleatorios. Explica que la probabilidad mide la confianza de que ocurra un evento futuro y proporciona ejemplos como lanzar una moneda o un dado. También define conceptos clave como espacio muestral y evento, y explica cómo calcular la probabilidad clásica como la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles.
Este documento explica conceptos básicos de probabilidad y genética como probabilidad empírica y teórica, eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes, reglas de probabilidad como la suma y el producto, y la prueba de Ji cuadrado para determinar si los datos se ajustan a las proporciones esperadas.
Este documento describe una lección en una clase de primer grado sobre el crecimiento de plantas en germinadores. Los estudiantes discutieron por qué algunas de sus plantas en los germinadores no crecieron y llegaron a la conclusión de que el cuidado adecuado del agua es importante para el crecimiento de las plantas. Al final de la clase, los estudiantes resumieron lo que aprendieron sobre las partes de la planta y la importancia del control del agua.
Jose arreaza distribuciones de propiedades discretas estadistica 2jose arreaza
Este documento presenta una introducción a las distribuciones de probabilidades discretas. Explica qué son las distribuciones de probabilidad y sus características principales. Luego describe tres distribuciones discretas comunes: la binomial, la de Poisson y la multinomial. Incluye ejemplos para ilustrar cada distribución. El objetivo general es proporcionar una visión general de estas distribuciones estadísticas discretas fundamentales.
Este documento presenta información sobre diferentes distribuciones de probabilidad como la normal, binomial, de Poisson y sus características. Explica que la distribución normal es importante para modelar fenómenos naturales y que sigue la curva de Gauss. También describe las características de la distribución binomial como el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p. Finalmente, indica que la distribución de Poisson se aplica cuando n es grande y p es pequeña en una distribución binomial.
Este documento trata sobre las probabilidades. Explica conceptos como experimentos aleatorios, frecuencia relativa y probabilidad. También cubre el teorema de Bayes, aplicaciones de las probabilidades en seguros y estadística, y usos cotidianos como pronósticos del tiempo y juegos de azar.
Este documento presenta información sobre probabilidades y su aplicación en la vida diaria. Brevemente describe conceptos clave como espacio muestral, eventos, probabilidades matemáticas y experimentales, y el teorema de Bayes. También ofrece ejemplos de cómo las personas usan probabilidades en deportes, juegos, seguros, pronósticos del tiempo y más. Finalmente, incluye ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica la diferencia entre fenómenos deterministas y aleatorios, y define espacio muestral y sucesos. Además, describe tipos de sucesos como elementales, compuestos, imposibles y seguros. Por último, presenta operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia, y introduce la noción de probabilidad de un suceso.
1) El documento describe varias distribuciones discretas como la distribución de Bernouilli, binomial, Poisson y hipergeométrica. 2) Explica que las distribuciones discretas son aquellas donde la variable puede tomar valores numerables y provee ejemplos. 3) Provee detalles sobre cada distribución, incluyendo sus fórmulas y ejemplos numéricos.
1) El documento trata sobre distribuciones discretas como la binomial, Poisson y multivariante. 2) Explica que las distribuciones discretas son aquellas donde la variable puede tomar un número determinado de valores. 3) Detalla los modelos matemáticos de las distribuciones de Bernoulli, binomial, hipergeométrica y Poisson que representan fenómenos discretos.
1) El documento presenta información sobre probabilidad y conceptos relacionados como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, sucesos y eventos.
2) Se explican los procesos para determinar la viabilidad de semillas y analizar rasgos genéticos en moscas de la fruta.
3) Finalmente, se describe una inspección de calidad de plátanos comprados de diferentes regiones para tomar decisiones comerciales.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad e inferencia estadística. Explica que la probabilidad es una medida cuantitativa del grado de certeza o incertidumbre de un evento. Define términos como experimento, resultado, evento y espacio muestral. También describe reglas para calcular probabilidades como la regla de adición y complemento. Finalmente, presenta axiomas fundamentales de la probabilidad.
Este documento introduce los conceptos básicos de la probabilidad. Explica que la probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Los valores de probabilidad van de 0 a 1, donde valores cercanos a 0 indican baja posibilidad y valores cercanos a 1 alta posibilidad. Luego, describe los tres enfoques para clasificar la probabilidad: probabilidad clásica, probabilidad de frecuencia relativa y probabilidad subjetiva.
Toma de Decisiones en Condiciones de IncertidumbreYoel Alveo
Este documento discute las limitaciones de estimar probabilidades y tomar decisiones basadas en ellas debido a la incertidumbre inherente. Aunque se usan varios métodos para estimar probabilidades, cualquier estimación depende de supuestos que contienen un margen de error. La información negativa como incumplimientos provee más guía que estimaciones de probabilidad. En lugar de enfocarse en probabilidades, es mejor considerar las consecuencias de diferentes resultados e implementar medidas para administrar riesgos.
La teoría de la probabilidad estudia los fenómenos aleatorios y asigna números a los posibles resultados de experimentos para cuantificar su probabilidad de ocurrencia. Existen diferentes métodos para calcular probabilidades como la regla de adición, multiplicación y Laplace. La teoría de probabilidad se aplica en áreas como estadística, física, finanzas y toma de decisiones gubernamentales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas de probabilidad condicional, permutaciones, combinaciones y el teorema de Bayes. Incluye ejemplos sobre la probabilidad de seleccionar semillas, muestras o productos de diferentes recipientes o maquinas. Calcula la probabilidad de eventos simples y condicionados usando diagramas de árbol y fórmulas matemáticas.
Este documento describe diferentes medidas estadísticas de tendencia central, dispersión y forma para datos agrupados y no agrupados. Explica cómo calcular la media, mediana, moda, cuartiles, percentiles, deciles, varianza, desviación estándar, asimetría, curtosis y coeficiente de variación. También describe cómo dividir los datos agrupados en intervalos y clases, y cómo calcular las medidas de tendencia central para datos agrupados.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de probabilidad, espacio muestral, reglas de probabilidad como la multiplicación y adición, probabilidades condicionales, distribuciones de probabilidad como la binomial, normal y de Poisson. Explica sus propiedades como media, varianza y desviación estándar. También cubre temas como diagramas de árbol, esperanza matemática, permutaciones, combinaciones y probabilidades con varios eventos.
Este documento presenta fórmulas para calcular el tamaño de muestra en muestreo aleatorio simple cuando no se conocen los parámetros de la población. Explica que para un nivel de confianza del 95% y un error de estimación del 5%, la fórmula para calcular el tamaño de muestra es n= (Z^2 *P*Q)/E^2, donde Z es 1.96, P y Q son las probabilidades de éxito y fracaso (usualmente 0.5 cada una), y E es el error de estimación deseado. También cubre cómo
Este documento presenta fórmulas para el muestreo aleatorio simple cuando no se conocen los parámetros de la población o estadísticos de la muestra. Explica cómo calcular el tamaño de la muestra utilizando una fórmula que involucra el tamaño de la población, el nivel de confianza, el nivel de significación y el error de estimación. También cubre cómo estimar promedios, totales, proporciones, razones y proporciones en conglomerados basándose en la muestra.
Este documento presenta el plan de estudios para la asignatura de Estadística y Probabilidades para estudiantes de sexto semestre de Ingeniería Agrícola e Ingeniería de Sistemas. La asignatura abarca temas básicos de estadística descriptiva e inferencial, probabilidades, muestreo, estimaciones y pruebas de hipótesis. El objetivo es capacitar a los estudiantes en el uso de herramientas estadísticas que les serán útiles en su formación académica y futura profesión.
Probabilidad condicional por-daimer-alex y martínsistemas2013
La historia de la probabilidad condicional comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal trataron de resolver problemas relacionados con los juegos de azar. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A sabiendo que también sucede otro evento B. Se aplica en la selección de semillas, la probabilidad de ganar un juego de azar, y los márgenes de error en pruebas balísticas.
El documento trata sobre la historia de la probabilidad. Comenzó en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal trataron de resolver problemas de juegos de azar, aunque algunos señalan que sus inicios fueron con Cardano en 1520. No fue hasta el siglo XVII que comenzó a desarrollarse una teoría aceptable sobre probabilidad y juegos de azar.
Este documento presenta el teorema de Bayes, que permite calcular probabilidades posteriores (después de realizar un experimento) basadas en probabilidades previas y la probabilidad del experimento. Luego, aplica el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una pieza defectuosa haya sido producida por diferentes marcas de computadoras, determinando que la marca Toshiba tiene la mayor probabilidad.
Este documento presenta la distribución de Poisson. Define la distribución, da un ejemplo histórico y explica su utilidad. Luego presenta la fórmula de Poisson y resuelve dos ejercicios calculando las probabilidades de que ocurran ciertos eventos dados los parámetros provistos. Finalmente incluye un gráfico de la distribución.
Este documento presenta la distribución binomial. Explica que fue desarrollada por Jakob Bernoulli y describe experimentos con dos resultados posibles. Define la distribución binomial y sus características como el número constante de ensayos y las probabilidades constantes de cada resultado. Proporciona un ejemplo numérico y explica cómo calcular probabilidades usando la función BINOM.DIST en Excel.
Este documento proporciona una introducción al estadístico chi-cuadrado. Explica que chi-cuadrado es una prueba estadística para evaluar la relación entre dos variables categóricas mediante la comparación de frecuencias observadas y esperadas. A continuación, presenta un ejemplo numérico que ilustra los cinco pasos para aplicar la prueba chi-cuadrado y determinar si existe una relación significativa entre el distribuidor y los componentes defectuosos.
Este documento presenta el teorema de Bayes, que permite calcular probabilidades posteriores (después de realizar un experimento) basadas en probabilidades previas y la probabilidad del experimento. Luego, aplica el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una pieza defectuosa haya sido producida por diferentes marcas de computadoras, determinando que la marca Toshiba tiene la mayor probabilidad.
Este documento trata sobre la distribución normal. Define la distribución normal como una distribución continua que se extiende sobre un campo infinito definida por una función. Explica brevemente la historia y fórmula de la distribución normal. Incluye una representación gráfica de la curva normal y una tabla de áreas. Finalmente, presenta dos ejercicios resueltos como ejemplos de aplicación de la distribución normal.
Este documento trata sobre la distribución normal. Define la distribución normal como una distribución continua que se extiende sobre un campo infinito definida por una función. Explica brevemente la historia y fórmula de la distribución normal. Incluye una representación gráfica de la curva normal y una tabla de áreas. Finalmente, presenta dos ejercicios numéricos resueltos sobre la distribución normal.
Probabilidad condicional por-daimer-alex y martínsistemas2013
El documento trata sobre la probabilidad condicional. Brevemente describe la historia de la probabilidad y cómo surgió en el siglo XVII al tratar de resolver problemas relacionados con los juegos de azar. Define la probabilidad condicional como la probabilidad de que ocurra un evento A sabiendo que también sucede otro evento B. Finalmente, menciona algunas aplicaciones como la selección de semillas y la probabilidad de ganar un juego de azar.
Este documento trata sobre la distribución normal. Define la distribución normal como una distribución continua que se extiende sobre un campo infinito definida por una función. Explica brevemente la historia y fórmula de la distribución normal. Incluye una representación gráfica de la curva normal y una tabla de áreas. Finalmente, presenta dos ejercicios resueltos como ejemplos de aplicación de la distribución normal.
Este documento trata sobre la distribución hipergeométrica, una distribución de probabilidad discreta aplicable a muestreos aleatorios sin reemplazo de una población finita. Explica que la distribución hipergeométrica considera una población dividida en dos grupos, uno de "éxitos" y otro de "fracasos", y presenta la fórmula para calcular la probabilidad hipergeométrica. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la fórmula.
Este documento presenta la distribución de Poisson. Define la distribución, da un ejemplo histórico y explica su utilidad. Luego presenta la fórmula de Poisson y resuelve dos ejercicios calculando las probabilidades de que ocurran ciertos eventos dados los parámetros provistos. Finalmente incluye un gráfico de la distribución.
1. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
1
PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDADES
LINK: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDADES
CONTENIDO:
GENERALIDADES
DEFINICIONES Y CONCEPTOS
CLASES DE PROBABILIDADES
ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL ÁRBOL. ASIGNACIONES
ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS
PROBABILIDAD CONDICIONAL
TEOREMA DE BAYES
MISCELANEA DE EJERCICIOS.
COMPETENCIAS:
EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTARÁ EN CAPACIDAD DE:
COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD.
CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE ADICIÓN Y
MULTIPLICACIÓN.
DETERMINAR EL NÚMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR PROBABILIDADES QUE
INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI Y A POSTERIORI.
ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA INFERENCIA, PARA REALIZAR
ASEVERACIONES SOBRE UN ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.
CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER INTERPRETADO COMO
ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA EXPRESAR, DE ALGÚN MODO, UN GRADO DE
CREENCIA QUE UNO TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENÓMENO;
NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA EXPERIENCIA QUE SE
TENGA.
EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA POSIBILIDAD DE GANAR EL
CAMPEONATO POR PARTE DE UN EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA
LOTERIA, LAS APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.
HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL SIGLO XVII, CUANDO
ANTOINE GOMBAULD MÁS CONOCIDO COMO EL CABALLERO DE MERÉ, JUGADOR
PROFESIONAL EN LOS JUEGOS DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA
BUSCO AYUDA DE BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA
2. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
2
PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN FUNDAMENTADAS. TAMBIEN
CARDANO FUE UN JUGADOR EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.
FORMULAS DE PROBABILIDADES
EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA ESTRECHA RELACIÓN CON
LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA
ESTADISTICA DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA TOMA DE
DECISIONES.
POSIBILIDAD: COMPARA EL NÚMERO DE RESULTADOS FAVORABLES CON LOS
DESFAVORABLES = 𝑷(𝑨) =
𝑵°.𝑫𝑬 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑼𝑶𝑺𝑶𝑺
𝑵°.𝑫𝑬 𝑵𝑶 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑶𝑺𝑶𝑺
.
PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE CASOS POSIBLE
𝑷(𝑨) =
𝑵° . 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑼𝑶𝑺𝑶𝑺
𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺𝑺
.
FÓRMULA 𝑷 =
𝒎
𝒏
, Ó 𝑷 =
𝑭
𝑵
“TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN NUESTRA VIDA Y
SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIÓN, SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA
DIFICULTAD DE PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE? ME
GANARE EL BALOTO, SI LO COMPRO? SI LE HABLO A ESA PERSONA ME RESPONDERA?
TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS MÁS, TENDRÍAN EN NUESTRA MENTE UNA
POSIBLE RESPUESTA YA QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA
INTUICIÓN”.
POSIBLES DEFINICIONES
METODO AXIOMÁTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE
UN SUCESO, COMO UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE
QUE VER DIRECTAMENTE CON LA NOCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA, DONDE 0 < hi < 1.
EJEMPLO:
FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES
FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100
PROBABILDAD P= 56% (ÉXITO) q = 44%(FRACASO).
EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS MISMAS CONDICIONES.
LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO.
EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO
MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MÁS PUNTOS MUESTRALES
3. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
3
CLASES DE HECHOS:
CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES, COMO POR
EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA Y GANARSELA.
VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD Y MAYOR QUE O,5.
INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y MENOR QUE O,5.
DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LAS
MISMAS PROPORCIONES.
IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE SALIR CON ÉXITO, LA
PROBABILIDAD ES CERO.
MÉTODO EMPÍRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO, COMO AQUEL
NÚMERO AL CUAL APRÓXIMA CADA VEZ MÁS A LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA
OCURRENCIA DE UN SUCESO, CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO
QUE ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO TIENE ALGO
QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET, EN DONDE LA PROBABILIDAD DE UN
SUCESO TIENDE A ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NÚMERO DE
EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MÁS GRANDE (BUSCAR BIOGRAFÍA).
PROBABILIDAD EMPERÍCA: 𝑷 =
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑭𝑨𝑽𝑶𝑹𝑨𝑩𝑳𝑬𝑺
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺
, SE DETERMINA MEDIANTE UNA
SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE ÉXITO
DE UNA OPERACIÓN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MÉDICO.
SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN CARAS Y 2 SEAN
SELLOS, PERO AQUÍ HABLAMOS DE UNA MONEDA TEÓRICA, PERFECTAMENTE
EQUILIBRADA CAÉRA EL MISMO NÚMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5
SON CARAS Y 5 SON SELLOS. EN UN DADO TEÓRICO, SE TENDRÁ QUE LA
PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA CARA SERÁ 1/6. LA PROBABILIDAD TEÓRICA SE
APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS
QUE CUANTO MAYOR SEA EL NÚMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MÁS NOS
ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NÚMERO DE OBSERVACIONES DEBE SER LO
SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA INFERENCIA VÁLIDA PARA ELLA.
MÉTODO CLASICO: 𝑷 =
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 É𝑿𝑰𝑻𝑶𝑺
𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺
CLASES DE PROBABILIDADES:
A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE ANTEMANO, SIN NECESIDAD
DE REALIZAR EL EXPERIMENTO. EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.
A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES DEL EXPERIMENTO.
SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIÓN MUY PERSONAL DE LA OCURRENCIA
DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA SELECCIÓN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN
4. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
4
EL PRÓXIMO PARTIDO?, SARARÉ MÁS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE
ESTADISTICA?
OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVÉS DEM MÉTODO EMPÍRICO Y EL CLÁSICO, SE
TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR, DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS, ES DE
CARÁCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN UNA OBSERVACIÓN QUE NOS
DETERMINA EN QUE MOMENTO OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO,
QUE PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A OCURRIR EN EL
FUTURO.
EJEMPLOS DE PROBABILIDADES:
ELABORCIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL:
EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA EN LA FACULTAD
DE INGENIERÍAS:
SOLUCIÓN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS, BETANCOUR…
VILLEGAS}
SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS,..ENTRE OTROS.
EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN CON A: A = {ALCINA,
ALMENDRALES…}
LANZAMIENTO DE MONEDAS:
FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NÚMERO DE SUCESOS Y n ES EL TOTAL DE LOS CASOS
POSIBLES:
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TEÓRICA.
FÓRMULA: 2^1 =2 SUCESOS.
SOLUCIÓN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE ½ A CADA UNO.
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O LANZAMIENTO DE UNA
MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4
SOLUCIÓN : U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA PROBABILIDAD ES DE
1/8 = 0,125. FÓRMULA: 2^3 =8
SOLUCIÓN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.
EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS:
5. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
5
2^4 = 16
SOLUCIÓN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS,
CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC,
SCCS}.
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.
EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES CARAS ES DEL 4/16.
LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE 1/16 Y EL ÉXITO DE DTENER TODAS
CARAS ES DEL 1/16.
LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NÚMERO DE SUCESO Y n ES EL TOTAL
DE CASOS POSIBLES.
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6.
SOLUCIÓN: S = {1,2,3,4,5,6}
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O LANZAMIENTO DE DOS
DADOS:
6^2 = 36.
S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36.
2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6
3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6
4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6
5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216, CADA SUCESO
TENDRÍA P(A) =1/216.
JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:
EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS:
SOLUCIÓN:
COPAS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
OROS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
ESPADAS… AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
BASTOS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
6. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
6
CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES DE 1/10, Y CADA
UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.
EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS:
SOLUCIÓN:
DIAMANTES … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CORAZÓN … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
TRÉBOL … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
PICAS … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA ES DE 1/13, Y DE
CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.
DIAGRAMA DEL ÁRBOL:
UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS EVENTOS POSIBLES, AL
CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO MUESTRALES.
EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C
SOLUCIÓN:
C)
1/2 c
B) s
1/2 c
A) 1/2 c
s s
½ c 1/2 c
c
1/2 s 1/2 1/2 s
c
c s
7. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
7
CCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCS: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSS: ½ x ½ x ½ = 1/8.
EJERCICIO PROPUESTO: HALLE EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL PARA 4 MONEDAS.
EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C.
SOLUCIÓN:
B) C)
A) 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
CADA PUNTO MUESTRAL TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/216,
8. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
8
EJEMPLOS:
1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN
SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS SEAN
ROJAS.
2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZÓ UNA ENCUESTA ACERCA DE LA
SATISFACIÓN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU ORGANIZACIÓN FAMILIAR.
Progreso familiar Sin progreso familiar total
Satisfecho en el
trabajo
194 162 356
No satisfecho en el
trabajo
14 30 44
Total 208 192 400
HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:
A) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA PROGRESADO EN
SU VIDA FAMILIAR.
B) UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA
FAMILIAR.
C) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO
EN LA FAMILIA
D) UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO
EN LA FAMILIA.
3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA Y
ESTADISTICA REVELÓ LOS SIGUIENTES NÚMEROS DE ESTUDIANTES MATRICULADOS.
ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y FISICA 93, ALGEBRA Y
ESTADISTICA 217, FÍSICA Y ESTADISTICA 63, LAS TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE
ENTONCES DETERMINAR QUE UN ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE
MATRICULADO EN:
A) ESTADISTICA, PERO NO EN FÍSICA.
B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA.
C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.
D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.
4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE:
A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NÚMERO?
B) AMBOS CAIGAN EN NÚMERO IMPARES?
9. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
9
C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?
D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6?
E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.
5.- CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS TRES HIJOS DE UNA
FAMILIA?
ESPERANZA MATEMÁTICA
CONSISTE EN EL NÚMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA LA
PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.
FÓRMULA : E = N x p
EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CÚAL ES LA ESPERANZA
DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?
SOLUCIÓN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N = 900.
(1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250
COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE:
E = N x p = 900x(10/36) = 250.
250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA SUMA DE SUS
CARAS SEA MENOR A 6.
EJEMPLOS:
1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10 CONTIENE
$1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACÍO. CÚAL ES LA ESPERANZA AL SACAR UN
SOLO SOBRE?
2.- ASEGURO MI AUTOMÓVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE $850000. SI
LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN AÑO ES DE 0,04. CÚAL
ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AÑUAL QUE DEBO PAGAR.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS MUESTRALES, QUE
TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL
PUEDE RESULTAR TEDIOSO, SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NÚMERO DE
RESULTADOS POSIBLES O EL NÚMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA
MULTIPLICACIÓN, LA APLICACIÓN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN
EN MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL
10. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
10
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDADES
TIENEN SOLUCIÓN A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN DADO.
CÚAL ES EL NÚMRO DE PUNTOS MUESTRALES?
SOLUCIÓN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO TANTO LOSEL #
DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12
EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS MUESTRALES TENDRÁ
EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE
AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA CARTA?.
B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA ÉSTA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO SE EXTRAE
OTRA SEGUNDA CARTA?
SOLUCIÓN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVIÓ EN LA
SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL ESPACIO MUESTRAL
ES 52 x 52 = 2704.
B) EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN SE TENDRÁ 52 PUNTOS, PERO EN LA SEGUNDA NO SE
DEVOLVIÓ LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS
MUESTRALES.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ES LA BASE DE DOS FÓRMULAS, QUE NOS
PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE PUNTOS
MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES.
PERMUTACIONES
ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO. TAMBIÉN SE PUEDE CONSIDERAR COMO UN CONJUNTO DE COSAS
EXTRAÍDAS EN UN ORDEN ESPECÍFICO Y SIN REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O
MAYOR.
FÓRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! Ó nPn = n!, SE LEE “PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS
DE n EN n.
EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NÚMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR CIFRAS DE 4
DIGITOS.
SOLUCIÓN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24
ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132
1243 2143 3124 4123
1324 2314 3214 4213
11. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
11
1342 2341 3241 4231
1432 2413 3412 4312
1423 2431 3421 4321.
EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.
EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE COLOCADOS 10
PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . DÉ CUÁNTAS MANERAS SE PODRÁN
COLOCAR?
SOLUCIÓN:
10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800 .
EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUÁNTAS PALABRAS PUDEN
FORMAR?
SOLUCIÓN:
PALO APLO LPAO OPAL
PAOL APOL LPOA OPLA
PLAO AOPL LOPA OLAP
PLOA AOLP LOAP OLPA
POLA ALOP LAPO OALP
POAL ALPO LAOP OAPL
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA CASA
TIENE LAS PERMUTACIONES :
CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC
CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA
FÓRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NÚMERO DE
REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.
LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE VARIACIONES.
EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3, r3 = 2
FÓRMULA: Pn(r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :
12. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
12
Pn(r:2,3,2,) = 8!/2!3!2! = 1680.
FÓRMULA GENERAL: 𝐧𝐏𝐫 = 𝐧𝐕𝐫 =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!
.
EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4:
SOLUCIÓN: 𝟒𝐏𝟑 = 𝟒𝐕𝟑 =
𝟒!
(𝟒−𝟑)!
= 𝟐𝟒.
EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR GRUPOS DE 5 . CUANTOS
SE FORMARÍAN:
𝟖𝑷𝟓 =
𝟖!
(𝟖−𝟓)!
= 𝟔𝟕𝟐𝟎 𝑴𝑨𝑵𝑬𝑹𝑨𝑺.
COMBINACIONES:
SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE DISPONGAN.
FÓRMULA: 𝐧𝐂𝐫 =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!𝒓!
EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS, CUANTAS MANERAS SE
DISPONDRÍAN.
SOLUCIÓN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB.
𝟒𝑪𝟒 =
𝟒!
(𝟒 − 𝟒)! 𝟒!
= 𝟏
EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS EN DOS, SE TENDRÍA:
AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA, LUEGO : 4C2
V= 6.
PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRÍA : 4C3 = 4.
EJERCICIOS (PÁGINA 251):
55.- CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 DÍGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS DIGITOS 1, 3, 5, 7,
8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MÁS DE UNA VEZ?
59.- DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR UN EXAMEN DE 5
PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA A 3 DE ELLAS?
63.- CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS DE LA PALABRA
BARRANQUILLA?
68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUÉS DE SENTARSE ÉL. DE
CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SENTARSE LOS AMIGOS?
13. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
13
72.- DÉ CUÁNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5 HIJOS, SI DESEA QUE
DOS SEAN NIÑAS Y TRES NIÑOS?
76.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN FORMAR A PARTIR DE
UN GRUPO DE 12 PERSONAS?
78.- CUÁNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA BARAJA DE 40
CARTAS?
79.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE ENTRE 7 HOMBRES Y 4
MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A) 3 HOMBRES Y 2 MUJERES
B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER HOMBRES.
ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.
ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADES.
CLASES DE SUCESOS:
SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA, APARICIÓN DE CARA
O SELLO.
SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE
COMPLEMENTAN BAÁSICAMENTE.
SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS.
SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA CARA
SUPERIOR 8.
SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA, APAREZCA
SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS.
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN DOS O UN
SEIS.
SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN EL PRIMERO
UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS.
SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA OCURRENCIA
DEL OTRO.
REGLA DE LA ADICIÓN:
A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE OCURRIR EN
UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. SE DENOMINA
PROBABILIDAD ADITIVA Y SERÁ IGUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA
SUCESO.
FÓRMULA: P = p1 + p2 + P3 + . . . + pn
14. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
14
MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO O EVENTO
PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMÁS NO SE PUEDEN PRESENTAR AL MISMO
TIEMPO, LA FÓRMULA ANTERIOR SE PUEDE EXPRESAR, ASÍ:
P(A o B) = P(A) + P(B),
P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),
P(A U B) = P(A) + P(B),
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO UNA SOLA
CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS APARECE, QUEDA
EXCLUIDO EL OTRO.
SOLUCIÓN:
𝑷(𝑨) =
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
𝑨𝒔 , 𝑷(𝑩) =
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒚 .
P(A o B) = P(A) + P (B) =
𝟏
𝟏𝟎
+
𝟏
𝟏𝟎
=
𝟐
𝟏𝟎
= 𝟏/𝟓.
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN EL LANZAMIENTO DE
UN DADO.
SOLUCIÓN: 𝑷(𝑨) =
𝟏
𝟔
( 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝟐), 𝑷(𝑩) =
𝟏
𝟔
( 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝟓)
P(A o B) = P(A) + P (B) =
𝟏
𝟔
+
𝟏
𝟔
=
𝟐
𝟔
= 𝟏/𝟑.
EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.
B) SUCESOS COMPATIBLES:
DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO NO
IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.
FÓRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B).
EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA DE UNA BARAJA
DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.
LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA PROBABILIDAD
QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;
LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40.
P(A o B) =
𝟒
𝟒𝟎
+
𝟏𝟎
𝟒𝟎
−
𝟏
𝟒𝟎
=
𝟏𝟑
𝟒𝟎
= 𝟎, 𝟑𝟐𝟓 = 𝟑𝟐, 𝟓%.
15. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
15
EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL NÚMRO
OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE POR 3. CUÁL ES LA PROBABILIDAD QUE
UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.
SOLUCIÓN: QUE APAREZCA UN NÚMERO PAR : A = {2,4,6},
P(A) = 3/6.
QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6,
AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:
P(AUB) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.
NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA PROBABILIDAD
REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y LA PROBABILIDAD DE
CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDERÁ A UN VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A
1: 0 ≤ P(A) ≤ Y P(Ac) = 1 – P(A).
NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE CONSIDERA LA
TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES DENOMINA
COLECTIVOS EXHAUSTIVOS,
POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O
CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 CARTAS: 52/52 = 1.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
C) SUCESOS INDEPENDIENTES:
ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIÓN DE NINGUNO
DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIÓN DEL OTRO. EN CASO
CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.
EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO AFECTA AL
OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.
FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn,
P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)
EJEMPLO 1.- QUÉ PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS Reyes SACANDO UNA
CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA SEGUNDA BARAJA?
SOLUCIÓN: P(A y B) = P(A) x P(B)
P =
𝟒
𝟒𝟎
𝒙
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏𝟔
𝟏𝟔𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏%
17. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
17
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO SUCESIVAMENTE
TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA (40 cartas), SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN
REPETICIÓN), EN EL MONTÓN O MAZO.
SOLUCIÓN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38
P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740
INTERPRETACIÓN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER EXPERIMENTO
EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL SEGUNDO EXPERIMENTO SE
TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y
38 CARTAS DEL JUEGO.
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA ZOTA(ALFIL),
SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIÓN, DE UNA BARAJA DE 40
CARTAS.
SOLUCIÓN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 = 4/40,
EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,
TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38,
DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.
SI EXISTIERA REPOSICIÓN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NÚMERO DE CARTAS
DEL JUEGO ES CONSTANTE.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ES AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN EVENTO O
SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.
LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 Ó MAS EVENTOS EN
FORMA SIMULTANEA.
TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA ESTADISTICA. NO HAY
QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES MARGINALES, CORRESPONDIENTE A
UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A
LA PROBABILIDAD DE UN SOLO EVENTO
EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B SE CALCULA
MEDIANTE LA FÓRMULA:
P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),
DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FÓRMULA PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
DE UN EVENTO:
18. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
18
𝐏(𝑩/𝑨) =
𝑷(𝑨𝒚𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
𝐏(𝑨/𝑩) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑩
,
𝐏(𝐀𝐧𝐁) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨)
𝐏(𝑨𝒏𝑩) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑨/𝑩)
SIMBOLOGÍA MÁS USADA:
P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.(PROB. MARGINAL)
P(A´) = P(Ac) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.(C0MPLEMENTO)
P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE
A DADO B.
P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE
B DADO A.
P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B Ó PROBABILIDAD DE LA
INTERSECCIÓN DE A Y B Ó PROBABILIDAD CONJUNTA DE A Y B.
P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O AMBOS Ó PROBABILIDAD
DE LA UNIÓN A Y B.
NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS FÓRMULAS DE LOS
SUCESOS ANTES VISTOS.
EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN VEHÍCULO PROPIO, EL
20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CÚAL ES LA
PROBABILIDAD DE TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?
SOLUCIÓN:
A: PROPIETARIO DE VEHÍCULO
A´ : NO PROPIETARIO DE VEHÍCULO
B : PROPIETARIO DE VIVIENDA
B´: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA.
B B´ TOTAL
A 0,12p(AyB) 0,06 0,18 p(A)
A´ 0,08 0,74 0,82
TOTAL 0,20 0,80 1,00
19. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
19
P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.
LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA, SI TIENE VEHÍCULOS PRESENTAN UNA
PROBABILIDAD DE 66%.
AL INTERPRETAR MÁS EL EJERCICIO, SE TIENE: HAGA EL CÁLCULO Y COMPRUEBELO
(aplique la fórmula):
2) NO TIENEN VEHICULO, SI NO TIENE VIVIENDA PROPIA: 93%
3 TIENEN VEHÍCULO,SI NO TIENEN VIVIENDA: 8%
4) NO TIENEN VIVIENDA, SI NO TIENEN VEHICULO: 90%
5) CALCULAR OTRAS.
EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL 70% DE LOS ALUMNOS. EL 70%
SON MUJERES Y EL 18% SON ESTUDIANTES DE ECONOMÍA. SI ELEGIMOS UN
ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTÉ
ESTUDIANDO ECONOMÍA? (Hacer la tabla)
SOLUCIÓN
𝐏(𝑩/𝑨)) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
= =
𝟎. 𝟏𝟖
𝟎, 𝟕𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟓𝟕𝟏 = 𝟐𝟓, 𝟕𝟏%
HALLE OTRAS PROBALIDADES Y SI ES POSIBLE TABULELOS DATOS
EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIÓN SE ENCONTRÓ QIE EL 10% DE LOS
CONDUCTORES DE TAXI EN LA CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS
UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI SON
HOMBRES. CÚAL ES LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI AL AZAR,
QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA ADEMÁS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS?
(Hacer la tabla)
SOLUCIÓN:
𝑷(𝑩/𝑨) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝑶, 𝟏𝟎
𝟎, 𝟖𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟏𝟐, 𝟓%.
TAREA CONSULTE (MEJORE LA NOTA EL TRABAJO, CONDICIONES ACORDADS CON EL
DOCENTE ):
A) DIAGRAMA DEL ARBOL
B) FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y EJEMPLOS.
C) TEOREMA DE BAYES Y EJEMPLOS.
21. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
21
TEOREMA DE BAYES
EL MATEMÁTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763) EN EL SIGLO XVVIII INTENTÓ
DESARROLLAR UNA FÓRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA EXISTENCIA
DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS ERRENALES. MÁS TARDE FUE LAPLACE QUIEN
TERMINÓ SE DESARROLLO DENOMINANDOLO “TEOREMA DE BAYES”
ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA
PROBABILIDAD A PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIÓN EN ANÁLISIS
RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN DE UNA EMPRESA.
FÓRMULA GENERAL:
𝑷(𝑨𝒊/𝑩) =
𝑷(𝑨𝒊) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝒊)
𝑷(𝑨𝟏) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝟐)+ .. . +𝑷(𝑨𝒏) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝒏)
ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO EVENTO, QUE DEPENDE DE LA
OCURRENCIA DE LOS EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN CONJUNTO DE
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO
A CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B) CORRESPONDA AL
PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B,
DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL EVENTO B CON RESPECTO A CADA
UNO DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULÑA GENERAL
QUEDARÍA, ASÍ:
𝑷(𝑨𝒊/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬𝟏/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬𝟐/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬𝟑/𝑪)
EJEMPLO1.- 4 MÁQUINAS A, B, C, Y D, POR ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE
LA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA MAQUINA, DURANTE UN DETERMINADO
PERÍODO ( 1 HORA) ASÍ: A, UNA PRODUCCIÓN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE 700
UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C
EL 15%, Y D EL 35%.
22. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
22
MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA DETECTADO QUE EL PORCENTAJE
DE UNIDADES DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS MÁQUINAS ES DE
4%, 3%, 6% Y 5%, RESPECTIVAMNETE.
SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL DEL LOTE DETERMINADO.
A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CÜAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
SALGA DEFECTUOSA.
SOLUCIÓN: E“LA PEIEZA DEFECTUOSA” Y N “LA PIEZA NO DEFECTUOSA”: PARA
CALCULARLA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR
LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE LA FÓRMULA:
P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D)
PARA APLICAR LA FÓRMULA SE TIENE:
P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D) = 0,35
P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D) = 0,05,
DE DONDE:
P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) = 0,20*0,03 = 0,006
P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) = 0,35*0,05 = O,O175
LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SERÁ:
=𝑷(𝑬) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬/𝑪 ) + 𝐏(𝐃) ∗ 𝐏(𝐄/𝐃)
=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445
LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA ES DE 4,45%
B) CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA
A, O POR LA MÁQUINA B, O POR LA MÁQUINA C O POR LA MÁQUINA D.
SOLUCIÓN:
LA FÓRMULA SE PARA LA MÁQUINA ES:
𝑷(𝑨/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷 (
𝑬
𝑨
) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬/𝑪 ) + 𝐏(𝐃) ∗ 𝐏(𝐄/𝐃) )
=
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒+𝟎,𝟐∗𝟎,𝟎𝟑+𝟎,𝟏𝟓∗𝟎,𝟎𝟔+𝟎,𝟎𝟑𝟓 +𝟎,𝟎𝟓
23. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
23
=
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟔𝟕 = 𝟐𝟗, 𝟔𝟕%
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA A ES DE 29,67%.
P(B/E) =
𝟎,𝟐𝟎 ∗ 𝟎,𝟎𝟑
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟒𝟖 = 𝟏𝟑, 𝟒𝟖%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA B, ES DE 13,48%.
P(C/E) =
𝟎,𝟏𝟓 ∗ 𝟎,𝟔𝟑
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟐%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA C, ES DE 20,22%.
P(D/E) =
𝟎,𝟑𝟓 ∗ 𝟎,𝟎𝟓
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟑 = 𝟑𝟗, 𝟑𝟑%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA D, ES DE 39,33%.
UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL EN DOS ETAPAS:
0.04 P= 0,30 *0,04 = 0,012
0,96
0,30 0,03
P=0,20 * 0,03 = 0,06
P(A) 0,20 0,20 0,97
P(B) 0,15 0,06
P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 = 0,09
P(D) 0,35 0,05
0,95
P=0,35*0,05 =0,0175
EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y
2 ROJAS; LA SEGUNDA 4 AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA
UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE RESULTA SER AZUL.
24. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
24
CON LO ANTERIOR INFORMACIÓN. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE
ESCOGIDO SEA EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.
SOLUCIÓN:
P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3
P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = ½ P(E/C) = 6/6 = 1.
LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES:
𝑷(𝑨/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬𝟏/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬𝟐/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬𝟑/𝑪)
𝑷 (
𝑨
𝑬
) =
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
)
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
) + (
𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟐
) + (
𝟏
𝟑
)(𝟏)
=
𝟏
𝟑
= 𝟎, 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑%
LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES :
𝑷(𝑩/𝑬) =
𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑩)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬𝟏/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬𝟐/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬𝟑/𝑪)
𝑷(𝑨/𝑬) =
(
𝟏
𝟑
)((𝟏)
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
) + (
𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟐
) + (
𝟏
𝟑
)(𝟏)
=
𝟒
𝟗
= 𝟎, 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒%
EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA FOLLETOS PROMOCIONANDO SU
LIBRO DE ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE ENSEÑAN LA ASIGNATURA
EN LAS UNIVERSIDADES QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIÓN. UN MES
DESPUÉS SE CONSTATÓ QUE EL 46% QUE RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL
LIBRO Y UN 16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO ADOPTARON. CÚAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO DEL
FOLLETO DE PROMOCIÓN.
0,46
P(A) = 0,72
0,54 𝑷(𝑨) =
𝟎,𝟕𝟐∗𝟎,𝟒𝟔
𝟎,𝟕𝟐∗𝟎,𝟒𝟔+𝟎,𝟐𝟖+𝟎,𝟏𝟔
25. Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
25
0,16 =0,8809 = 88,09%
P(B) 0 0,28
0,84
LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%.
BIBLIOGRAFIA:MARTINEZ B. Ciro. Estadística y muestreo paginas 231-280.