Probabilidades guia 1-1 (2)

Contigo es posible
“La Universidad un espacio de desarrollo integral”
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PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
PROBABILIDADES
LINK: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDADES
CONTENIDO:
 GENERALIDADES
 DEFINICIONES Y CONCEPTOS
 CLASES DE PROBABILIDADES
 ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL ÁRBOL. ASIGNACIONES
 ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
 REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS
 PROBABILIDAD CONDICIONAL
 TEOREMA DE BAYES
 MISCELANEA DE EJERCICIOS.
COMPETENCIAS:
EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTARÁ EN CAPACIDAD DE:
 COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD.
 CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE ADICIÓN Y
MULTIPLICACIÓN.
 DETERMINAR EL NÚMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
 UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR PROBABILIDADES QUE
INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI Y A POSTERIORI.
 ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA INFERENCIA, PARA REALIZAR
ASEVERACIONES SOBRE UN ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.
CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER INTERPRETADO COMO
ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA EXPRESAR, DE ALGÚN MODO, UN GRADO DE
CREENCIA QUE UNO TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENÓMENO;
NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA EXPERIENCIA QUE SE
TENGA.
EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA POSIBILIDAD DE GANAR EL
CAMPEONATO POR PARTE DE UN EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA
LOTERIA, LAS APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.
HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL SIGLO XVII, CUANDO
ANTOINE GOMBAULD MÁS CONOCIDO COMO EL CABALLERO DE MERÉ, JUGADOR
PROFESIONAL EN LOS JUEGOS DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA
BUSCO AYUDA DE BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA

Contigo es posible
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PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN FUNDAMENTADAS. TAMBIEN
CARDANO FUE UN JUGADOR EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.
FORMULAS DE PROBABILIDADES
EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA ESTRECHA RELACIÓN CON
LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA
ESTADISTICA DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA TOMA DE
DECISIONES.
POSIBILIDAD: COMPARA EL NÚMERO DE RESULTADOS FAVORABLES CON LOS
DESFAVORABLES = 𝑷(𝑨) =
𝑵°.𝑫𝑬 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑼𝑶𝑺𝑶𝑺
𝑵°.𝑫𝑬 𝑵𝑶 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑶𝑺𝑶𝑺
.
PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE CASOS POSIBLE
𝑷(𝑨) =
𝑵° . 𝑫𝑬𝑭𝑬𝑪𝑻𝑼𝑶𝑺𝑶𝑺
𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺𝑺
.
FÓRMULA 𝑷 =
𝒎
𝒏
, Ó 𝑷 =
𝑭
𝑵
“TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN NUESTRA VIDA Y
SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIÓN, SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA
DIFICULTAD DE PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE? ME
GANARE EL BALOTO, SI LO COMPRO? SI LE HABLO A ESA PERSONA ME RESPONDERA?
TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS MÁS, TENDRÍAN EN NUESTRA MENTE UNA
POSIBLE RESPUESTA YA QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA
INTUICIÓN”.
POSIBLES DEFINICIONES
METODO AXIOMÁTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE
UN SUCESO, COMO UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE
QUE VER DIRECTAMENTE CON LA NOCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA, DONDE 0 < hi < 1.
EJEMPLO:
FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES
FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100
PROBABILDAD P= 56% (ÉXITO) q = 44%(FRACASO).
EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS MISMAS CONDICIONES.
LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO.
EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO
MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MÁS PUNTOS MUESTRALES

Contigo es posible
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CLASES DE HECHOS:
CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES, COMO POR
EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA Y GANARSELA.
VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD Y MAYOR QUE O,5.
INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y MENOR QUE O,5.
DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LAS
MISMAS PROPORCIONES.
IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE SALIR CON ÉXITO, LA
PROBABILIDAD ES CERO.
MÉTODO EMPÍRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO, COMO AQUEL
NÚMERO AL CUAL APRÓXIMA CADA VEZ MÁS A LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA
OCURRENCIA DE UN SUCESO, CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO
QUE ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO TIENE ALGO
QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET, EN DONDE LA PROBABILIDAD DE UN
SUCESO TIENDE A ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NÚMERO DE
EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MÁS GRANDE (BUSCAR BIOGRAFÍA).
PROBABILIDAD EMPERÍCA: 𝑷 =
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑭𝑨𝑽𝑶𝑹𝑨𝑩𝑳𝑬𝑺
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺
, SE DETERMINA MEDIANTE UNA
SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE ÉXITO
DE UNA OPERACIÓN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MÉDICO.
SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN CARAS Y 2 SEAN
SELLOS, PERO AQUÍ HABLAMOS DE UNA MONEDA TEÓRICA, PERFECTAMENTE
EQUILIBRADA CAÉRA EL MISMO NÚMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5
SON CARAS Y 5 SON SELLOS. EN UN DADO TEÓRICO, SE TENDRÁ QUE LA
PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA CARA SERÁ 1/6. LA PROBABILIDAD TEÓRICA SE
APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS
QUE CUANTO MAYOR SEA EL NÚMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MÁS NOS
ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NÚMERO DE OBSERVACIONES DEBE SER LO
SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA INFERENCIA VÁLIDA PARA ELLA.
MÉTODO CLASICO: 𝑷 =
𝑵Ú𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 É𝑿𝑰𝑻𝑶𝑺
𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 𝑷𝑶𝑺𝑰𝑩𝑳𝑬𝑺
CLASES DE PROBABILIDADES:
A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE ANTEMANO, SIN NECESIDAD
DE REALIZAR EL EXPERIMENTO. EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.
A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES DEL EXPERIMENTO.
SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIÓN MUY PERSONAL DE LA OCURRENCIA
DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA SELECCIÓN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN

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EL PRÓXIMO PARTIDO?, SARARÉ MÁS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE
ESTADISTICA?
OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVÉS DEM MÉTODO EMPÍRICO Y EL CLÁSICO, SE
TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR, DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS, ES DE
CARÁCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN UNA OBSERVACIÓN QUE NOS
DETERMINA EN QUE MOMENTO OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO,
QUE PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A OCURRIR EN EL
FUTURO.
EJEMPLOS DE PROBABILIDADES:
ELABORCIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL:
EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA EN LA FACULTAD
DE INGENIERÍAS:
SOLUCIÓN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS, BETANCOUR…
VILLEGAS}
SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS,..ENTRE OTROS.
EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN CON A: A = {ALCINA,
ALMENDRALES…}
LANZAMIENTO DE MONEDAS:
FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NÚMERO DE SUCESOS Y n ES EL TOTAL DE LOS CASOS
POSIBLES:
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TEÓRICA.
FÓRMULA: 2^1 =2 SUCESOS.
SOLUCIÓN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE ½ A CADA UNO.
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O LANZAMIENTO DE UNA
MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4
SOLUCIÓN : U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA PROBABILIDAD ES DE
1/8 = 0,125. FÓRMULA: 2^3 =8
SOLUCIÓN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.
EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS:

Contigo es posible
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2^4 = 16
SOLUCIÓN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS,
CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC,
SCCS}.
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.
EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES CARAS ES DEL 4/16.
LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE 1/16 Y EL ÉXITO DE DTENER TODAS
CARAS ES DEL 1/16.
LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NÚMERO DE SUCESO Y n ES EL TOTAL
DE CASOS POSIBLES.
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6.
SOLUCIÓN: S = {1,2,3,4,5,6}
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O LANZAMIENTO DE DOS
DADOS:
6^2 = 36.
S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36.
2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6
3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6
4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6
5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216, CADA SUCESO
TENDRÍA P(A) =1/216.
JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:
EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS:
SOLUCIÓN:
COPAS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
OROS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
ESPADAS… AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
BASTOS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

Contigo es posible
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CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES DE 1/10, Y CADA
UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.
EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS:
SOLUCIÓN:
DIAMANTES … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CORAZÓN … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
TRÉBOL … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
PICAS … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA ES DE 1/13, Y DE
CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.
DIAGRAMA DEL ÁRBOL:
UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS EVENTOS POSIBLES, AL
CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO MUESTRALES.
EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C
SOLUCIÓN:
C)
1/2 c
B) s
1/2 c
A) 1/2 c
s s
½ c 1/2 c
c
1/2 s 1/2 1/2 s
c
c s

Contigo es posible
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CCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCS: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSS: ½ x ½ x ½ = 1/8.
EJERCICIO PROPUESTO: HALLE EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL PARA 4 MONEDAS.
EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C.
SOLUCIÓN:
B) C)
A) 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
CADA PUNTO MUESTRAL TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/216,

Contigo es posible
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EJEMPLOS:
1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN
SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS SEAN
ROJAS.
2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZÓ UNA ENCUESTA ACERCA DE LA
SATISFACIÓN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU ORGANIZACIÓN FAMILIAR.
Progreso familiar Sin progreso familiar total
Satisfecho en el
trabajo
194 162 356
No satisfecho en el
trabajo
14 30 44
Total 208 192 400
HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:
A) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA PROGRESADO EN
SU VIDA FAMILIAR.
B) UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA
FAMILIAR.
C) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO
EN LA FAMILIA
D) UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO
EN LA FAMILIA.
3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA Y
ESTADISTICA REVELÓ LOS SIGUIENTES NÚMEROS DE ESTUDIANTES MATRICULADOS.
ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y FISICA 93, ALGEBRA Y
ESTADISTICA 217, FÍSICA Y ESTADISTICA 63, LAS TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE
ENTONCES DETERMINAR QUE UN ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE
MATRICULADO EN:
A) ESTADISTICA, PERO NO EN FÍSICA.
B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA.
C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.
D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.
4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE:
A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NÚMERO?
B) AMBOS CAIGAN EN NÚMERO IMPARES?

Contigo es posible
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C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?
D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6?
E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.
5.- CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS TRES HIJOS DE UNA
FAMILIA?
ESPERANZA MATEMÁTICA
CONSISTE EN EL NÚMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA LA
PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.
FÓRMULA : E = N x p
EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CÚAL ES LA ESPERANZA
DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?
SOLUCIÓN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N = 900.
(1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250
COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE:
E = N x p = 900x(10/36) = 250.
250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA SUMA DE SUS
CARAS SEA MENOR A 6.
EJEMPLOS:
1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10 CONTIENE
$1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACÍO. CÚAL ES LA ESPERANZA AL SACAR UN
SOLO SOBRE?
2.- ASEGURO MI AUTOMÓVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE $850000. SI
LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN AÑO ES DE 0,04. CÚAL
ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AÑUAL QUE DEBO PAGAR.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS MUESTRALES, QUE
TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL
PUEDE RESULTAR TEDIOSO, SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NÚMERO DE
RESULTADOS POSIBLES O EL NÚMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA
MULTIPLICACIÓN, LA APLICACIÓN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN
EN MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL

Contigo es posible
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REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDADES
TIENEN SOLUCIÓN A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN DADO.
CÚAL ES EL NÚMRO DE PUNTOS MUESTRALES?
SOLUCIÓN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO TANTO LOSEL #
DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12
EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS MUESTRALES TENDRÁ
EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE
AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA CARTA?.
B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA ÉSTA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO SE EXTRAE
OTRA SEGUNDA CARTA?
SOLUCIÓN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVIÓ EN LA
SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL ESPACIO MUESTRAL
ES 52 x 52 = 2704.
B) EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN SE TENDRÁ 52 PUNTOS, PERO EN LA SEGUNDA NO SE
DEVOLVIÓ LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS
MUESTRALES.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ES LA BASE DE DOS FÓRMULAS, QUE NOS
PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE PUNTOS
MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES.
PERMUTACIONES
ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO. TAMBIÉN SE PUEDE CONSIDERAR COMO UN CONJUNTO DE COSAS
EXTRAÍDAS EN UN ORDEN ESPECÍFICO Y SIN REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O
MAYOR.
FÓRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! Ó nPn = n!, SE LEE “PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS
DE n EN n.
EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NÚMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR CIFRAS DE 4
DIGITOS.
SOLUCIÓN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24
ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132
1243 2143 3124 4123
1324 2314 3214 4213

Contigo es posible
11
1342 2341 3241 4231
1432 2413 3412 4312
1423 2431 3421 4321.
EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.
EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE COLOCADOS 10
PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . DÉ CUÁNTAS MANERAS SE PODRÁN
COLOCAR?
SOLUCIÓN:
10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800 .
EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUÁNTAS PALABRAS PUDEN
FORMAR?
SOLUCIÓN:
PALO APLO LPAO OPAL
PAOL APOL LPOA OPLA
PLAO AOPL LOPA OLAP
PLOA AOLP LOAP OLPA
POLA ALOP LAPO OALP
POAL ALPO LAOP OAPL
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA CASA
TIENE LAS PERMUTACIONES :
CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC
CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA
FÓRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NÚMERO DE
REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.
LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE VARIACIONES.
EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3, r3 = 2
FÓRMULA: Pn(r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :

Contigo es posible
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Pn(r:2,3,2,) = 8!/2!3!2! = 1680.
FÓRMULA GENERAL: 𝐧𝐏𝐫 = 𝐧𝐕𝐫 =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!
.
EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4:
SOLUCIÓN: 𝟒𝐏𝟑 = 𝟒𝐕𝟑 =
𝟒!
(𝟒−𝟑)!
= 𝟐𝟒.
EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR GRUPOS DE 5 . CUANTOS
SE FORMARÍAN:
𝟖𝑷𝟓 =
𝟖!
(𝟖−𝟓)!
= 𝟔𝟕𝟐𝟎 𝑴𝑨𝑵𝑬𝑹𝑨𝑺.
COMBINACIONES:
SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE DISPONGAN.
FÓRMULA: 𝐧𝐂𝐫 =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!𝒓!
EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS, CUANTAS MANERAS SE
DISPONDRÍAN.
SOLUCIÓN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB.
𝟒𝑪𝟒 =
𝟒!
(𝟒 − 𝟒)! 𝟒!
= 𝟏
EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS EN DOS, SE TENDRÍA:
AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA, LUEGO : 4C2
V= 6.
PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRÍA : 4C3 = 4.
EJERCICIOS (PÁGINA 251):
55.- CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 DÍGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS DIGITOS 1, 3, 5, 7,
8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MÁS DE UNA VEZ?
59.- DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR UN EXAMEN DE 5
PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA A 3 DE ELLAS?
63.- CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS DE LA PALABRA
BARRANQUILLA?
68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUÉS DE SENTARSE ÉL. DE
CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SENTARSE LOS AMIGOS?

Contigo es posible
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72.- DÉ CUÁNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5 HIJOS, SI DESEA QUE
DOS SEAN NIÑAS Y TRES NIÑOS?
76.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN FORMAR A PARTIR DE
UN GRUPO DE 12 PERSONAS?
78.- CUÁNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA BARAJA DE 40
CARTAS?
79.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE ENTRE 7 HOMBRES Y 4
MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A) 3 HOMBRES Y 2 MUJERES
B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER HOMBRES.
ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.
ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADES.
CLASES DE SUCESOS:
 SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA, APARICIÓN DE CARA
O SELLO.
 SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE
COMPLEMENTAN BAÁSICAMENTE.
 SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS.
 SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA CARA
SUPERIOR 8.
 SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA, APAREZCA
SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS.
 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN DOS O UN
SEIS.
 SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN EL PRIMERO
UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS.
 SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA OCURRENCIA
DEL OTRO.
REGLA DE LA ADICIÓN:
A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE OCURRIR EN
UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. SE DENOMINA
PROBABILIDAD ADITIVA Y SERÁ IGUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA
SUCESO.
FÓRMULA: P = p1 + p2 + P3 + . . . + pn

Contigo es posible
14
MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO O EVENTO
PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMÁS NO SE PUEDEN PRESENTAR AL MISMO
TIEMPO, LA FÓRMULA ANTERIOR SE PUEDE EXPRESAR, ASÍ:
P(A o B) = P(A) + P(B),
P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),
P(A U B) = P(A) + P(B),
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO UNA SOLA
CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS APARECE, QUEDA
EXCLUIDO EL OTRO.
SOLUCIÓN:
𝑷(𝑨) =
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
𝑨𝒔 , 𝑷(𝑩) =
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒚 .
P(A o B) = P(A) + P (B) =
𝟏
𝟏𝟎
+
𝟏
𝟏𝟎
=
𝟐
𝟏𝟎
= 𝟏/𝟓.
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN EL LANZAMIENTO DE
UN DADO.
SOLUCIÓN: 𝑷(𝑨) =
𝟏
𝟔
( 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝟐), 𝑷(𝑩) =
𝟏
𝟔
( 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝟓)
P(A o B) = P(A) + P (B) =
𝟏
𝟔
+
𝟏
𝟔
=
𝟐
𝟔
= 𝟏/𝟑.
EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.
B) SUCESOS COMPATIBLES:
DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO NO
IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.
FÓRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B).
EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA DE UNA BARAJA
DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.
LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA PROBABILIDAD
QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;
LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40.
P(A o B) =
𝟒
𝟒𝟎
+
𝟏𝟎
𝟒𝟎
−
𝟏
𝟒𝟎
=
𝟏𝟑
𝟒𝟎
= 𝟎, 𝟑𝟐𝟓 = 𝟑𝟐, 𝟓%.

Contigo es posible
15
EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL NÚMRO
OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE POR 3. CUÁL ES LA PROBABILIDAD QUE
UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.
SOLUCIÓN: QUE APAREZCA UN NÚMERO PAR : A = {2,4,6},
P(A) = 3/6.
QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6,
AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:
P(AUB) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.
NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA PROBABILIDAD
REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y LA PROBABILIDAD DE
CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDERÁ A UN VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A
1: 0 ≤ P(A) ≤ Y P(Ac) = 1 – P(A).
NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE CONSIDERA LA
TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES DENOMINA
COLECTIVOS EXHAUSTIVOS,
POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O
CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 CARTAS: 52/52 = 1.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
C) SUCESOS INDEPENDIENTES:
ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIÓN DE NINGUNO
DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIÓN DEL OTRO. EN CASO
CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.
EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO AFECTA AL
OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.
FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn,
P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)
EJEMPLO 1.- QUÉ PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS Reyes SACANDO UNA
CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA SEGUNDA BARAJA?
SOLUCIÓN: P(A y B) = P(A) x P(B)
P =
𝟒
𝟒𝟎
𝒙
𝟒
𝟒𝟎
=
𝟏𝟔
𝟏𝟔𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏%

Contigo es posible
16
EJEMPLO 2.- AL LANZAR DOS DADOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS
CINCO?
p1 = 1/6 ( 5 en el primer dado), p2 = 1/6 ( 5 en segundo dado)
P = 1/6 X 1/6 = 1/ 36.
EJEMPLO 3.- SE DISPONEN DE TRES BARAJAS DE 40 CARTAS CADA UNA. SE DESEA
EXTRAER TRES CARTAS UNA DE CADA BARAJA. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER UN As Y UN Rey DE OROS Y UN SEIS DE COPAS?
SOLUCIÓN:
EN LA PRIMERA BARAJA SE TIENEN 4 ASES, SIENDO P(A) = 4/40
EN LA SEGUNDA BARAJA SE TIENE UN REY DE OROS P(B) = 1/40
Y EN LA TERCERA BARAJA HAY UN SEIS DE COPAS P© = 1/40
SE OBSERAV QUE LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES, PUES NINGUNO DE ELLOS
SE VE AFECTADO POR LA APARICIÓN DEL OTRO, EN ESTOS CASOS APLICAMOS LA
REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIÓN:
P(A y B y C) = 4/40 x 1/40 x 1/40 = 1/16000 = 0,0000625= 0,00625.
DIFERENCIAS ENTRE LOS SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Y LOS
INDEPENDIENTES:
A) EN EL PRIMERO SE TIENE UN SOLO SISTEMA (DADO, MOENA O CARTA) Y EL
SEGUNDO SE TIENE DOS O MÁS SISTEMAS.
B) EN EL PRIMERO SE EXTRAE UN SOLO ELEMENTO, SE ESPERA LA
PRESENTACIÓN DE UN SUCESO, EN EL SEGUNDO SE ESPERA LA PRESENTACIÓN
DE DOS O MAS SUCESOS.
C) EN EL PRIMERO SE UTILIZA LA CONJUCION “O” (UNIÓN) Y EL SEGUNDO SE
EMPLEA LA CONJUCIÓN “Y”.
D) SUCESOS DEPENDIENTES:
SUCESOS DEPENDIENTES O EVENTOS COMPUESTOS, ES CUANDO LA OCURRENCIA O
NO OCURRENCIA DE UN EVENTO EN CUALQUIER PRUEBA AFECTA LA PROBABILIDAD
DE OTROS EVENTOS EN OTRAS PRUEBAS, ES DECIR QUE LA PROBABILIDAD DE
SEGUNDO DEPENDE DEL PRIMER SUCSO, EL DEL TERCERO DE LO QUE HAYA SUCEDIDO
EN EL PRIMERO Y SEGUNDO Y ASÍ SUCESIVAMENTE.
FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn

Contigo es posible
17
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO SUCESIVAMENTE
TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA (40 cartas), SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN
REPETICIÓN), EN EL MONTÓN O MAZO.
SOLUCIÓN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38
P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740
INTERPRETACIÓN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER EXPERIMENTO
EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL SEGUNDO EXPERIMENTO SE
TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y
38 CARTAS DEL JUEGO.
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA ZOTA(ALFIL),
SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIÓN, DE UNA BARAJA DE 40
CARTAS.
SOLUCIÓN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 = 4/40,
EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,
TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38,
DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.
SI EXISTIERA REPOSICIÓN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NÚMERO DE CARTAS
DEL JUEGO ES CONSTANTE.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ES AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN EVENTO O
SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.
LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 Ó MAS EVENTOS EN
FORMA SIMULTANEA.
TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA ESTADISTICA. NO HAY
QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES MARGINALES, CORRESPONDIENTE A
UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A
LA PROBABILIDAD DE UN SOLO EVENTO
EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B SE CALCULA
MEDIANTE LA FÓRMULA:
P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),
DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FÓRMULA PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
DE UN EVENTO:

Contigo es posible
18
𝐏(𝑩/𝑨) =
𝑷(𝑨𝒚𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
𝐏(𝑨/𝑩) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑩
,
𝐏(𝐀𝐧𝐁) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨)
𝐏(𝑨𝒏𝑩) = 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑨/𝑩)
SIMBOLOGÍA MÁS USADA:
P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.(PROB. MARGINAL)
P(A´) = P(Ac) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.(C0MPLEMENTO)
P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE
A DADO B.
P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE
B DADO A.
P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B Ó PROBABILIDAD DE LA
INTERSECCIÓN DE A Y B Ó PROBABILIDAD CONJUNTA DE A Y B.
P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O AMBOS Ó PROBABILIDAD
DE LA UNIÓN A Y B.
NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS FÓRMULAS DE LOS
SUCESOS ANTES VISTOS.
EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN VEHÍCULO PROPIO, EL
20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CÚAL ES LA
PROBABILIDAD DE TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?
SOLUCIÓN:
A: PROPIETARIO DE VEHÍCULO
A´ : NO PROPIETARIO DE VEHÍCULO
B : PROPIETARIO DE VIVIENDA
B´: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA.
B B´ TOTAL
A 0,12p(AyB) 0,06 0,18 p(A)
A´ 0,08 0,74 0,82
TOTAL 0,20 0,80 1,00

Contigo es posible
19
P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.
LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA, SI TIENE VEHÍCULOS PRESENTAN UNA
PROBABILIDAD DE 66%.
AL INTERPRETAR MÁS EL EJERCICIO, SE TIENE: HAGA EL CÁLCULO Y COMPRUEBELO
(aplique la fórmula):
2) NO TIENEN VEHICULO, SI NO TIENE VIVIENDA PROPIA: 93%
3 TIENEN VEHÍCULO,SI NO TIENEN VIVIENDA: 8%
4) NO TIENEN VIVIENDA, SI NO TIENEN VEHICULO: 90%
5) CALCULAR OTRAS.
EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL 70% DE LOS ALUMNOS. EL 70%
SON MUJERES Y EL 18% SON ESTUDIANTES DE ECONOMÍA. SI ELEGIMOS UN
ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTÉ
ESTUDIANDO ECONOMÍA? (Hacer la tabla)
SOLUCIÓN
𝐏(𝑩/𝑨)) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
= =
𝟎. 𝟏𝟖
𝟎, 𝟕𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟓𝟕𝟏 = 𝟐𝟓, 𝟕𝟏%
HALLE OTRAS PROBALIDADES Y SI ES POSIBLE TABULELOS DATOS
EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIÓN SE ENCONTRÓ QIE EL 10% DE LOS
CONDUCTORES DE TAXI EN LA CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS
UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI SON
HOMBRES. CÚAL ES LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI AL AZAR,
QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA ADEMÁS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS?
(Hacer la tabla)
SOLUCIÓN:
𝑷(𝑩/𝑨) =
𝑷(𝑨𝒏𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝑶, 𝟏𝟎
𝟎, 𝟖𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟏𝟐, 𝟓%.
TAREA CONSULTE (MEJORE LA NOTA EL TRABAJO, CONDICIONES ACORDADS CON EL
DOCENTE ):
A) DIAGRAMA DEL ARBOL
B) FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y EJEMPLOS.
C) TEOREMA DE BAYES Y EJEMPLOS.

Contigo es posible
20
EJERCICIO

Contigo es posible
21
TEOREMA DE BAYES
EL MATEMÁTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763) EN EL SIGLO XVVIII INTENTÓ
DESARROLLAR UNA FÓRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA EXISTENCIA
DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS ERRENALES. MÁS TARDE FUE LAPLACE QUIEN
TERMINÓ SE DESARROLLO DENOMINANDOLO “TEOREMA DE BAYES”
ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA
PROBABILIDAD A PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIÓN EN ANÁLISIS
RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN DE UNA EMPRESA.
FÓRMULA GENERAL:
𝑷(𝑨𝒊/𝑩) =
𝑷(𝑨𝒊) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝒊)
𝑷(𝑨𝟏) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝟐)+ .. . +𝑷(𝑨𝒏) ∗ 𝑷(𝑩/𝑨𝒏)
ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO EVENTO, QUE DEPENDE DE LA
OCURRENCIA DE LOS EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN CONJUNTO DE
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO
A CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B) CORRESPONDA AL
PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B,
DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL EVENTO B CON RESPECTO A CADA
UNO DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULÑA GENERAL
QUEDARÍA, ASÍ:
𝑷(𝑨𝒊/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬𝟏/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬𝟐/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬𝟑/𝑪)
EJEMPLO1.- 4 MÁQUINAS A, B, C, Y D, POR ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE
LA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA MAQUINA, DURANTE UN DETERMINADO
PERÍODO ( 1 HORA) ASÍ: A, UNA PRODUCCIÓN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE 700
UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C
EL 15%, Y D EL 35%.

Contigo es posible
22
MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA DETECTADO QUE EL PORCENTAJE
DE UNIDADES DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS MÁQUINAS ES DE
4%, 3%, 6% Y 5%, RESPECTIVAMNETE.
SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL DEL LOTE DETERMINADO.
A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CÜAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
SALGA DEFECTUOSA.
SOLUCIÓN: E“LA PEIEZA DEFECTUOSA” Y N “LA PIEZA NO DEFECTUOSA”: PARA
CALCULARLA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR
LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE LA FÓRMULA:
P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D)
PARA APLICAR LA FÓRMULA SE TIENE:
P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D) = 0,35
P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D) = 0,05,
DE DONDE:
P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) = 0,20*0,03 = 0,006
P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) = 0,35*0,05 = O,O175
LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SERÁ:
=𝑷(𝑬) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬/𝑪 ) + 𝐏(𝐃) ∗ 𝐏(𝐄/𝐃)
=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445
LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA ES DE 4,45%
B) CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA
A, O POR LA MÁQUINA B, O POR LA MÁQUINA C O POR LA MÁQUINA D.
SOLUCIÓN:
LA FÓRMULA SE PARA LA MÁQUINA ES:
𝑷(𝑨/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷 (
𝑬
𝑨
) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑬/𝑪 ) + 𝐏(𝐃) ∗ 𝐏(𝐄/𝐃) )
=
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒+𝟎,𝟐∗𝟎,𝟎𝟑+𝟎,𝟏𝟓∗𝟎,𝟎𝟔+𝟎,𝟎𝟑𝟓 +𝟎,𝟎𝟓

Contigo es posible
23
=
𝟎,𝟑𝟎∗𝟎,𝟎𝟒
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟔𝟕 = 𝟐𝟗, 𝟔𝟕%
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA A ES DE 29,67%.
P(B/E) =
𝟎,𝟐𝟎 ∗ 𝟎,𝟎𝟑
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟒𝟖 = 𝟏𝟑, 𝟒𝟖%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA B, ES DE 13,48%.
P(C/E) =
𝟎,𝟏𝟓 ∗ 𝟎,𝟔𝟑
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟐%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA C, ES DE 20,22%.
P(D/E) =
𝟎,𝟑𝟓 ∗ 𝟎,𝟎𝟓
𝟎,𝟎𝟒𝟒𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟗𝟑𝟑 = 𝟑𝟗, 𝟑𝟑%.
LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA D, ES DE 39,33%.
UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL EN DOS ETAPAS:
0.04 P= 0,30 *0,04 = 0,012
0,96
0,30 0,03
P=0,20 * 0,03 = 0,06
P(A) 0,20 0,20 0,97
P(B) 0,15 0,06
P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 = 0,09
P(D) 0,35 0,05
0,95
P=0,35*0,05 =0,0175
EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y
2 ROJAS; LA SEGUNDA 4 AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA
UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE RESULTA SER AZUL.

Contigo es posible
24
CON LO ANTERIOR INFORMACIÓN. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE
ESCOGIDO SEA EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.
SOLUCIÓN:
P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3
P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = ½ P(E/C) = 6/6 = 1.
LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES:
𝑷(𝑨/𝑬) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑬/𝑨)
𝑷 (
𝑨
𝑬
) =
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
)
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
) + (
𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟐
) + (
𝟏
𝟑
)(𝟏)
=
𝟏
𝟑
= 𝟎, 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑%
LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES :
𝑷(𝑩/𝑬) =
𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑬/𝑩)
𝑷(𝑨/𝑬) =
(
𝟏
𝟑
)((𝟏)
(
𝟏
𝟑
) (
𝟑
𝟒
) + (
𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟐
) + (
𝟏
𝟑
)(𝟏)
=
𝟒
𝟗
= 𝟎, 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒%
EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA FOLLETOS PROMOCIONANDO SU
LIBRO DE ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE ENSEÑAN LA ASIGNATURA
EN LAS UNIVERSIDADES QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIÓN. UN MES
DESPUÉS SE CONSTATÓ QUE EL 46% QUE RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL
LIBRO Y UN 16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO ADOPTARON. CÚAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO DEL
FOLLETO DE PROMOCIÓN.
0,46
P(A) = 0,72
0,54 𝑷(𝑨) =
𝟎,𝟕𝟐∗𝟎,𝟒𝟔
𝟎,𝟕𝟐∗𝟎,𝟒𝟔+𝟎,𝟐𝟖+𝟎,𝟏𝟔

Contigo es posible
25
0,16 =0,8809 = 88,09%
P(B) 0 0,28
0,84
LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%.
BIBLIOGRAFIA:MARTINEZ B. Ciro. Estadística y muestreo paginas 231-280.

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